Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

marathon:about [2018/10/07 10:31]
letsko [ММ234]
marathon:about [2021/06/17 17:02] (текущий)
letsko [Текущие задачи]
Строка 1: Строка 1:
- ====== Математический марафон ======+====== Математический марафон ======
  
 {{ :​marathon:​konkurs.gif}} {{ :​marathon:​konkurs.gif}}
Строка 8: Строка 8:
  
 ---- ----
 +**Завершен XXVII конкурс вамках Математического марафона**
  
-Стартовал **24-й ​конкурс в рамках Математического марафона**+**Мои поздравления победителю ​конкурса, Мерабу Левиашвили,​ призерам, Анатолию Казмерчуку и Олегу Полубасову, ​а также всем тем, кто составил им достойную конкуренцию**
  
-Вслед за 23-м 24-й конкурс не посвящен какой-то единой тематике. ​ 
-Наоборот,​ я стремился сделать задачи максимально разнообразными. Ну или почти максимально разнообразными:​ любимая комбинаторная геометрия представлена таки несколькими задачами. Впрочем,​ и в рамках этой тематики тоже наблюдается разнообразие. 
  
 Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания,​ выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными,​ а другие - не очень. На вкус и на цвет... Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания,​ выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными,​ а другие - не очень. На вкус и на цвет...
  
-Но если любите поломать голову над нестандартными задачами,​ участвуйте,​ не стесняйтесь.+Но если ​вы любите поломать голову над нестандартными задачами,​ участвуйте,​ не стесняйтесь.
  
 Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас. Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас.
  
 Не забывайте,​ пожалуйста,​ присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале. ​ Не забывайте,​ пожалуйста,​ присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале. ​
----- 
  
  ​Ведущий Марафона  ​Ведущий Марафона
 --- //​[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]// --- //​[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]//
  
 +[[Afterword XXVII |Послесловие к XXVII конкурсу]]
 +
 +----
  
  
 ====== Текущие задачи ====== ====== Текущие задачи ======
 +----
 +**На данный момент отсутствуют.**
 ---- ----
  
  
-===== ММ236 ​===== +====== Разбор задач ====== 
-**Конкурсная задача ММ236** (7 баллов) +---- 
- +===== 
-Решения принимаются ​до __13.10.2018__+Вектором граней выпуклого многогранника P назовем набор [f<​sub>​3</​sub>,​ f<​sub>​4</​sub>,​ …, f<​sub>​s</​sub>​],​ где f<​sub>​i</​sub>​ – количество i-угольных граней P, а s - наибольшее число сторон грани. Будем говорить, что P относится ​к классу m, если max(f<​sub>​i</​sub>​) = m.
  
-Натуральные числа от 1 до 4n разбили на 4 группы по n чисел в каждой. Оказалось,​ что произведение всех чисел из первой группы равно произведениям всех чисел из второй и третьей групп. \\ 
-Найти наименьшую возможную сумму чисел четвертой группы. 
 ---- ----
  
  
-===== ММ237 ===== +**Конкурсная задача ММ270** (16 баллов)
-**Конкурсная задача ММ237** (баллов)+
  
-Решения принимаются до __20.10.2018__+Найти наибольшее возможное количество граней многогранника класса m.
  
-Студент математического факультета Вася Пупкин написал на доске некоторую перестановку A из S<​sub>​10</​sub> ​ в виде произведения независимых циклов (запись каждого цикла начинается с наименьшего элемента; опускались ли в записи циклы длины 1  - неизвестно). ​ Васины однокурсники прокомментировали эту запись.+**Решение**
  
-Аня: A<​sup>​6</​sup> ​ – тождественная перестановка.\\ +Привожу решения ​призеров ​конкурса, {{:​marathon:​mm_270_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}} и {{:marathon:kazmerchuk_mm_270.pdf|Анатолия Казмерчука}}, а также обобщение задачи победителя конкурса {{:​marathon:​обобщение-мм270.docx|Мераба Левиашвили}} .
-Ваня: Длины всех циклов A – числа Фибоначчи.\\ +
-Даня: В S<​sub>​10</​sub>​ существует ​ровно 3 перестановки, квадрат которых равен A.\\ +
-Маня: Хм, уравнение X<​sup>​2</​sup>​ =B не может иметь в S<​sub>​10</​sub> ​ровно 3 решения ни при каком B.\\ +
-Саня: Более того, количество решений ​уравнения X<​sup>​2</​sup>​ =B в S<​sub>​10</​sub>​ не может ​быть нечетным ​ ни при каком B.\\ +
-ТаняКвадрат ​наибольшего элемента в самом длинном цикле меньше порядка A.\\ +
-Зина: A<​sup>​5</​sup> ​ имеет столько же циклов, сколько и A.\\ +
-Лина: Внутри всех циклов элементы строго возрастают.\\ +
-Нина: Произведение всех элементов одного из циклов ​кратно произведению всех элементов более длинного цикла и сумме ​всех элементов более короткого.\\ +
-Фаина: Зина, ​Лина и Нина правы.+
  
-Вася (умница и отличник) заметил,​ что количество верных утверждений его однокурсников равно наибольшей длине цикла в A.\\ +**Обсуждение**
-Найдите A.  +
-----+
  
 +В отличие от ММ269, где вопрос задачи был сформулирован для частных значений m, а обобщали его сами конкурсанты,​ в ММ270 сразу же был сформулирован общий вопрос. Объясняется это просто. В ММ269 ответа на общий вопрос ведущий на момент опубликования задачи не знал (и даже склонялся,​ но, к счастью не "​доказал"​ неверный ответ). А для ММ270 у меня был верный обоснованный ответ.
  
-===== ММ238 ===== +Эта ситуация выбила почву из под ног большинства любителей обобщений. Да, практически все, решившие ​ММ270, нашли заодно и наибольшие ​количества вершин и ребер m-многогранников. Но ответы на эти вопросы становятся очевидны при успешном решении основной ​задачи. Единственным,​ кто изыскал возможности пообобщать стал ​Мераб Левиашвили. Он перешел от рассмотрения многогранников к рассмотрению простых ​(каждая вершина имеет степень n) политопов размерностей, ​больших 3. У таких политопов существуют грани разных размерностей. Соответственно можно рассматривать разные аналоги m-многогранников. Мераб остановился на случае двумерных граней. На основании известных соотношений Дена-Соммервиля он получил наименьшие значения m, для которых существуют n-мерные политопы класса m и верхние оценки для числа граней таких политопов для n \in {4, 5}, а также некоторые оценки для n \in {6, 7, 8}. Я привожу только обобщение задачи (присланное Мерабом отдельным документом), в том числе, и по причине слишком большого веса основного решения.
-**Конкурсная задача ММ238** ​(баллов)+
  
-Решения принимаются до __27.10.2018__+Во всех присланных решениях имеется содержится ответ 7m-4 для больших значений m. Разнятся эти решения ​степенью гипотетичности и обоснованности данного ответа,​ а также количеством частных значений m, подтверждающих данную гипотезу (это касается ​решений,​ где 7m-4 именно гипотеза). 
 + 
 + 
 +**Награды** 
 + 
 +За решение задачи ММ270 участники Марафона получают следующие призовые баллы:​\\ 
 +Мераб Левиашвили - 18;\\ 
 +Олег Полубасов - 16;\\ 
 +Анатолий Казмерчук - 16;\\ 
 +Александр Романов - 16;\\ 
 +Константин Шамсутдинов - 10;\\ 
 +Виктор Филимоненков - 10;\\ 
 +Денис Овчинников - 8.\\ 
 + 
 +Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла
  
-Вася написал на доске k последовательных натуральных чисел и нашел их НОК - V.\\ 
-Петя написал k последовательных натуральных чисел, больших Васиных,​ и тоже нашел их НОК - P. \\ 
-Оказалось,​ что ​ 2018 < V/P < 2019. \\ 
-При каком наименьшем k такое возможно?​ 
 ---- ----
  
  
-===== ММ239 ===== +===== ММ269 =====
-**Конкурсная задача ММ239** (10 баллов)+
  
-Решения принимаются до __17.11.2018__+ ​**Конкурсная ​задача ММ269** (11 баллов)
  
-Существует ли выпуклый многогранник, у которого:​\\ +Какова максимальная возможная степень вершины ​выпуклого многогранника\\  
-a) не менее половины ​граней - семиугольники;\\ +aкласса 3;\\ 
-b) более половины граней - семиугольники;​ \\ +bкласса 4?
-с) не менее половины ​граней - восьмиугольники;\\ +
-dболее половины граней - восьмиугольники;\\ +
-eне менее половины граней ​ - девятиугольники?+
  
-//Примечание: Если у вас получается,​ что ответ ​на пункт «а» отрицательный,​ а на пункт «b» - положительный,​ подумайте еще.// +**Решение**
  
-----+Привожу решения {{:​marathon:​mm269_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}},​ {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_269.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:​marathon:​shamsutdinov_mm269.docx|Константина Шамсутдинова}}.
  
 +**Обсуждение** ​
  
-===== ММ240 ===== +Согласно традициям ​Марафона последние задачи каждого конкурса имеют повышенную сложность. Эта традиция сохранилась и в данном конкурсе.  
-**Конкурсная задача ММ2409** (13 баллов)+Результатом этого усложнения чаще всего был отток значительной части конкурсантов. А эта традиция неожиданно была нарушена! Из тех, кто регулярно участвовал в нынешнем конкурсе,​ не прислали решения ​ММ269 всего два человека. А остальные порадовали,​ но не пощадили ведущего :-) Впрочем,​ после моей мольбы, все же сжалились, сократив самое длинное из решений на 40(!страниц.
  
-Решения принимаются до __01.12.2018__+Разумеется,​ основные страсти кипели вокруг обобщения задачи,​ очевидного по постановке вопроса. Но только по постановке. Да-да, ответ 3m-3 не годится! 
 +В какой-то момент у меня имелось три решения, в которых ​приводилась и обосновывалась точная формула для максимальной возможной степени вершины m-многогранника. Точнее,​ три разных формулы,​ дающих разные ответы :-)\\ 
 +Понимая,​ что ​ситуация, когда "​Вася и Петя ​оба правы",​ маловероятна,​ ведущий был вынужден углубиться в многостраничные трактаты,​ воспользовавшись удачно подвернувшейся просьбой продлить срок приема решенийДополнительное время не пропало даром. И ведущий и конкурсанты обнаружили некоторые ошибки и неточности в решениях. Во всех, кроме одного,​ в котором ошибок найти не удалось (или, все же, пока не удалось?​). Желающие могут попробовать определить это решение из приводимого ниже списка начисленных призовых баллов (а также попытаться найти ошибки и в этом решении)
  
-Проективную плоскость ​разбили несколькими прямыми общего положения. При этом образовалось ровно 17 треугольников. Сколько пятиугольников ​могло при этом получиться?+**Награды** 
 + 
 +За решение задачи ММ269 участники Марафона получают следующие ​призовые баллы: \\ 
 +Олег Полубасов - 18;\\ 
 +Мераб ​Левиашвили ​- 16;\\ 
 +Анатолий Казмерчук - 13;\\ 
 +Константин Шамсутдинов - 13;\\ 
 +Василий Дзюбенко - 11;\\ 
 +Александр Романов - 11;\\ 
 +Виктор Филимоненков ​- 11;\\ 
 +Денис Овчинников ​- 7. 
 + 
 +**Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла**
 ---- ----
  
  
-====== ​Разбор задач ======+===== ММ268 ​===== 
 + 
 +**Конкурсная задача ММ268** (9 баллов) 
 + 
 +Назовем натуральное число m допустимым,​ если существует такое n, что из чисел 1,2,…,n можно составить сумму произведений, в которой каждое ​число встречается ровно один раз, равную m. Сколько существует недопустимых чисел?  
 + 
 +Примечание:​ в суммах произведений допускаются одиночные слагаемые. Например,​ число 148 допустимо,​ поскольку 148=1·3 + 2·5·8 + 4 + 6·9 + 7. 
 + 
 +[[problem 268|Решение задачи ММ268]] 
 ---- ----
  
-===== ММ235 ===== 
-**Конкурсная задача ММ235** (7 баллов) 
  
-Существует ли выпуклый многогранник,​ у которого равны: количество ребер; количество диагоналей;​ суммарное количество диагоналей граней?​ 
  
-**Решение**+===== ММ267 =====
  
-Привожу решения {{:​marathon:​fiviol_мм235.docx|Виктора Филимоненкова}} и {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_235.docx|Анатолия Казмерчука}}.+**Конкурсная ​задача ​ММ267** (7 баллов)
  
-**Обсуждение** +Вася и Петя поспорили. Вася ​уверен, что среди представлений натурального числа n в виде суммы натуральных слагаемых чаще встречаются те, у которых каждое слагаемое присутствует не более двух раз, чем те, у которых все слагаемые не кратны 3. Петя уверен в обратном. Кто из них прав?
  
-Некоторые участники конкурса посчитали стартовую цены ММ235 завышенной. Но тот факт, что сразу несколько конкурсантов,​ приславших решение предыдущих ​задач, не отозвались на ММ235, свидетельствует,​ что задачка не так уж и проста.+[[problem 267|Решение задачи ММ267]]
  
-В качестве верного ответа засчитывалось предъявление требуемого многогранника в любой форме: изображение в параллельной проекции,​ граф, словесное конструирования путем разрезания и наращивания известных тел, модель (правда,​ моделей никто не прислал :-))+----
  
-Один дополнительный балл начислялся либо перечисление всех (с точностью до вектора граней) подходящих многогранников,​ либо за доказательства конечности их числа. Естественно наличие обоих данных условий давало два балла. ​+===== ММ266 =====
  
-**Награды**+**Конкурсная задача ММ266** (7 баллов)
  
-За решение ​задачи ММ235 ​участники ​Марафона получают следующие призовые баллы:\\  +Вася Пупкин выписал дни ​рождения семерых своих однокурсников, родившихся в январе одного и того же года, что ​и Вася, и, поэкспериментировав с выписанными числами, заметил два факта:\\  
-Анатолий Казмерчук - 9;\\ +1) τ(n<​sup>​3</​sup>​ )=τ(n)<​sup>​2</​sup>,​ где n – произведение всех выписанных ​чисел;\\ 
-Виктор Филимоненков ​- 9;\\ +2) сумма ​кубов составных чисел больше суммы ​кубов остальных\\. 
-vpb - 8;\\  +Найдите дни рождения Васиных товарищей, если известно, что все они младше Васи. 
-Константин ​Шамсутдинов ​- 8;\\ + 
-Валентина Колыбасова - 8;\\ +Примечание: при сравнении возрастов учитываются ​дни, но не часы рождения. 
-Владимир ​Чубанов ​- 8;\\ + 
-Владислав Франк - 7.+[[problem 266|Решение задачи ММ266]]
  
-**Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла** 
 ---- ----
  
 +===== ММ265 =====
  
-===== ММ234 ===== +**Конкурсная задача ММ265** (5 баллов)
-**Конкурсная задача ММ234** (5 баллов)+
  
-Функция g(n) натурального аргумента n задается так:\\ +Разрезать правильный треугольник на наименьшее возможное количество прямоугольных треугольников так, ​чтобы никакие два из возникших треугольников не были подобны. 
-Пусть натуральное число. Определим  f(n) как ​число, полученное удалением последней цифры из десятичной записи n, увеличенное на квадрат этой цифры.\\ + 
-Например,​ f(576) = 57 + 36 = 93.\\ +[[problem 265|Решение задачи ММ265]]
-Тогда g(n)  = |{n, f(n), f(f(n)), f(f(f(n))), …}|.\\ +
-Пусть a и b  –  2018-значные ​числа. ​Может ли оказаться,​ что g(a) = g(b) + 26?+
  
-[[problem 234|Решение задачи ММ234]] 
 ---- ----
  
 +===== ММ264 =====
  
-===== ММ233 ===== +**Конкурсная задача ММ264** (балла)
-  +
-**Конкурсная задача ММ233**  (баллов)\\ +
-Очередной отголосок ЕГЭ в Марафоне+
  
-При каких ​значениях ​параметра ​a множество точек плоскости, задаваемых системой \\ +Назовем пару натуральных чисел и аддитивной, если τ(a+b)=τ(a)+τ(b),σ(a+b)=σ(a)+σ(b)  ​и φ(a+b)=φ(a)+φ(b).  
- (x - a + 1)<​sup>​2</​sup> ​+ (y - 3)<​sup>​2</​sup>​ ≤ 80\\ +Доказать,​ что существует бесконечно много аддитивных пар.\\ 
-(x - 3)<​sup>​2</​sup> ​+ (y - 4a + 1)<​sup>​2</​sup>​ ≤ 20a<​sup>​2</​sup>,​ \\ + 
- 230 -  2a = |4x + 3y + 115 - a| + |4x + 3y - 115 + a\\ +(τ(n), σ(n), φ(n) - количество натуральных делителей, ​сумма натуральных делителей и функция Эйлера соответственно.) 
-является кругом?+ 
 +[[problem 264|Решение задачи ММ264]]
  
-[[problem 233|Решение задачи ММ233]] 
 ---- ----
  
-===== ММ232 ===== +===== ММ263 ===== 
-  + ​**Конкурсная задача ММ263** (балла)
-**Конкурсная задача ММ232**  (баллов)+
  
-Сколько решений ​в натуральных числах,  ​имеет уравнение ​**x<​sup>​3</​sup>​ + y<​sup>​3</​sup> ​z<​sup>​3</​sup>​ - i** для каждого  **i ∈ {1, 2, 4}** ?+Сколько решений ​может иметь уравнение ​[3x]{x} – [x]{3x} ​c, в зависимости ​от значения параметра c?\\
  
-Я нашел воистину замечательные ​ответы на эти вопросы, ​но поля... +([x] и {x} означают соответственно целую часть (пол) и дробную часть числа x.) 
-Надеюсь, у конкурсантов с полями все хорошо.+ 
 +[[problem 263|Решение задачи ММ263]]
  
-[[problem 232|Решение задачи ММ232]] 
 ---- ----
  
  
-===== ММ231 =====+===== ММ262 =====
    
-**Конкурсная задача ММ231**  (балла)+**Конкурсная задача ММ262** (балла)
  
-На сторонах AB, BC и AC египетского ​треугольника ​ABC выбрали точки C<​sub>​1</​sub>​A<​sub>​1</​sub> ​и B<​sub>​1</​sub> ​соответственно. Оказалось, что треугольники AB<​sub>​1</​sub>​C<​sub>​1</​sub>,​ BC<​sub>​1</​sub>​A<​sub>​1</​sub>​ и CA<​sub>​1</​sub>​B<​sub>​1</​sub> ​равновелики. Какую часть площади ABC составляет площадь треугольника ​A<​sub>​1</​sub>​B<​sub>​1</​sub>​C<​sub>​1</​sub> ​при условии, что последний - прямоугольный?+Разносторонний треугольник ​назовем прогрессивнымесли длины его ​сторон образуют арифметическую прогрессию 
 +Доказать, что треугольник ​прогрессивен тогда и только тогда, когда прямая, ​проходящая через точку Нагеля и центр Шпикерапараллельна средней стороне. 
  
-[[problem ​231|Решение задачи ММ231]]+Примечание:​ тривиальное решение (недаром цена задачи всего 3 балла) на ЕГЭ бы не приняли,​ но у нас, слава Богу, не ЕГЭ :-) 
 + 
 +[[problem ​262|Решение задачи ММ262]]
  
 ---- ----
 +===== ММ261 =====
 + 
 +**Конкурсная задача ММ261** (4 балла)
 +
 +Натуральные числа 1, 2, 3, ..., 100 разбили на 10 групп по 10 чисел. Найти наибольшую возможную сумму НОД этих десяток.
 +
 +[[problem 261|Решение задачи ММ261]]
 +
 +----
 +
  
 ~~NOTOC~~ ~~NOTOC~~
 

 


Страница: [[marathon:about]]

marathon/about.1538897488.txt · Последние изменения: 2018/10/07 10:31 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006