Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

--- marathon:about [2018/09/23 18:06]
letsko [ММ231]
+++ marathon:about [2021/06/17 17:02] (текущий)
letsko [Текущие задачи]
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
- ====== Математический марафон ======
+====== Математический марафон ======
 {{ :marathon:konkurs.gif}}
@@ Строка 8: / Строка 8: @@
 ----
+**Завершен XXVII конкурс вамках Математического марафона**
-Стартовал **24-й конкурс в рамках Математического марафона**
+**Мои поздравления победителю конкурса, Мерабу Левиашвили, призерам, Анатолию Казмерчуку и Олегу Полубасову, а также всем тем, кто составил им достойную конкуренцию**
-Вслед за 23-м 24-й конкурс не посвящен какой-то единой тематике.
-Наоборот, я стремился сделать задачи максимально разнообразными. Ну или почти максимально разнообразными: любимая комбинаторная геометрия представлена таки несколькими задачами. Впрочем, и в рамках этой тематики тоже наблюдается разнообразие.
 Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания, выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными, а другие - не очень. На вкус и на цвет...
-Но если любите поломать голову над нестандартными задачами, участвуйте, не стесняйтесь.
+Но если вы любите поломать голову над нестандартными задачами, участвуйте, не стесняйтесь.
 Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас.
 Не забывайте, пожалуйста, присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале.
-----
  Ведущий Марафона
 --- //[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]//
+[[Afterword XXVII |Послесловие к XXVII конкурсу]]
+----
 ====== Текущие задачи ======
+----
+**На данный момент отсутствуют.**
 ----
-===== ММ234 =====
+====== Разбор задач ======
-**Конкурсная задача ММ234** (5 баллов)
+----
+=====
+Вектором граней выпуклого многогранника P назовем набор [f<sub>3</sub>, f<sub>4</sub>, …, f<sub>s</sub>], где f<sub>i</sub> – количество i-угольных граней P, а s - наибольшее число сторон грани. Будем говорить, что P относится к классу m, если max(f<sub>i</sub>) = m.
-Решения принимаются до __29.09.2018__
-Функция g(n) натурального аргумента n задается так:\\
-Пусть n натуральное число. Определим  f(n) как число, полученное удалением последней цифры из десятичной записи n, увеличенное на квадрат этой цифры.\\
-Например, f(576) = 57 + 36 = 93.\\
-Тогда g(n)  = |{n, f(n), f(f(n)), f(f(f(n))), …}|.\\
-Пусть a и b  –  2018-значные числа. Может ли оказаться, что g(a) = g(b) + 26?
 ----
-===== ММ235 =====
-**Конкурсная задача ММ235** (7 баллов)
-Решения принимаются до __06.10.2018__
+**Конкурсная задача ММ270** (16 баллов)
-Существует ли выпуклый многогранник, у которого равны: количество ребер; количество диагоналей; суммарное количество диагоналей граней?
+Найти наибольшее возможное количество граней многогранника класса m.
-----
+**Решение**
-===== ММ236 =====
+Привожу решения призеров конкурса, {{:marathon:mm_270_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}} и {{:marathon:kazmerchuk_mm_270.pdf|Анатолия Казмерчука}}, а также обобщение задачи победителя конкурса {{:marathon:обобщение-мм270.docx|Мераба Левиашвили}} .
-**Конкурсная задача ММ236** (7 баллов)
-Решения принимаются до __13.10.2018__
+**Обсуждение**
-Натуральные числа от 1 до 4n разбили на 4 группы по n чисел в каждой. Оказалось, что произведение всех чисел из первой группы равно произведениям всех чисел из второй и третьей групп. \\
+В отличие от ММ269, где вопрос задачи был сформулирован для частных значений m, а обобщали его сами конкурсанты, в ММ270 сразу же был сформулирован общий вопрос. Объясняется это просто. В ММ269 ответа на общий вопрос ведущий на момент опубликования задачи не знал (и даже склонялся, но, к счастью не "доказал" неверный ответ). А для ММ270 у меня был верный обоснованный ответ.
-Найти наименьшую возможную сумму чисел четвертой группы.
-----
+Эта ситуация выбила почву из под ног большинства любителей обобщений. Да, практически все, решившие ММ270, нашли заодно и наибольшие количества вершин и ребер m-многогранников. Но ответы на эти вопросы становятся очевидны при успешном решении основной задачи. Единственным, кто изыскал возможности пообобщать стал Мераб Левиашвили. Он перешел от рассмотрения многогранников к рассмотрению простых (каждая вершина имеет степень n) политопов размерностей, больших 3. У таких политопов существуют грани разных размерностей. Соответственно можно рассматривать разные аналоги m-многогранников. Мераб остановился на случае двумерных граней. На основании известных соотношений Дена-Соммервиля он получил наименьшие значения m, для которых существуют n-мерные политопы класса m и верхние оценки для числа граней таких политопов для n \in {4, 5}, а также некоторые оценки для n \in {6, 7, 8}. Я привожу только обобщение задачи (присланное Мерабом отдельным документом), в том числе, и по причине слишком большого веса основного решения.
-===== ММ237 =====
+Во всех присланных решениях имеется содержится ответ 7m-4 для больших значений m. Разнятся эти решения степенью гипотетичности и обоснованности данного ответа, а также количеством частных значений m, подтверждающих данную гипотезу (это касается решений, где 7m-4 именно гипотеза).
-**Конкурсная задача ММ237** (7 баллов)
-Решения принимаются до __20.10.2018__
-Студент математического факультета Вася Пупкин написал на доске некоторую перестановку A из S<sub>10</sub>  в виде произведения независимых циклов (запись каждого цикла начинается с наименьшего элемента; опускались ли в записи циклы длины 1  - неизвестно).  Васины однокурсники прокомментировали эту запись.
+**Награды**
+За решение задачи ММ270 участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\
+Мераб Левиашвили - 18;\\
+Олег Полубасов - 16;\\
+Анатолий Казмерчук - 16;\\
+Александр Романов - 16;\\
+Константин Шамсутдинов - 10;\\
+Виктор Филимоненков - 10;\\
+Денис Овчинников - 8.\\
-Аня: A<sup>6</sup>  – тождественная перестановка.\\
+Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла
-Ваня: Длины всех циклов A – числа Фибоначчи.\\
-Даня: В S<sub>10</sub> существует ровно 3 перестановки, квадрат которых равен A.\\
-Маня: Хм, уравнение X<sup>2</sup> =B не может иметь в S<sub>10</sub> ровно 3 решения ни при каком B.\\
-Саня: Более того, количество решений уравнения X<sup>2</sup> =B в S<sub>10</sub> не может быть нечетным  ни при каком B.\\
-Таня: Квадрат наибольшего элемента в самом длинном цикле меньше порядка A.\\
-Зина: A<sup>5</sup>  имеет столько же циклов, сколько и A.\\
-Лина: Внутри всех циклов элементы строго возрастают.\\
-Нина: Произведение всех элементов одного из циклов кратно произведению всех элементов более длинного цикла и сумме всех элементов более короткого.\\
-Фаина: Зина, Лина и Нина правы.
-Вася (умница и отличник) заметил, что количество верных утверждений его однокурсников равно наибольшей длине цикла в A.\\
-Найдите A.
 ----
-===== ММ238 =====
+===== ММ269 =====
-**Конкурсная задача ММ238** (7 баллов)
-Решения принимаются до __27.10.2018__
+ **Конкурсная задача ММ269** (11 баллов)
-Вася написал на доске k последовательных натуральных чисел и нашел их НОК - V.\\
+Какова максимальная возможная степень вершины выпуклого многогранника\\
-Петя написал k последовательных натуральных чисел, больших Васиных, и тоже нашел их НОК - P. \\
+a) класса 3;\\
-Оказалось, что  2018 < V/P < 2019. \\
+b) класса 4?
-При каком наименьшем k такое возможно?
-----
+**Решение**
-===== ММ239 =====
+Привожу решения {{:marathon:mm269_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}}, {{:marathon:kazmerchuk_mm_269.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:marathon:shamsutdinov_mm269.docx|Константина Шамсутдинова}}.
-**Конкурсная задача ММ239** (10 баллов)
-Решения принимаются до __17.11.2018__
+**Обсуждение**
-Существует ли выпуклый многогранник, у которого:\\
+Согласно традициям Марафона последние задачи каждого конкурса имеют повышенную сложность. Эта традиция сохранилась и в данном конкурсе.
-a) не менее половины граней - семиугольники;\\
+Результатом этого усложнения чаще всего был отток значительной части конкурсантов. А эта традиция неожиданно была нарушена! Из тех, кто регулярно участвовал в нынешнем конкурсе, не прислали решения ММ269 всего два человека. А остальные порадовали, но не пощадили ведущего :-) Впрочем, после моей мольбы, все же сжалились, сократив самое длинное из решений на 40(!) страниц.
-b) более половины граней - семиугольники; \\
-с) не менее половины граней - восьмиугольники;\\
+Разумеется, основные страсти кипели вокруг обобщения задачи, очевидного по постановке вопроса. Но только по постановке. Да-да, ответ 3m-3 не годится!
-d) более половины граней - восьмиугольники;\\
+В какой-то момент у меня имелось три решения, в которых приводилась и обосновывалась точная формула для максимальной возможной степени вершины m-многогранника. Точнее, три разных формулы, дающих разные ответы :-)\\
-e) не менее половины граней  - девятиугольники?
+Понимая, что ситуация, когда "Вася и Петя оба правы", маловероятна, ведущий был вынужден углубиться в многостраничные трактаты, воспользовавшись удачно подвернувшейся просьбой продлить срок приема решений. Дополнительное время не пропало даром. И ведущий и конкурсанты обнаружили некоторые ошибки и неточности в решениях. Во всех, кроме одного, в котором ошибок найти не удалось (или, все же, пока не удалось?). Желающие могут попробовать определить это решение из приводимого ниже списка начисленных призовых баллов (а также попытаться найти ошибки и в этом решении).
+**Награды**
-//Примечание: Если у вас получается, что ответ на пункт «а» отрицательный, а на пункт «b» - положительный, подумайте еще.//
+За решение задачи ММ269 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\
+Олег Полубасов - 18;\\
+Мераб Левиашвили - 16;\\
+Анатолий Казмерчук - 13;\\
+Константин Шамсутдинов - 13;\\
+Василий Дзюбенко - 11;\\
+Александр Романов - 11;\\
+Виктор Филимоненков - 11;\\
+Денис Овчинников - 7.
+**Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла**
 ----
-===== ММ240 =====
+===== ММ268 =====
-**Конкурсная задача ММ2409** (13 баллов)
-Решения принимаются до __01.12.2018__
+**Конкурсная задача ММ268** (9 баллов)
+Назовем натуральное число m допустимым, если существует такое n, что из чисел 1,2,…,n можно составить сумму произведений, в которой каждое число встречается ровно один раз, равную m. Сколько существует недопустимых чисел?
+Примечание: в суммах произведений допускаются одиночные слагаемые. Например, число 148 допустимо, поскольку 148=1·3 + 2·5·8 + 4 + 6·9 + 7.
+[[problem 268|Решение задачи ММ268]]
-Проективную плоскость разбили несколькими прямыми общего положения. При этом образовалось ровно 17 треугольников. Сколько пятиугольников могло при этом получиться?
 ----
-====== Разбор задач ======
+===== ММ267 =====
+**Конкурсная задача ММ267** (7 баллов)
+Вася и Петя поспорили. Вася уверен, что среди представлений натурального числа n в виде суммы натуральных слагаемых чаще встречаются те, у которых каждое слагаемое присутствует не более двух раз, чем те, у которых все слагаемые не кратны 3. Петя уверен в обратном. Кто из них прав?
+[[problem 267|Решение задачи ММ267]]
 ----
-===== ММ233 =====
+===== ММ266 =====
-**Конкурсная задача ММ233**  (6 баллов)\\
-Очередной отголосок ЕГЭ в Марафоне
-При каких значениях параметра a множество точек плоскости, задаваемых системой \\
+**Конкурсная задача ММ266** (7 баллов)
- (x - a + 1)<sup>2</sup> + (y - 3)<sup>2</sup> ≤ 80, \\
-(x - 3)<sup>2</sup> + (y - 4a + 1)<sup>2</sup> ≤ 20a<sup>2</sup>, \\
--  2a = |4x + 3y + 115 - a| + |4x + 3y - 115 + a| \\
-является кругом?
-**Решение**
+Вася Пупкин выписал дни рождения семерых своих однокурсников, родившихся в январе одного и того же года, что и Вася, и, поэкспериментировав с выписанными числами, заметил два факта:\\
+) τ(n<sup>3</sup> )=τ(n)<sup>2</sup>, где n – произведение всех выписанных чисел;\\
+) сумма кубов составных чисел больше суммы кубов остальных\\.
+Найдите дни рождения Васиных товарищей, если известно, что все они младше Васи.
-Привожу решения {{:marathon:мм233-варламов_.pdf|Юрия Варламова}} и {{:marathon:ariadna_мм233.pdf|Валентины Колыбасовой}}.
+Примечание: при сравнении возрастов учитываются дни, но не часы рождения.
-**Обсуждение**
+[[problem 266|Решение задачи ММ266]]
-Валентина Колыбасова прислала симпатичную анимацию в качестве иллюстрации к решению. Но опубликовать ее не позволяет здешний движок. Замечу, что сам ведущий неоднократно прибегал к такому способу самоконтроля. В том числе, и при составлении этой задачки.
+----
-Согласен с теми, кому задача показалась достаточно рутинной. Причем (см. подзаголовок) заранее согласен. По-видимому, иногда моя работа в качестве эксперта ЕГЭ вторгается в мою деятельность в качестве ведущего Марафона.
+===== ММ265 =====
-Однако отсутствие каких-то нестандартных шагов в решении не сделало задачу совсем уж легкой. До верного ответа добрались не все. Но разным причинам (один просчитался, а другой поленился) Владислав Франк и Владимир Чубанов потеряли (разные) куски решения. Я долго думал, какой из грехов хуже. Но так и не определился, что видно по присужденным баллам. В каждом из случаев штраф был невелик, поскольку участники продемонстрировали "потенциально верные" решения.\\
-Ответ Василия Дзюбенко также отличается от канонического. Но по иной причине. Василий прямо указал, что считает точку кругом нулевого радиуса. Я не стал с этим спорить, тем более, что, будучи последовательным, Василий включил в ответ не только случай $a=0$, но и случаи, когда меньший круг лежит внутри большего и касается полосы внешним образом.\\
-А вот самый юный участник Марафона начал с фальстарта. Верно определив круги и полосу, он запутался в их взаимном расположении. Такое решение я оценил в один балл (в полном соответствии с критериями ЕГЭ).
-**Награды**
+**Конкурсная задача ММ265** (5 баллов)
-За решение задачи ММ233 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\
+Разрезать правильный треугольник на наименьшее возможное количество прямоугольных треугольников так, чтобы никакие два из возникших треугольников не были подобны.
-Евгений Гужавин - 5;\\
-Анатолий Казмерчук - 5;\\
-Юрий Варламов - 5;\\
-Валентина Колыбасова - 5;\\
-Виктор Филимоненков - 5;\\
-Василий Дзюбенко - 5;\\
-Владимир Чубанов - 4;\\
-Владислав Франк - 4.\\
-Лев Песин - 1.
-**Эстетическая оценка задачи - 4.1 балла**
+[[problem 265|Решение задачи ММ265]]
-===== ММ232 =====
+----
-**Конкурсная задача ММ232**  (6 баллов)
-Сколько решений в натуральных числах,  имеет уравнение **x<sup>3</sup> + y<sup>3</sup> = z<sup>3</sup> - i** для каждого  **i ∈ {1, 2, 4}** ?
+===== ММ264 =====
-Я нашел воистину замечательные ответы на эти вопросы, но поля...
+**Конкурсная задача ММ264** (4 балла)
-Надеюсь, у конкурсантов с полями все хорошо.
-**Решение**
+Назовем пару натуральных чисел a и b аддитивной, если τ(a+b)=τ(a)+τ(b),σ(a+b)=σ(a)+σ(b)  и φ(a+b)=φ(a)+φ(b).
+Доказать, что существует бесконечно много аддитивных пар.\\
-Привожу решения {{:marathon:guzhavine_mm232.pdf|Евгения Гужавина}}, {{:marathon:dziubenko_mm232.pdf|Василия Дзюбенко}} и {{:marathon:ariadna_мм232.pdf|Валентины Колыбасовой}}.
+(τ(n), σ(n), φ(n) - количество натуральных делителей, сумма натуральных делителей и функция Эйлера соответственно.)
-**Обсуждение**
+[[problem 264|Решение задачи ММ264]]
-При поиске бесконечных серий конкурсанты разделились на две команды. Одна исповедовала подход: "Будем искать решение в виде...". Другая: "Найдем перебором несколько решений и поищем закономерность". Правда, была еще и третья группа: "Очевидно, что имеется бесконечно много решений вида...". Но я подозреваю, что представители этой группы, на самом деле, латентные участники одной из двух первых.
+----
-А вот при доказательстве отсутствия решений для i=4 все были единодушны.
-Для меня было неожиданным, что сразу несколько конкурсантов неправильно истолковали комментарий, приведенный после условия.
+===== ММ263 =====
-Я полагал, что это более чем прозрачный намек на историю, когда Пьеру де Ферма не хватило полей "Арифметики" Диофанта, чтобы изложить доказательство (впрочем, конечно же, "доказательство") Великой теоремы своего имени.
+ **Конкурсная задача ММ263** (4 балла)
-Но, то ли участники не вспомнили про эту историю, то ли стали искать двойное дно и намек на теорию полей, которого не было.
-Некоторые конкурсанты для доказательства бесконечности множества решений придумали не серии, представленные в приведенных решениях, а их подсерии. Например, вместо  тройки (9n<sup>3</sup>-1, 9n<sup>4</sup>-3n, 9n<sup>4</sup>\right) приводилась тройка (3<sup>3k-1</sup>, 3<sup>4k-2</sup>-3<sup>k</sup>, 3<sup>4k-2</sup>).\\
+Сколько решений может иметь уравнение [3x]{x} – [x]{3x} = c, в зависимости от значения параметра c?\\
-Несколько иначе обстоит дело с серией, приведенной Владиславом Франком для случая i-2. Убедившись, что равенство (6t<sup>3</sup> + 36t<sup>2</sup> + 72t + 49)<sup>3</sup> - 2 = (6t<sup>3</sup> + 36t<sup>2</sup> + 72t + 47)<sup>3</sup> + (6t<sup>2</sup> + 6t + 24)<sup>3</sup> не является верным, я уже кровожадно потирал руки и думал, скольких баллов лишить Владислава. Но в этот момент заметил, при замене последнего слагаемого на (6t<sup>2</sup> + 24t + 24)<sup>3</sup> получается та же серия, что и у остальных конкурсантов. Надо только вместо t подставить t-2.
-В итоге ведущему не удалось оттяпать баллы ни у кого из участников.
-Но и добавлять баллы я тоже не стал. Поскольку обобщения и аналоги задачи для случаев i=-1, i=a<sup>3</sup>, i=2a<sup>3</sup>, i=4+9k тривиальны, а более интересные вопросы:\\
-разрешимо ли уравнение при i=3?\\
-исчерпываются ли все решения для i=2 тройками (6n<sup>2</sup>, 6n<sup>3</sup>-1, 6n<sup>3</sup>+1) (с возможной перестановкой первых двух чисел)?\\
-входят ли решения для i=1, не описываемые серией (9n<sup>3</sup>-1, 9n<sup>4</sup>-3n, 9n<sup>4</sup>), в какие-то другие серии или являются спорадическими?\\
-остались без ответов.
-**Награды**
+([x] и {x} означают соответственно целую часть (пол) и дробную часть числа x.)
-За решение задачи ММ232 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
+[[problem 263|Решение задачи ММ263]]
-Евгений Гужавин - 6;
-Анатолий Казмерчук - 6;
-Юрий Варламов - 6;
-Владимир Чубанов - 6;
-Валентина Колыбасова - 6;
-Виктор Филимоненков - 6;
-Василий Дзюбенко - 6;
-Владислав Франк - 6.
-**Эстетическая оценка задачи - 4.6 балла**
 ----
-===== ММ231 =====
+===== ММ262 =====
-**Конкурсная задача ММ231**  (4 балла)
+**Конкурсная задача ММ262** (3 балла)
-На сторонах AB, BC и AC египетского треугольника ABC выбрали точки C<sub>1</sub>, A<sub>1</sub> и B<sub>1</sub> соответственно. Оказалось, что треугольники AB<sub>1</sub>C<sub>1</sub>, BC<sub>1</sub>A<sub>1</sub> и CA<sub>1</sub>B<sub>1</sub> равновелики. Какую часть площади ABC составляет площадь треугольника A<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C<sub>1</sub> при условии, что последний - прямоугольный?
+Разносторонний треугольник назовем прогрессивным, если длины его сторон образуют арифметическую прогрессию.
+Доказать, что треугольник прогрессивен тогда и только тогда, когда прямая, проходящая через точку Нагеля и центр Шпикера, параллельна средней стороне.
-[[problem 231|Решение задачи ММ231]]
+Примечание: тривиальное решение (недаром цена задачи всего 3 балла) на ЕГЭ бы не приняли, но у нас, слава Богу, не ЕГЭ :-)
+[[problem 262|Решение задачи ММ262]]
 ----
+===== ММ261 =====
+**Конкурсная задача ММ261** (4 балла)
+Натуральные числа 1, 2, 3, ..., 100 разбили на 10 групп по 10 чисел. Найти наибольшую возможную сумму НОД этих десяток.
+[[problem 261|Решение задачи ММ261]]
+----
 ~~NOTOC~~