• Правила марафона
• Рейтинг участников
• Архив Марафона

Стартовал 24-й конкурс в рамках Математического марафона

Вслед за 23-м 24-й конкурс не посвящен какой-то единой тематике. Наоборот, я стремился сделать задачи максимально разнообразными. Ну или почти максимально разнообразными: любимая комбинаторная геометрия представлена таки несколькими задачами. Впрочем, и в рамках этой тематики тоже наблюдается разнообразие.

Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания, выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными, а другие - не очень. На вкус и на цвет…

Но если любите поломать голову над нестандартными задачами, участвуйте, не стесняйтесь.

Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас.

Не забывайте, пожалуйста, присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале.

Ведущий Марафона — Vladimir letsko

Конкурсная задача ММ235 (7 баллов)

Решения принимаются до 06.10.2018

Существует ли выпуклый многогранник, у которого равны: количество ребер; количество диагоналей; суммарное количество диагоналей граней?

Конкурсная задача ММ236 (7 баллов)

Решения принимаются до 13.10.2018

Натуральные числа от 1 до 4n разбили на 4 группы по n чисел в каждой. Оказалось, что произведение всех чисел из первой группы равно произведениям всех чисел из второй и третьей групп.
Найти наименьшую возможную сумму чисел четвертой группы.

Конкурсная задача ММ237 (7 баллов)

Решения принимаются до 20.10.2018

Студент математического факультета Вася Пупкин написал на доске некоторую перестановку A из S₁₀ в виде произведения независимых циклов (запись каждого цикла начинается с наименьшего элемента; опускались ли в записи циклы длины 1 - неизвестно). Васины однокурсники прокомментировали эту запись.

Аня: A⁶ – тождественная перестановка.
Ваня: Длины всех циклов A – числа Фибоначчи.
Даня: В S₁₀ существует ровно 3 перестановки, квадрат которых равен A.
Маня: Хм, уравнение X² =B не может иметь в S₁₀ ровно 3 решения ни при каком B.
Саня: Более того, количество решений уравнения X² =B в S₁₀ не может быть нечетным ни при каком B.
Таня: Квадрат наибольшего элемента в самом длинном цикле меньше порядка A.
Зина: A⁵ имеет столько же циклов, сколько и A.
Лина: Внутри всех циклов элементы строго возрастают.
Нина: Произведение всех элементов одного из циклов кратно произведению всех элементов более длинного цикла и сумме всех элементов более короткого.
Фаина: Зина, Лина и Нина правы.

Вася (умница и отличник) заметил, что количество верных утверждений его однокурсников равно наибольшей длине цикла в A.
Найдите A.

Конкурсная задача ММ238 (7 баллов)

Решения принимаются до 27.10.2018

Вася написал на доске k последовательных натуральных чисел и нашел их НОК - V.
Петя написал k последовательных натуральных чисел, больших Васиных, и тоже нашел их НОК - P.
Оказалось, что 2018 < V/P < 2019.
При каком наименьшем k такое возможно?

Конкурсная задача ММ239 (10 баллов)

Решения принимаются до 17.11.2018

Существует ли выпуклый многогранник, у которого:
a) не менее половины граней - семиугольники;
b) более половины граней - семиугольники;
с) не менее половины граней - восьмиугольники;
d) более половины граней - восьмиугольники;
e) не менее половины граней - девятиугольники?

Примечание: Если у вас получается, что ответ на пункт «а» отрицательный, а на пункт «b» - положительный, подумайте еще.

Конкурсная задача ММ2409 (13 баллов)

Решения принимаются до 01.12.2018

Проективную плоскость разбили несколькими прямыми общего положения. При этом образовалось ровно 17 треугольников. Сколько пятиугольников могло при этом получиться?

Конкурсная задача ММ234 (5 баллов)

Функция g(n) натурального аргумента n задается так:
Пусть n натуральное число. Определим f(n) как число, полученное удалением последней цифры из десятичной записи n, увеличенное на квадрат этой цифры.
Например, f(576) = 57 + 36 = 93.
Тогда g(n) = |{n, f(n), f(f(n)), f(f(f(n))), …}|.
Пусть a и b – 2018-значные числа. Может ли оказаться, что g(a) = g(b) + 26?

Решение

Привожу решения Юрия Варламова (минималистическое) и Василия Дзюбенко (более развернутое).

Обсуждение

Большая разрядность чисел в условии, кроме очевидной отсылки к году проведения конкурса, призвана устранить прямое переборное решение. Но, разумеется, это лишь некая «дымовая завеса». Разность 26 достигается уже для трехзанчных чисел и больше не меняется с ростом разрядности. Я полагаю, что это заметили все конкурсанты. Но, в условиях дефицита красивых обобщений, я поощрил дополнительным тех, кто явно сформулировал этот момент. Еще один дополнительный балл, получил vpb (за лемму, без которой в решении вполне можно обойтись ). И это тоже свидетельство некоторой тоски ведущего о реально серьезных обобщениях и интересных аналогах конкурсных задач.
Я был почти уверен, что многие конкурсанты рассмотрят наиболее напрашивающиеся аналоги ММ234 для других систем счислеия, других степеней последней цифры. И, возможно, иные.
Однако, к другим системам счисления обратился лишь Владимир Дорофеев. Он заметил, что аналог петли 89 имеется для всех оснований ситемы счисления, больших 2, и наличие петель для систем с основанием k²-k+1. Например, в семеричной системе g₇(13)=g₇(24)=1. Однако и Владимир не пошел дальше рассмотрения одноэлементных циклов. Честно признаюсь, и сам ведущий поленился рассматривать естественные обобщения данной задачи. В отличие от ряда других.

Награды

За решение задачи ММ233 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Владимир Дорофеев - 6;
Василий Дзюбенко - 6;
Анатолий Казмерчук - 6;
vpb - 6;
Юрий Варламов - 5;
Валентина Колыбасова - 5;
Виктор Филимоненков - 5;
Евгений Гужавин - 5;
Владимир Чубанов - 5;
Владислав Франк - 5.

Эстетическая оценка задачи - 4.6 балла

Конкурсная задача ММ233 (6 баллов)
Очередной отголосок ЕГЭ в Марафоне

При каких значениях параметра a множество точек плоскости, задаваемых системой
(x - a + 1)² + (y - 3)² ≤ 80,
(x - 3)² + (y - 4a + 1)² ≤ 20a²,
230 - 2a = |4x + 3y + 115 - a| + |4x + 3y - 115 + a|
является кругом?

Решение задачи ММ233

Конкурсная задача ММ232 (6 баллов)

Сколько решений в натуральных числах, имеет уравнение x³ + y³ = z³ - i для каждого i ∈ {1, 2, 4} ?

Я нашел воистину замечательные ответы на эти вопросы, но поля… Надеюсь, у конкурсантов с полями все хорошо.

Решение задачи ММ232

Конкурсная задача ММ231 (4 балла)

На сторонах AB, BC и AC египетского треугольника ABC выбрали точки C₁, A₁ и B₁ соответственно. Оказалось, что треугольники AB₁C₁, BC₁A₁ и CA₁B₁ равновелики. Какую часть площади ABC составляет площадь треугольника A₁B₁C₁ при условии, что последний - прямоугольный?

Решение задачи ММ231