Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

marathon:about [2018/10/14 10:36]
letsko [ММ235]
marathon:about [2021/06/17 17:02] (текущий)
letsko [Текущие задачи]
Строка 1: Строка 1:
- ====== Математический марафон ======+====== Математический марафон ======
  
 {{ :​marathon:​konkurs.gif}} {{ :​marathon:​konkurs.gif}}
Строка 8: Строка 8:
  
 ---- ----
 +**Завершен XXVII конкурс вамках Математического марафона**
  
-Стартовал **24-й ​конкурс в рамках Математического марафона**+**Мои поздравления победителю ​конкурса, Мерабу Левиашвили,​ призерам, Анатолию Казмерчуку и Олегу Полубасову, ​а также всем тем, кто составил им достойную конкуренцию**
  
-Вслед за 23-м 24-й конкурс не посвящен какой-то единой тематике. ​ 
-Наоборот,​ я стремился сделать задачи максимально разнообразными. Ну или почти максимально разнообразными:​ любимая комбинаторная геометрия представлена таки несколькими задачами. Впрочем,​ и в рамках этой тематики тоже наблюдается разнообразие. 
  
 Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания,​ выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными,​ а другие - не очень. На вкус и на цвет... Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания,​ выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными,​ а другие - не очень. На вкус и на цвет...
  
-Но если любите поломать голову над нестандартными задачами,​ участвуйте,​ не стесняйтесь.+Но если ​вы любите поломать голову над нестандартными задачами,​ участвуйте,​ не стесняйтесь.
  
 Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас. Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас.
  
 Не забывайте,​ пожалуйста,​ присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале. ​ Не забывайте,​ пожалуйста,​ присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале. ​
----- 
  
  ​Ведущий Марафона  ​Ведущий Марафона
 --- //​[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]// --- //​[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]//
  
 +[[Afterword XXVII |Послесловие к XXVII конкурсу]]
 +
 +----
  
  
 ====== Текущие задачи ====== ====== Текущие задачи ======
 +----
 +**На данный момент отсутствуют.**
 ---- ----
  
  
-===== ММ237 ​===== +====== Разбор задач ====== 
-**Конкурсная задача ММ237** (7 баллов)+---- 
 +===== 
 +Вектором граней выпуклого многогранника P назовем набор [f<​sub>​3</​sub>,​ f<​sub>​4</​sub>,​ …, f<​sub>​s</​sub>​],​ где f<​sub>​i</​sub>​ – количество i-угольных граней P, а s - наибольшее число сторон грани. Будем говорить, что P относится к классу m, если max(f<​sub>​i</​sub>​= m.
  
-Решения принимаются до __20.10.2018__+----
  
-Студент математического факультета Вася Пупкин написал на доске некоторую перестановку A из S<​sub>​10</​sub> ​ в виде произведения независимых циклов (запись каждого цикла начинается с наименьшего элемента;​ опускались ли в записи циклы длины 1  - неизвестно). ​ Васины однокурсники прокомментировали эту запись. 
  
-Аня: A<​sup>​6</​sup> ​ – тождественная перестановка.\\ +**Конкурсная ​задача ​ММ270** (16 баллов)
-Ваня: Длины всех циклов A – числа Фибоначчи.\\ +
-Даня: В S<​sub>​10</​sub>​ существует ровно 3 перестановки, квадрат которых равен A.\\ +
-Маня: Хм, уравнение X<​sup>​2</​sup>​ =B не может иметь в S<​sub>​10</​sub>​ ровно 3 решения ни при каком B.\\ +
-Саня: Более того, количество решений уравнения X<​sup>​2</​sup>​ =B в S<​sub>​10</​sub>​ не может ​быть нечетным ​ ни при каком B.\\ +
-Таня: Квадрат наибольшего элемента в самом длинном цикле меньше порядка A.\\ +
-Зина: A<​sup>​5</​sup> ​ имеет столько же циклов,​ сколько и A.\\ +
-Лина: Внутри всех циклов элементы строго возрастают.\\ +
-Нина: Произведение всех элементов одного из циклов кратно произведению всех элементов более длинного цикла и сумме всех элементов более короткого.\\ +
-Фаина: Зина, Лина и Нина правы.+
  
-Вася (умница и отличник) ​заметил, что ​количество ​верных утверждений его однокурсников равно наибольшей длине цикла ​в A.\\ +Найти наибольшее возможное количество ​граней ​многогранника класса m.
-Найдите A +
-----+
  
 +**Решение**
  
-===== ММ238 ===== +Привожу решения призеров конкурса, {{:​marathon:​mm_270_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}} и {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_270.pdf|Анатолия Казмерчука}},​ а также обобщение ​задачи победителя конкурса {{:​marathon:​обобщение-мм270.docx|Мераба Левиашвили}} .
-**Конкурсная задача ММ238** (7 баллов)+
  
-Решения принимаются до __27.10.2018__+**Обсуждение**
  
-Вася написал на доске k последовательных натуральных чисел и нашел ​их НОК - V.\\ +В отличие от ММ269, где вопрос задачи был сформулирован для частных ​значений m, а обобщали его сами конкурсанты, в ММ270 ​сразу же был сформулирован общий вопросОбъясняется это ​просто. В ММ269 ответа на общий вопрос ведущий на момент ​опубликования задачи не знал ​(и даже склонялсяно, к счастью не "доказал" неверный ответ). А для ММ270 у меня был ​верный ​обоснованный ответ.
-Петя ​написал k последовательных натуральных чисел, больших Васиных, и тоже нашел их НОК - P. \\ +
-Оказалось, что ​ 2018 < V/P < 2019. \\ +
-При ​каком наименьшем k такое возможно+
-----+
  
 +Эта ситуация выбила почву из под ног большинства любителей обобщений. Да, практически все, решившие ММ270, нашли заодно и наибольшие количества вершин и ребер m-многогранников. Но ответы на эти вопросы становятся очевидны при успешном решении основной задачи. Единственным,​ кто изыскал возможности пообобщать стал Мераб Левиашвили. Он перешел от рассмотрения многогранников к рассмотрению простых (каждая вершина имеет степень n) политопов размерностей,​ больших 3. У таких политопов существуют грани разных размерностей. Соответственно можно рассматривать разные аналоги m-многогранников. Мераб остановился на случае двумерных граней. На основании известных соотношений Дена-Соммервиля он получил наименьшие значения m, для которых существуют n-мерные политопы класса m и верхние оценки для числа граней таких политопов для n \in {4, 5}, а также некоторые оценки для n \in {6, 7, 8}. Я привожу только обобщение задачи (присланное Мерабом отдельным документом),​ в том числе, и по причине слишком большого веса основного решения.
  
-===== ММ239 ===== +Во всех присланных ​решениях имеется содержится ответ 7m-4 для больших значений m. Разнятся эти решения степенью гипотетичности и обоснованности ​данного ответаа также количеством частных значений m, подтверждающих данную гипотезу (это касается решений,​ где 7m-4 именно гипотеза).
-**Конкурсная задача ММ239** (10 баллов)+
  
-Решения принимаются до __17.11.2018__ 
  
-Существует ли выпуклый многогранник, у которого:​\\ +**Награды**
-a) не менее половины ​граней - семиугольники;​\\ +
-b) более половины граней - семиугольники;​ \\ +
-с) не менее половины граней - восьмиугольники;​\\ +
-d) более половины граней - восьмиугольники;​\\ +
-e) не менее половины граней ​ - девятиугольники?​+
  
-//Примечание: Если у вас получается, что ответ на пункт «а» отрицательный, а на пункт ​«b» - положительный, подумайте еще.// +За решение ​задачи ММ270 ​участники Марафона ​получают следующие призовые баллы:\\ 
 +Мераб Левиашвили - 18;\\ 
 +Олег Полубасов - 16;\\ 
 +Анатолий Казмерчук - 16;\\ 
 +Александр Романов - 16;\\ 
 +Константин Шамсутдинов - 10;\\ 
 +Виктор Филимоненков - 10;\\ 
 +Денис Овчинников - 8.\\ 
 + 
 +Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла
  
 ---- ----
  
  
-===== ММ240 ===== +===== ММ269 =====
-**Конкурсная задача ММ2409** (13 баллов)+
  
-Решения принимаются до __01.12.2018__+ ​**Конкурсная ​задача ММ269** (11 баллов)
  
-Проективную плоскость разбили несколькими прямыми общего положения. При этом образовалось ровно 17 треугольников. Сколько пятиугольников могло при этом получиться? +Какова максимальная возможная степень вершины выпуклого ​многогранника\\  
-----+a) класса 3;\\ 
 +b) класса 4?
  
 +**Решение**
  
-====== Разбор задач ====== +Привожу решения {{:​marathon:​mm269_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}}, {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_269.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:​marathon:​shamsutdinov_mm269.docx|Константина Шамсутдинова}}.
-----+
  
-===== ММ236 =====+**Обсуждение** ​
  
-**Конкурсная задача ММ236** (7 баллов)+Согласно традициям Марафона последние задачи каждого конкурса имеют повышенную сложность. Эта традиция сохранилась и в данном конкурсе.  
 +Результатом этого усложнения чаще всего был отток значительной части конкурсантов. А эта традиция неожиданно была нарушена! Из тех, кто регулярно участвовал в нынешнем конкурсе,​ не прислали решения ​ММ269 всего два человека. А остальные порадовали,​ но не пощадили ведущего :-) Впрочем,​ после моей мольбы, все же сжалились, сократив самое длинное из решений на 40(!страниц.
  
-Натуральные ​числа от 1 до 4n разбили на четыре ​группы по n чисел в каждой. Оказалось, ​что произведение всех чисел из первой группы равно произведениям всех чисел из второй и третьей групп. Найти наименьшую возможную сумму чисел четвертой группы.Существует ли выпуклый ​многограннику которого равны: количество ребер; количество диагоналей; суммарное количество диагоналей граней? +Разумеется,​ основные страсти кипели вокруг обобщения задачи, очевидного по постановке вопроса. Но только по постановке. Да-да, ответ 3m-3 не годится! 
 +В какой-то момент у меня имелось ​три решенияв которых ​приводилась и обосновывалась точная формула для максимальной возможной степени вершины m-многогранника. Точнее,​ три разных формулы, дающих ​разные ответы :-)\\ 
 +Понимая, что ситуация,​ когда "​Вася и Петя оба ​правы",​ маловероятна, ​ведущий был вынужден ​углубиться в многостраничные трактаты,​ воспользовавшись удачно подвернувшейся просьбой продлить срок приема решений. Дополнительное время не пропало даром. И ведущий и конкурсанты обнаружили некоторые ​ошибки и неточности в решениях. Во всех, ​кроме одного, ​в котором ошибок найти ​не удалось (или, все же, пока не удалось?). Желающие могут попробовать ​определить это решение из приводимого ниже списка начисленных призовых баллов (а также попытаться ​найти ошибки и в этом ​решении). ​
  
-**Решение**+**Награды**
  
-Привожу ​решения {{:​marathon:​fiviol_мм236.docx|Виктора Филимоненкова}} (мне ​понравилось ​его доказательство минимальности ответа), {{:marathon:​мм236-варламов_.pdf|Юрия Варламова}} (с принципиально ​иным подходом к доказательству минимальности) и {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_236.docx|Анатолия Казмерчука}} (с хорошей оценкой на подходящие n для обобщения задачи).+За решение задачи ММ269 участники Марафона получают следующие призовые баллы\\ 
 +Олег Полубасов - 18;\\ 
 +Мераб Левиашвили ​- 16;\\ 
 +Анатолий Казмерчук ​- 13;\\ 
 +Константин Шамсутдинов - 13;\\ 
 +Василий Дзюбенко ​- 11;\\ 
 +Александр Романов - 11;\\ 
 +Виктор Филимоненков - 11;\\ 
 +Денис Овчинников - 7.
  
-**Обсуждение** ​+**Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла** 
 +----
  
-Наиболее сложной частью решения данной задачи оказалось внимательное прочтение условия. Сразу три конкурсанта решали другую задачу,​ в которой произведение чисел первой группы равнялось не произедениЯМ чисел из второй и третьей групп, а произведениЮ этих произведений. Причем один из них не "​исправился"​ даже после явного указания на этот момент. 
  
-Основным недочетом решения было недостаточно строгое обоснование минимальности найденного ответа. Лично меня вполне убеждает реплика типа "​ясно,​ что с дальнейшим ростом n сумма чисел в 4-й группе будет возрастать"​. Но балл я, все таки, снимал. Тем более, что я не вовсе не уверен в монотонности этого роста. ​+===== ММ268 =====
  
-Другие неточности были связаны с тем, что один из конкурсантов "​прозевал" требуемое разбиение для n=10 и нашел его только для n=11, а другой наоборот не заметил разбиения ​для n=11. Последнее,​ правда, вовсе и не требовалось (при наличии разбиения для n=10), но это не повод, чтобы утверждать,​ что его нет :-+**Конкурсная задача ММ268** (9 баллов)
  
-Задача просто напрашивается на обобщения. Выражу эти ​обобщения ​в виде двух предположений:​+Назовем натуральное число m допустимым, если существует такое n, что из чисел 1,2,…,n можно составить сумму ​произведений,​ в которой каждое число ​встречается ​ровно один раз, равную m. Сколько существует недопустимых чисел
  
-1. Для любого натурального k найдется натуральное n такое, что числа от 1 до kn, можно разбить на k групп по n чисел так, что ​произведения чисел во всех группах, за исключением одной, будут одинаковы.\\ +Примечание: в суммах произведений допускаются одиночные слагаемые. Например, число ​148 допустимо, ​поскольку 148=1·3 + 2·5·8 + 4 + 6·9 + 7.
-2. Для любого натурального k найдется натуральное n<​sub>​0</​sub>​ такое, что для любого натурального n\ge n<​sub>​0</​sub>​ числа от 1 до kn, можно разбить на k групп по n чисел так, что ​произведения ​чисел во всех группах, за исключением однойбудут ​одинаковы.+
  
-Тех конкурсантов,​ которые высказали подобные гипотезы,​ я поощрял дополнительным призовым баллом. Еще одним баллом поощрялись оценки снизу для подходящих n для разных количеств групп. ​Разглядеть следы этих поощрений в разделе "​Награды"​ можно не всегда,​ поскольку они в значительной мере скомпенсировались ​штрафами за отмеченные выше недостатки+[[problem 268|Решение задачи ​ММ268]]
-  +
-Подтвердить первое утверждение мне удалось пока лишь для k=5. Подходящее n оказалось равно 440. Оно хорошо согласуется с оценкой из решения Анатолия и, по-видимому, является минимальным.  +
-В особую группу в этом случае можно включить числа:​\\ +
-47, 59, 71, 73, 79, 83, 97, 101, 103, 113, 127, 139, 149, 151, 157, 158, 163, 167, 191, 193, 194, 197, 199, 211, 223, 226, 227, 229, 233, 239, 241, 277, 278, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 382, 383, 386, 389, 394, 397, 398, 401, 409, 417, 419, 421, 422, 431, 433, 439, 554, 557, 562, 563, 566, 569, 571, 573, 577, 586, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 614, 617, 619, 622, 625, 626, 631, 634, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 662, 673, 674, 677, 683, 691, 694, 698, 701, 709, 719, 727, 729, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 831, 839, 843, 849, 853, 857, 859, 863, 877, 879, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 921, 929, 933, 937, 939, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997, 1009, 1013, 1019, 1021, 1031, 1033, 1039, 1049, 1051, 1059, 1061, 1063, 1069, 1077, 1087, 1091, 1093, 1097, 1103, 1109, 1114, 1117, 1123, 1126, 1129, 1138, 1142, 1151, 1153, 1154, 1163, 1171, 1174, 1181, 1186, 1187, 1193, 1198, 1201, 1202, 1213, 1214, 1217, 1223, 1226, 1229, 1231, 1234, 1237, 1238, 1249, 1259, 1262, 1277, 1279, 1282, 1283, 1286, 1289, 1291, 1294, 1297, 1301, 1303, 1306, 1307, 1318, 1319, 1321, 1322, 1327, 1346, 1354, 1361, 1366, 1367, 1373, 1381, 1382, 1399, 1402, 1409, 1418, 1423, 1427, 1429, 1433, 1438, 1439, 1447, 1451, 1453, 1454, 1459, 1466, 1471, 1478, 1481, 1483, 1486, 1487, 1489, 1493, 1499, 1502, 1511, 1514, 1522, 1523, 1531, 1538, 1543, 1546, 1549, 1553, 1559, 1567, 1571, 1574, 1579, 1583, 1594, 1597, 1601, 1607, 1609, 1613, 1618, 1619, 1621, 1622, 1627, 1637, 1642, 1646, 1654, 1657, 1658, 1663, 1667, 1669, 1671, 1678, 1679, 1689, 1693, 1697, 1699, 1706, 1707, 1709, 1713, 1714, 1718, 1721, 1723, 1726, 1731, 1733, 1741, 1747, 1753, 1754, 1759, 1761, 1762, 1766, 1774, 1777, 1779, 1783, 1787, 1789, 1797, 1801, 1803, 1811, 1814, 1817, 1821, 1822, 1823, 1831, 1838, 1839, 1847, 1851, 1857, 1858, 1861, 1867, 1871, 1873, 1874, 1877, 1879, 1882, 1889, 1893, 1894, 1901, 1906, 1907, 1909, 1913, 1923, 1927, 1929, 1931, 1933, 1934, 1937, 1941, 1942, 1949, 1951, 1954, 1959, 1963, 1966, 1973, 1977, 1979, 1982, 1983, 1987, 1993, 1994, 1997, 1999, 2003, 2011, 2017, 2018, 2019, 2026, 2027, 2029, 2031, 2038, 2039, 2041, 2042, 2049, 2053, 2059, 2062, 2063, 2066, 2069, 2073, 2078, 2081, 2083, 2087, 2089, 2098, 2099, 2102, 2103, 2111, 2113, 2122, 2123, 2126, 2127, 2129, 2131, 2137, 2138, 2141, 2143, 2147, 2153, 2157, 2161, 2167, 2173, 2174, 2179, 2181, 2182, 2186, 2189, 2194, 2199.\\  +
-Я, правда,​ поленился разбивать остальные 1760 чисел отрезка [1..2200на 4 группы по 440 чисел с произведениями\\  +
-2504958280188081419921948972441396317993403801235686917189404793494410952319221107430699726426543482893150616818461328275525066728687821299944018804591123621764708436862923779082966701604255562735809  +
-1289805092573842321119037749653748128030277852462704135079581240704766941274957290255116129389746051106781284949262988305500523148052986768314929608953462205114770269799533777220776888022882268969186 +
-8256939455438775400312990802515143584992001317970206751063207265933958654529870772678667922698614937697266272985614883442793368986129518695143853094690122842913111643945798988875703895754483271038238 +
-5182286564472391875215890301211571968504622359098107301057543005228410333158529079435309905796210654850747735976571461993013928271912292976427305555810117105923392750217796599906972251697366242580020 +
-6575367017793348811892036002082886312661321854126266243791495009659816597145491149452188822078532158201083317945464571775879624578222350271609362065397049910467258829985447414830630497759605272939234 +
-1842004607084907601089731497294700874743226451167075020005453698345376641104337205715485217753202924728864257010129270319864299599985377280000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 +
-000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000. +
-Но, учитывая,​ что произведение этих чисел в точности равно 4-й степени вышеприведенного числа, я уверен,​ что это возможно.+
  
-Что касается второй гипотезы,​ полагаю,​ что для k=4 подходит n<​sub>​0</​sub>​=28. Среди n, меньших n<​sub>​0</​sub>​ требуемое разбиение возможно для n \in \{10,​11,​14,​15,​18,​20,​22,​23,​24,​25,​26}. Я не искал требуемого разбиения для большинства этих n, ограничившись составлением 4-й группы,​ для которой произведение остальных чисел является точным кубом. +----
-Моя уверенность в том, что n<​sub>​0</​sub>​=28 ​ базируется на том, что бОльших чисел 4-я группа составляется со все возрастающим запасом (из отрезка [1..4n] можно изъять существенно меньше n чисел так, что произведение остальных будет кубом). ​ Но точного доказательства у меня нет. +
-  +
-**Награды**+
  
-За решение задачи ММ236 участники Марафона получают следующие призовые баллы:​\\ ​ 
-Анатолий Казмерчук - 9;\\ 
-Виктор Филимоненков - 7;\\ 
-Валентина Колыбасова - 7;\\ 
-Владислав Франк - 6;\\ 
-Евгений Гужавин - 7;\\ 
-Владимир Дорофеев - 7;\\ 
-Юрий Варламов - 7;\\ 
-Дмитрий Курашуин - 6;\\  
-Владимир Чубанов - 6;\\ 
-Константин Шамсутдинов -3. 
  
-**Эстетическая оценка ​задачи - 4.балла**+ 
 +===== ММ267 ===== 
 + 
 +**Конкурсная задача ММ267** (7 баллов) 
 + 
 +Вася и Петя поспорили. Вася уверен, ​что среди представлений натурального числа n в виде суммы ​натуральных слагаемых чаще встречаются те, у которых ​каждое слагаемое присутствует не более ​двух раз, чем те, у которых все слагаемые не кратны 3Петя уверен в обратном. Кто из них прав? 
 + 
 +[[problem 267|Решение задачи ММ267]] 
 ---- ----
  
 +===== ММ266 =====
 +
 +**Конкурсная задача ММ266** (7 баллов)
 +
 +Вася Пупкин выписал дни рождения семерых своих однокурсников,​ родившихся в январе одного и того же года, что и Вася, и, поэкспериментировав с выписанными числами,​ заметил два факта:​\\ ​
 +1) τ(n<​sup>​3</​sup>​ )=τ(n)<​sup>​2</​sup>,​ где n – произведение всех выписанных чисел;​\\
 +2) сумма кубов составных чисел больше суммы кубов остальных\\.
 +Найдите дни рождения Васиных товарищей,​ если известно,​ что все они младше Васи.
  
-===== ММ235 ===== +Примечание: при сравнении возрастов учитываются дни, но не часы рождения.
-**Конкурсная задача ​ММ235** (7 баллов)+
  
-Существует ли выпуклый многогранник, у которого равны: количество ребер; количество ​диагоналей;​ суммарное количество диагоналей граней?​+[[problem 266|Решение задачи ​ММ266]]
  
-[[problem 235|Решение задачи ММ235]] 
 ---- ----
  
 +===== ММ265 =====
  
-===== ММ234 ===== +**Конкурсная задача ММ265** (5 баллов)
-**Конкурсная задача ММ234** (5 баллов)+
  
-Функция g(n) натурального аргумента n задается так:\\ +Разрезать правильный треугольник на наименьшее возможное количество прямоугольных треугольников так, ​чтобы никакие два из возникших треугольников не были подобны. 
-Пусть натуральное число. Определим  f(n) как ​число, полученное удалением последней цифры из десятичной записи n, увеличенное на квадрат этой цифры.\\ + 
-Например,​ f(576) = 57 + 36 = 93.\\ +[[problem 265|Решение задачи ММ265]]
-Тогда g(n)  = |{n, f(n), f(f(n)), f(f(f(n))), …}|.\\ +
-Пусть a и b  –  2018-значные ​числа. ​Может ли оказаться,​ что g(a) = g(b) + 26?+
  
-[[problem 234|Решение задачи ММ234]] 
 ---- ----
  
 +===== ММ264 =====
  
-===== ММ233 ===== +**Конкурсная задача ММ264** (балла)
-  +
-**Конкурсная задача ММ233**  (баллов)\\ +
-Очередной отголосок ЕГЭ в Марафоне+
  
-При каких ​значениях ​параметра ​a множество точек плоскости, задаваемых системой \\ +Назовем пару натуральных чисел и аддитивной, если τ(a+b)=τ(a)+τ(b),σ(a+b)=σ(a)+σ(b)  ​и φ(a+b)=φ(a)+φ(b).  
- (x - a + 1)<​sup>​2</​sup> ​+ (y - 3)<​sup>​2</​sup>​ ≤ 80\\ +Доказать,​ что существует бесконечно много аддитивных пар.\\ 
-(x - 3)<​sup>​2</​sup> ​+ (y - 4a + 1)<​sup>​2</​sup>​ ≤ 20a<​sup>​2</​sup>,​ \\ + 
- 230 -  2a = |4x + 3y + 115 - a| + |4x + 3y - 115 + a\\ +(τ(n), σ(n), φ(n) - количество натуральных делителей, ​сумма натуральных делителей и функция Эйлера соответственно.) 
-является кругом?+ 
 +[[problem 264|Решение задачи ММ264]]
  
-[[problem 233|Решение задачи ММ233]] 
 ---- ----
  
-===== ММ232 ===== +===== ММ263 ===== 
-  + ​**Конкурсная задача ММ263** (балла)
-**Конкурсная задача ММ232**  (баллов)+
  
-Сколько решений ​в натуральных числах,  ​имеет уравнение ​**x<​sup>​3</​sup>​ + y<​sup>​3</​sup> ​z<​sup>​3</​sup>​ - i** для каждого  **i ∈ {1, 2, 4}** ?+Сколько решений ​может иметь уравнение ​[3x]{x} – [x]{3x} ​c, в зависимости ​от значения параметра c?\\
  
-Я нашел воистину замечательные ​ответы на эти вопросы, ​но поля... +([x] и {x} означают соответственно целую часть (пол) и дробную часть числа x.) 
-Надеюсь, у конкурсантов с полями все хорошо.+ 
 +[[problem 263|Решение задачи ММ263]]
  
-[[problem 232|Решение задачи ММ232]] 
 ---- ----
  
  
-===== ММ231 =====+===== ММ262 =====
    
-**Конкурсная задача ММ231**  (балла)+**Конкурсная задача ММ262** (балла)
  
-На сторонах AB, BC и AC египетского ​треугольника ​ABC выбрали точки C<​sub>​1</​sub>​A<​sub>​1</​sub> ​и B<​sub>​1</​sub> ​соответственно. Оказалось, что треугольники AB<​sub>​1</​sub>​C<​sub>​1</​sub>,​ BC<​sub>​1</​sub>​A<​sub>​1</​sub>​ и CA<​sub>​1</​sub>​B<​sub>​1</​sub> ​равновелики. Какую часть площади ABC составляет площадь треугольника ​A<​sub>​1</​sub>​B<​sub>​1</​sub>​C<​sub>​1</​sub> ​при условии, что последний - прямоугольный?+Разносторонний треугольник ​назовем прогрессивнымесли длины его ​сторон образуют арифметическую прогрессию 
 +Доказать, что треугольник ​прогрессивен тогда и только тогда, когда прямая, ​проходящая через точку Нагеля и центр Шпикерапараллельна средней стороне. 
  
-[[problem ​231|Решение задачи ММ231]]+Примечание:​ тривиальное решение (недаром цена задачи всего 3 балла) на ЕГЭ бы не приняли,​ но у нас, слава Богу, не ЕГЭ :-) 
 + 
 +[[problem ​262|Решение задачи ММ262]]
  
 ---- ----
 +===== ММ261 =====
 + 
 +**Конкурсная задача ММ261** (4 балла)
 +
 +Натуральные числа 1, 2, 3, ..., 100 разбили на 10 групп по 10 чисел. Найти наибольшую возможную сумму НОД этих десяток.
 +
 +[[problem 261|Решение задачи ММ261]]
 +
 +----
 +
  
 ~~NOTOC~~ ~~NOTOC~~
 

 


Страница: [[marathon:about]]

marathon/about.1539502600.txt · Последние изменения: 2018/10/14 10:36 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006