Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

--- marathon:about [2018/10/14 10:35]
letsko [ММ236]
+++ marathon:about [2021/06/17 17:02] (текущий)
letsko [Текущие задачи]
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
- ====== Математический марафон ======
+====== Математический марафон ======
 {{ :marathon:konkurs.gif}}
@@ Строка 8: / Строка 8: @@
 ----
+**Завершен XXVII конкурс вамках Математического марафона**
-Стартовал **24-й конкурс в рамках Математического марафона**
+**Мои поздравления победителю конкурса, Мерабу Левиашвили, призерам, Анатолию Казмерчуку и Олегу Полубасову, а также всем тем, кто составил им достойную конкуренцию**
-Вслед за 23-м 24-й конкурс не посвящен какой-то единой тематике.
-Наоборот, я стремился сделать задачи максимально разнообразными. Ну или почти максимально разнообразными: любимая комбинаторная геометрия представлена таки несколькими задачами. Впрочем, и в рамках этой тематики тоже наблюдается разнообразие.
 Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания, выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными, а другие - не очень. На вкус и на цвет...
-Но если любите поломать голову над нестандартными задачами, участвуйте, не стесняйтесь.
+Но если вы любите поломать голову над нестандартными задачами, участвуйте, не стесняйтесь.
 Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас.
 Не забывайте, пожалуйста, присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале.
-----
  Ведущий Марафона
 --- //[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]//
+[[Afterword XXVII |Послесловие к XXVII конкурсу]]
+----
 ====== Текущие задачи ======
+----
+**На данный момент отсутствуют.**
 ----
-===== ММ237 =====
+====== Разбор задач ======
-**Конкурсная задача ММ237** (7 баллов)
+----
+=====
-Решения принимаются до __20.10.2018__
+Вектором граней выпуклого многогранника P назовем набор [f<sub>3</sub>, f<sub>4</sub>, …, f<sub>s</sub>], где f<sub>i</sub> – количество i-угольных граней P, а s - наибольшее число сторон грани. Будем говорить, что P относится к классу m, если max(f<sub>i</sub>) = m.
-Студент математического факультета Вася Пупкин написал на доске некоторую перестановку A из S<sub>10</sub>  в виде произведения независимых циклов (запись каждого цикла начинается с наименьшего элемента; опускались ли в записи циклы длины 1  - неизвестно).  Васины однокурсники прокомментировали эту запись.
-Аня: A<sup>6</sup>  – тождественная перестановка.\\
-Ваня: Длины всех циклов A – числа Фибоначчи.\\
-Даня: В S<sub>10</sub> существует ровно 3 перестановки, квадрат которых равен A.\\
-Маня: Хм, уравнение X<sup>2</sup> =B не может иметь в S<sub>10</sub> ровно 3 решения ни при каком B.\\
-Саня: Более того, количество решений уравнения X<sup>2</sup> =B в S<sub>10</sub> не может быть нечетным  ни при каком B.\\
-Таня: Квадрат наибольшего элемента в самом длинном цикле меньше порядка A.\\
-Зина: A<sup>5</sup>  имеет столько же циклов, сколько и A.\\
-Лина: Внутри всех циклов элементы строго возрастают.\\
-Нина: Произведение всех элементов одного из циклов кратно произведению всех элементов более длинного цикла и сумме всех элементов более короткого.\\
-Фаина: Зина, Лина и Нина правы.
-Вася (умница и отличник) заметил, что количество верных утверждений его однокурсников равно наибольшей длине цикла в A.\\
-Найдите A.
 ----
-===== ММ238 =====
+**Конкурсная задача ММ270** (16 баллов)
-**Конкурсная задача ММ238** (7 баллов)
-Решения принимаются до __27.10.2018__
+Найти наибольшее возможное количество граней многогранника класса m.
-Вася написал на доске k последовательных натуральных чисел и нашел их НОК - V.\\
+**Решение**
-Петя написал k последовательных натуральных чисел, больших Васиных, и тоже нашел их НОК - P. \\
-Оказалось, что  2018 < V/P < 2019. \\
-При каком наименьшем k такое возможно?
-----
+Привожу решения призеров конкурса, {{:marathon:mm_270_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}} и {{:marathon:kazmerchuk_mm_270.pdf|Анатолия Казмерчука}}, а также обобщение задачи победителя конкурса {{:marathon:обобщение-мм270.docx|Мераба Левиашвили}} .
-===== ММ239 =====
+**Обсуждение**
-**Конкурсная задача ММ239** (10 баллов)
-Решения принимаются до __17.11.2018__
+В отличие от ММ269, где вопрос задачи был сформулирован для частных значений m, а обобщали его сами конкурсанты, в ММ270 сразу же был сформулирован общий вопрос. Объясняется это просто. В ММ269 ответа на общий вопрос ведущий на момент опубликования задачи не знал (и даже склонялся, но, к счастью не "доказал" неверный ответ). А для ММ270 у меня был верный обоснованный ответ.
-Существует ли выпуклый многогранник, у которого:\\
+Эта ситуация выбила почву из под ног большинства любителей обобщений. Да, практически все, решившие ММ270, нашли заодно и наибольшие количества вершин и ребер m-многогранников. Но ответы на эти вопросы становятся очевидны при успешном решении основной задачи. Единственным, кто изыскал возможности пообобщать стал Мераб Левиашвили. Он перешел от рассмотрения многогранников к рассмотрению простых (каждая вершина имеет степень n) политопов размерностей, больших 3. У таких политопов существуют грани разных размерностей. Соответственно можно рассматривать разные аналоги m-многогранников. Мераб остановился на случае двумерных граней. На основании известных соотношений Дена-Соммервиля он получил наименьшие значения m, для которых существуют n-мерные политопы класса m и верхние оценки для числа граней таких политопов для n \in {4, 5}, а также некоторые оценки для n \in {6, 7, 8}. Я привожу только обобщение задачи (присланное Мерабом отдельным документом), в том числе, и по причине слишком большого веса основного решения.
-a) не менее половины граней - семиугольники;\\
-b) более половины граней - семиугольники; \\
-с) не менее половины граней - восьмиугольники;\\
-d) более половины граней - восьмиугольники;\\
-e) не менее половины граней  - девятиугольники?
-//Примечание: Если у вас получается, что ответ на пункт «а» отрицательный, а на пункт «b» - положительный, подумайте еще.//
+Во всех присланных решениях имеется содержится ответ 7m-4 для больших значений m. Разнятся эти решения степенью гипотетичности и обоснованности данного ответа, а также количеством частных значений m, подтверждающих данную гипотезу (это касается решений, где 7m-4 именно гипотеза).
-----
+**Награды**
-===== ММ240 =====
+За решение задачи ММ270 участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\
-**Конкурсная задача ММ2409** (13 баллов)
+Мераб Левиашвили - 18;\\
+Олег Полубасов - 16;\\
+Анатолий Казмерчук - 16;\\
+Александр Романов - 16;\\
+Константин Шамсутдинов - 10;\\
+Виктор Филимоненков - 10;\\
+Денис Овчинников - 8.\\
-Решения принимаются до __01.12.2018__
+Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла
-Проективную плоскость разбили несколькими прямыми общего положения. При этом образовалось ровно 17 треугольников. Сколько пятиугольников могло при этом получиться?
 ----
-====== Разбор задач ======
+===== ММ269 =====
-----
-===== ММ236 =====
+ **Конкурсная задача ММ269** (11 баллов)
-**Конкурсная задача ММ236** (7 баллов)
+Какова максимальная возможная степень вершины выпуклого многогранника\\
+a) класса 3;\\
-Натуральные числа от 1 до 4n разбили на четыре группы по n чисел в каждой. Оказалось, что произведение всех чисел из первой группы равно произведениям всех чисел из второй и третьей групп. Найти наименьшую возможную сумму чисел четвертой группы.Существует ли выпуклый многогранник, у которого равны: количество ребер; количество диагоналей; суммарное количество диагоналей граней?
+b) класса 4?
 **Решение**
-Привожу решения {{:marathon:fiviol_мм236.docx|Виктора Филимоненкова}} (мне понравилось его доказательство минимальности ответа), {{:marathon:мм236-варламов_.pdf|Юрия Варламова}} (с принципиально иным подходом к доказательству минимальности) и {{:marathon:kazmerchuk_mm_236.docx|Анатолия Казмерчука}} (с хорошей оценкой на подходящие n для обобщения задачи).
+Привожу решения {{:marathon:mm269_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}}, {{:marathon:kazmerchuk_mm_269.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:marathon:shamsutdinov_mm269.docx|Константина Шамсутдинова}}.
 **Обсуждение**
-Наиболее сложной частью решения данной задачи оказалось внимательное прочтение условия. Сразу три конкурсанта решали другую задачу, в которой произведение чисел первой группы равнялось не произедениЯМ чисел из второй и третьей групп, а произведениЮ этих произведений. Причем один из них не "исправился" даже после явного указания на этот момент.
+Согласно традициям Марафона последние задачи каждого конкурса имеют повышенную сложность. Эта традиция сохранилась и в данном конкурсе.
+Результатом этого усложнения чаще всего был отток значительной части конкурсантов. А эта традиция неожиданно была нарушена! Из тех, кто регулярно участвовал в нынешнем конкурсе, не прислали решения ММ269 всего два человека. А остальные порадовали, но не пощадили ведущего :-) Впрочем, после моей мольбы, все же сжалились, сократив самое длинное из решений на 40(!) страниц.
-Основным недочетом решения было недостаточно строгое обоснование минимальности найденного ответа. Лично меня вполне убеждает реплика типа "ясно, что с дальнейшим ростом n сумма чисел в 4-й группе будет возрастать". Но балл я, все таки, снимал. Тем более, что я не вовсе не уверен в монотонности этого роста.
+Разумеется, основные страсти кипели вокруг обобщения задачи, очевидного по постановке вопроса. Но только по постановке. Да-да, ответ 3m-3 не годится!
+В какой-то момент у меня имелось три решения, в которых приводилась и обосновывалась точная формула для максимальной возможной степени вершины m-многогранника. Точнее, три разных формулы, дающих разные ответы :-)\\
+Понимая, что ситуация, когда "Вася и Петя оба правы", маловероятна, ведущий был вынужден углубиться в многостраничные трактаты, воспользовавшись удачно подвернувшейся просьбой продлить срок приема решений. Дополнительное время не пропало даром. И ведущий и конкурсанты обнаружили некоторые ошибки и неточности в решениях. Во всех, кроме одного, в котором ошибок найти не удалось (или, все же, пока не удалось?). Желающие могут попробовать определить это решение из приводимого ниже списка начисленных призовых баллов (а также попытаться найти ошибки и в этом решении).
-Другие неточности были связаны с тем, что один из конкурсантов "прозевал" требуемое разбиение для n=10 и нашел его только для n=11, а другой наоборот не заметил разбиения для n=11. Последнее, правда, вовсе и не требовалось (при наличии разбиения для n=10), но это не повод, чтобы утверждать, что его нет :-)
+**Награды**
-Задача просто напрашивается на обобщения. Выражу эти обобщения в виде двух предположений:
+За решение задачи ММ269 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\
+Олег Полубасов - 18;\\
+Мераб Левиашвили - 16;\\
+Анатолий Казмерчук - 13;\\
+Константин Шамсутдинов - 13;\\
+Василий Дзюбенко - 11;\\
+Александр Романов - 11;\\
+Виктор Филимоненков - 11;\\
+Денис Овчинников - 7.
-. Для любого натурального k найдется натуральное n такое, что числа от 1 до kn, можно разбить на k групп по n чисел так, что произведения чисел во всех группах, за исключением одной, будут одинаковы.\\
+**Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла**
-. Для любого натурального k найдется натуральное n<sub>0</sub> такое, что для любого натурального n\ge n<sub>0</sub> числа от 1 до kn, можно разбить на k групп по n чисел так, что произведения чисел во всех группах, за исключением одной, будут одинаковы.
+----
-Тех конкурсантов, которые высказали подобные гипотезы, я поощрял дополнительным призовым баллом. Еще одним баллом поощрялись оценки снизу для подходящих n для разных количеств групп. Разглядеть следы этих поощрений в разделе "Награды" можно не всегда, поскольку они в значительной мере скомпенсировались штрафами за отмеченные выше недостатки.
-Подтвердить первое утверждение мне удалось пока лишь для k=5. Подходящее n оказалось равно 440. Оно хорошо согласуется с оценкой из решения Анатолия и, по-видимому, является минимальным.
-В особую группу в этом случае можно включить числа:\\
-, 59, 71, 73, 79, 83, 97, 101, 103, 113, 127, 139, 149, 151, 157, 158, 163, 167, 191, 193, 194, 197, 199, 211, 223, 226, 227, 229, 233, 239, 241, 277, 278, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 382, 383, 386, 389, 394, 397, 398, 401, 409, 417, 419, 421, 422, 431, 433, 439, 554, 557, 562, 563, 566, 569, 571, 573, 577, 586, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 614, 617, 619, 622, 625, 626, 631, 634, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 662, 673, 674, 677, 683, 691, 694, 698, 701, 709, 719, 727, 729, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 831, 839, 843, 849, 853, 857, 859, 863, 877, 879, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 921, 929, 933, 937, 939, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997, 1009, 1013, 1019, 1021, 1031, 1033, 1039, 1049, 1051, 1059, 1061, 1063, 1069, 1077, 1087, 1091, 1093, 1097, 1103, 1109, 1114, 1117, 1123, 1126, 1129, 1138, 1142, 1151, 1153, 1154, 1163, 1171, 1174, 1181, 1186, 1187, 1193, 1198, 1201, 1202, 1213, 1214, 1217, 1223, 1226, 1229, 1231, 1234, 1237, 1238, 1249, 1259, 1262, 1277, 1279, 1282, 1283, 1286, 1289, 1291, 1294, 1297, 1301, 1303, 1306, 1307, 1318, 1319, 1321, 1322, 1327, 1346, 1354, 1361, 1366, 1367, 1373, 1381, 1382, 1399, 1402, 1409, 1418, 1423, 1427, 1429, 1433, 1438, 1439, 1447, 1451, 1453, 1454, 1459, 1466, 1471, 1478, 1481, 1483, 1486, 1487, 1489, 1493, 1499, 1502, 1511, 1514, 1522, 1523, 1531, 1538, 1543, 1546, 1549, 1553, 1559, 1567, 1571, 1574, 1579, 1583, 1594, 1597, 1601, 1607, 1609, 1613, 1618, 1619, 1621, 1622, 1627, 1637, 1642, 1646, 1654, 1657, 1658, 1663, 1667, 1669, 1671, 1678, 1679, 1689, 1693, 1697, 1699, 1706, 1707, 1709, 1713, 1714, 1718, 1721, 1723, 1726, 1731, 1733, 1741, 1747, 1753, 1754, 1759, 1761, 1762, 1766, 1774, 1777, 1779, 1783, 1787, 1789, 1797, 1801, 1803, 1811, 1814, 1817, 1821, 1822, 1823, 1831, 1838, 1839, 1847, 1851, 1857, 1858, 1861, 1867, 1871, 1873, 1874, 1877, 1879, 1882, 1889, 1893, 1894, 1901, 1906, 1907, 1909, 1913, 1923, 1927, 1929, 1931, 1933, 1934, 1937, 1941, 1942, 1949, 1951, 1954, 1959, 1963, 1966, 1973, 1977, 1979, 1982, 1983, 1987, 1993, 1994, 1997, 1999, 2003, 2011, 2017, 2018, 2019, 2026, 2027, 2029, 2031, 2038, 2039, 2041, 2042, 2049, 2053, 2059, 2062, 2063, 2066, 2069, 2073, 2078, 2081, 2083, 2087, 2089, 2098, 2099, 2102, 2103, 2111, 2113, 2122, 2123, 2126, 2127, 2129, 2131, 2137, 2138, 2141, 2143, 2147, 2153, 2157, 2161, 2167, 2173, 2174, 2179, 2181, 2182, 2186, 2189, 2194, 2199.\\
-Я, правда, поленился разбивать остальные 1760 чисел отрезка [1..2200] на 4 группы по 440 чисел с произведениями\\
-2504958280188081419921948972441396317993403801235686917189404793494410952319221107430699726426543482893150616818461328275525066728687821299944018804591123621764708436862923779082966701604255562735809
-1289805092573842321119037749653748128030277852462704135079581240704766941274957290255116129389746051106781284949262988305500523148052986768314929608953462205114770269799533777220776888022882268969186
-8256939455438775400312990802515143584992001317970206751063207265933958654529870772678667922698614937697266272985614883442793368986129518695143853094690122842913111643945798988875703895754483271038238
-5182286564472391875215890301211571968504622359098107301057543005228410333158529079435309905796210654850747735976571461993013928271912292976427305555810117105923392750217796599906972251697366242580020
-6575367017793348811892036002082886312661321854126266243791495009659816597145491149452188822078532158201083317945464571775879624578222350271609362065397049910467258829985447414830630497759605272939234
-1842004607084907601089731497294700874743226451167075020005453698345376641104337205715485217753202924728864257010129270319864299599985377280000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
-000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000.
-Но, учитывая, что произведение этих чисел в точности равно 4-й степени вышеприведенного числа, я уверен, что это возможно.
-Что касается второй гипотезы, полагаю, что для k=4 подходит n<sub>0</sub>=28. Среди n, меньших n<sub>0</sub> требуемое разбиение возможно для n \in \{10,11,14,15,18,20,22,23,24,25,26}. Я не искал требуемого разбиения для большинства этих n, ограничившись составлением 4-й группы, для которой произведение остальных чисел является точным кубом.
+===== ММ268 =====
-Моя уверенность в том, что n<sub>0</sub>=28  базируется на том, что бОльших чисел 4-я группа составляется со все возрастающим запасом (из отрезка [1..4n] можно изъять существенно меньше n чисел так, что произведение остальных будет кубом).  Но точного доказательства у меня нет.
+**Конкурсная задача ММ268** (9 баллов)
-**Награды**
+Назовем натуральное число m допустимым, если существует такое n, что из чисел 1,2,…,n можно составить сумму произведений, в которой каждое число встречается ровно один раз, равную m. Сколько существует недопустимых чисел?
+Примечание: в суммах произведений допускаются одиночные слагаемые. Например, число 148 допустимо, поскольку 148=1·3 + 2·5·8 + 4 + 6·9 + 7.
-За решение задачи ММ236 участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\
+[[problem 268|Решение задачи ММ268]]
-Анатолий Казмерчук - 9;\\
-Виктор Филимоненков - 7;\\
-Валентина Колыбасова - 7;\\
-Владислав Франк - 6;\\
-Евгений Гужавин - 7;\\
-Владимир Дорофеев - 7;\\
-Юрий Варламов - 7;\\
-Дмитрий Курашуин - 6;\\
-Владимир Чубанов - 6;\\
-Константин Шамсутдинов -3.
-**Эстетическая оценка задачи - 4.6 балла**
 ----
-===== ММ235 =====
-**Конкурсная задача ММ235** (7 баллов)
-Существует ли выпуклый многогранник, у которого равны: количество ребер; количество диагоналей; суммарное количество диагоналей граней?
+===== ММ267 =====
-[[problem 235|Решение задачи ММ235]]
+**Конкурсная задача ММ267** (7 баллов)
-**Решение**
+Вася и Петя поспорили. Вася уверен, что среди представлений натурального числа n в виде суммы натуральных слагаемых чаще встречаются те, у которых каждое слагаемое присутствует не более двух раз, чем те, у которых все слагаемые не кратны 3. Петя уверен в обратном. Кто из них прав?
-Привожу решения {{:marathon:fiviol_мм235.docx|Виктора Филимоненкова}} и {{:marathon:kazmerchuk_mm_235.docx|Анатолия Казмерчука}}.
+[[problem 267|Решение задачи ММ267]]
-**Обсуждение**
+----
-Некоторые участники конкурса посчитали стартовую цены ММ235 завышенной. Но тот факт, что сразу несколько конкурсантов, приславших решение предыдущих задач, не отозвались на ММ235, свидетельствует, что задачка не так уж и проста.
+===== ММ266 =====
-В качестве верного ответа засчитывалось предъявление требуемого многогранника в любой форме: изображение в параллельной проекции, граф, словесное конструирования путем разрезания и наращивания известных тел, модель (правда, моделей никто не прислал :-))
+**Конкурсная задача ММ266** (7 баллов)
-Один дополнительный балл начислялся либо перечисление всех (с точностью до вектора граней) подходящих многогранников, либо за доказательства конечности их числа. Естественно наличие обоих данных условий давало два балла.
+Вася Пупкин выписал дни рождения семерых своих однокурсников, родившихся в январе одного и того же года, что и Вася, и, поэкспериментировав с выписанными числами, заметил два факта:\\
+) τ(n<sup>3</sup> )=τ(n)<sup>2</sup>, где n – произведение всех выписанных чисел;\\
+) сумма кубов составных чисел больше суммы кубов остальных\\.
+Найдите дни рождения Васиных товарищей, если известно, что все они младше Васи.
-**Награды**
+Примечание: при сравнении возрастов учитываются дни, но не часы рождения.
-За решение задачи ММ235 участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\
+[[problem 266|Решение задачи ММ266]]
-Анатолий Казмерчук - 9;\\
-Виктор Филимоненков - 9;\\
-vpb - 8;\\
-Константин Шамсутдинов - 8;\\
-Валентина Колыбасова - 8;\\
-Владимир Чубанов - 8;\\
-Владислав Франк - 7.
-**Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла**
 ----
+===== ММ265 =====
-===== ММ234 =====
+**Конкурсная задача ММ265** (5 баллов)
-**Конкурсная задача ММ234** (5 баллов)
-Функция g(n) натурального аргумента n задается так:\\
+Разрезать правильный треугольник на наименьшее возможное количество прямоугольных треугольников так, чтобы никакие два из возникших треугольников не были подобны.
-Пусть n натуральное число. Определим  f(n) как число, полученное удалением последней цифры из десятичной записи n, увеличенное на квадрат этой цифры.\\
-Например, f(576) = 57 + 36 = 93.\\
+[[problem 265|Решение задачи ММ265]]
-Тогда g(n)  = |{n, f(n), f(f(n)), f(f(f(n))), …}|.\\
-Пусть a и b  –  2018-значные числа. Может ли оказаться, что g(a) = g(b) + 26?
-[[problem 234|Решение задачи ММ234]]
 ----
+===== ММ264 =====
-===== ММ233 =====
+**Конкурсная задача ММ264** (4 балла)
-**Конкурсная задача ММ233**  (6 баллов)\\
+Назовем пару натуральных чисел a и b аддитивной, если τ(a+b)=τ(a)+τ(b),σ(a+b)=σ(a)+σ(b)  и φ(a+b)=φ(a)+φ(b).
-Очередной отголосок ЕГЭ в Марафоне
+Доказать, что существует бесконечно много аддитивных пар.\\
+(τ(n), σ(n), φ(n) - количество натуральных делителей, сумма натуральных делителей и функция Эйлера соответственно.)
-При каких значениях параметра a множество точек плоскости, задаваемых системой \\
+[[problem 264|Решение задачи ММ264]]
- (x - a + 1)<sup>2</sup> + (y - 3)<sup>2</sup> ≤ 80, \\
-(x - 3)<sup>2</sup> + (y - 4a + 1)<sup>2</sup> ≤ 20a<sup>2</sup>, \\
--  2a = |4x + 3y + 115 - a| + |4x + 3y - 115 + a| \\
-является кругом?
-[[problem 233|Решение задачи ММ233]]
 ----
-===== ММ232 =====
+===== ММ263 =====
+ **Конкурсная задача ММ263** (4 балла)
-**Конкурсная задача ММ232**  (6 баллов)
-Сколько решений в натуральных числах,  имеет уравнение **x<sup>3</sup> + y<sup>3</sup> = z<sup>3</sup> - i** для каждого  **i ∈ {1, 2, 4}** ?
+Сколько решений может иметь уравнение [3x]{x} – [x]{3x} = c, в зависимости от значения параметра c?\\
-Я нашел воистину замечательные ответы на эти вопросы, но поля...
+([x] и {x} означают соответственно целую часть (пол) и дробную часть числа x.)
-Надеюсь, у конкурсантов с полями все хорошо.
+[[problem 263|Решение задачи ММ263]]
-[[problem 232|Решение задачи ММ232]]
 ----
-===== ММ231 =====
+===== ММ262 =====
-**Конкурсная задача ММ231**  (4 балла)
+**Конкурсная задача ММ262** (3 балла)
-На сторонах AB, BC и AC египетского треугольника ABC выбрали точки C<sub>1</sub>, A<sub>1</sub> и B<sub>1</sub> соответственно. Оказалось, что треугольники AB<sub>1</sub>C<sub>1</sub>, BC<sub>1</sub>A<sub>1</sub> и CA<sub>1</sub>B<sub>1</sub> равновелики. Какую часть площади ABC составляет площадь треугольника A<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C<sub>1</sub> при условии, что последний - прямоугольный?
+Разносторонний треугольник назовем прогрессивным, если длины его сторон образуют арифметическую прогрессию.
+Доказать, что треугольник прогрессивен тогда и только тогда, когда прямая, проходящая через точку Нагеля и центр Шпикера, параллельна средней стороне.
-[[problem 231|Решение задачи ММ231]]
+Примечание: тривиальное решение (недаром цена задачи всего 3 балла) на ЕГЭ бы не приняли, но у нас, слава Богу, не ЕГЭ :-)
+[[problem 262|Решение задачи ММ262]]
 ----
+===== ММ261 =====
+**Конкурсная задача ММ261** (4 балла)
+Натуральные числа 1, 2, 3, ..., 100 разбили на 10 групп по 10 чисел. Найти наибольшую возможную сумму НОД этих десяток.
+[[problem 261|Решение задачи ММ261]]
+----
 ~~NOTOC~~