Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

--- marathon:about [2018/10/22 22:50]
letsko
+++ marathon:about [2021/06/17 17:02] (текущий)
letsko [Текущие задачи]
@@ Строка 1: / Строка 1: @@
- ====== Математический марафон ======
+====== Математический марафон ======
 {{ :marathon:konkurs.gif}}
@@ Строка 8: / Строка 8: @@
 ----
+**Завершен XXVII конкурс вамках Математического марафона**
-Стартовал **24-й конкурс в рамках Математического марафона**
+**Мои поздравления победителю конкурса, Мерабу Левиашвили, призерам, Анатолию Казмерчуку и Олегу Полубасову, а также всем тем, кто составил им достойную конкуренцию**
-Вслед за 23-м 24-й конкурс не посвящен какой-то единой тематике.
-Наоборот, я стремился сделать задачи максимально разнообразными. Ну или почти максимально разнообразными: любимая комбинаторная геометрия представлена таки несколькими задачами. Впрочем, и в рамках этой тематики тоже наблюдается разнообразие.
 Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания, выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными, а другие - не очень. На вкус и на цвет...
-Но если любите поломать голову над нестандартными задачами, участвуйте, не стесняйтесь.
+Но если вы любите поломать голову над нестандартными задачами, участвуйте, не стесняйтесь.
 Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас.
 Не забывайте, пожалуйста, присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале.
-----
  Ведущий Марафона
 --- //[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]//
+[[Afterword XXVII |Послесловие к XXVII конкурсу]]
+----
 ====== Текущие задачи ======
+----
+**На данный момент отсутствуют.**
 ----
-===== ММ238 =====
+====== Разбор задач ======
-**Конкурсная задача ММ238** (7 баллов)
+----
+=====
+Вектором граней выпуклого многогранника P назовем набор [f<sub>3</sub>, f<sub>4</sub>, …, f<sub>s</sub>], где f<sub>i</sub> – количество i-угольных граней P, а s - наибольшее число сторон грани. Будем говорить, что P относится к классу m, если max(f<sub>i</sub>) = m.
-Решения принимаются до __27.10.2018__
-Вася написал на доске k последовательных натуральных чисел и нашел их НОК - V.\\
-Петя написал k последовательных натуральных чисел, больших Васиных, и тоже нашел их НОК - P. \\
-Оказалось, что  2018 < V/P < 2019. \\
-При каком наименьшем k такое возможно?
 ----
-===== ММ239 =====
+**Конкурсная задача ММ270** (16 баллов)
-**Конкурсная задача ММ239** (10 баллов)
-Решения принимаются до __17.11.2018__
+Найти наибольшее возможное количество граней многогранника класса m.
-Существует ли выпуклый многогранник, у которого:\\
+**Решение**
-a) не менее половины граней - семиугольники;\\
-b) более половины граней - семиугольники; \\
-с) не менее половины граней - восьмиугольники;\\
-d) более половины граней - восьмиугольники;\\
-e) не менее половины граней  - девятиугольники?
-//Примечание: Если у вас получается, что ответ на пункт «а» отрицательный, а на пункт «b» - положительный, подумайте еще.//
+Привожу решения призеров конкурса, {{:marathon:mm_270_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}} и {{:marathon:kazmerchuk_mm_270.pdf|Анатолия Казмерчука}}, а также обобщение задачи победителя конкурса {{:marathon:обобщение-мм270.docx|Мераба Левиашвили}} .
-===== ММ240 =====
+**Обсуждение**
-**Конкурсная задача ММ2409** (13 баллов)
-Решения принимаются до __01.12.2018__
+В отличие от ММ269, где вопрос задачи был сформулирован для частных значений m, а обобщали его сами конкурсанты, в ММ270 сразу же был сформулирован общий вопрос. Объясняется это просто. В ММ269 ответа на общий вопрос ведущий на момент опубликования задачи не знал (и даже склонялся, но, к счастью не "доказал" неверный ответ). А для ММ270 у меня был верный обоснованный ответ.
-Проективную плоскость разбили несколькими прямыми общего положения. При этом образовалось ровно 17 треугольников. Сколько пятиугольников могло при этом получиться?
+Эта ситуация выбила почву из под ног большинства любителей обобщений. Да, практически все, решившие ММ270, нашли заодно и наибольшие количества вершин и ребер m-многогранников. Но ответы на эти вопросы становятся очевидны при успешном решении основной задачи. Единственным, кто изыскал возможности пообобщать стал Мераб Левиашвили. Он перешел от рассмотрения многогранников к рассмотрению простых (каждая вершина имеет степень n) политопов размерностей, больших 3. У таких политопов существуют грани разных размерностей. Соответственно можно рассматривать разные аналоги m-многогранников. Мераб остановился на случае двумерных граней. На основании известных соотношений Дена-Соммервиля он получил наименьшие значения m, для которых существуют n-мерные политопы класса m и верхние оценки для числа граней таких политопов для n \in {4, 5}, а также некоторые оценки для n \in {6, 7, 8}. Я привожу только обобщение задачи (присланное Мерабом отдельным документом), в том числе, и по причине слишком большого веса основного решения.
-----
+Во всех присланных решениях имеется содержится ответ 7m-4 для больших значений m. Разнятся эти решения степенью гипотетичности и обоснованности данного ответа, а также количеством частных значений m, подтверждающих данную гипотезу (это касается решений, где 7m-4 именно гипотеза).
-====== Разбор задач ======
-----
+**Награды**
+За решение задачи ММ270 участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\
+Мераб Левиашвили - 18;\\
+Олег Полубасов - 16;\\
+Анатолий Казмерчук - 16;\\
+Александр Романов - 16;\\
+Константин Шамсутдинов - 10;\\
+Виктор Филимоненков - 10;\\
+Денис Овчинников - 8.\\
+Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла
 ----
-===== ММ237 =====
-**Конкурсная задача ММ237** (7 баллов)
-Студент математического факультета Вася Пупкин написал на доске некоторую перестановку A из S<sub>10</sub>  в виде произведения независимых циклов (запись каждого цикла начинается с наименьшего элемента; опускались ли в записи циклы длины 1  - неизвестно).  Васины однокурсники прокомментировали эту запись.
-Аня: A<sup>6</sup>  – тождественная перестановка.\\
+===== ММ269 =====
-Ваня: Длины всех циклов A – числа Фибоначчи.\\
-Даня: В S<sub>10</sub> существует ровно 3 перестановки, квадрат которых равен A.\\
-Маня: Хм, уравнение X<sup>2</sup> =B не может иметь в S<sub>10</sub> ровно 3 решения ни при каком B.\\
-Саня: Более того, количество решений уравнения X<sup>2</sup> =B в S<sub>10</sub> не может быть нечетным  ни при каком B.\\
-Таня: Квадрат наибольшего элемента в самом длинном цикле меньше порядка A.\\
-Зина: A<sup>5</sup>  имеет столько же циклов, сколько и A.\\
-Лина: Внутри всех циклов элементы строго возрастают.\\
-Нина: Произведение всех элементов одного из циклов кратно произведению всех элементов более длинного цикла и сумме всех элементов более короткого.\\
-Фаина: Зина, Лина и Нина правы.
-Вася (умница и отличник) заметил, что количество верных утверждений его однокурсников равно наибольшей длине цикла в A.\\
+ **Конкурсная задача ММ269** (11 баллов)
-Найдите A.
+Какова максимальная возможная степень вершины выпуклого многогранника\\
+a) класса 3;\\
+b) класса 4?
 **Решение**
-Привожу решения {{:marathon:fiviol_мм237.docx|Виктора Филимоненкова}} и {{:marathon:kazmerchuk_mm_237.docx|Анатолия Казмерчука}}.
+Привожу решения {{:marathon:mm269_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}}, {{:marathon:kazmerchuk_mm_269.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:marathon:shamsutdinov_mm269.docx|Константина Шамсутдинова}}.
 **Обсуждение**
-Естественно конкурсанты начали решение с проверки утверждений Мани и Сани, истинность которых не зависит от записанной на доске перестановки.\\
+Согласно традициям Марафона последние задачи каждого конкурса имеют повышенную сложность. Эта традиция сохранилась и в данном конкурсе.
-Причем проверка утверждения Мани оказывается наиболее сложной частью задачи. Некоторые участники предпочли ограничиться доказательством отсутствия трех решений уравнения X<sup>2</sup>=B в S<sub>10</sub>, другие же рассмотрели более общий вопрос о возможных количествах решений этого уравнения. Наконец, еще один участник привел чисто алгебраическое обоснование правоты Мани.
+Результатом этого усложнения чаще всего был отток значительной части конкурсантов. А эта традиция неожиданно была нарушена! Из тех, кто регулярно участвовал в нынешнем конкурсе, не прислали решения ММ269 всего два человека. А остальные порадовали, но не пощадили ведущего :-) Впрочем, после моей мольбы, все же сжалились, сократив самое длинное из решений на 40(!) страниц.
-Ведущий пошел по пути "других" (комбинаторщиков), но для надежности проверил свои теоретические выкладки возведением всех элементов S<sub>10</sub> в квадрат (разумеется, не руками). Конкурсанты оказались более уверенными в себе и к мощи компа не прибегали (некоторые - зря :-)).\\
-Дальнейшие рассуждения практически все вели, перебирая возможные длины наибольшего цикла. И только Влад Франк отталкивался от истинности или ложности утверждения Фаины, показав, что этот путь тоже ведет к верному ответу.
-Увлекшись обобщениями вопроса о количестве решений уравнения X<sup>2</sup>=B в S<sub>10</sub>, я доказал, что для любого простого p и любого n уравнение  X<sup>p</sup>=B имеет либо единственное решение, либо количество его решений кратно p (для составных показателей это уже не так).
+Разумеется, основные страсти кипели вокруг обобщения задачи, очевидного по постановке вопроса. Но только по постановке. Да-да, ответ 3m-3 не годится!
-Не остановшись на достигнутом, я вывел общую формулу для количества решений уравнения X<sup>k</sup>=B в S<sub>n</sub> (понятно, что ответ зависит от цикловой структуры B). Конечно, я понимал, что вряд ли являюсь первопроходцем: уж больно классический объект и слишком естественна постановка задачи. Но всерьез гуглить начал лишь только получив результат. Разумеется, у меня нашлись предшественники. Причем, насколько мне удалось установить, первая работа с ответом на этот вопрос была на русском языке (хотя я старательно формулировал запрос на английском): http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=sm&paperid=2731&option_lang=eng
+В какой-то момент у меня имелось три решения, в которых приводилась и обосновывалась точная формула для максимальной возможной степени вершины m-многогранника. Точнее, три разных формулы, дающих разные ответы :-)\\
+Понимая, что ситуация, когда "Вася и Петя оба правы", маловероятна, ведущий был вынужден углубиться в многостраничные трактаты, воспользовавшись удачно подвернувшейся просьбой продлить срок приема решений. Дополнительное время не пропало даром. И ведущий и конкурсанты обнаружили некоторые ошибки и неточности в решениях. Во всех, кроме одного, в котором ошибок найти не удалось (или, все же, пока не удалось?). Желающие могут попробовать определить это решение из приводимого ниже списка начисленных призовых баллов (а также попытаться найти ошибки и в этом решении).
-Приведу все возможные количества решений X<sup>k</sup>=B в S<sub>n</sub> для небольших k и n.
+**Награды**
-k = 2\\
+За решение задачи ММ269 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\
-	{1}\\
+Олег Полубасов - 18;\\
-	{0, 2}\\
+Мераб Левиашвили - 16;\\
-	{0, 1, 4}\\
+Анатолий Казмерчук - 13;\\
-	{0, 1, 2, 10}\\
+Константин Шамсутдинов - 13;\\
-	{0, 1, 2, 26}\\
+Василий Дзюбенко - 11;\\
-	{0, 1, 4, 76}\\
+Александр Романов - 11;\\
-	{0, 1, 2, 4, 8, 10, 232}\\
+Виктор Филимоненков - 11;\\
-	{0, 1, 2, 4, 8, 12, 20, 26, 764}\\
+Денис Овчинников - 7.
-	{0, 1, 2, 4, 10, 12, 16, 52, 76, 2620}\\
-	{0, 1, 2, 4, 6, 8, 10, 24, 26, 40, 152, 232, 9496}
-k = 3\\
+**Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла**
-	{1}\\
+----
-	{1}\\
-	{0, 1, 3}\\
-	{0, 1, 9}\\
-	{0, 1, 3, 21}\\
-	{0, 1, 9, 81}\\
-	{0, 1, 3, 9, 21, 351}\\
-	{0, 1, 3, 9, 33, 81, 1233}\\
-	{0, 1, 3, 9, 18, 21, 27, 33, 351, 5769}\\
-	{0, 1, 3, 9, 18, 21, 33, 81, 1233, 31041}
-k = 4\\
-	{1}\\
-	{0, 2}\\
-	{0, 1, 4}\\
-	{0, 1, 16}\\
-	{0, 1, 2, 56}\\
-	{0, 1, 4, 256}\\
-	{0, 1, 2, 4, 16, 1072}\\
-	{0, 1, 4, 8, 48, 56, 6224}\\
-	{0, 1, 2, 10, 16, 256, 33616}\\
-	{0, 1, 2, 4, 6, 10, 56, 64, 96, 1072, 218656}
-k = 5\\
+===== ММ268 =====
-	{1}\\
-	{1}\\
-	{1}\\
-	{1}\\
-	{0, 1, 25}\\
-	{0, 1, 145}\\
-	{0, 1, 25, 505}\\
-	{0, 1, 25, 145, 1345}\\
-	{0, 1, 25, 145, 505, 3025}\\
-	{0, 1, 25, 145, 385, 505, 1345, 78625}
-k = 6\\
+**Конкурсная задача ММ268** (9 баллов)
-	{1}\\
-	{0, 2}\\
-	{0, 6}\\
-	{0, 2, 18}\\
-	{0, 1, 2, 66}\\
-	{0, 1, 4, 396}\\
-	{0, 1, 2, 12, 2052}\\
-	{0, 1, 4, 6, 12, 36, 12636}\\
-	{0, 2, 4, 12, 18, 132, 91548}\\
-	{0, 2, 6, 8, 18, 24, 66, 792, 625176}
-Поясню, как я реагировал на шибки при подсчете возможных количеств решений уравнения X<sup>2</sup>=B в S<sub>10</sub>.
+Назовем натуральное число m допустимым, если существует такое n, что из чисел 1,2,…,n можно составить сумму произведений, в которой каждое число встречается ровно один раз, равную m. Сколько существует недопустимых чисел?
-Фатальная ошибка (вместо самих решений считалось лишь возможное количество их цикловых видов), приведшая к "опровержению" утверждения Маши, разумеется, нарушила весь дальнейший ход решения и была отражена в оценке.
-Автору неверных комбинаторных формул при подсчете количеств решений повезло больше. Одно решение при этом не исчезло, а три не появилось. Поэтому дальнейшая цепочка рассуждний привела к верному ответу. Но оставить ощибки на промежуточных шагах без внимания я, конечно, не мог.
-Наконец, локальные арифметические ошибки, не повлиявшие на решения я вовсе не учитывал. Пример такой ошибки есть в приведенном решения Анатолия Казмерчука (там, где у Анатолия получилсь 18 решений должно быть 24). В самом деле, 18 получается как сумма двух слагаемых, одно из которых подсчитано верно и равно 12. Понятно, что сумма при этом будет больше 3, что собственно и требовалось. Поэтому данная вычислительная ошибка в принципе не могла повлиять на ход решения.
-Неполный балл у Константина Шамсудтинова связан не с ошибками, а с недостаточно подробным изложением решения. Обосновав верную оценку утверждений Сани и Мани, Константин написал, что дальнейшее очевидно и привел павильный ответ.
-Закончу разбор выражением удовлетворения содержательным обсуждением предыдущей задачи и сожаления, что эта увлеченность помешала участникам диалога обратить внимание на нынешнюю.
+Примечание: в суммах произведений допускаются одиночные слагаемые. Например, число 148 допустимо, поскольку 148=1·3 + 2·5·8 + 4 + 6·9 + 7.
-**Награды**
+[[problem 268|Решение задачи ММ268]]
-За решение задачи ММ237 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\
-Анатолий Казмерчук - 10;\\
-vpb - 8;\\
-Виктор Филимоненков - 7;\\
-Владислав Франк - 7;\\
-Константин Шамсутдинов -6.\\
-Валентина Колыбасова - 5;\\
-Евгений Гужавин - 2;\\
-**Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла**
 ----
-===== ММ236 =====
-**Конкурсная задача ММ236** (7 баллов)
-Натуральные числа от 1 до 4n разбили на четыре группы по n чисел в каждой. Оказалось, что произведение всех чисел из первой группы равно произведениям всех чисел из второй и третьей групп. Найти наименьшую возможную сумму чисел четвертой группы.Существует ли выпуклый многогранник, у которого равны: количество ребер; количество диагоналей; суммарное количество диагоналей граней?
+===== ММ267 =====
+**Конкурсная задача ММ267** (7 баллов)
+Вася и Петя поспорили. Вася уверен, что среди представлений натурального числа n в виде суммы натуральных слагаемых чаще встречаются те, у которых каждое слагаемое присутствует не более двух раз, чем те, у которых все слагаемые не кратны 3. Петя уверен в обратном. Кто из них прав?
+[[problem 267|Решение задачи ММ267]]
-[[problem 236|Решение задачи ММ236]]
 ----
+===== ММ266 =====
+**Конкурсная задача ММ266** (7 баллов)
+Вася Пупкин выписал дни рождения семерых своих однокурсников, родившихся в январе одного и того же года, что и Вася, и, поэкспериментировав с выписанными числами, заметил два факта:\\
+) τ(n<sup>3</sup> )=τ(n)<sup>2</sup>, где n – произведение всех выписанных чисел;\\
+) сумма кубов составных чисел больше суммы кубов остальных\\.
+Найдите дни рождения Васиных товарищей, если известно, что все они младше Васи.
-===== ММ235 =====
+Примечание: при сравнении возрастов учитываются дни, но не часы рождения.
-**Конкурсная задача ММ235** (7 баллов)
-Существует ли выпуклый многогранник, у которого равны: количество ребер; количество диагоналей; суммарное количество диагоналей граней?
+[[problem 266|Решение задачи ММ266]]
-[[problem 235|Решение задачи ММ235]]
 ----
+===== ММ265 =====
-===== ММ234 =====
+**Конкурсная задача ММ265** (5 баллов)
-**Конкурсная задача ММ234** (5 баллов)
-Функция g(n) натурального аргумента n задается так:\\
+Разрезать правильный треугольник на наименьшее возможное количество прямоугольных треугольников так, чтобы никакие два из возникших треугольников не были подобны.
-Пусть n натуральное число. Определим  f(n) как число, полученное удалением последней цифры из десятичной записи n, увеличенное на квадрат этой цифры.\\
-Например, f(576) = 57 + 36 = 93.\\
+[[problem 265|Решение задачи ММ265]]
-Тогда g(n)  = |{n, f(n), f(f(n)), f(f(f(n))), …}|.\\
-Пусть a и b  –  2018-значные числа. Может ли оказаться, что g(a) = g(b) + 26?
-[[problem 234|Решение задачи ММ234]]
 ----
+===== ММ264 =====
-===== ММ233 =====
+**Конкурсная задача ММ264** (4 балла)
-**Конкурсная задача ММ233**  (6 баллов)\\
-Очередной отголосок ЕГЭ в Марафоне
-При каких значениях параметра a множество точек плоскости, задаваемых системой \\
+Назовем пару натуральных чисел a и b аддитивной, если τ(a+b)=τ(a)+τ(b),σ(a+b)=σ(a)+σ(b)  и φ(a+b)=φ(a)+φ(b).
- (x - a + 1)<sup>2</sup> + (y - 3)<sup>2</sup> ≤ 80, \\
+Доказать, что существует бесконечно много аддитивных пар.\\
-(x - 3)<sup>2</sup> + (y - 4a + 1)<sup>2</sup> ≤ 20a<sup>2</sup>, \\
--  2a = |4x + 3y + 115 - a| + |4x + 3y - 115 + a| \\
+(τ(n), σ(n), φ(n) - количество натуральных делителей, сумма натуральных делителей и функция Эйлера соответственно.)
-является кругом?
+[[problem 264|Решение задачи ММ264]]
-[[problem 233|Решение задачи ММ233]]
 ----
-===== ММ232 =====
+===== ММ263 =====
+ **Конкурсная задача ММ263** (4 балла)
-**Конкурсная задача ММ232**  (6 баллов)
-Сколько решений в натуральных числах,  имеет уравнение **x<sup>3</sup> + y<sup>3</sup> = z<sup>3</sup> - i** для каждого  **i ∈ {1, 2, 4}** ?
+Сколько решений может иметь уравнение [3x]{x} – [x]{3x} = c, в зависимости от значения параметра c?\\
-Я нашел воистину замечательные ответы на эти вопросы, но поля...
+([x] и {x} означают соответственно целую часть (пол) и дробную часть числа x.)
-Надеюсь, у конкурсантов с полями все хорошо.
+[[problem 263|Решение задачи ММ263]]
-[[problem 232|Решение задачи ММ232]]
 ----
-===== ММ231 =====
+===== ММ262 =====
-**Конкурсная задача ММ231**  (4 балла)
+**Конкурсная задача ММ262** (3 балла)
-На сторонах AB, BC и AC египетского треугольника ABC выбрали точки C<sub>1</sub>, A<sub>1</sub> и B<sub>1</sub> соответственно. Оказалось, что треугольники AB<sub>1</sub>C<sub>1</sub>, BC<sub>1</sub>A<sub>1</sub> и CA<sub>1</sub>B<sub>1</sub> равновелики. Какую часть площади ABC составляет площадь треугольника A<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C<sub>1</sub> при условии, что последний - прямоугольный?
+Разносторонний треугольник назовем прогрессивным, если длины его сторон образуют арифметическую прогрессию.
+Доказать, что треугольник прогрессивен тогда и только тогда, когда прямая, проходящая через точку Нагеля и центр Шпикера, параллельна средней стороне.
-[[problem 231|Решение задачи ММ231]]
+Примечание: тривиальное решение (недаром цена задачи всего 3 балла) на ЕГЭ бы не приняли, но у нас, слава Богу, не ЕГЭ :-)
+[[problem 262|Решение задачи ММ262]]
 ----
+===== ММ261 =====
+**Конкурсная задача ММ261** (4 балла)
+Натуральные числа 1, 2, 3, ..., 100 разбили на 10 групп по 10 чисел. Найти наибольшую возможную сумму НОД этих десяток.
+[[problem 261|Решение задачи ММ261]]
+----
 ~~NOTOC~~