|
Различия
Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.
marathon:about [2018/10/14 10:37] letsko [ММ236] |
marathon:about [2021/06/17 17:02] (текущий) letsko [Текущие задачи] |
====== Математический марафон ====== | ====== Математический марафон ====== |
| |
{{ :marathon:konkurs.gif}} | {{ :marathon:konkurs.gif}} |
| |
---- | ---- |
| **Завершен XXVII конкурс вамках Математического марафона** |
| |
Стартовал **24-й конкурс в рамках Математического марафона** | **Мои поздравления победителю конкурса, Мерабу Левиашвили, призерам, Анатолию Казмерчуку и Олегу Полубасову, а также всем тем, кто составил им достойную конкуренцию** |
| |
Вслед за 23-м 24-й конкурс не посвящен какой-то единой тематике. | |
Наоборот, я стремился сделать задачи максимально разнообразными. Ну или почти максимально разнообразными: любимая комбинаторная геометрия представлена таки несколькими задачами. Впрочем, и в рамках этой тематики тоже наблюдается разнообразие. | |
| |
Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания, выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными, а другие - не очень. На вкус и на цвет... | Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания, выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными, а другие - не очень. На вкус и на цвет... |
| |
Но если любите поломать голову над нестандартными задачами, участвуйте, не стесняйтесь. | Но если вы любите поломать голову над нестандартными задачами, участвуйте, не стесняйтесь. |
| |
Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас. | Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас. |
| |
Не забывайте, пожалуйста, присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале. | Не забывайте, пожалуйста, присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале. |
---- | |
| |
Ведущий Марафона | Ведущий Марафона |
--- //[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]// | --- //[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]// |
| |
| [[Afterword XXVII |Послесловие к XXVII конкурсу]] |
| |
| ---- |
| |
| |
====== Текущие задачи ====== | ====== Текущие задачи ====== |
| ---- |
| **На данный момент отсутствуют.** |
---- | ---- |
| |
| |
===== ММ237 ===== | ====== Разбор задач ====== |
**Конкурсная задача ММ237** (7 баллов) | ---- |
| ===== |
| Вектором граней выпуклого многогранника P назовем набор [f<sub>3</sub>, f<sub>4</sub>, …, f<sub>s</sub>], где f<sub>i</sub> – количество i-угольных граней P, а s - наибольшее число сторон грани. Будем говорить, что P относится к классу m, если max(f<sub>i</sub>) = m. |
| |
Решения принимаются до __20.10.2018__ | ---- |
| |
Студент математического факультета Вася Пупкин написал на доске некоторую перестановку A из S<sub>10</sub> в виде произведения независимых циклов (запись каждого цикла начинается с наименьшего элемента; опускались ли в записи циклы длины 1 - неизвестно). Васины однокурсники прокомментировали эту запись. | |
| |
Аня: A<sup>6</sup> – тождественная перестановка.\\ | **Конкурсная задача ММ270** (16 баллов) |
Ваня: Длины всех циклов A – числа Фибоначчи.\\ | |
Даня: В S<sub>10</sub> существует ровно 3 перестановки, квадрат которых равен A.\\ | |
Маня: Хм, уравнение X<sup>2</sup> =B не может иметь в S<sub>10</sub> ровно 3 решения ни при каком B.\\ | |
Саня: Более того, количество решений уравнения X<sup>2</sup> =B в S<sub>10</sub> не может быть нечетным ни при каком B.\\ | |
Таня: Квадрат наибольшего элемента в самом длинном цикле меньше порядка A.\\ | |
Зина: A<sup>5</sup> имеет столько же циклов, сколько и A.\\ | |
Лина: Внутри всех циклов элементы строго возрастают.\\ | |
Нина: Произведение всех элементов одного из циклов кратно произведению всех элементов более длинного цикла и сумме всех элементов более короткого.\\ | |
Фаина: Зина, Лина и Нина правы. | |
| |
Вася (умница и отличник) заметил, что количество верных утверждений его однокурсников равно наибольшей длине цикла в A.\\ | Найти наибольшее возможное количество граней многогранника класса m. |
Найдите A. | |
---- | |
| |
| **Решение** |
| |
===== ММ238 ===== | Привожу решения призеров конкурса, {{:marathon:mm_270_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}} и {{:marathon:kazmerchuk_mm_270.pdf|Анатолия Казмерчука}}, а также обобщение задачи победителя конкурса {{:marathon:обобщение-мм270.docx|Мераба Левиашвили}} . |
**Конкурсная задача ММ238** (7 баллов) | |
| |
Решения принимаются до __27.10.2018__ | **Обсуждение** |
| |
Вася написал на доске k последовательных натуральных чисел и нашел их НОК - V.\\ | В отличие от ММ269, где вопрос задачи был сформулирован для частных значений m, а обобщали его сами конкурсанты, в ММ270 сразу же был сформулирован общий вопрос. Объясняется это просто. В ММ269 ответа на общий вопрос ведущий на момент опубликования задачи не знал (и даже склонялся, но, к счастью не "доказал" неверный ответ). А для ММ270 у меня был верный обоснованный ответ. |
Петя написал k последовательных натуральных чисел, больших Васиных, и тоже нашел их НОК - P. \\ | |
Оказалось, что 2018 < V/P < 2019. \\ | |
При каком наименьшем k такое возможно? | |
---- | |
| |
| Эта ситуация выбила почву из под ног большинства любителей обобщений. Да, практически все, решившие ММ270, нашли заодно и наибольшие количества вершин и ребер m-многогранников. Но ответы на эти вопросы становятся очевидны при успешном решении основной задачи. Единственным, кто изыскал возможности пообобщать стал Мераб Левиашвили. Он перешел от рассмотрения многогранников к рассмотрению простых (каждая вершина имеет степень n) политопов размерностей, больших 3. У таких политопов существуют грани разных размерностей. Соответственно можно рассматривать разные аналоги m-многогранников. Мераб остановился на случае двумерных граней. На основании известных соотношений Дена-Соммервиля он получил наименьшие значения m, для которых существуют n-мерные политопы класса m и верхние оценки для числа граней таких политопов для n \in {4, 5}, а также некоторые оценки для n \in {6, 7, 8}. Я привожу только обобщение задачи (присланное Мерабом отдельным документом), в том числе, и по причине слишком большого веса основного решения. |
| |
===== ММ239 ===== | Во всех присланных решениях имеется содержится ответ 7m-4 для больших значений m. Разнятся эти решения степенью гипотетичности и обоснованности данного ответа, а также количеством частных значений m, подтверждающих данную гипотезу (это касается решений, где 7m-4 именно гипотеза). |
**Конкурсная задача ММ239** (10 баллов) | |
| |
Решения принимаются до __17.11.2018__ | |
| |
Существует ли выпуклый многогранник, у которого:\\ | **Награды** |
a) не менее половины граней - семиугольники;\\ | |
b) более половины граней - семиугольники; \\ | |
с) не менее половины граней - восьмиугольники;\\ | |
d) более половины граней - восьмиугольники;\\ | |
e) не менее половины граней - девятиугольники? | |
| |
//Примечание: Если у вас получается, что ответ на пункт «а» отрицательный, а на пункт «b» - положительный, подумайте еще.// | За решение задачи ММ270 участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\ |
| Мераб Левиашвили - 18;\\ |
| Олег Полубасов - 16;\\ |
| Анатолий Казмерчук - 16;\\ |
| Александр Романов - 16;\\ |
| Константин Шамсутдинов - 10;\\ |
| Виктор Филимоненков - 10;\\ |
| Денис Овчинников - 8.\\ |
| |
| Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла |
| |
---- | ---- |
| |
| |
===== ММ240 ===== | ===== ММ269 ===== |
**Конкурсная задача ММ2409** (13 баллов) | |
| |
Решения принимаются до __01.12.2018__ | **Конкурсная задача ММ269** (11 баллов) |
| |
Проективную плоскость разбили несколькими прямыми общего положения. При этом образовалось ровно 17 треугольников. Сколько пятиугольников могло при этом получиться? | Какова максимальная возможная степень вершины выпуклого многогранника\\ |
---- | a) класса 3;\\ |
| b) класса 4? |
| |
| **Решение** |
| |
====== Разбор задач ====== | Привожу решения {{:marathon:mm269_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}}, {{:marathon:kazmerchuk_mm_269.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:marathon:shamsutdinov_mm269.docx|Константина Шамсутдинова}}. |
---- | |
| |
===== ММ236 ===== | **Обсуждение** |
| |
**Конкурсная задача ММ236** (7 баллов) | Согласно традициям Марафона последние задачи каждого конкурса имеют повышенную сложность. Эта традиция сохранилась и в данном конкурсе. |
| Результатом этого усложнения чаще всего был отток значительной части конкурсантов. А эта традиция неожиданно была нарушена! Из тех, кто регулярно участвовал в нынешнем конкурсе, не прислали решения ММ269 всего два человека. А остальные порадовали, но не пощадили ведущего :-) Впрочем, после моей мольбы, все же сжалились, сократив самое длинное из решений на 40(!) страниц. |
| |
Натуральные числа от 1 до 4n разбили на четыре группы по n чисел в каждой. Оказалось, что произведение всех чисел из первой группы равно произведениям всех чисел из второй и третьей групп. Найти наименьшую возможную сумму чисел четвертой группы.Существует ли выпуклый многогранник, у которого равны: количество ребер; количество диагоналей; суммарное количество диагоналей граней? | Разумеется, основные страсти кипели вокруг обобщения задачи, очевидного по постановке вопроса. Но только по постановке. Да-да, ответ 3m-3 не годится! |
| В какой-то момент у меня имелось три решения, в которых приводилась и обосновывалась точная формула для максимальной возможной степени вершины m-многогранника. Точнее, три разных формулы, дающих разные ответы :-)\\ |
| Понимая, что ситуация, когда "Вася и Петя оба правы", маловероятна, ведущий был вынужден углубиться в многостраничные трактаты, воспользовавшись удачно подвернувшейся просьбой продлить срок приема решений. Дополнительное время не пропало даром. И ведущий и конкурсанты обнаружили некоторые ошибки и неточности в решениях. Во всех, кроме одного, в котором ошибок найти не удалось (или, все же, пока не удалось?). Желающие могут попробовать определить это решение из приводимого ниже списка начисленных призовых баллов (а также попытаться найти ошибки и в этом решении). |
| |
**Решение** | **Награды** |
| |
Привожу решения {{:marathon:fiviol_мм236.docx|Виктора Филимоненкова}} (мне понравилось его доказательство минимальности ответа), {{:marathon:мм236-варламов_.pdf|Юрия Варламова}} (с принципиально иным подходом к доказательству минимальности) и {{:marathon:kazmerchuk_mm_236.docx|Анатолия Казмерчука}} (с хорошей оценкой на подходящие n для обобщения задачи). | За решение задачи ММ269 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ |
| Олег Полубасов - 18;\\ |
| Мераб Левиашвили - 16;\\ |
| Анатолий Казмерчук - 13;\\ |
| Константин Шамсутдинов - 13;\\ |
| Василий Дзюбенко - 11;\\ |
| Александр Романов - 11;\\ |
| Виктор Филимоненков - 11;\\ |
| Денис Овчинников - 7. |
| |
**Обсуждение** | **Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла** |
| ---- |
| |
Наиболее сложной частью решения данной задачи оказалось внимательное прочтение условия. Сразу три конкурсанта решали другую задачу, в которой произведение чисел первой группы равнялось не произедениЯМ чисел из второй и третьей групп, а произведениЮ этих произведений. Причем один из них не "исправился" даже после явного указания на этот момент. | |
| |
Основным недочетом решения было недостаточно строгое обоснование минимальности найденного ответа. Лично меня вполне убеждает реплика типа "ясно, что с дальнейшим ростом n сумма чисел в 4-й группе будет возрастать". Но балл я, все таки, снимал. Тем более, что я не вовсе не уверен в монотонности этого роста. | ===== ММ268 ===== |
| |
Другие неточности были связаны с тем, что один из конкурсантов "прозевал" требуемое разбиение для n=10 и нашел его только для n=11, а другой наоборот не заметил разбиения для n=11. Последнее, правда, вовсе и не требовалось (при наличии разбиения для n=10), но это не повод, чтобы утверждать, что его нет :-) | **Конкурсная задача ММ268** (9 баллов) |
| |
Задача просто напрашивается на обобщения. Выражу эти обобщения в виде двух предположений: | Назовем натуральное число m допустимым, если существует такое n, что из чисел 1,2,…,n можно составить сумму произведений, в которой каждое число встречается ровно один раз, равную m. Сколько существует недопустимых чисел? |
| |
1. Для любого натурального k найдется натуральное n такое, что числа от 1 до kn, можно разбить на k групп по n чисел так, что произведения чисел во всех группах, за исключением одной, будут одинаковы.\\ | Примечание: в суммах произведений допускаются одиночные слагаемые. Например, число 148 допустимо, поскольку 148=1·3 + 2·5·8 + 4 + 6·9 + 7. |
2. Для любого натурального k найдется натуральное n<sub>0</sub> такое, что для любого натурального n\ge n<sub>0</sub> числа от 1 до kn, можно разбить на k групп по n чисел так, что произведения чисел во всех группах, за исключением одной, будут одинаковы. | |
| |
Тех конкурсантов, которые высказали подобные гипотезы, я поощрял дополнительным призовым баллом. Еще одним баллом поощрялись оценки снизу для подходящих n для разных количеств групп. Разглядеть следы этих поощрений в разделе "Награды" можно не всегда, поскольку они в значительной мере скомпенсировались штрафами за отмеченные выше недостатки. | [[problem 268|Решение задачи ММ268]] |
| |
Подтвердить первое утверждение мне удалось пока лишь для k=5. Подходящее n оказалось равно 440. Оно хорошо согласуется с оценкой из решения Анатолия и, по-видимому, является минимальным. | |
В особую группу в этом случае можно включить числа:\\ | |
47, 59, 71, 73, 79, 83, 97, 101, 103, 113, 127, 139, 149, 151, 157, 158, 163, 167, 191, 193, 194, 197, 199, 211, 223, 226, 227, 229, 233, 239, 241, 277, 278, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 382, 383, 386, 389, 394, 397, 398, 401, 409, 417, 419, 421, 422, 431, 433, 439, 554, 557, 562, 563, 566, 569, 571, 573, 577, 586, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 614, 617, 619, 622, 625, 626, 631, 634, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 662, 673, 674, 677, 683, 691, 694, 698, 701, 709, 719, 727, 729, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 831, 839, 843, 849, 853, 857, 859, 863, 877, 879, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 921, 929, 933, 937, 939, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991, 997, 1009, 1013, 1019, 1021, 1031, 1033, 1039, 1049, 1051, 1059, 1061, 1063, 1069, 1077, 1087, 1091, 1093, 1097, 1103, 1109, 1114, 1117, 1123, 1126, 1129, 1138, 1142, 1151, 1153, 1154, 1163, 1171, 1174, 1181, 1186, 1187, 1193, 1198, 1201, 1202, 1213, 1214, 1217, 1223, 1226, 1229, 1231, 1234, 1237, 1238, 1249, 1259, 1262, 1277, 1279, 1282, 1283, 1286, 1289, 1291, 1294, 1297, 1301, 1303, 1306, 1307, 1318, 1319, 1321, 1322, 1327, 1346, 1354, 1361, 1366, 1367, 1373, 1381, 1382, 1399, 1402, 1409, 1418, 1423, 1427, 1429, 1433, 1438, 1439, 1447, 1451, 1453, 1454, 1459, 1466, 1471, 1478, 1481, 1483, 1486, 1487, 1489, 1493, 1499, 1502, 1511, 1514, 1522, 1523, 1531, 1538, 1543, 1546, 1549, 1553, 1559, 1567, 1571, 1574, 1579, 1583, 1594, 1597, 1601, 1607, 1609, 1613, 1618, 1619, 1621, 1622, 1627, 1637, 1642, 1646, 1654, 1657, 1658, 1663, 1667, 1669, 1671, 1678, 1679, 1689, 1693, 1697, 1699, 1706, 1707, 1709, 1713, 1714, 1718, 1721, 1723, 1726, 1731, 1733, 1741, 1747, 1753, 1754, 1759, 1761, 1762, 1766, 1774, 1777, 1779, 1783, 1787, 1789, 1797, 1801, 1803, 1811, 1814, 1817, 1821, 1822, 1823, 1831, 1838, 1839, 1847, 1851, 1857, 1858, 1861, 1867, 1871, 1873, 1874, 1877, 1879, 1882, 1889, 1893, 1894, 1901, 1906, 1907, 1909, 1913, 1923, 1927, 1929, 1931, 1933, 1934, 1937, 1941, 1942, 1949, 1951, 1954, 1959, 1963, 1966, 1973, 1977, 1979, 1982, 1983, 1987, 1993, 1994, 1997, 1999, 2003, 2011, 2017, 2018, 2019, 2026, 2027, 2029, 2031, 2038, 2039, 2041, 2042, 2049, 2053, 2059, 2062, 2063, 2066, 2069, 2073, 2078, 2081, 2083, 2087, 2089, 2098, 2099, 2102, 2103, 2111, 2113, 2122, 2123, 2126, 2127, 2129, 2131, 2137, 2138, 2141, 2143, 2147, 2153, 2157, 2161, 2167, 2173, 2174, 2179, 2181, 2182, 2186, 2189, 2194, 2199.\\ | |
Я, правда, поленился разбивать остальные 1760 чисел отрезка [1..2200] на 4 группы по 440 чисел с произведениями\\ | |
2504958280188081419921948972441396317993403801235686917189404793494410952319221107430699726426543482893150616818461328275525066728687821299944018804591123621764708436862923779082966701604255562735809 | |
1289805092573842321119037749653748128030277852462704135079581240704766941274957290255116129389746051106781284949262988305500523148052986768314929608953462205114770269799533777220776888022882268969186 | |
8256939455438775400312990802515143584992001317970206751063207265933958654529870772678667922698614937697266272985614883442793368986129518695143853094690122842913111643945798988875703895754483271038238 | |
5182286564472391875215890301211571968504622359098107301057543005228410333158529079435309905796210654850747735976571461993013928271912292976427305555810117105923392750217796599906972251697366242580020 | |
6575367017793348811892036002082886312661321854126266243791495009659816597145491149452188822078532158201083317945464571775879624578222350271609362065397049910467258829985447414830630497759605272939234 | |
1842004607084907601089731497294700874743226451167075020005453698345376641104337205715485217753202924728864257010129270319864299599985377280000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000 | |
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000.\\ | |
Но, учитывая, что произведение этих чисел в точности равно 4-й степени вышеприведенного числа, я уверен, что это возможно. | |
| |
Что касается второй гипотезы, полагаю, что для k=4 подходит n<sub>0</sub>=28. Среди n, меньших n<sub>0</sub> требуемое разбиение возможно для n \in \{10,11,14,15,18,20,22,23,24,25,26}. Я не искал требуемого разбиения для большинства этих n, ограничившись составлением 4-й группы, для которой произведение остальных чисел является точным кубом. | ---- |
Моя уверенность в том, что n<sub>0</sub>=28 базируется на том, что бОльших чисел 4-я группа составляется со все возрастающим запасом (из отрезка [1..4n] можно изъять существенно меньше n чисел так, что произведение остальных будет кубом). Но точного доказательства у меня нет. | |
| |
**Награды** | |
| |
За решение задачи ММ236 участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\ | |
Анатолий Казмерчук - 9;\\ | |
Виктор Филимоненков - 7;\\ | |
Валентина Колыбасова - 7;\\ | |
Владислав Франк - 6;\\ | |
Евгений Гужавин - 7;\\ | |
Владимир Дорофеев - 7;\\ | |
Юрий Варламов - 7;\\ | |
Дмитрий Курашуин - 6;\\ | |
Владимир Чубанов - 6;\\ | |
Константин Шамсутдинов -3. | |
| |
**Эстетическая оценка задачи - 4.6 балла** | |
| ===== ММ267 ===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ267** (7 баллов) |
| |
| Вася и Петя поспорили. Вася уверен, что среди представлений натурального числа n в виде суммы натуральных слагаемых чаще встречаются те, у которых каждое слагаемое присутствует не более двух раз, чем те, у которых все слагаемые не кратны 3. Петя уверен в обратном. Кто из них прав? |
| |
| [[problem 267|Решение задачи ММ267]] |
---- | ---- |
| |
| ===== ММ266 ===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ266** (7 баллов) |
| |
| Вася Пупкин выписал дни рождения семерых своих однокурсников, родившихся в январе одного и того же года, что и Вася, и, поэкспериментировав с выписанными числами, заметил два факта:\\ |
| 1) τ(n<sup>3</sup> )=τ(n)<sup>2</sup>, где n – произведение всех выписанных чисел;\\ |
| 2) сумма кубов составных чисел больше суммы кубов остальных\\. |
| Найдите дни рождения Васиных товарищей, если известно, что все они младше Васи. |
| |
===== ММ235 ===== | Примечание: при сравнении возрастов учитываются дни, но не часы рождения. |
**Конкурсная задача ММ235** (7 баллов) | |
| |
Существует ли выпуклый многогранник, у которого равны: количество ребер; количество диагоналей; суммарное количество диагоналей граней? | [[problem 266|Решение задачи ММ266]] |
| |
[[problem 235|Решение задачи ММ235]] | |
---- | ---- |
| |
| ===== ММ265 ===== |
| |
===== ММ234 ===== | **Конкурсная задача ММ265** (5 баллов) |
**Конкурсная задача ММ234** (5 баллов) | |
| |
Функция g(n) натурального аргумента n задается так:\\ | Разрезать правильный треугольник на наименьшее возможное количество прямоугольных треугольников так, чтобы никакие два из возникших треугольников не были подобны. |
Пусть n натуральное число. Определим f(n) как число, полученное удалением последней цифры из десятичной записи n, увеличенное на квадрат этой цифры.\\ | |
Например, f(576) = 57 + 36 = 93.\\ | [[problem 265|Решение задачи ММ265]] |
Тогда g(n) = |{n, f(n), f(f(n)), f(f(f(n))), …}|.\\ | |
Пусть a и b – 2018-значные числа. Может ли оказаться, что g(a) = g(b) + 26? | |
| |
[[problem 234|Решение задачи ММ234]] | |
---- | ---- |
| |
| ===== ММ264 ===== |
| |
===== ММ233 ===== | **Конкурсная задача ММ264** (4 балла) |
| |
**Конкурсная задача ММ233** (6 баллов)\\ | |
Очередной отголосок ЕГЭ в Марафоне | |
| |
При каких значениях параметра a множество точек плоскости, задаваемых системой \\ | Назовем пару натуральных чисел a и b аддитивной, если τ(a+b)=τ(a)+τ(b),σ(a+b)=σ(a)+σ(b) и φ(a+b)=φ(a)+φ(b). |
(x - a + 1)<sup>2</sup> + (y - 3)<sup>2</sup> ≤ 80, \\ | Доказать, что существует бесконечно много аддитивных пар.\\ |
(x - 3)<sup>2</sup> + (y - 4a + 1)<sup>2</sup> ≤ 20a<sup>2</sup>, \\ | |
230 - 2a = |4x + 3y + 115 - a| + |4x + 3y - 115 + a| \\ | (τ(n), σ(n), φ(n) - количество натуральных делителей, сумма натуральных делителей и функция Эйлера соответственно.) |
является кругом? | |
| [[problem 264|Решение задачи ММ264]] |
| |
[[problem 233|Решение задачи ММ233]] | |
---- | ---- |
| |
===== ММ232 ===== | ===== ММ263 ===== |
| **Конкурсная задача ММ263** (4 балла) |
**Конкурсная задача ММ232** (6 баллов) | |
| |
Сколько решений в натуральных числах, имеет уравнение **x<sup>3</sup> + y<sup>3</sup> = z<sup>3</sup> - i** для каждого **i ∈ {1, 2, 4}** ? | Сколько решений может иметь уравнение [3x]{x} – [x]{3x} = c, в зависимости от значения параметра c?\\ |
| |
Я нашел воистину замечательные ответы на эти вопросы, но поля... | ([x] и {x} означают соответственно целую часть (пол) и дробную часть числа x.) |
Надеюсь, у конкурсантов с полями все хорошо. | |
| [[problem 263|Решение задачи ММ263]] |
| |
[[problem 232|Решение задачи ММ232]] | |
---- | ---- |
| |
| |
===== ММ231 ===== | ===== ММ262 ===== |
| |
**Конкурсная задача ММ231** (4 балла) | **Конкурсная задача ММ262** (3 балла) |
| |
На сторонах AB, BC и AC египетского треугольника ABC выбрали точки C<sub>1</sub>, A<sub>1</sub> и B<sub>1</sub> соответственно. Оказалось, что треугольники AB<sub>1</sub>C<sub>1</sub>, BC<sub>1</sub>A<sub>1</sub> и CA<sub>1</sub>B<sub>1</sub> равновелики. Какую часть площади ABC составляет площадь треугольника A<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C<sub>1</sub> при условии, что последний - прямоугольный? | Разносторонний треугольник назовем прогрессивным, если длины его сторон образуют арифметическую прогрессию. |
| Доказать, что треугольник прогрессивен тогда и только тогда, когда прямая, проходящая через точку Нагеля и центр Шпикера, параллельна средней стороне. |
| |
[[problem 231|Решение задачи ММ231]] | Примечание: тривиальное решение (недаром цена задачи всего 3 балла) на ЕГЭ бы не приняли, но у нас, слава Богу, не ЕГЭ :-) |
| |
| [[problem 262|Решение задачи ММ262]] |
| |
---- | ---- |
| ===== ММ261 ===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ261** (4 балла) |
| |
| Натуральные числа 1, 2, 3, ..., 100 разбили на 10 групп по 10 чисел. Найти наибольшую возможную сумму НОД этих десяток. |
| |
| [[problem 261|Решение задачи ММ261]] |
| |
| ---- |
| |
| |
~~NOTOC~~ | ~~NOTOC~~ |
|