|
||||||||||||||||||
|
Это старая версия документа. Математический марафонСтартовал 24-й конкурс в рамках Математического марафона Вслед за 23-м 24-й конкурс не посвящен какой-то единой тематике. Наоборот, я стремился сделать задачи максимально разнообразными. Ну или почти максимально разнообразными: любимая комбинаторная геометрия представлена таки несколькими задачами. Впрочем, и в рамках этой тематики тоже наблюдается разнообразие. Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания, выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными, а другие - не очень. На вкус и на цвет… Но если любите поломать голову над нестандартными задачами, участвуйте, не стесняйтесь. Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас. Не забывайте, пожалуйста, присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале. Ведущий Марафона — Vladimir letsko Текущие задачиММ233Конкурсная задача ММ233 (5 баллов) Очередной отголосок ЕГЭ в Марафоне Решения принимаются до 22.09.2018
При каких значениях параметра a множество точек плоскости, задаваемых системой ММ234Конкурсная задача ММ234 (5 баллов) Решения принимаются до 29.09.2018
Функция g(n) натурального аргумента n задается так: ММ235Конкурсная задача ММ235 (7 баллов) Решения принимаются до 06.10.2018 Существует ли выпуклый многогранник, у которого равны: количество ребер; количество диагоналей; суммарное количество диагоналей граней? ММ236Конкурсная задача ММ236 (7 баллов) Решения принимаются до 13.10.2018
Натуральные числа от 1 до 4n разбили на 4 группы по n чисел в каждой. Оказалось, что произведение всех чисел из первой группы равно произведениям всех чисел из второй и третьей групп. ММ237Конкурсная задача ММ237 (7 баллов) Решения принимаются до 20.10.2018 Студент математического факультета Вася Пупкин написал на доске некоторую перестановку A из S10 в виде произведения независимых циклов (запись каждого цикла начинается с наименьшего элемента; опускались ли в записи циклы длины 1 - неизвестно). Васины однокурсники прокомментировали эту запись.
Аня: A6 – тождественная перестановка.
Вася (умница и отличник) заметил, что количество верных утверждений его однокурсников равно наибольшей длине цикла в A. ММ238Конкурсная задача ММ238 (7 баллов) Решения принимаются до 27.10.2018
Вася написал на доске k последовательных натуральных чисел и нашел их НОК - V. ММ239Конкурсная задача ММ239 (10 баллов) Решения принимаются до 17.11.2018
Существует ли выпуклый многогранник, у которого: Примечание: Если у вас получается, что ответ на пункт «а» отрицательный, а на пункт «b» - положительный, подумайте еще. ММ240Конкурсная задача ММ2409 (13 баллов) Решения принимаются до 01.12.2018 Проективную плоскость разбили несколькими прямыми общего положения. При этом образовалось ровно 17 треугольников. Сколько пятиугольников могло при этом получиться? Разбор задачММ232Конкурсная задача ММ232 (6 баллов) Сколько решений в натуральных числах, имеет уравнение x3+y3=z3-i для каждого i ∈ {1, 2, 4} ? Я нашел воистину замечательные ответы на эти вопросы, но поля… Надеюсь, у конкурсантов с полями все хорошо. Решение Привожу решения Евгения Гужавина, Василия Дзюбенко и Валентины Колыбасовой. Обсуждение При поиске бесконечных серий конкурсанты разделились на две команды. Одна исповедовала подход: «Будем искать решение в виде…». Другая: «Найдем перебором несколько решений и поищем закономерность». Правда, была еще и третья группа: «Очевидно, что имеется бесконечно много решений вида…». Но я подозреваю, что представители этой группы, на самом деле, латентные участники одной из двух первых. А вот при доказательстве отсутствия решений для i=4 все были единодушны. Для меня было неожиданным, что сразу несколько конкурсантов неправильно истолковали комментарий, приведенный после условия. Я полагал, что это более чем прозрачный намек на историю, когда Пьеру де Ферма не хватило полей «Арифметики» Диофанта, чтобы изложить доказательство (впрочем, конечно же, «доказательство») Великой теоремы своего имени. Но, то ли участники не вспомнили про эту историю, то ли стали искать двойное дно и намек на теорию полей, которого не было.
Некоторые конкурсанты для доказательства бесконечности множества решений придумали не серии, представленные в приведенных решениях, а их подсерии. Например, вместо тройки (9n3-1, 9n4-3n, 9n4\right) приводилась тройка (33k-1, 34k-2-3k, 34k-2). Награды За решение задачи ММ232 участники Марафона получают следующие призовые баллы: Евгений Гужавин - 6; Анатолий Казмерчук - 6; Юрий Варламов - 6; Владимир Чубанов - 6; Валентина Колыбасова - 6; Виктор Филимоненков - 6; Василий Дзюбенко - 6; Владислав Франк - 6. Эстетическая оценка задачи - 4.6 балла ММ231Конкурсная задача ММ231 (4 балла) На сторонах AB, BC и AC египетского треугольника ABC выбрали точки C1, A1 и B1 соответственно. Оказалось, что треугольники AB1C1, BC1A1 и CA1B1 равновелики. Какую часть площади ABC составляет площадь треугольника A1B1C1 при условии, что последний - прямоугольный? Решение Привожу решения Евгения Гужавина и Анатолия Казмерчука. А также набросок авторского решения. Пусть AC = 3, BC = 4, AB = 5. Введем обозначения как на рис. 1
Из равновеликости треугольников AB1C1, BC1A1 и CA1B1 следует, что 5x(3-z)=3y(4-x)=4z(5-y). Отсюда, x=4z/3, y=5z/3 или 12/(3-z), y=5(3-z)/z. Второе решение не подходит, т.к. при всех допустимых z (0<z<3) дает недопустимые x. Обсуждение
Первая задача XXIV Марафонского конкурса не вызвала особых затруднений у участников (по крайней мере, у тех из них, кто прислал решения).
Правда, у одного из участников возникли сомнения в том, что указанными тремя случаями исчерпываются все решения. Полагаю, разбор приведенных решений рассеет эти сомнения (ну или увеличит число сомневающихся). Награды
За решение задачи ММ231 участники Марафона получают следующие призовые баллы: Эстетическая оценка задачи - 4.1 балла
|
|||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|