Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

marathon:about [2018/11/06 15:43]
letsko [ММ238]
marathon:about [2021/06/17 17:02] (текущий)
letsko [Текущие задачи]
Строка 1: Строка 1:
- ====== Математический марафон ======+====== Математический марафон ======
  
 {{ :​marathon:​konkurs.gif}} {{ :​marathon:​konkurs.gif}}
Строка 8: Строка 8:
  
 ---- ----
 +**Завершен XXVII конкурс вамках Математического марафона**
  
-Стартовал **24-й ​конкурс в рамках Математического марафона**+**Мои поздравления победителю ​конкурса, Мерабу Левиашвили,​ призерам, Анатолию Казмерчуку и Олегу Полубасову, ​а также всем тем, кто составил им достойную конкуренцию**
  
-Вслед за 23-м 24-й конкурс не посвящен какой-то единой тематике. ​ 
-Наоборот,​ я стремился сделать задачи максимально разнообразными. Ну или почти максимально разнообразными:​ любимая комбинаторная геометрия представлена таки несколькими задачами. Впрочем,​ и в рамках этой тематики тоже наблюдается разнообразие. 
  
 Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания,​ выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными,​ а другие - не очень. На вкус и на цвет... Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания,​ выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными,​ а другие - не очень. На вкус и на цвет...
  
-Но если любите поломать голову над нестандартными задачами,​ участвуйте,​ не стесняйтесь.+Но если ​вы любите поломать голову над нестандартными задачами,​ участвуйте,​ не стесняйтесь.
  
 Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас. Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас.
  
 Не забывайте,​ пожалуйста,​ присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале. ​ Не забывайте,​ пожалуйста,​ присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале. ​
----- 
  
  ​Ведущий Марафона  ​Ведущий Марафона
 --- //​[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]// --- //​[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]//
  
 +[[Afterword XXVII |Послесловие к XXVII конкурсу]]
 +
 +----
  
  
 ====== Текущие задачи ====== ====== Текущие задачи ======
 +----
 +**На данный момент отсутствуют.**
 ---- ----
  
  
-===== ММ239 ​===== +====== Разбор задач ====== 
-**Конкурсная задача ММ239** (10 баллов)+---- 
 +===== 
 +Вектором граней выпуклого многогранника P назовем набор [f<​sub>​3</​sub>,​ f<​sub>​4</​sub>,​ …, f<​sub>​s</​sub>​],​ где f<​sub>​i</​sub>​ – количество i-угольных граней P, а s - наибольшее число сторон грани. Будем говорить, что P относится к классу m, если max(f<​sub>​i</​sub>​= m.
  
-Решения принимаются до __17.11.2018__+----
  
-Существует ли выпуклый многогранник,​ у которого:​\\ 
-a) не менее половины граней - семиугольники;​\\ 
-b) более половины граней - семиугольники;​ \\ 
-с) не менее половины граней - восьмиугольники;​\\ 
-d) более половины граней - восьмиугольники;​\\ 
-e) не менее половины граней ​ - девятиугольники?​ 
  
-//​Примечание: Если ​у вас получается, что ответ на пункт «а» отрицательный, ​а на пункт «b» - положительный, подумайте еще.// ​+**Конкурсная задача ММ270** (16 баллов)
  
-===== ММ240 ===== +Найти наибольшее возможное количество граней многогранника класса m.
-**Конкурсная задача ММ2409** (13 баллов)+
  
-Решения принимаются до __01.12.2018__+**Решение**
  
-Проективную ​плоскость ​разбили несколькими прямыми общего положенияПри этом ​образовалось ровно 17 треугольников. Сколько пятиугольников ​могло при этом получиться? +Привожу решения призеров ​конкурса, {{:​marathon:​mm_270_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}} ​и {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_270.pdf|Анатолия Казмерчука}}, а также ​обобщение задачи победителя конкурса {{:​marathon:​обобщение-мм270.docx|Мераба Левиашвили}} .
-----+
  
 +**Обсуждение**
  
-====== ​Разбор задач ​====== +В отличие от ММ269, где вопрос задачи был сформулирован для частных значений m, а обобщали его сами конкурсанты,​ в ММ270 сразу же был сформулирован общий вопрос. Объясняется это просто. В ММ269 ответа на общий вопрос ведущий на момент опубликования задачи не знал (и даже склонялся,​ но, к счастью не "​доказал"​ неверный ответ). А для ММ270 у меня был верный обоснованный ответ. 
-----+ 
 +Эта ситуация выбила почву из под ног большинства любителей обобщений. Да, практически все, решившие ММ270, нашли заодно и наибольшие количества вершин и ребер m-многогранников. Но ответы на эти вопросы становятся очевидны при успешном решении основной задачи. Единственным,​ кто изыскал возможности пообобщать стал Мераб Левиашвили. Он перешел от рассмотрения многогранников к рассмотрению простых (каждая вершина имеет степень n) политопов размерностей,​ больших 3. У таких политопов существуют грани разных размерностей. Соответственно можно рассматривать разные аналоги m-многогранников. Мераб остановился на случае двумерных граней. На основании известных соотношений Дена-Соммервиля он получил наименьшие значения m, для которых существуют n-мерные политопы класса m и верхние оценки для числа граней таких политопов для n \in {4, 5}, а также некоторые оценки для n \in {6, 7, 8}. Я привожу только обобщение задачи (присланное Мерабом отдельным документом),​ в том числе, и по причине слишком большого веса основного решения. 
 + 
 +Во всех присланных решениях имеется содержится ответ 7m-4 для больших значений m. Разнятся эти решения степенью гипотетичности и обоснованности данного ответа,​ а также количеством частных значений m, подтверждающих данную гипотезу (это касается решений,​ где 7m-4 именно гипотеза). 
 + 
 + 
 +**Награды** 
 + 
 +За решение ​задачи ММ270 участники Марафона получают следующие призовые баллы:​\\ 
 +Мераб Левиашвили ​18;\\ 
 +Олег Полубасов ​16;\\ 
 +Анатолий Казмерчук ​16;\\ 
 +Александр Романов - 16;\\ 
 +Константин Шамсутдинов - 10;\\ 
 +Виктор Филимоненков - 10;\\ 
 +Денис Овчинников ​8.\\
  
-===== ММ238 ===== +Эстетическая ​оценка задачи - 4.8 балла
-**Конкурсная задача ММ238** (7 баллов)+
  
-Вася написал на доске k последовательных натуральных чисел и нашел их НОК - V.\\ 
-Петя написал k последовательных натуральных чисел, больших Васиных,​ и тоже нашел их НОК - P. \\ 
-Оказалось,​ что ​ 2018 < V/P < 2019. \\ 
-При каком наименьшем k такое возможно?​ 
 ---- ----
 +
 +
 +===== ММ269 =====
 +
 + ​**Конкурсная задача ММ269** (11 баллов)
 +
 +Какова максимальная возможная степень вершины выпуклого многогранника\\ ​
 +a) класса 3;\\
 +b) класса 4?
  
 **Решение** **Решение**
  
-Привожу решения {{:​marathon:​fiviol_мм238.docx|Виктора Филимоненкова}}, {{:​marathon:​guzhavine_mm238.pdf|Евгения ​Гужавина}} и {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_238.docx|Анатолия Казмерчука}}.+Привожу решения {{:​marathon:​mm269_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}}, {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_269.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:​marathon:​shamsutdinov_mm269.docx|Константина Шамсутдинова}}.
  
 **Обсуждение** ​ **Обсуждение** ​
  
-Наверное, марафонцы подустали. Так что, ​запланированный перерыв (на Реальный ​конкурс) будет весьма кстати.\\ +Согласно традициям Марафона последние задачи каждого ​конкурса имеют повышенную ​сложность. Эта традиция сохранилась и в данном конкурсе.  
-Полагаю, ​следствием этой усталости стало ​и значительное количество мелких неточностей в решениях, и тяжеловесный подход к простым вещам, и почти полное отсутствие аналогов, параллелей и обобщений. А этих ​самых параллелей ​немалоВпрочем, ​вслед за конкурсантами помолчу о них и я: приберегу для следующих задач.+Результатом этого усложнения чаще всего был отток ​значительной части конкурсантов. А эта традиция ​неожиданно была нарушена! Из тех, кто регулярно участвовал в нынешнем конкурсене прислали решения ММ269 всего два человека. А остальные порадовали, но не пощадили ведущего :-) Впрочем, ​после ​моей мольбы,​ все же сжалились,​ сократив самое длинное из решений на 40(!) страниц.
  
-Говоря о тяжеловесном подходе я имел в виду то, как многие конкурсанты оценивали M<​sub>​k</​sub>/​m<​sub>​k</​sub>,​ где M<​sub>​k</​sub> ​максимальное значение отношения произведения k последовательных чисел к их НОК, ​а m<​sub>​k</​sub>,​ соответственноминимальное. +Разумеется, ​основные страсти кипели вокруг ​обобщения задачи, очевидного ​по постановке вопроса. Но только по постановке. Да-да, ответ 3m-3 не годится! 
-Наиболее простым мне показался метод, ​примененный Владиславом Франком (правдаприменяя его Влад пару раз обсчитался ​:-) \\ +В какой-то ​момент у меня имелось три решения, в которых ​приводилась и обосновывалась точная формула для максимальной возможной степени вершины m-многогранника. Точнеетри разных формулы, дающих ​разные ​ответы ​:-)\\ 
-Проиллюстрирую подход Влада на примере нахождения M<​sub>​9</​sub>/​m<​sub>​9</​sub>:​ Среди девяти последовательных чисел ровно три кратно 3 и ровно одно кратно 9. Поэтому множитель 3 не войдет ​в искомое отношение. Однако туда войдут множители 5 и 7, так среди последовательных чисел может быть как два, так и одно кратное 5 (7). Наконец, если произведение девяти чисел начинается с числа ​кратного ​8, то его отношение ​к НОК будет в 8 раз больше, чем в случае, когда произведение начинается ​с нечетного числа. Итого M<​sub>​9</​sub>/​m<​sub>​9</​sub>​=280.+Понимая, что ​ситуация, когда "Вася и Петя оба правы", ​маловероятна, ведущий был ​вынужден углубиться в многостраничные трактаты, воспользовавшись удачно подвернувшейся просьбой продлить срок приема решений. Дополнительное время не пропало даром. И ведущий и конкурсанты обнаружили некоторые ошибки ​и неточности в решениях. Во всех, кроме одного, ​в котором ошибок ​найти не удалось (или, все же, пока не удалось?). Желающие могут попробовать определить это решение ​из приводимого ​ниже списка ​начисленных призовых баллов (а также попытаться найти ошибки и в этом решении)
  
-Только один из конкурсантов заметил (по крайней мере, только один отметил),​ что M<​sub>​k</​sub>/​m<​sub>​k</​sub>​ равно {LCM(1,​2,​...,​k)/​k (см. https://​oeis.org/​A002944) ​ 
- 
-Некоторые участники не стали приводит примеров Васиных и Петиных чисел (если при этом существование таких чисел было строго обосновано,​ баллы не снимались),​ другие же - привели,​ ни разу при этом не повторившись. 
-Минимальный пример приведен в решении Анатолия Казмерчука. Васины числа начинаются с 21169, а Петины с 21600. По-видимому,​ это наименьшие подходящие числа. По крайней мере, в авторском решении фигурируют именно они. А я, кажется,​ искал именно наименьшие. Впрочем,​ задача составлялась в апреле и подробности я уже забыл, а в сохранившемся maple-документе нет ни одного комментария :-( 
-  
 **Награды** **Награды**
  
-За решение задачи ММ238 участники Марафона получают следующие призовые баллы:​\\ +За решение задачи ММ269 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ 
-Анатолий Казмерчук - 7;\\ +Олег Полубасов - 18;\\ 
-vpb - 7;\\ +Мераб Левиашвили 16;\\ 
-Виктор Филимоненков - 7;\\ +Анатолий Казмерчук - 13;\\ 
-Владимир Чубанов - 7;\\ +Константин Шамсутдинов - 13;\\ 
-Евгений Гужавин 7;\\ +Василий Дзюбенко - 11;\\ 
-Владислав Франк - 6;\\ +Александр Романов - 11;\\ 
-Константин Шамсутдинов -6;\\ +Виктор Филимоненков - 11;\\ 
-Владимир Дорофеев -5.+Денис Овчинников - 7.
  
-**Эстетическая оценка задачи - 4.балла**+**Эстетическая оценка задачи - 4.балла**
 ---- ----
  
-===== ММ237 ===== 
-**Конкурсная задача ММ237** (7 баллов) 
  
-Студент математического факультета Вася Пупкин написал на доске некоторую перестановку A из S<​sub>​10</​sub> ​ в виде произведения независимых циклов (запись каждого цикла начинается с наименьшего элемента;​ опускались ли в записи циклы длины 1  - неизвестно). ​ Васины однокурсники прокомментировали эту запись.+===== ММ268 =====
  
-Аня: A<​sup>​6</​sup> ​ – тождественная перестановка.\\ +**Конкурсная ​задача ​ММ268** (9 баллов)
-Ваня: Длины всех циклов A – числа Фибоначчи.\\ +
-Даня: В S<​sub>​10</​sub>​ существует ровно 3 перестановки, квадрат которых равен A.\\ +
-Маня: Хм, уравнение X<​sup>​2</​sup>​ =B не может иметь в S<​sub>​10</​sub>​ ровно 3 решения ни при каком B.\\ +
-Саня: Более того, количество решений уравнения X<​sup>​2</​sup>​ =B в S<​sub>​10</​sub>​ не может ​быть нечетным ​ ни при каком B.\\ +
-Таня: Квадрат наибольшего элемента в самом длинном цикле меньше порядка A.\\ +
-Зина: A<​sup>​5</​sup> ​ имеет столько же циклов,​ сколько и A.\\ +
-Лина: Внутри всех циклов элементы строго возрастают.\\ +
-Нина: Произведение всех элементов одного из циклов кратно произведению всех элементов более длинного цикла и сумме всех элементов более короткого.\\ +
-Фаина: Зина, Лина и Нина правы.+
  
-Вася (умница и отличник) заметил, что количество ​верных утверждений ​его однокурсников равно наибольшей длине цикла в A.\\ +Назовем натуральное число m допустимым,​ если существует такое n, что из чисел 1,2,…,n можно составить сумму произведений, в которой каждое число встречается ровно ​один раз, равную m. Сколько существует ​недопустимых чисел? 
-Найдите A. +
  
-**Решение**+Примечание: в суммах произведений допускаются одиночные слагаемые. Например,​ число 148 допустимо,​ поскольку 148=1·3 + 2·5·8 + 4 + 6·9 + 7.
  
-Привожу решения {{:​marathon:​fiviol_мм237.docx|Виктора Филимоненкова}} и {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_237.docx|Анатолия Казмерчука}}.+[[problem 268|Решение ​задачи ММ268]]
  
-**Обсуждение** ​+----
  
-Естественно конкурсанты начали решение с проверки утверждений Мани и Сани, истинность которых не зависит от записанной на доске перестановки.\\ 
-Причем проверка утверждения Мани оказывается наиболее сложной частью задачи. Некоторые участники предпочли ограничиться доказательством отсутствия трех решений уравнения X<​sup>​2</​sup>​=B в S<​sub>​10</​sub>,​ другие же рассмотрели более общий вопрос о возможных количествах решений этого уравнения. Наконец,​ еще один участник привел чисто алгебраическое обоснование правоты Мани. 
-Ведущий пошел по пути "​других"​ (комбинаторщиков),​ но для надежности проверил свои теоретические выкладки возведением всех элементов S<​sub>​10</​sub>​ в квадрат (разумеется,​ не руками). Конкурсанты оказались более уверенными в себе и к мощи компа не прибегали (некоторые - зря :-)).\\ 
-Дальнейшие рассуждения практически все вели, перебирая возможные длины наибольшего цикла. И только Влад Франк отталкивался от истинности или ложности утверждения Фаины, показав,​ что этот путь тоже ведет к верному ответу. 
  
-Увлекшись обобщениями вопроса о количестве решений уравнения X<​sup>​2</​sup>​=B в S<​sub>​10</​sub>,​ я доказал,​ что для любого простого p и любого n уравнение ​ X<​sup>​p</​sup>​=B имеет либо единственное решение,​ либо количество его решений кратно p (для составных показателей это уже не так). ​ 
-Не остановшись на достигнутом,​ я вывел общую формулу для количества решений уравнения X<​sup>​k</​sup>​=B в S<​sub>​n</​sub>​ (понятно,​ что ответ зависит от цикловой структуры B). Конечно,​ я понимал,​ что вряд ли являюсь первопроходцем:​ уж больно классический объект и слишком естественна постановка задачи. Но всерьез гуглить начал лишь только получив результат. Разумеется,​ у меня нашлись предшественники. Причем,​ насколько мне удалось установить,​ первая работа с ответом на этот вопрос была на русском языке (хотя я старательно формулировал запрос на английском):​ http://​www.mathnet.ru/​php/​archive.phtml?​wshow=paper&​jrnid=sm&​paperid=2731&​option_lang=eng 
  
-Приведу все возможные количества решений X<​sup>​k</​sup>​=B в S<​sub>​n</​sub>​ для небольших k и n.+===== ММ267 =====
  
-k = 2\\ +**Конкурсная задача ММ267** (баллов)
-1 {1}\\ +
-2 {0, 2}\\ +
-3 {0, 1, 4}\\ +
-4 {0, 1, 2, 10}\\ +
-5 {0, 1, 2, 26}\\ +
-6 {0, 1, 4, 76}\\ +
-7 {0, 1, 2, 4, 8, 10, 232}\\ +
-8 {0, 1, 2, 4, 8, 12, 20, 26, 764}\\ +
-9 {0, 1, 2, 4, 10, 12, 16, 52, 76, 2620}\\ +
-10 {0, 1, 2, 4, 6, 8, 10, 24, 26, 40, 152, 232, 9496}+
  
-k = 3\\ +Вася и Петя поспорили. Вася уверенчто среди представлений натурального числа n в виде суммы натуральных слагаемых чаще встречаются теу которых каждое слагаемое присутствует не более двух разчем теу которых все слагаемые не кратны ​3. Петя уверен в обратном. Кто из них прав?
-1 {1}\\ +
-2 {1}\\ +
-3 {013}\\ +
-4 {01, 9}\\ +
-5 {0, 1, 3, 21}\\ +
-6 {0, 1, 9, 81}\\ +
-7 {0, 1, 3, 9, 21, 351}\\ +
-8 {0, 1, 3, 9, 33, 81, 1233}\\ +
-9 {0, 1, 3, 9, 18, 21, 27, 33, 351, 5769}\\ +
-10 {0, 1, 3, 9, 18, 21, 33, 81, 1233, 31041}+
  
-k = 4\\ +[[problem 267|Решение задачи ММ267]]
-1 {1}\\ +
-2 {0, 2}\\ +
-3 {0, 1, 4}\\ +
-4 {0, 1, 16}\\ +
-5 {0, 1, 2, 56}\\ +
-6 {0, 1, 4, 256}\\ +
-7 {0, 1, 2, 4, 16, 1072}\\ +
-8 {0, 1, 4, 8, 48, 56, 6224}\\ +
-9 {0, 1, 2, 10, 16, 256, 33616}\\ +
-10 {0, 1, 2, 4, 6, 10, 56, 64, 96, 1072, 218656}+
  
-k = 5\\ +----
-1 {1}\\ +
-2 {1}\\ +
-3 {1}\\ +
-4 {1}\\ +
-5 {0, 1, 25}\\ +
-6 {0, 1, 145}\\ +
-7 {0, 1, 25, 505}\\ +
-8 {0, 1, 25, 145, 1345}\\ +
-9 {0, 1, 25, 145, 505, 3025}\\ +
-10 {0, 1, 25, 145, 385, 505, 1345, 78625}+
  
-6\\ +===== ММ266 =====
-1 {1}\\ +
-2 {0, 2}\\ +
-3 {0, 6}\\ +
-4 {0, 2, 18}\\ +
-5 {0, 1, 2, 66}\\ +
-6 {0, 1, 4, 396}\\ +
-7 {0, 1, 2, 12, 2052}\\ +
-8 {0, 1, 4, 6, 12, 36, 12636}\\ +
-9 {0, 2, 4, 12, 18, 132, 91548}\\ +
-10 {0, 2, 6, 8, 18, 24, 66, 792, 625176} ​+
  
-Поясню, как я реагировал на шибки при подсчете возможных количеств решений ​уравнения X<​sup>​2</​sup>​=B в S<​sub>​10</​sub>​. +**Конкурсная задача ​ММ266** (7 баллов)
-Фатальная ошибка (вместо самих решений считалось лишь возможное количество их цикловых видов),​ приведшая к "​опровержению"​ утверждения Маши, разумеется,​ нарушила весь ​дальнейший ход решения и была отражена в оценке. +
-Автору неверных комбинаторных формул при подсчете количеств решений повезло больше. Одно решение при этом не исчезло, ​а три не появилось. Поэтому дальнейшая цепочка рассуждний привела к верному ответу. Но оставить ощибки на промежуточных шагах без внимания я, конечно,​ не мог. +
-Наконец, ​локальные арифметические ошибки,​ не повлиявшие на решения я вовсе не учитывал. Пример такой ошибки есть в приведенном решения Анатолия Казмерчука (там, где у Анатолия получилсь 18 решений должно быть 24). В самом деле, 18 получается как сумма двух слагаемых,​ одно из которых подсчитано верно и равно 12. Понятно,​ что сумма при этом будет больше 3, что собственно и требовалось. Поэтому данная вычислительная ошибка в принципе не могла повлиять на ход решения. +
-Неполный балл у Константина Шамсудтинова связан не с ошибками,​ а с недостаточно подробным изложением решения. Обосновав верную оценку утверждений Сани и Мани, Константин написал,​ что дальнейшее очевидно и привел павильный ответ. ​+
  
-Закончу разбор ​выражением ​удовлетворения содержательным обсуждением предыдущей задачи и сожаления, что ​эта увлеченность помешала ​участникам диалога обратить ​внимание на нынешнюю.+Вася Пупкин выписал дни рождения семерых своих однокурсников, ​родившихся в январе одного ​и того же года, что ​и Вася, и, поэкспериментировав ​с выписанными числами, заметил два факта:\\  
 +1) τ(n<​sup>​3</​sup>​ )=τ(n)<​sup>​2</​sup>,​ где n – произведение всех выписанных чисел;\\ 
 +2) сумма кубов составных чисел больше суммы кубов остальных\\. 
 +Найдите дни рождения Васиных товарищей,​ если известно, что все они младше Васи.
  
-**Награды**+Примечание: при сравнении возрастов учитываются ​дни, но не часы рождения.
  
-За решение задачи ММ237 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ +[[problem 266|Решение задачи ММ266]]
-Анатолий Казмерчук - 10;\\ +
-vpb - 8;\\ +
-Виктор Филимоненков - 7;\\ +
-Владислав Франк - 7;\\ +
-Константин Шамсутдинов -6.\\ +
-Валентина Колыбасова - 5;\\ +
-Евгений Гужавин - 2;\\+
  
-**Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла** 
 ---- ----
  
-===== ММ236 =====+===== ММ265 =====
  
-**Конкурсная задача ММ236** (баллов)+**Конкурсная задача ММ265** (баллов)
  
-Натуральные числа от 1 до 4n разбили на четыре группы по n чисел в каждой. Оказалось, что произведение всех чисел из первой группы равно произведениям всех чисел из второй и третьей групп. Найти ​наименьшую возможную сумму чисел четвертой группы.Существует ли выпуклый многогранник, у которого равны: ​количество ребер; количество диагоналей; суммарное ​количество диагоналей граней? +Разрезать правильный треугольник на наименьшее возможное количество прямоугольных треугольников такчтобы никакие ​два из возникших треугольников не были подобны. 
 + 
 +[[problem 265|Решение задачи ММ265]]
  
-[[problem 236|Решение задачи ММ236]] 
 ---- ----
  
 +===== ММ264 =====
  
-===== ММ235 ===== +**Конкурсная задача ММ264** (балла)
-**Конкурсная задача ММ235** (баллов)+
  
-Существует ли выпуклый многогранник, у которого равны: количество ребер; количество диагоналей;​ суммарное количество диагоналей граней?+Назовем пару натуральных чисел a и b аддитивной, если τ(a+b)=τ(a)+τ(b),​σ(a+b)=σ(a)+σ(b) ​ и φ(a+b)=φ(a)+φ(b).  
 +Доказать, ​что существует бесконечно много аддитивных пар.\\
  
-[[problem 235|Решение ​задачи ММ235]] +(τ(n), σ(n), φ(n) - количество ​натуральных делителей, сумма натуральных делителей и функция Эйлера соответственно.)
-----+
  
 +[[problem 264|Решение задачи ММ264]]
  
-===== ММ234 ===== +----
-**Конкурсная задача ММ234** (5 баллов)+
  
-Функция g(n) натурального аргумента n задается так:\\ +===== ММ263 ===== 
-Пусть n натуральное число. Определим ​ f(n) как число, полученное удалением последней цифры из десятичной ​записи n, увеличенное на квадрат этой цифры.\\ + **Конкурсная задача ММ263** ​(4 балла)
-Например,​ f(576) = 57 + 36 = 93.\\ +
-Тогда g(n)  = |{n, f(n), f(f(n)), f(f(f(n))), …}|.\\ +
-Пусть a и b  –  2018-значные числа. Может ​ли оказаться,​ что g(a) = g(b+ 26?+
  
-[[problem 234|Решение задачи ​ММ234]] +Сколько решений может иметь уравнение [3x]{x} – [x]{3x} = c, в зависимости от значения параметра c?\\
-----+
  
 +([x] и {x} означают соответственно целую часть (пол) и дробную часть числа x.)
  
-===== ММ233 ===== +[[problem 263|Решение задачи ММ263]]
-  +
-**Конкурсная задача ММ233** ​ (6 баллов)\\ +
-Очередной отголосок ЕГЭ в Марафоне +
- +
-При каких значениях параметра a множество точек плоскости, ​задаваемых системой \\ +
- (x - a + 1)<​sup>​2</​sup>​ + (y - 3)<​sup>​2</​sup>​ ≤ 80, \\ +
-(x - 3)<​sup>​2</​sup>​ + (y - 4a + 1)<​sup>​2</​sup>​ ≤ 20a<​sup>​2</​sup>,​ \\ +
- 230 -  2a = |4x + 3y + 115 - a| + |4x + 3y - 115 + a| \\ +
-является кругом?​+
  
-[[problem 233|Решение задачи ММ233]] 
 ---- ----
  
-===== ММ232 =====+ 
 +===== ММ262 =====
    
-**Конкурсная задача ММ232**  (баллов)+**Конкурсная задача ММ262** (балла)
  
-Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение ​**x<​sup>​3</​sup>​ + y<​sup>​3</​sup>​ = z<​sup>​3</​sup>​ - i** для каждого  **i ∈ {1, 2, 4}** ?+Разносторонний треугольник назовем прогрессивным, если длины его сторон образуют арифметическую прогрессию.  
 +Доказать, что треугольник прогрессивен тогда и только тогда, когда прямая, проходящая через точку Нагеля и центр Шпикера, параллельна средней стороне. 
  
-Я нашел воистину замечательные ответы на эти вопросы, но поля... +Примечание: ​тривиальное решение (недаром цена ​задачи всего 3 балла) на ЕГЭ бы не приняли, но у нас, слава Богу, не ЕГЭ :-)
-Надеюсьу конкурсантов с полями все хорошо.+
  
-[[problem ​232|Решение задачи ММ232]] +[[problem ​262|Решение задачи ММ262]]
-----+
  
- +---- 
-===== ММ231 =====+===== ММ261 =====
    
-**Конкурсная задача ММ231**  (4 балла)+**Конкурсная задача ММ261** (4 балла)
  
-На сторонах AB, BC и AC египетского треугольника ABC выбрали точки C<​sub>​1</​sub>​A<​sub>​1</​sub>​ и B<​sub>​1</​sub>​ соответственноОказалось, что треугольники AB<​sub>​1</​sub>​C<​sub>​1</​sub>,​ BC<​sub>​1</​sub>​A<​sub>​1</​sub>​ и CA<​sub>​1</​sub>​B<​sub>​1</​sub>​ равновеликиКакую часть площади ABC составляет площадь треугольника A<​sub>​1</​sub>​B<​sub>​1</​sub>​C<​sub>​1</​sub>​ при ​условии, что последний - прямоугольный?​+Натуральные числа ​1, 2, 3, ..., 100 разбили на 10 групп по 10 чисел. Найти наибольшую возможную сумму НОД этих десяток.
  
-[[problem ​231|Решение задачи ММ231]]+[[problem ​261|Решение задачи ММ261]]
  
 ---- ----
 +
  
 ~~NOTOC~~ ~~NOTOC~~
 

 


Страница: [[marathon:about]]

marathon/about.1541508209.txt · Последние изменения: 2018/11/06 15:43 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006