Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

--- marathon:about [2018/10/01 09:34]
letsko
+++ marathon:about [2021/06/17 17:02] (текущий)
letsko [Текущие задачи]
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
- ====== Математический марафон ======
+====== Математический марафон ======
 {{ :marathon:konkurs.gif}}
@@ Строка 8: / Строка 8: @@
 ----
+**Завершен XXVII конкурс вамках Математического марафона**
-Стартовал **24-й конкурс в рамках Математического марафона**
+**Мои поздравления победителю конкурса, Мерабу Левиашвили, призерам, Анатолию Казмерчуку и Олегу Полубасову, а также всем тем, кто составил им достойную конкуренцию**
-Вслед за 23-м 24-й конкурс не посвящен какой-то единой тематике.
-Наоборот, я стремился сделать задачи максимально разнообразными. Ну или почти максимально разнообразными: любимая комбинаторная геометрия представлена таки несколькими задачами. Впрочем, и в рамках этой тематики тоже наблюдается разнообразие.
 Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания, выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными, а другие - не очень. На вкус и на цвет...
-Но если любите поломать голову над нестандартными задачами, участвуйте, не стесняйтесь.
+Но если вы любите поломать голову над нестандартными задачами, участвуйте, не стесняйтесь.
 Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас.
 Не забывайте, пожалуйста, присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале.
-----
  Ведущий Марафона
 --- //[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]//
+[[Afterword XXVII |Послесловие к XXVII конкурсу]]
+----
 ====== Текущие задачи ======
+----
+**На данный момент отсутствуют.**
 ----
-===== ММ235 =====
-**Конкурсная задача ММ235** (7 баллов)
-Решения принимаются до __06.10.2018__
+====== Разбор задач ======
+----
+=====
+Вектором граней выпуклого многогранника P назовем набор [f<sub>3</sub>, f<sub>4</sub>, …, f<sub>s</sub>], где f<sub>i</sub> – количество i-угольных граней P, а s - наибольшее число сторон грани. Будем говорить, что P относится к классу m, если max(f<sub>i</sub>) = m.
-Существует ли выпуклый многогранник, у которого равны: количество ребер; количество диагоналей; суммарное количество диагоналей граней?
 ----
-===== ММ236 =====
+**Конкурсная задача ММ270** (16 баллов)
-**Конкурсная задача ММ236** (7 баллов)
-Решения принимаются до __13.10.2018__
+Найти наибольшее возможное количество граней многогранника класса m.
-Натуральные числа от 1 до 4n разбили на 4 группы по n чисел в каждой. Оказалось, что произведение всех чисел из первой группы равно произведениям всех чисел из второй и третьей групп. \\
+**Решение**
-Найти наименьшую возможную сумму чисел четвертой группы.
-----
+Привожу решения призеров конкурса, {{:marathon:mm_270_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}} и {{:marathon:kazmerchuk_mm_270.pdf|Анатолия Казмерчука}}, а также обобщение задачи победителя конкурса {{:marathon:обобщение-мм270.docx|Мераба Левиашвили}} .
-===== ММ237 =====
+**Обсуждение**
-**Конкурсная задача ММ237** (7 баллов)
-Решения принимаются до __20.10.2018__
+В отличие от ММ269, где вопрос задачи был сформулирован для частных значений m, а обобщали его сами конкурсанты, в ММ270 сразу же был сформулирован общий вопрос. Объясняется это просто. В ММ269 ответа на общий вопрос ведущий на момент опубликования задачи не знал (и даже склонялся, но, к счастью не "доказал" неверный ответ). А для ММ270 у меня был верный обоснованный ответ.
-Студент математического факультета Вася Пупкин написал на доске некоторую перестановку A из S<sub>10</sub>  в виде произведения независимых циклов (запись каждого цикла начинается с наименьшего элемента; опускались ли в записи циклы длины 1  - неизвестно).  Васины однокурсники прокомментировали эту запись.
+Эта ситуация выбила почву из под ног большинства любителей обобщений. Да, практически все, решившие ММ270, нашли заодно и наибольшие количества вершин и ребер m-многогранников. Но ответы на эти вопросы становятся очевидны при успешном решении основной задачи. Единственным, кто изыскал возможности пообобщать стал Мераб Левиашвили. Он перешел от рассмотрения многогранников к рассмотрению простых (каждая вершина имеет степень n) политопов размерностей, больших 3. У таких политопов существуют грани разных размерностей. Соответственно можно рассматривать разные аналоги m-многогранников. Мераб остановился на случае двумерных граней. На основании известных соотношений Дена-Соммервиля он получил наименьшие значения m, для которых существуют n-мерные политопы класса m и верхние оценки для числа граней таких политопов для n \in {4, 5}, а также некоторые оценки для n \in {6, 7, 8}. Я привожу только обобщение задачи (присланное Мерабом отдельным документом), в том числе, и по причине слишком большого веса основного решения.
-Аня: A<sup>6</sup>  – тождественная перестановка.\\
+Во всех присланных решениях имеется содержится ответ 7m-4 для больших значений m. Разнятся эти решения степенью гипотетичности и обоснованности данного ответа, а также количеством частных значений m, подтверждающих данную гипотезу (это касается решений, где 7m-4 именно гипотеза).
-Ваня: Длины всех циклов A – числа Фибоначчи.\\
-Даня: В S<sub>10</sub> существует ровно 3 перестановки, квадрат которых равен A.\\
-Маня: Хм, уравнение X<sup>2</sup> =B не может иметь в S<sub>10</sub> ровно 3 решения ни при каком B.\\
-Саня: Более того, количество решений уравнения X<sup>2</sup> =B в S<sub>10</sub> не может быть нечетным  ни при каком B.\\
-Таня: Квадрат наибольшего элемента в самом длинном цикле меньше порядка A.\\
-Зина: A<sup>5</sup>  имеет столько же циклов, сколько и A.\\
-Лина: Внутри всех циклов элементы строго возрастают.\\
-Нина: Произведение всех элементов одного из циклов кратно произведению всех элементов более длинного цикла и сумме всех элементов более короткого.\\
-Фаина: Зина, Лина и Нина правы.
-Вася (умница и отличник) заметил, что количество верных утверждений его однокурсников равно наибольшей длине цикла в A.\\
-Найдите A.
-----
+**Награды**
-===== ММ238 =====
+За решение задачи ММ270 участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\
-**Конкурсная задача ММ238** (7 баллов)
+Мераб Левиашвили - 18;\\
+Олег Полубасов - 16;\\
+Анатолий Казмерчук - 16;\\
+Александр Романов - 16;\\
+Константин Шамсутдинов - 10;\\
+Виктор Филимоненков - 10;\\
+Денис Овчинников - 8.\\
-Решения принимаются до __27.10.2018__
+Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла
-Вася написал на доске k последовательных натуральных чисел и нашел их НОК - V.\\
-Петя написал k последовательных натуральных чисел, больших Васиных, и тоже нашел их НОК - P. \\
-Оказалось, что  2018 < V/P < 2019. \\
-При каком наименьшем k такое возможно?
 ----
-===== ММ239 =====
+===== ММ269 =====
-**Конкурсная задача ММ239** (10 баллов)
-Решения принимаются до __17.11.2018__
+ **Конкурсная задача ММ269** (11 баллов)
-Существует ли выпуклый многогранник, у которого:\\
+Какова максимальная возможная степень вершины выпуклого многогранника\\
-a) не менее половины граней - семиугольники;\\
+a) класса 3;\\
-b) более половины граней - семиугольники; \\
+b) класса 4?
-с) не менее половины граней - восьмиугольники;\\
-d) более половины граней - восьмиугольники;\\
-e) не менее половины граней  - девятиугольники?
-//Примечание: Если у вас получается, что ответ на пункт «а» отрицательный, а на пункт «b» - положительный, подумайте еще.//
+**Решение**
-----
+Привожу решения {{:marathon:mm269_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}}, {{:marathon:kazmerchuk_mm_269.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:marathon:shamsutdinov_mm269.docx|Константина Шамсутдинова}}.
+**Обсуждение**
-===== ММ240 =====
+Согласно традициям Марафона последние задачи каждого конкурса имеют повышенную сложность. Эта традиция сохранилась и в данном конкурсе.
-**Конкурсная задача ММ2409** (13 баллов)
+Результатом этого усложнения чаще всего был отток значительной части конкурсантов. А эта традиция неожиданно была нарушена! Из тех, кто регулярно участвовал в нынешнем конкурсе, не прислали решения ММ269 всего два человека. А остальные порадовали, но не пощадили ведущего :-) Впрочем, после моей мольбы, все же сжалились, сократив самое длинное из решений на 40(!) страниц.
-Решения принимаются до __01.12.2018__
+Разумеется, основные страсти кипели вокруг обобщения задачи, очевидного по постановке вопроса. Но только по постановке. Да-да, ответ 3m-3 не годится!
+В какой-то момент у меня имелось три решения, в которых приводилась и обосновывалась точная формула для максимальной возможной степени вершины m-многогранника. Точнее, три разных формулы, дающих разные ответы :-)\\
+Понимая, что ситуация, когда "Вася и Петя оба правы", маловероятна, ведущий был вынужден углубиться в многостраничные трактаты, воспользовавшись удачно подвернувшейся просьбой продлить срок приема решений. Дополнительное время не пропало даром. И ведущий и конкурсанты обнаружили некоторые ошибки и неточности в решениях. Во всех, кроме одного, в котором ошибок найти не удалось (или, все же, пока не удалось?). Желающие могут попробовать определить это решение из приводимого ниже списка начисленных призовых баллов (а также попытаться найти ошибки и в этом решении).
-Проективную плоскость разбили несколькими прямыми общего положения. При этом образовалось ровно 17 треугольников. Сколько пятиугольников могло при этом получиться?
+**Награды**
-----
+За решение задачи ММ269 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\
+Олег Полубасов - 18;\\
+Мераб Левиашвили - 16;\\
+Анатолий Казмерчук - 13;\\
+Константин Шамсутдинов - 13;\\
+Василий Дзюбенко - 11;\\
+Александр Романов - 11;\\
+Виктор Филимоненков - 11;\\
+Денис Овчинников - 7.
-====== Разбор задач ======
+**Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла**
 ----
-===== ММ234 =====
-**Конкурсная задача ММ234** (5 баллов)
-Функция g(n) натурального аргумента n задается так:\\
+===== ММ268 =====
-Пусть n натуральное число. Определим  f(n) как число, полученное удалением последней цифры из десятичной записи n, увеличенное на квадрат этой цифры.\\
-Например, f(576) = 57 + 36 = 93.\\
-Тогда g(n)  = |{n, f(n), f(f(n)), f(f(f(n))), …}|.\\
-Пусть a и b  –  2018-значные числа. Может ли оказаться, что g(a) = g(b) + 26?
-**Решение**
+**Конкурсная задача ММ268** (9 баллов)
-Привожу решения {{:marathon:мм234-варламов.pdf|Юрия Варламова}} (минималистическое) и {{:marathon:dziudenko_mm234.pdf|Василия Дзюбенко}} (более развернутое).
+Назовем натуральное число m допустимым, если существует такое n, что из чисел 1,2,…,n можно составить сумму произведений, в которой каждое число встречается ровно один раз, равную m. Сколько существует недопустимых чисел?
-**Обсуждение**
+Примечание: в суммах произведений допускаются одиночные слагаемые. Например, число 148 допустимо, поскольку 148=1·3 + 2·5·8 + 4 + 6·9 + 7.
-Большая разрядность чисел в условии, кроме очевидной отсылки к году проведения конкурса, призвана устранить прямое переборное решение.
+[[problem 268|Решение задачи ММ268]]
-Но, разумеется, это лишь некая "дымовая завеса". Разность 26 достигается уже для трехзанчных чисел и больше не меняется с ростом разрядности. Я полагаю, что это заметили все конкурсанты. Но, в условиях дефицита красивых обобщений, я поощрил дополнительным тех, кто явно сформулировал этот момент.
-Еще один дополнительный балл, получил vpb (за лемму, без которой в решении вполне можно обойтись :-)). И это тоже свидетельство некоторой тоски ведущего о реально серьезных обобщениях и интересных аналогах конкурсных задач.\\
-Я был почти уверен, что многие конкурсанты рассмотрят наиболее напрашивающиеся аналоги ММ234 для других систем счислеия, других степеней последней цифры. И, возможно, иные.\\
-Однако, к другим системам счисления обратился лишь Владимир Дорофеев. Он заметил, что аналог петли 89 имеется для всех оснований ситемы счисления, больших 2, и наличие петель для систем с основанием k<sup>2</sup>-k+1. Например, в семеричной системе g<sub>7</sub>(13)=g<sub>7</sub>(24)=1. Однако и Владимир не пошел дальше рассмотрения одноэлементных циклов.
-Честно признаюсь, и сам ведущий поленился рассматривать естественные обобщения данной задачи. В отличие от ряда других.
-**Награды**
+----
-За решение задачи ММ233 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
-Владимир Дорофеев - 6;
-Василий Дзюбенко - 6;
-Анатолий Казмерчук - 6;
-vpb - 6;
-Юрий Варламов - 5;
-Валентина Колыбасова - 5;
-Виктор Филимоненков - 5;
-Евгений Гужавин - 5;
-Владимир Чубанов - 5;
-Владислав Франк - 5.
-**Эстетическая оценка задачи - 4.6 балла**
+===== ММ267 =====
+**Конкурсная задача ММ267** (7 баллов)
+Вася и Петя поспорили. Вася уверен, что среди представлений натурального числа n в виде суммы натуральных слагаемых чаще встречаются те, у которых каждое слагаемое присутствует не более двух раз, чем те, у которых все слагаемые не кратны 3. Петя уверен в обратном. Кто из них прав?
+[[problem 267|Решение задачи ММ267]]
 ----
+===== ММ266 =====
-===== ММ233 =====
+**Конкурсная задача ММ266** (7 баллов)
-**Конкурсная задача ММ233**  (6 баллов)\\
-Очередной отголосок ЕГЭ в Марафоне
-При каких значениях параметра a множество точек плоскости, задаваемых системой \\
+Вася Пупкин выписал дни рождения семерых своих однокурсников, родившихся в январе одного и того же года, что и Вася, и, поэкспериментировав с выписанными числами, заметил два факта:\\
- (x - a + 1)<sup>2</sup> + (y - 3)<sup>2</sup> ≤ 80, \\
+) τ(n<sup>3</sup> )=τ(n)<sup>2</sup>, где n – произведение всех выписанных чисел;\\
-(x - 3)<sup>2</sup> + (y - 4a + 1)<sup>2</sup> ≤ 20a<sup>2</sup>, \\
+) сумма кубов составных чисел больше суммы кубов остальных\\.
--  2a = |4x + 3y + 115 - a| + |4x + 3y - 115 + a| \\
+Найдите дни рождения Васиных товарищей, если известно, что все они младше Васи.
-является кругом?
-[[problem 233|Решение задачи ММ233]]
+Примечание: при сравнении возрастов учитываются дни, но не часы рождения.
-**Решение**
+[[problem 266|Решение задачи ММ266]]
-Привожу решения {{:marathon:мм233-варламов_.pdf|Юрия Варламова}} и {{:marathon:ariadna_мм233.pdf|Валентины Колыбасовой}}.
+----
-**Обсуждение**
+===== ММ265 =====
-Валентина Колыбасова прислала симпатичную анимацию в качестве иллюстрации к решению. Но опубликовать ее не позволяет здешний движок. Замечу, что сам ведущий неоднократно прибегал к такому способу самоконтроля. В том числе, и при составлении этой задачки.
+**Конкурсная задача ММ265** (5 баллов)
-Согласен с теми, кому задача показалась достаточно рутинной. Причем (см. подзаголовок) заранее согласен. По-видимому, иногда моя работа в качестве эксперта ЕГЭ вторгается в мою деятельность в качестве ведущего Марафона.
+Разрезать правильный треугольник на наименьшее возможное количество прямоугольных треугольников так, чтобы никакие два из возникших треугольников не были подобны.
-Однако отсутствие каких-то нестандартных шагов в решении не сделало задачу совсем уж легкой. До верного ответа добрались не все. Но разным причинам (один просчитался, а другой поленился) Владислав Франк и Владимир Чубанов потеряли (разные) куски решения. Я долго думал, какой из грехов хуже. Но так и не определился, что видно по присужденным баллам. В каждом из случаев штраф был невелик, поскольку участники продемонстрировали "потенциально верные" решения.\\
-Ответ Василия Дзюбенко также отличается от канонического. Но по иной причине. Василий прямо указал, что считает точку кругом нулевого радиуса. Я не стал с этим спорить, тем более, что, будучи последовательным, Василий включил в ответ не только случай $a=0$, но и случаи, когда меньший круг лежит внутри большего и касается полосы внешним образом.\\
-А вот самый юный участник Марафона начал с фальстарта. Верно определив круги и полосу, он запутался в их взаимном расположении. Такое решение я оценил в один балл (в полном соответствии с критериями ЕГЭ).
-**Награды**
+[[problem 265|Решение задачи ММ265]]
-За решение задачи ММ233 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\
+----
-Евгений Гужавин - 5;\\
-Анатолий Казмерчук - 5;\\
+===== ММ264 =====
-Юрий Варламов - 5;\\
-Валентина Колыбасова - 5;\\
+**Конкурсная задача ММ264** (4 балла)
-Виктор Филимоненков - 5;\\
-Василий Дзюбенко - 5;\\
+Назовем пару натуральных чисел a и b аддитивной, если τ(a+b)=τ(a)+τ(b),σ(a+b)=σ(a)+σ(b)  и φ(a+b)=φ(a)+φ(b).
-Владимир Чубанов - 4;\\
+Доказать, что существует бесконечно много аддитивных пар.\\
-Владислав Франк - 4.\\
-Лев Песин - 1.
+(τ(n), σ(n), φ(n) - количество натуральных делителей, сумма натуральных делителей и функция Эйлера соответственно.)
+[[problem 264|Решение задачи ММ264]]
-**Эстетическая оценка задачи - 4.1 балла**
 ----
-===== ММ232 =====
+===== ММ263 =====
+ **Конкурсная задача ММ263** (4 балла)
-**Конкурсная задача ММ232**  (6 баллов)
-Сколько решений в натуральных числах,  имеет уравнение **x<sup>3</sup> + y<sup>3</sup> = z<sup>3</sup> - i** для каждого  **i ∈ {1, 2, 4}** ?
+Сколько решений может иметь уравнение [3x]{x} – [x]{3x} = c, в зависимости от значения параметра c?\\
-Я нашел воистину замечательные ответы на эти вопросы, но поля...
+([x] и {x} означают соответственно целую часть (пол) и дробную часть числа x.)
-Надеюсь, у конкурсантов с полями все хорошо.
+[[problem 263|Решение задачи ММ263]]
-[[problem 232|Решение задачи ММ232]]
 ----
-===== ММ231 =====
+===== ММ262 =====
-**Конкурсная задача ММ231**  (4 балла)
+**Конкурсная задача ММ262** (3 балла)
-На сторонах AB, BC и AC египетского треугольника ABC выбрали точки C<sub>1</sub>, A<sub>1</sub> и B<sub>1</sub> соответственно. Оказалось, что треугольники AB<sub>1</sub>C<sub>1</sub>, BC<sub>1</sub>A<sub>1</sub> и CA<sub>1</sub>B<sub>1</sub> равновелики. Какую часть площади ABC составляет площадь треугольника A<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C<sub>1</sub> при условии, что последний - прямоугольный?
+Разносторонний треугольник назовем прогрессивным, если длины его сторон образуют арифметическую прогрессию.
+Доказать, что треугольник прогрессивен тогда и только тогда, когда прямая, проходящая через точку Нагеля и центр Шпикера, параллельна средней стороне.
-[[problem 231|Решение задачи ММ231]]
+Примечание: тривиальное решение (недаром цена задачи всего 3 балла) на ЕГЭ бы не приняли, но у нас, слава Богу, не ЕГЭ :-)
+[[problem 262|Решение задачи ММ262]]
 ----
+===== ММ261 =====
+**Конкурсная задача ММ261** (4 балла)
+Натуральные числа 1, 2, 3, ..., 100 разбили на 10 групп по 10 чисел. Найти наибольшую возможную сумму НОД этих десяток.
+[[problem 261|Решение задачи ММ261]]
+----
 ~~NOTOC~~