Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

marathon:about [2018/10/21 14:15]
letsko [ММ236]
marathon:about [2021/06/17 17:02] (текущий)
letsko [Текущие задачи]
Строка 1: Строка 1:
- ====== Математический марафон ======+====== Математический марафон ======
  
 {{ :​marathon:​konkurs.gif}} {{ :​marathon:​konkurs.gif}}
Строка 8: Строка 8:
  
 ---- ----
 +**Завершен XXVII конкурс вамках Математического марафона**
  
-Стартовал **24-й ​конкурс в рамках Математического марафона**+**Мои поздравления победителю ​конкурса, Мерабу Левиашвили,​ призерам, Анатолию Казмерчуку и Олегу Полубасову, ​а также всем тем, кто составил им достойную конкуренцию**
  
-Вслед за 23-м 24-й конкурс не посвящен какой-то единой тематике. ​ 
-Наоборот,​ я стремился сделать задачи максимально разнообразными. Ну или почти максимально разнообразными:​ любимая комбинаторная геометрия представлена таки несколькими задачами. Впрочем,​ и в рамках этой тематики тоже наблюдается разнообразие. 
  
 Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания,​ выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными,​ а другие - не очень. На вкус и на цвет... Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания,​ выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными,​ а другие - не очень. На вкус и на цвет...
  
-Но если любите поломать голову над нестандартными задачами,​ участвуйте,​ не стесняйтесь.+Но если ​вы любите поломать голову над нестандартными задачами,​ участвуйте,​ не стесняйтесь.
  
 Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас. Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас.
  
 Не забывайте,​ пожалуйста,​ присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале. ​ Не забывайте,​ пожалуйста,​ присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале. ​
----- 
  
  ​Ведущий Марафона  ​Ведущий Марафона
 --- //​[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]// --- //​[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]//
  
 +[[Afterword XXVII |Послесловие к XXVII конкурсу]]
 +
 +----
  
  
 ====== Текущие задачи ====== ====== Текущие задачи ======
 +----
 +**На данный момент отсутствуют.**
 ---- ----
  
  
-===== ММ238 ​===== +====== Разбор задач ====== 
-**Конкурсная задача ММ238** (7 баллов) +---- 
- +===== 
-Решения принимаются ​до __27.10.2018__+Вектором граней выпуклого многогранника P назовем набор [f<​sub>​3</​sub>,​ f<​sub>​4</​sub>,​ …, f<​sub>​s</​sub>​],​ где f<​sub>​i</​sub>​ – количество i-угольных граней P, а s - наибольшее число сторон грани. Будем говорить, что P относится ​к классу m, если max(f<​sub>​i</​sub>​) = m.
  
-Вася написал на доске k последовательных натуральных чисел и нашел их НОК - V.\\ 
-Петя написал k последовательных натуральных чисел, больших Васиных,​ и тоже нашел их НОК - P. \\ 
-Оказалось,​ что ​ 2018 < V/P < 2019. \\ 
-При каком наименьшем k такое возможно?​ 
 ---- ----
  
  
-===== ММ239 ===== +**Конкурсная задача ММ270** (16 баллов)
-**Конкурсная задача ММ239** (10 баллов)+
  
-Решения принимаются до __17.11.2018__+Найти наибольшее возможное количество граней многогранника класса m.
  
-Существует ли выпуклый многогранник, у которого:​\\ +**Решение**
-a) не менее половины граней - семиугольники;​\\ +
-b) более половины граней - семиугольники;​ \\ +
-с) не менее половины граней - восьмиугольники;​\\ +
-d) более половины граней - восьмиугольники;​\\ +
-e) не менее половины граней ​ - девятиугольники?​+
  
-//Примечание: Если у вас получается, что ответ на пункт «а» отрицательный, а на пункт «b» - положительный, подумайте еще.// +Привожу решения призеров конкурса, {{:​marathon:​mm_270_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}} и {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_270.pdf|Анатолия Казмерчука}}, а также обобщение задачи ​победителя конкурса {{:​marathon:​обобщение-мм270.docx|Мераба Левиашвили}} ​.
  
----- +**Обсуждение**
-===== ММ237 ===== +
-**Конкурсная задача ММ237** (7 баллов)+
  
-Студент математического факультета Вася Пупкин написал на доске некоторую перестановку A из S<​sub>​10</​sub>  ​в виде ​произведения независимых циклов апись каждого цикла начинается с наименьшего элемента; опускались ли в записи циклы длины 1  - неизвестно). ​ ​Васины однокурсники прокомментировали эту запись.+В отличие от ММ269, где вопрос задачи был ​сформулирован для частных значений m, а обобщали его сами ​конкурсанты, в ММ270 сразу же был сформулирован общий вопрос. Объясняется это просто. В ММ269 ответа на общий вопрос ведущий на момент опубликования задачи не знал (и даже склонялся, но, к счастью не "​доказал" ​неверный ответ). А для ММ270 ​у меня был верный ​обоснованный ответ.
  
-Аня: A<​sup>​6</​sup> ​ – тождественная перестановка.\\ +Эта ситуация выбила почву из под ног большинства любителей обобщений. Дапрактически все, решившие ММ270, нашли заодно и наибольшие количества вершин и ребер m-многогранниковНо ответы ​на эти вопросы становятся очевидны при успешном ​решении основной задачи. Единственным, ​кто ​изыскал возможности пообобщать стал Мераб Левиашвили. Он перешел от рассмотрения многогранников к рассмотрению простых (каждая вершина имеет ​степень n) политопов размерностейбольших 3. У таких политопов существуют грани разных размерностей. Соответственно можно рассматривать разные аналоги m-многогранников. Мераб остановился на случае двумерных гранейНа основании известных ​соотношений Дена-Соммервиля он получил наименьшие значения m, для которых существуют n-мерные политопы класса и верхние ​оценки для числа граней таких политопов для n \in {4, 5}, а также ​некоторые ​оценки для n \in {6, 7, 8}. Я привожу ​только обобщение задачи (присланное ​Мерабом отдельным документом), в том числе, и по причине слишком большого ​веса основного решения.
-Ваня: Длины всех циклов A – числа Фибоначчи.\\ +
-Даня: В S<​sub>​10</​sub> ​существует ровно 3 перестановки, квадрат которых равен A.\\ +
-Маня: Хм, уравнение X<​sup>​2</​sup>​ =B не может иметь в S<​sub>​10</​sub> ​ровно решения ни при каком B.\\ +
-Саня: Более того, количество решений уравнения X<​sup>​2</​sup>​ =B в S<​sub>​10</​sub>​ не может быть нечетным  ни при каком B.\\ +
-Таня: Квадрат наибольшего элемента в самом длинном цикле меньше порядка A.\\ +
-Зина: A<​sup>​5</​sup>  ​имеет столько же циклов, сколько и A.\\ +
-Лина: Внутри всех циклов элементы строго возрастают.\\ +
-Нина: Произведение всех ​элементов одного из циклов кратно произведению всех элементов более длинного цикла и сумме всех элементов ​более короткого.\\ +
-Фаина: Зина, Лина и Нина правы.+
  
-Вася (умница и отличник) заметил, что количество верных утверждений его однокурсников равно наибольшей длине цикла в A.\\ +Во всех присланных решениях имеется содержится ответ 7m-4 для больших значений m. Разнятся эти решения степенью гипотетичности и обоснованности данного ответа, а также количеством частных значений m, подтверждающих данную гипотезу (это ​касается решений, где 7m-4 именно гипотеза).
-Найдите ​A+
  
-**Решение** 
  
-Привожу решения {{:​marathon:​fiviol_мм237.docx|Виктора Филимоненкова}} и {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_237.docx|Анатолия Казмерчука}}.+**Награды**
  
-**Обсуждение** +За решение задачи ММ270 участники Марафона получают следующие призовые баллы:​\\ 
 +Мераб Левиашвили - 18;\\ 
 +Олег Полубасов - 16;\\ 
 +Анатолий Казмерчук - 16;\\ 
 +Александр Романов - 16;\\ 
 +Константин Шамсутдинов - 10;\\ 
 +Виктор Филимоненков - 10;\\ 
 +Денис Овчинников - 8.\\
  
-Естественно конкурсанты начали решение с проверки утверждений Мани и Сани, истинность которых не зависит от записанной на доске перестановки.\\ +Эстетическая оценка ​задачи - 4.балла
-Причем проверка утверждения Мани оказывается наиболее сложной частью задачи. Некоторые участники предпочли ограничиться доказательством отсутствия трех решений уравнения X<​sup>​2</​sup>​=B в S<​sub>​10</​sub>,​ другие же рассмотрели более общий вопрос о возможных количествах решений этого уравнения. Наконецеще один участник привел чисто ​алгебраическое обоснование правоты Мани. +
-Ведущий пошел по пути "​других"​ (комбинаторщиков),​ но для надежности проверил свои теоретические выкладки возведением всех элементов S<​sub>​10</​sub>​ в квадрат (разумеется,​ не руками). Конкурсанты оказались более уверенными в себе и к мощи компа не прибегали (некоторые ​зря :-)).\\ +
-Дальнейшие рассуждения практически все вели, перебирая возможные длины наибольшего цикла. И только Влад Франк отталкивался от истинности или ложности утверждения Фаины, показав,​ что этот путь тоже ведет к верному ответу.+
  
-Увлекшись обобщениями вопроса о количестве решений уравнения X<​sup>​2</​sup>​=B в S<​sub>​10</​sub>,​ я доказал,​ что для любого простого p и любого n уравнение ​ X<​sup>​p</​sup>​=B имеет либо единственное решение,​ либо количество его решений кратно p (для составных показателей это уже не так).  +----
-Не остановшись на достигнутом,​ я вывел общую формулу для количества решений уравнения X<​sup>​k</​sup>​=B в S<​sub>​n</​sub>​ (понятно,​ что ответ зависит от цикловой структуры B). Конечно,​ я понимал,​ что вряд ли являюсь первопроходцем:​ уж больно классический объект и слишком естественна постановка задачи. Но всерьез гуглить начал лишь только получив результат. Разумеется,​ у меня нашлись предшественники. Причем,​ насколько мне удалось установить,​ первая работа с ответом на этот вопрос была на русском языке (хотя я старательно формулировал запрос на английском):​ http://​www.mathnet.ru/​php/​archive.phtml?​wshow=paper&​jrnid=sm&​paperid=2731&​option_lang=eng+
  
-Приведу все возможные количества решений X<​sup>​k</​sup>​=B в S<​sub>​n</​sub>​ для небольших k и n. 
  
-2\\ +===== ММ269 =====
-1 {1}\\ +
-2 {0, 2}\\ +
-3 {0, 1, 4}\\ +
-4 {0, 1, 2, 10}\\ +
-5 {0, 1, 2, 26}\\ +
-6 {0, 1, 4, 76}\\ +
-7 {0, 1, 2, 4, 8, 10, 232}\\ +
-8 {0, 1, 2, 4, 8, 12, 20, 26, 764}\\ +
-9 {0, 1, 2, 4, 10, 12, 16, 52, 76, 2620}\\ +
-10 {0, 1, 2, 4, 6, 8, 10, 24, 26, 40, 152, 232, 9496}+
  
-k = 3\\ + ​**Конкурсная задача ММ269** (11 баллов)
-1 {1}\\ +
-2 {1}\\ +
-3 {0, 1, 3}\\ +
-4 {0, 1, 9}\\ +
-5 {0, 1, 3, 21}\\ +
-6 {0, 1, 9, 81}\\ +
-7 {0, 1, 3, 9, 21, 351}\\ +
-8 {0, 1, 3, 9, 33, 81, 1233}\\ +
-9 {0, 1, 3, 9, 18, 21, 27, 33, 351, 5769}\\ +
-10 {0, 1, 3, 9, 18, 21, 33, 81, 1233, 31041}+
  
-k = 4\\ +Какова максимальная возможная степень вершины выпуклого многогранника\\  
-1 {1}\\ +a) класса ​3;\\ 
-2 {0, 2}\\ +b) класса ​4?
-3 {0, 1, 4}\\ +
-4 {0, 1, 16}\\ +
-5 {0, 1, 2, 56}\\ +
-6 {0, 1, 4, 256}\\ +
-7 {0, 1, 2, 4, 16, 1072}\\ +
-8 {0, 1, 4, 8, 48, 56, 6224}\\ +
-9 {0, 1, 2, 10, 16, 256, 33616}\\ +
-10 {0, 1, 2, 4, 6, 10, 56, 64, 96, 1072, 218656}+
  
-k = 5\\ +**Решение**
-1 {1}\\ +
-2 {1}\\ +
-3 {1}\\ +
-4 {1}\\ +
-5 {0, 1, 25}\\ +
-6 {0, 1, 145}\\ +
-7 {0, 1, 25, 505}\\ +
-8 {0, 1, 25, 145, 1345}\\ +
-9 {0, 1, 25, 145, 505, 3025}\\ +
-10 {0, 1, 25, 145, 385, 505, 1345, 78625}+
  
-k = 6\\ +Привожу решения ​{{:​marathon:​mm269_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}}, {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_269.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:​marathon:​shamsutdinov_mm269.docx|Константина Шамсутдинова}}. 
-1 {1}\\ + 
-2 {0, 2}\\ +**Обсуждение** ​
-3 {0, 6}\\ +
-4 {02, 18}\\ +
-5 {0, 1, 2, 66}\\ +
-6 {0, 1, 4, 396}\\ +
-7 {0, 1, 2, 12, 2052}\\ +
-8 {0, 1, 4, 6, 12, 36, 12636}\\ +
-9 {0, 2, 4, 12, 18, 132, 91548}\\ +
-10 {0, 2, 6, 8, 18, 24, 66, 792, 625176} ​+
  
-Поясню, как я реагировал ​на шибки при ​подсчете возможных ​количеств решений уравнения X<​sup>​2</​sup>​=B в S<​sub>​10</​sub>​. +Согласно традициям Марафона последние задачи каждого ​конкурса имеют повышенную ​сложность. Эта традиция сохранилась ​и в данном конкурсе.  
-Фатальная ошибка (вместо самих решений считалось лишь возможное количество их цикловых видов),​ приведшая к "​опровержению"​ утверждения Маширазумеется, ​нарушила ​весь дальнейший ход решения и была ​отражена в оценке. +Результатом ​этого усложнения чаще всего был отток значительной части конкурсантов. А эта ​традиция неожиданно была нарушена! Из тех, кто регулярно участвовал в нынешнем конкурсе, не прислали решения ​ММ269 ​всего два человека. А остальные ​порадовали, но не пощадили ведущего :-) Впрочем, после моей мольбывсе же сжалились, сократив самое длинное из решений на 40(!) страниц.
-Автору неверных комбинаторных формул при подсчете количеств решений повезло больше. Одно решение при этом не исчезлоа три не появилосьПоэтому дальнейшая цепочка рассуждний привела к верному ответу. Но оставить ощибки на промежуточных шагах без ​внимания я, конечно, ​не мог. +
-Наконец, локальные арифметические ошибки, не повлиявшие на решения ​я вовсе ​не учитывал. Пример такой ошибки есть ​в приведенном решения Анатолия Казмерчука (тамгде у Анатолия ​получилсь 18 решений должно быть 24)В самом деле, 18 получается как сумма двух слагаемыходно из которых ​подсчитано верно и равно 12. Понятно,​ что сумма при этом будет больше 3что ​собственно и требовалось. Поэтому данная вычислительная ​ошибка в принципе не могла повлиять на ход решения. +
-Неполный балл у Константина Шамсудтинова связан не с ошибками,​ а с недостаточно подробным ​изложением ​решения. Обосновав верную оценку утверждений ​Сани и Мани, Константин написал,​ что дальнейшее очевидно и привел павильный ответ+
  
-Закончу разбор выражением удовлетворения содержательным обсуждением ​предыдущей задачи и сожалениячто эта увлеченность помешала участникам диалога обратить ​внимание на нынешнюю.+Разумеется, ​основные страсти кипели вокруг обобщения задачи,​ очевидного по постановке вопроса. Но только по постановке. Да-да, ответ 3m-3 не годится! 
 +В какой-то момент у меня имелось три решения, в которых приводилась и обосновывалась точная формула для максимальной возможной степени ​вершины m-многогранника. Точнее, три разных формулы, дающих разные ответы :-)\\ 
 +Понимая, что ситуация, когда "Вася и Петя ​оба правы",​ маловероятна, ведущий был вынужден углубиться в многостраничные ​трактаты, воспользовавшись удачно подвернувшейся просьбой ​продлить срок приема решений. Дополнительное время не пропало даром. И ведущий и конкурсанты обнаружили некоторые ошибки и неточности в решениях. Во всех, ​кроме одного, в котором ошибок найти не удалось (или, все же, пока не удалось?). Желающие могут попробовать определить ​это решение из приводимого ​ниже списка ​начисленных призовых баллов (а также попытаться ​найти ошибки и в этом решении)
  
 **Награды** **Награды**
  
-За решение задачи ММ237 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ +За решение задачи ММ269 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ 
-Анатолий Казмерчук 10;\\ +Олег Полубасов ​18;\\ 
-vpb - 8;\\ +Мераб Левиашвили - 16;\\ 
-Виктор Филимоненков ​7;\\ +Анатолий Казмерчук - 13;\\ 
-Владислав Франк - 7;\\ +Константин Шамсутдинов - 13;\\ 
-Константин Шамсутдинов -6.\\ +Василий Дзюбенко - 11;\\ 
-Валентина Колыбасова - 5;\\ +Александр Романов ​11;\\ 
-Евгений Гужавин - 2;\\+Виктор Филимоненков - 11;\\ 
 +Денис Овчинников ​7.
  
-**Эстетическая оценка задачи - 4.балла**+**Эстетическая оценка задачи - 4.балла**
 ---- ----
  
-===== ММ240 ===== 
-**Конкурсная задача ММ2409** (13 баллов) 
  
-Решения принимаются до __01.12.2018__+===== ММ268 =====
  
-Проективную плоскость ​разбили несколькими прямыми общего положения. При этом образовалось ровно 17 треугольников. Сколько пятиугольников могло при этом получиться?​ +**Конкурсная задача ММ268** (9 баллов)
-----+
  
 +Назовем натуральное число m допустимым,​ если существует такое n, что из чисел 1,2,…,n можно составить сумму произведений,​ в которой каждое число встречается ровно один раз, равную m. Сколько существует недопустимых чисел? ​
 +
 +Примечание:​ в суммах произведений допускаются одиночные слагаемые. Например,​ число 148 допустимо,​ поскольку 148=1·3 + 2·5·8 + 4 + 6·9 + 7.
 +
 +[[problem 268|Решение задачи ММ268]]
  
-====== Разбор задач ====== 
 ---- ----
  
-===== ММ236 ===== 
  
-**Конкурсная задача ММ236** (7 баллов) 
  
-Натуральные числа от 1 до 4n разбили на четыре группы по n чисел в каждойОказалось, что ​произведение всех чисел из первой группы ​равно произведениям всех чисел из второй и третьей групп. Найти наименьшую возможную ​сумму чисел четвертой группы.Существует ли выпуклый многогранник, у которого равны: количество ребер; количество диагоналей; суммарное количество ​диагоналей граней? ​+===== ММ267 ===== 
 + 
 +**Конкурсная задача ММ267** (7 баллов) 
 + 
 +Вася ​и Петя поспорилиВася уверен, что ​среди ​представлений натурального числа n в виде суммы ​натуральных ​слагаемых чаще встречаются ​теу которых каждое ​слагаемое присутствует ​не более двух раз, чем те, у которых все слагаемые не кратны 3. Петя уверен в обратном. Кто из них прав? 
 + 
 +[[problem 267|Решение ​задачи ММ267]]
  
-[[problem 236|Решение задачи ММ236]] 
 ---- ----
  
 +===== ММ266 =====
 +
 +**Конкурсная задача ММ266** (7 баллов)
 +
 +Вася Пупкин выписал дни рождения семерых своих однокурсников,​ родившихся в январе одного и того же года, что и Вася, и, поэкспериментировав с выписанными числами,​ заметил два факта:​\\ ​
 +1) τ(n<​sup>​3</​sup>​ )=τ(n)<​sup>​2</​sup>,​ где n – произведение всех выписанных чисел;​\\
 +2) сумма кубов составных чисел больше суммы кубов остальных\\.
 +Найдите дни рождения Васиных товарищей,​ если известно,​ что все они младше Васи.
  
-===== ММ235 ===== +Примечание: при сравнении возрастов учитываются дни, но не часы рождения.
-**Конкурсная задача ​ММ235** (7 баллов)+
  
-Существует ли выпуклый многогранник, у которого равны: количество ребер; количество ​диагоналей;​ суммарное количество диагоналей граней?​+[[problem 266|Решение задачи ​ММ266]]
  
-[[problem 235|Решение задачи ММ235]] 
 ---- ----
  
 +===== ММ265 =====
  
-===== ММ234 ===== +**Конкурсная задача ММ265** (5 баллов)
-**Конкурсная задача ММ234** (5 баллов)+
  
-Функция g(n) натурального аргумента n задается так:\\ +Разрезать правильный треугольник на наименьшее возможное количество прямоугольных треугольников так, ​чтобы никакие два из возникших треугольников не были подобны. 
-Пусть натуральное число. Определим  f(n) как ​число, полученное удалением последней цифры из десятичной записи n, увеличенное на квадрат этой цифры.\\ + 
-Например,​ f(576) = 57 + 36 = 93.\\ +[[problem 265|Решение задачи ММ265]]
-Тогда g(n)  = |{n, f(n), f(f(n)), f(f(f(n))), …}|.\\ +
-Пусть a и b  –  2018-значные ​числа. ​Может ли оказаться,​ что g(a) = g(b) + 26?+
  
-[[problem 234|Решение задачи ММ234]] 
 ---- ----
  
 +===== ММ264 =====
  
-===== ММ233 ===== +**Конкурсная задача ММ264** (балла)
-  +
-**Конкурсная задача ММ233**  (баллов)\\ +
-Очередной отголосок ЕГЭ в Марафоне+
  
-При каких ​значениях ​параметра ​a множество точек плоскости, задаваемых системой \\ +Назовем пару натуральных чисел и аддитивной, если τ(a+b)=τ(a)+τ(b),σ(a+b)=σ(a)+σ(b)  ​и φ(a+b)=φ(a)+φ(b).  
- (x - a + 1)<​sup>​2</​sup> ​+ (y - 3)<​sup>​2</​sup>​ ≤ 80\\ +Доказать,​ что существует бесконечно много аддитивных пар.\\ 
-(x - 3)<​sup>​2</​sup> ​+ (y - 4a + 1)<​sup>​2</​sup>​ ≤ 20a<​sup>​2</​sup>,​ \\ + 
- 230 -  2a = |4x + 3y + 115 - a| + |4x + 3y - 115 + a\\ +(τ(n), σ(n), φ(n) - количество натуральных делителей, ​сумма натуральных делителей и функция Эйлера соответственно.) 
-является кругом?+ 
 +[[problem 264|Решение задачи ММ264]]
  
-[[problem 233|Решение задачи ММ233]] 
 ---- ----
  
-===== ММ232 ===== +===== ММ263 ===== 
-  + ​**Конкурсная задача ММ263** (балла)
-**Конкурсная задача ММ232**  (баллов)+
  
-Сколько решений ​в натуральных числах,  ​имеет уравнение ​**x<​sup>​3</​sup>​ + y<​sup>​3</​sup> ​z<​sup>​3</​sup>​ - i** для каждого  **i ∈ {1, 2, 4}** ?+Сколько решений ​может иметь уравнение ​[3x]{x} – [x]{3x} ​c, в зависимости ​от значения параметра c?\\
  
-Я нашел воистину замечательные ​ответы на эти вопросы, ​но поля... +([x] и {x} означают соответственно целую часть (пол) и дробную часть числа x.) 
-Надеюсь, у конкурсантов с полями все хорошо.+ 
 +[[problem 263|Решение задачи ММ263]]
  
-[[problem 232|Решение задачи ММ232]] 
 ---- ----
  
  
-===== ММ231 =====+===== ММ262 =====
    
-**Конкурсная задача ММ231**  (балла)+**Конкурсная задача ММ262** (балла)
  
-На сторонах AB, BC и AC египетского ​треугольника ​ABC выбрали точки C<​sub>​1</​sub>​A<​sub>​1</​sub> ​и B<​sub>​1</​sub> ​соответственно. Оказалось, что треугольники AB<​sub>​1</​sub>​C<​sub>​1</​sub>,​ BC<​sub>​1</​sub>​A<​sub>​1</​sub>​ и CA<​sub>​1</​sub>​B<​sub>​1</​sub> ​равновелики. Какую часть площади ABC составляет площадь треугольника ​A<​sub>​1</​sub>​B<​sub>​1</​sub>​C<​sub>​1</​sub> ​при условии, что последний - прямоугольный?+Разносторонний треугольник ​назовем прогрессивнымесли длины его ​сторон образуют арифметическую прогрессию 
 +Доказать, что треугольник ​прогрессивен тогда и только тогда, когда прямая, ​проходящая через точку Нагеля и центр Шпикерапараллельна средней стороне. 
  
-[[problem ​231|Решение задачи ММ231]]+Примечание:​ тривиальное решение (недаром цена задачи всего 3 балла) на ЕГЭ бы не приняли,​ но у нас, слава Богу, не ЕГЭ :-) 
 + 
 +[[problem ​262|Решение задачи ММ262]]
  
 ---- ----
 +===== ММ261 =====
 + 
 +**Конкурсная задача ММ261** (4 балла)
 +
 +Натуральные числа 1, 2, 3, ..., 100 разбили на 10 групп по 10 чисел. Найти наибольшую возможную сумму НОД этих десяток.
 +
 +[[problem 261|Решение задачи ММ261]]
 +
 +----
 +
  
 ~~NOTOC~~ ~~NOTOC~~
 

 


Страница: [[marathon:about]]

marathon/about.1540120516.txt · Последние изменения: 2018/10/21 14:15 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006