Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Это старая версия документа.


Математический марафон


Стартовал 24-й конкурс в рамках Математического марафона

Вслед за 23-м 24-й конкурс не посвящен какой-то единой тематике. Наоборот, я стремился сделать задачи максимально разнообразными. Ну или почти максимально разнообразными: любимая комбинаторная геометрия представлена таки несколькими задачами. Впрочем, и в рамках этой тематики тоже наблюдается разнообразие.

Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания, выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными, а другие - не очень. На вкус и на цвет…

Но если любите поломать голову над нестандартными задачами, участвуйте, не стесняйтесь.

Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас.

Не забывайте, пожалуйста, присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале.


Ведущий Марафона — Vladimir letsko

Текущие задачи


ММ237

Конкурсная задача ММ237 (7 баллов)

Решения принимаются до 20.10.2018

Студент математического факультета Вася Пупкин написал на доске некоторую перестановку A из S10 в виде произведения независимых циклов (запись каждого цикла начинается с наименьшего элемента; опускались ли в записи циклы длины 1 - неизвестно). Васины однокурсники прокомментировали эту запись.

Аня: A6 – тождественная перестановка.
Ваня: Длины всех циклов A – числа Фибоначчи.
Даня: В S10 существует ровно 3 перестановки, квадрат которых равен A.
Маня: Хм, уравнение X2 =B не может иметь в S10 ровно 3 решения ни при каком B.
Саня: Более того, количество решений уравнения X2 =B в S10 не может быть нечетным ни при каком B.
Таня: Квадрат наибольшего элемента в самом длинном цикле меньше порядка A.
Зина: A5 имеет столько же циклов, сколько и A.
Лина: Внутри всех циклов элементы строго возрастают.
Нина: Произведение всех элементов одного из циклов кратно произведению всех элементов более длинного цикла и сумме всех элементов более короткого.
Фаина: Зина, Лина и Нина правы.

Вася (умница и отличник) заметил, что количество верных утверждений его однокурсников равно наибольшей длине цикла в A.
Найдите A.


ММ238

Конкурсная задача ММ238 (7 баллов)

Решения принимаются до 27.10.2018

Вася написал на доске k последовательных натуральных чисел и нашел их НОК - V.
Петя написал k последовательных натуральных чисел, больших Васиных, и тоже нашел их НОК - P.
Оказалось, что 2018 < V/P < 2019.
При каком наименьшем k такое возможно?


ММ239

Конкурсная задача ММ239 (10 баллов)

Решения принимаются до 17.11.2018

Существует ли выпуклый многогранник, у которого:
a) не менее половины граней - семиугольники;
b) более половины граней - семиугольники;
с) не менее половины граней - восьмиугольники;
d) более половины граней - восьмиугольники;
e) не менее половины граней - девятиугольники?

Примечание: Если у вас получается, что ответ на пункт «а» отрицательный, а на пункт «b» - положительный, подумайте еще.


ММ240

Конкурсная задача ММ2409 (13 баллов)

Решения принимаются до 01.12.2018

Проективную плоскость разбили несколькими прямыми общего положения. При этом образовалось ровно 17 треугольников. Сколько пятиугольников могло при этом получиться?


Разбор задач


ММ236

Конкурсная задача ММ236 (7 баллов)

Натуральные числа от 1 до 4n разбили на четыре группы по n чисел в каждой. Оказалось, что произведение всех чисел из первой группы равно произведениям всех чисел из второй и третьей групп. Найти наименьшую возможную сумму чисел четвертой группы.Существует ли выпуклый многогранник, у которого равны: количество ребер; количество диагоналей; суммарное количество диагоналей граней?

Решение

Привожу решения Виктора Филимоненкова (мне понравилось его доказательство минимальности ответа), Юрия Варламова (с принципиально иным подходом к доказательству минимальности) и Анатолия Казмерчука (с хорошей оценкой на подходящие n для обобщения задачи).

Обсуждение

Наиболее сложной частью решения данной задачи оказалось внимательное прочтение условия. Сразу три конкурсанта решали другую задачу, в которой произведение чисел первой группы равнялось не произедениЯМ чисел из второй и третьей групп, а произведениЮ этих произведений. Причем один из них не «исправился» даже после явного указания на этот момент.

Основным недочетом решения было недостаточно строгое обоснование минимальности найденного ответа. Лично меня вполне убеждает реплика типа «ясно, что с дальнейшим ростом n сумма чисел в 4-й группе будет возрастать». Но балл я, все таки, снимал. Тем более, что я не вовсе не уверен в монотонности этого роста.

Другие неточности были связаны с тем, что один из конкурсантов «прозевал» требуемое разбиение для n=10 и нашел его только для n=11, а другой наоборот не заметил разбиения для n=11. Последнее, правда, вовсе и не требовалось (при наличии разбиения для n=10), но это не повод, чтобы утверждать, что его нет :-)

Задача просто напрашивается на обобщения. Выражу эти обобщения в виде двух предположений:

1. Для любого натурального k найдется натуральное n такое, что числа от 1 до kn, можно разбить на k групп по n чисел так, что произведения чисел во всех группах, за исключением одной, будут одинаковы.
2. Для любого натурального k найдется натуральное n0 такое, что для любого натурального n\ge n0 числа от 1 до kn, можно разбить на k групп по n чисел так, что произведения чисел во всех группах, за исключением одной, будут одинаковы.

Тех конкурсантов, которые высказали подобные гипотезы, я поощрял дополнительным призовым баллом. Еще одним баллом поощрялись оценки снизу для подходящих n для разных количеств групп. Разглядеть следы этих поощрений в разделе «Награды» можно не всегда, поскольку они в значительной мере скомпенсировались штрафами за отмеченные выше недостатки.

Подтвердить первое утверждение мне удалось пока лишь для k=5. Подходящее n оказалось равно 440. Оно хорошо согласуется с оценкой из решения Анатолия и, по-видимому, является минимальным. В особую группу в этом случае можно включить числа:
47, 59, 71, 73, 79, 83, 97, 101, 103, 113, 127, 139, 149, 151, 157, 158, 163, 167, 191, 193, 194, 197, 199, 211, 223, 226, 227, 229, 233, 239, 241, 277, 278, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 382, 383, 386, 389, 394, 397, 398, 401, 409, 417, 419, 421, 422, 431, 433, 439, 554, 557, 562, 563, 566, 569, 571, 573, 577, 586, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 614, 617, 619, 622, 625, 626, 631, 634, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 662, 673, 674, 677, 683, 691, 694, 698, 701, 709, 719, 727, 729, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 831, 839, 843, 849, 853, 857, 859, 863, 877, 879, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 921, 929, 933, 937, 939, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997, 1009, 1013, 1019, 1021, 1031, 1033, 1039, 1049, 1051, 1059, 1061, 1063, 1069, 1077, 1087, 1091, 1093, 1097, 1103, 1109, 1114, 1117, 1123, 1126, 1129, 1138, 1142, 1151, 1153, 1154, 1163, 1171, 1174, 1181, 1186, 1187, 1193, 1198, 1201, 1202, 1213, 1214, 1217, 1223, 1226, 1229, 1231, 1234, 1237, 1238, 1249, 1259, 1262, 1277, 1279, 1282, 1283, 1286, 1289, 1291, 1294, 1297, 1301, 1303, 1306, 1307, 1318, 1319, 1321, 1322, 1327, 1346, 1354, 1361, 1366, 1367, 1373, 1381, 1382, 1399, 1402, 1409, 1418, 1423, 1427, 1429, 1433, 1438, 1439, 1447, 1451, 1453, 1454, 1459, 1466, 1471, 1478, 1481, 1483, 1486, 1487, 1489, 1493, 1499, 1502, 1511, 1514, 1522, 1523, 1531, 1538, 1543, 1546, 1549, 1553, 1559, 1567, 1571, 1574, 1579, 1583, 1594, 1597, 1601, 1607, 1609, 1613, 1618, 1619, 1621, 1622, 1627, 1637, 1642, 1646, 1654, 1657, 1658, 1663, 1667, 1669, 1671, 1678, 1679, 1689, 1693, 1697, 1699, 1706, 1707, 1709, 1713, 1714, 1718, 1721, 1723, 1726, 1731, 1733, 1741, 1747, 1753, 1754, 1759, 1761, 1762, 1766, 1774, 1777, 1779, 1783, 1787, 1789, 1797, 1801, 1803, 1811, 1814, 1817, 1821, 1822, 1823, 1831, 1838, 1839, 1847, 1851, 1857, 1858, 1861, 1867, 1871, 1873, 1874, 1877, 1879, 1882, 1889, 1893, 1894, 1901, 1906, 1907, 1909, 1913, 1923, 1927, 1929, 1931, 1933, 1934, 1937, 1941, 1942, 1949, 1951, 1954, 1959, 1963, 1966, 1973, 1977, 1979, 1982, 1983, 1987, 1993, 1994, 1997, 1999, 2003, 2011, 2017, 2018, 2019, 2026, 2027, 2029, 2031, 2038, 2039, 2041, 2042, 2049, 2053, 2059, 2062, 2063, 2066, 2069, 2073, 2078, 2081, 2083, 2087, 2089, 2098, 2099, 2102, 2103, 2111, 2113, 2122, 2123, 2126, 2127, 2129, 2131, 2137, 2138, 2141, 2143, 2147, 2153, 2157, 2161, 2167, 2173, 2174, 2179, 2181, 2182, 2186, 2189, 2194, 2199 Я, правда, поленился разбивать остальные 1760 чисел отрезка [1..2200] на 4 группы по 440 чисел с произведениями
2504958280188081419921948972441396317993403801235686917189404793494410952319221107430699726426543482893150616818461328275525066728687821299944018804591123621764708436862923779082966701604255562735809 1289805092573842321119037749653748128030277852462704135079581240704766941274957290255116129389746051106781284949262988305500523148052986768314929608953462205114770269799533777220776888022882268969186 8256939455438775400312990802515143584992001317970206751063207265933958654529870772678667922698614937697266272985614883442793368986129518695143853094690122842913111643945798988875703895754483271038238 5182286564472391875215890301211571968504622359098107301057543005228410333158529079435309905796210654850747735976571461993013928271912292976427305555810117105923392750217796599906972251697366242580020 6575367017793348811892036002082886312661321854126266243791495009659816597145491149452188822078532158201083317945464571775879624578222350271609362065397049910467258829985447414830630497759605272939234 1842004607084907601089731497294700874743226451167075020005453698345376641104337205715485217753202924728864257010129270319864299599985377280000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000. Но, учитывая, что произведение этих чисел в точности равно 4-й степени вышеприведенного числа, я уверен, что это возможно.

Что касается второй гипотезы, полагаю, что для k=4 подходит n0=28. Среди n, меньших n0 требуемое разбиение возможно для n \in \{10,11,14,15,18,20,22,23,24,25,26}. Я не искал требуемого разбиения для большинства этих n, ограничившись составлением 4-й группы, для которой произведение остальных чисел является точным кубом. Моя уверенность в том, что n0=28 базируется на том, что бОльших чисел 4-я группа составляется со все возрастающим запасом (из отрезка [1..4n] можно изъять существенно меньше n чисел так, что произведение остальных будет кубом). Но точного доказательства у меня нет.

Награды

За решение задачи ММ236 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Анатолий Казмерчук - 9;
Виктор Филимоненков - 7;
Валентина Колыбасова - 7;
Владислав Франк - 6;
Евгений Гужавин - 7;
Владимир Дорофеев - 7;
Юрий Варламов - 7;
Дмитрий Курашуин - 6;
Владимир Чубанов - 6;
Константин Шамсутдинов -3.

Эстетическая оценка задачи - 4.6 балла


ММ235

Конкурсная задача ММ235 (7 баллов)

Существует ли выпуклый многогранник, у которого равны: количество ребер; количество диагоналей; суммарное количество диагоналей граней?

Решение задачи ММ235

Решение

Привожу решения Виктора Филимоненкова и Анатолия Казмерчука.

Обсуждение

Некоторые участники конкурса посчитали стартовую цены ММ235 завышенной. Но тот факт, что сразу несколько конкурсантов, приславших решение предыдущих задач, не отозвались на ММ235, свидетельствует, что задачка не так уж и проста.

В качестве верного ответа засчитывалось предъявление требуемого многогранника в любой форме: изображение в параллельной проекции, граф, словесное конструирования путем разрезания и наращивания известных тел, модель (правда, моделей никто не прислал :-))

Один дополнительный балл начислялся либо перечисление всех (с точностью до вектора граней) подходящих многогранников, либо за доказательства конечности их числа. Естественно наличие обоих данных условий давало два балла.

Награды

За решение задачи ММ235 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Анатолий Казмерчук - 9;
Виктор Филимоненков - 9;
vpb - 8;
Константин Шамсутдинов - 8;
Валентина Колыбасова - 8;
Владимир Чубанов - 8;
Владислав Франк - 7.

Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла


ММ234

Конкурсная задача ММ234 (5 баллов)

Функция g(n) натурального аргумента n задается так:
Пусть n натуральное число. Определим f(n) как число, полученное удалением последней цифры из десятичной записи n, увеличенное на квадрат этой цифры.
Например, f(576) = 57 + 36 = 93.
Тогда g(n) = |{n, f(n), f(f(n)), f(f(f(n))), …}|.
Пусть a и b – 2018-значные числа. Может ли оказаться, что g(a) = g(b) + 26?

Решение задачи ММ234


ММ233

Конкурсная задача ММ233 (6 баллов)
Очередной отголосок ЕГЭ в Марафоне

При каких значениях параметра a множество точек плоскости, задаваемых системой
(x - a + 1)2 + (y - 3)2 ≤ 80,
(x - 3)2 + (y - 4a + 1)2 ≤ 20a2,
230 - 2a = |4x + 3y + 115 - a| + |4x + 3y - 115 + a|
является кругом?

Решение задачи ММ233


ММ232

Конкурсная задача ММ232 (6 баллов)

Сколько решений в натуральных числах, имеет уравнение x3 + y3 = z3 - i для каждого i ∈ {1, 2, 4} ?

Я нашел воистину замечательные ответы на эти вопросы, но поля… Надеюсь, у конкурсантов с полями все хорошо.

Решение задачи ММ232


ММ231

Конкурсная задача ММ231 (4 балла)

На сторонах AB, BC и AC египетского треугольника ABC выбрали точки C1, A1 и B1 соответственно. Оказалось, что треугольники AB1C1, BC1A1 и CA1B1 равновелики. Какую часть площади ABC составляет площадь треугольника A1B1C1 при условии, что последний - прямоугольный?

Решение задачи ММ231


 

 


Страница: [[marathon:about]]

marathon/about.1539502517.txt · Последние изменения: 2018/10/14 10:35 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006