marathon:about [2019/06/08 17:04] letsko [Математический марафон] |
marathon:about [2021/06/17 17:02] (текущий) letsko [Текущие задачи] |
| |
---- | ---- |
| **Завершен XXVII конкурс вамках Математического марафона** |
| |
Стартовал **XXV юбилейный конкурс в рамках Математического марафона!** | **Мои поздравления победителю конкурса, Мерабу Левиашвили, призерам, Анатолию Казмерчуку и Олегу Полубасову, а также всем тем, кто составил им достойную конкуренцию** |
| |
Активная фаза начнется осенью. Но решать задачи можно (и нужно) уже сейчас. | |
| |
Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания, выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными, а другие - не очень. На вкус и на цвет... | Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания, выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными, а другие - не очень. На вкус и на цвет... |
| |
Но если любите поломать голову над нестандартными задачами, участвуйте, не стесняйтесь. | Но если вы любите поломать голову над нестандартными задачами, участвуйте, не стесняйтесь. |
| |
Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас. | Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас. |
| |
Не забывайте, пожалуйста, присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале. | Не забывайте, пожалуйста, присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале. |
---- | |
| |
Ведущий Марафона | Ведущий Марафона |
--- //[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]// | --- //[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]// |
| |
| [[Afterword XXVII |Послесловие к XXVII конкурсу]] |
| |
| ---- |
| |
| |
====== Текущие задачи ====== | ====== Текущие задачи ====== |
| ---- |
| **На данный момент отсутствуют.** |
---- | ---- |
| |
=== Уже готовятся === | |
| |
| ====== Разбор задач ====== |
---- | ---- |
| ===== |
| Вектором граней выпуклого многогранника P назовем набор [f<sub>3</sub>, f<sub>4</sub>, …, f<sub>s</sub>], где f<sub>i</sub> – количество i-угольных граней P, а s - наибольшее число сторон грани. Будем говорить, что P относится к классу m, если max(f<sub>i</sub>) = m. |
| |
====== Разбор задач ====== | |
---- | ---- |
| |
===== ММ240 ===== | |
**Конкурсная задача ММ2409** (13 баллов) | |
| |
Проективную плоскость разбили несколькими прямыми общего положения. При этом образовалось ровно 17 треугольников. Сколько пятиугольников могло при этом получиться? | **Конкурсная задача ММ270** (16 баллов) |
| |
| Найти наибольшее возможное количество граней многогранника класса m. |
| |
**Решение** | **Решение** |
| |
Привожу решения {{:marathon:fiviol_мм240.docx|Виктора Филимоненкова}}, {{:marathon:kosshams_mm240.docx|Константина Шамсутдинова}} и {{:marathon:kazmerchuk_mm240.docx|Анатолия Казмерчука}}. | Привожу решения призеров конкурса, {{:marathon:mm_270_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}} и {{:marathon:kazmerchuk_mm_270.pdf|Анатолия Казмерчука}}, а также обобщение задачи победителя конкурса {{:marathon:обобщение-мм270.docx|Мераба Левиашвили}} . |
| |
**Обсуждение** | **Обсуждение** |
| |
Задача ММ240 - побочный продукт попытки найти решение другой задачи.\\ | В отличие от ММ269, где вопрос задачи был сформулирован для частных значений m, а обобщали его сами конкурсанты, в ММ270 сразу же был сформулирован общий вопрос. Объясняется это просто. В ММ269 ответа на общий вопрос ведущий на момент опубликования задачи не знал (и даже склонялся, но, к счастью не "доказал" неверный ответ). А для ММ270 у меня был верный обоснованный ответ. |
Я пытался понять, верно ли, что любом n>4 можно найти такое расположение n прямых общего положения на проективной плоскости, что в разбиении будут возникать только треугольники, четырехугольники и пятиугольники. | |
Мы с ученицей (которой я предложил эту задачу) довольно быстро продвинулись в деле отыскания все больших n, но на общий принцип (а есть ли он?) так и не вышли. | |
Надо будет внимательнее присмотреться к подходам, предложенным конкурсантами. Возможно, они помогут решить и задачу-предшественник. | |
| |
В условии фиксировалось количество треугольников, но не прямых. Любопытно, что, доказывая реализуемость возможных значений пятиугольников приводили конфигурации с различными количествами прямых:\\ | Эта ситуация выбила почву из под ног большинства любителей обобщений. Да, практически все, решившие ММ270, нашли заодно и наибольшие количества вершин и ребер m-многогранников. Но ответы на эти вопросы становятся очевидны при успешном решении основной задачи. Единственным, кто изыскал возможности пообобщать стал Мераб Левиашвили. Он перешел от рассмотрения многогранников к рассмотрению простых (каждая вершина имеет степень n) политопов размерностей, больших 3. У таких политопов существуют грани разных размерностей. Соответственно можно рассматривать разные аналоги m-многогранников. Мераб остановился на случае двумерных граней. На основании известных соотношений Дена-Соммервиля он получил наименьшие значения m, для которых существуют n-мерные политопы класса m и верхние оценки для числа граней таких политопов для n \in {4, 5}, а также некоторые оценки для n \in {6, 7, 8}. Я привожу только обобщение задачи (присланное Мерабом отдельным документом), в том числе, и по причине слишком большого веса основного решения. |
Виктор Филимонеков использовал от 9 до 11 и от 15 до 17 прямых:\\ | |
Анатолий Казмерчук от 12 до 17 прямых;\\ | |
в авторском решении участвуют от 9 до 17 прямых, исключая 15.\\ | |
Наиболее красиво в этом плане решение Константина Шамсутдинова, в котором все конфигурации построены по единой схеме с использованием только 17 прямых (мне до сих пор не верится, что такое возможно). | |
| |
За сим заканчиваю обзор завершающей задачи XXIV Марафонского конкурса и приступаю к: подведению итогов; поиску ошибок в решении Константина; размышлению над тем, почему никто не догадался использовать 18 прямых :-) | Во всех присланных решениях имеется содержится ответ 7m-4 для больших значений m. Разнятся эти решения степенью гипотетичности и обоснованности данного ответа, а также количеством частных значений m, подтверждающих данную гипотезу (это касается решений, где 7m-4 именно гипотеза). |
| |
**Награды** | |
| |
За решение задачи ММ240 участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\ | |
Константин Шамсутдинов - 16;\\ | |
Анатолий Казмерчук - 15;\\ | |
Виктор Филимоненков - 13;\\ | |
Владимир Чубанов - 7. | |
| |
**Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла** | **Награды** |
---- | |
| |
| За решение задачи ММ270 участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\ |
| Мераб Левиашвили - 18;\\ |
| Олег Полубасов - 16;\\ |
| Анатолий Казмерчук - 16;\\ |
| Александр Романов - 16;\\ |
| Константин Шамсутдинов - 10;\\ |
| Виктор Филимоненков - 10;\\ |
| Денис Овчинников - 8.\\ |
| |
===== ММ239 ===== | Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла |
**Конкурсная задача ММ239** (10 баллов) | |
| ---- |
| |
Решения принимаются до __17.11.2018__ | |
| |
Существует ли выпуклый многогранник, у которого:\\ | ===== ММ269 ===== |
a) не менее половины граней - семиугольники;\\ | |
b) более половины граней - семиугольники; \\ | |
с) не менее половины граней - восьмиугольники;\\ | |
d) более половины граней - восьмиугольники;\\ | |
e) не менее половины граней - девятиугольники? | |
| |
//Примечание: Если у вас получается, что ответ на пункт «а» отрицательный, а на пункт «b» - положительный, подумайте еще.// | **Конкурсная задача ММ269** (11 баллов) |
| |
| Какова максимальная возможная степень вершины выпуклого многогранника\\ |
| a) класса 3;\\ |
| b) класса 4? |
| |
**Решение** | **Решение** |
| |
Привожу решения {{:marathon:fiviol_мм239.docx|Виктора Филимоненкова}} и {{:marathon:kazmerchuk_mm_239.docx|Анатолия Казмерчука}}. | Привожу решения {{:marathon:mm269_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}}, {{:marathon:kazmerchuk_mm_269.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:marathon:shamsutdinov_mm269.docx|Константина Шамсутдинова}}. |
| |
**Обсуждение** | **Обсуждение** |
| |
Ровно в половине всех присланных (и всех приведенных) решений авторы обошлись без картининок. | Согласно традициям Марафона последние задачи каждого конкурса имеют повышенную сложность. Эта традиция сохранилась и в данном конкурсе. |
Чтобы восполнить этот пробел, приведу пару своих картинок (зря, чтоли рисовал?).\\ | Результатом этого усложнения чаще всего был отток значительной части конкурсантов. А эта традиция неожиданно была нарушена! Из тех, кто регулярно участвовал в нынешнем конкурсе, не прислали решения ММ269 всего два человека. А остальные порадовали, но не пощадили ведущего :-) Впрочем, после моей мольбы, все же сжалились, сократив самое длинное из решений на 40(!) страниц. |
Первый рисунок иллюстрирует ответы сразу к трем пунктам задачи: a), b), c). | |
Отрезав от додекаэдра красные вершины, получим многогранник в котором более (а значит, и не менее) половины граней являются семиугольниками. | |
Если же наоборот, оставить красные вершины, а остальные отрезать, получим многогранник, в котором ровно половина граней - восьмиугольники. | |
| |
{{ :marathon:dode_red.png?direct |[url=https://radikal.ru][img]https://c.radikal.ru/c29/1811/ee/fe9c0eb0fc7c.png[/img][/url]}} | Разумеется, основные страсти кипели вокруг обобщения задачи, очевидного по постановке вопроса. Но только по постановке. Да-да, ответ 3m-3 не годится! |
| В какой-то момент у меня имелось три решения, в которых приводилась и обосновывалась точная формула для максимальной возможной степени вершины m-многогранника. Точнее, три разных формулы, дающих разные ответы :-)\\ |
| Понимая, что ситуация, когда "Вася и Петя оба правы", маловероятна, ведущий был вынужден углубиться в многостраничные трактаты, воспользовавшись удачно подвернувшейся просьбой продлить срок приема решений. Дополнительное время не пропало даром. И ведущий и конкурсанты обнаружили некоторые ошибки и неточности в решениях. Во всех, кроме одного, в котором ошибок найти не удалось (или, все же, пока не удалось?). Желающие могут попробовать определить это решение из приводимого ниже списка начисленных призовых баллов (а также попытаться найти ошибки и в этом решении). |
| |
На втором рисунке приведен граф многогранника с вектором граней (28,0,0,4,0,36), обосновывающий положительный ответ к пункту d). | |
| |
{{ :marathon:28-0-0-4-0-36.jpg?direct |[url=https://radikal.ru][img]https://b.radikal.ru/b16/1811/db/cc6dba0522fa.jpg[/img][/url] | |
}} | |
ММ239 (как и ММ235) - это отголосок XXII Марафонского конкурса, посвященного данной тематике. Участники, пропустившие тот конкурс, вынуждены были переотрывать утверждения типа Теоремы Эберхарда etc (конечно, можно было просто найти нужные результаты в сети, но наши конкурсанты не ищут легких путей :-)). С удовольствием констатирую, что нашлись те, кто преодолел эти трудности (были ли те, кто не смог - неизвестно, они решений не прислали).\\ | |
Изучение вопроса о верхней грани отношения количества k-угольных граней к общему числу граней (6\le k\le 12) поощрялось дополнительными баллами. В случае **vpb**, это поощрение скомпенсировалось сбавкой за штейнеровское отношение к читателю :-). (Каюсь, сам я работ Якоба Штейнера в первоисточнике не читал, но, говорят, он свои сугубо геометрические выкладки вообще не снабжал чертежами.) | |
Остальные изъятия сделаны либо за отсутствие примеров на некоторые пункты, либо за присутствие примеров с невозможными многогранниками (с нецелым количеством ребер :-)) | |
Волшебное превращение восьмиугольных граней в семиугольные (при склейке по общей треугольной грани) я оценивать не стал :-) | |
| |
**Награды** | **Награды** |
| |
За решение задачи ММ239 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ | За решение задачи ММ269 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ |
Анатолий Казмерчук - 12;\\ | Олег Полубасов - 18;\\ |
Владимир Чубанов - 11;\\ | Мераб Левиашвили - 16;\\ |
vpb - 10;\\ | Анатолий Казмерчук - 13;\\ |
Константин Шамсутдинов - 10;\\ | Константин Шамсутдинов - 13;\\ |
Виктор Филимоненков - 9;\\ | Василий Дзюбенко - 11;\\ |
Владислав Франк - 6. | Александр Романов - 11;\\ |
| Виктор Филимоненков - 11;\\ |
| Денис Овчинников - 7. |
| |
**Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла** | **Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла** |
---- | ---- |
| |
| |
===== ММ238 ===== | ===== ММ268 ===== |
**Конкурсная задача ММ238** (7 баллов) | |
| |
Вася написал на доске k последовательных натуральных чисел и нашел их НОК - V.\\ | **Конкурсная задача ММ268** (9 баллов) |
Петя написал k последовательных натуральных чисел, больших Васиных, и тоже нашел их НОК - P. \\ | |
Оказалось, что 2018 < V/P < 2019. \\ | |
При каком наименьшем k такое возможно? | |
---- | |
| |
**Решение** | Назовем натуральное число m допустимым, если существует такое n, что из чисел 1,2,…,n можно составить сумму произведений, в которой каждое число встречается ровно один раз, равную m. Сколько существует недопустимых чисел? |
| |
Привожу решения {{:marathon:fiviol_мм238.docx|Виктора Филимоненкова}}, {{:marathon:guzhavine_mm238.pdf|Евгения Гужавина}} и {{:marathon:kazmerchuk_mm_238.docx|Анатолия Казмерчука}}. | Примечание: в суммах произведений допускаются одиночные слагаемые. Например, число 148 допустимо, поскольку 148=1·3 + 2·5·8 + 4 + 6·9 + 7. |
| |
**Обсуждение** | [[problem 268|Решение задачи ММ268]] |
| |
Наверное, марафонцы подустали. Так что, запланированный перерыв (на Реальный конкурс) будет весьма кстати.\\ | |
Полагаю, следствием этой усталости стало и значительное количество мелких неточностей в решениях, и тяжеловесный подход к простым вещам, и почти полное отсутствие аналогов, параллелей и обобщений. А этих самых параллелей немало. Впрочем, вслед за конкурсантами помолчу о них и я: приберегу для следующих задач. | |
| |
Говоря о тяжеловесном подходе я имел в виду то, как многие конкурсанты оценивали M<sub>k</sub>/m<sub>k</sub>, где M<sub>k</sub> - максимальное значение отношения произведения k последовательных чисел к их НОК, а m<sub>k</sub>, соответственно, минимальное. | |
Наиболее простым мне показался метод, примененный Владиславом Франком (правда, применяя его Влад пару раз обсчитался :-) \\ | |
Проиллюстрирую подход Влада на примере нахождения M<sub>9</sub>/m<sub>9</sub>: Среди девяти последовательных чисел ровно три кратно 3 и ровно одно кратно 9. Поэтому множитель 3 не войдет в искомое отношение. Однако туда войдут множители 5 и 7, так среди 9 последовательных чисел может быть как два, так и одно кратное 5 (7). Наконец, если произведение девяти чисел начинается с числа кратного 8, то его отношение к НОК будет в 8 раз больше, чем в случае, когда произведение начинается с нечетного числа. Итого M<sub>9</sub>/m<sub>9</sub>=280. | |
| |
Только один из конкурсантов заметил (по крайней мере, только один отметил), что M<sub>k</sub>/m<sub>k</sub> равно {LCM(1,2,...,k)/k (см. https://oeis.org/A002944) | |
| |
Некоторые участники не стали приводит примеров Васиных и Петиных чисел (если при этом существование таких чисел было строго обосновано, баллы не снимались), другие же - привели, ни разу при этом не повторившись. | |
Минимальный пример приведен в решении Анатолия Казмерчука. Васины числа начинаются с 21169, а Петины с 21600. По-видимому, это наименьшие подходящие числа. По крайней мере, в авторском решении фигурируют именно они. А я, кажется, искал именно наименьшие. Впрочем, задача составлялась в апреле и подробности я уже забыл, а в сохранившемся maple-документе нет ни одного комментария :-( | |
| |
**Награды** | |
| |
За решение задачи ММ238 участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\ | |
Анатолий Казмерчук - 7;\\ | |
vpb - 7;\\ | |
Виктор Филимоненков - 7;\\ | |
Владимир Чубанов - 7;\\ | |
Евгений Гужавин - 7;\\ | |
Владислав Франк - 6;\\ | |
Константин Шамсутдинов - 6;\\ | |
Владимир Дорофеев -5. | |
| |
**Эстетическая оценка задачи - 4.9 балла** | |
---- | ---- |
| |
===== ММ237 ===== | |
**Конкурсная задача ММ237** (7 баллов) | |
| |
Студент математического факультета Вася Пупкин написал на доске некоторую перестановку A из S<sub>10</sub> в виде произведения независимых циклов (запись каждого цикла начинается с наименьшего элемента; опускались ли в записи циклы длины 1 - неизвестно). Васины однокурсники прокомментировали эту запись. | |
| |
Аня: A<sup>6</sup> – тождественная перестановка.\\ | ===== ММ267 ===== |
Ваня: Длины всех циклов A – числа Фибоначчи.\\ | |
Даня: В S<sub>10</sub> существует ровно 3 перестановки, квадрат которых равен A.\\ | |
Маня: Хм, уравнение X<sup>2</sup> =B не может иметь в S<sub>10</sub> ровно 3 решения ни при каком B.\\ | |
Саня: Более того, количество решений уравнения X<sup>2</sup> =B в S<sub>10</sub> не может быть нечетным ни при каком B.\\ | |
Таня: Квадрат наибольшего элемента в самом длинном цикле меньше порядка A.\\ | |
Зина: A<sup>5</sup> имеет столько же циклов, сколько и A.\\ | |
Лина: Внутри всех циклов элементы строго возрастают.\\ | |
Нина: Произведение всех элементов одного из циклов кратно произведению всех элементов более длинного цикла и сумме всех элементов более короткого.\\ | |
Фаина: Зина, Лина и Нина правы. | |
| |
Вася (умница и отличник) заметил, что количество верных утверждений его однокурсников равно наибольшей длине цикла в A.\\ | **Конкурсная задача ММ267** (7 баллов) |
Найдите A. | |
| |
**Решение** | Вася и Петя поспорили. Вася уверен, что среди представлений натурального числа n в виде суммы натуральных слагаемых чаще встречаются те, у которых каждое слагаемое присутствует не более двух раз, чем те, у которых все слагаемые не кратны 3. Петя уверен в обратном. Кто из них прав? |
| |
Привожу решения {{:marathon:fiviol_мм237.docx|Виктора Филимоненкова}} и {{:marathon:kazmerchuk_mm_237.docx|Анатолия Казмерчука}}. | [[problem 267|Решение задачи ММ267]] |
| |
**Обсуждение** | ---- |
| |
Естественно конкурсанты начали решение с проверки утверждений Мани и Сани, истинность которых не зависит от записанной на доске перестановки.\\ | ===== ММ266 ===== |
Причем проверка утверждения Мани оказывается наиболее сложной частью задачи. Некоторые участники предпочли ограничиться доказательством отсутствия трех решений уравнения X<sup>2</sup>=B в S<sub>10</sub>, другие же рассмотрели более общий вопрос о возможных количествах решений этого уравнения. Наконец, еще один участник привел чисто алгебраическое обоснование правоты Мани. | |
Ведущий пошел по пути "других" (комбинаторщиков), но для надежности проверил свои теоретические выкладки возведением всех элементов S<sub>10</sub> в квадрат (разумеется, не руками). Конкурсанты оказались более уверенными в себе и к мощи компа не прибегали (некоторые - зря :-)).\\ | |
Дальнейшие рассуждения практически все вели, перебирая возможные длины наибольшего цикла. И только Влад Франк отталкивался от истинности или ложности утверждения Фаины, показав, что этот путь тоже ведет к верному ответу. | |
| |
Увлекшись обобщениями вопроса о количестве решений уравнения X<sup>2</sup>=B в S<sub>10</sub>, я доказал, что для любого простого p и любого n уравнение X<sup>p</sup>=B имеет либо единственное решение, либо количество его решений кратно p (для составных показателей это уже не так). | **Конкурсная задача ММ266** (7 баллов) |
Не остановшись на достигнутом, я вывел общую формулу для количества решений уравнения X<sup>k</sup>=B в S<sub>n</sub> (понятно, что ответ зависит от цикловой структуры B). Конечно, я понимал, что вряд ли являюсь первопроходцем: уж больно классический объект и слишком естественна постановка задачи. Но всерьез гуглить начал лишь только получив результат. Разумеется, у меня нашлись предшественники. Причем, насколько мне удалось установить, первая работа с ответом на этот вопрос была на русском языке (хотя я старательно формулировал запрос на английском): http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=sm&paperid=2731&option_lang=eng | |
| |
Приведу все возможные количества решений X<sup>k</sup>=B в S<sub>n</sub> для небольших k и n. | Вася Пупкин выписал дни рождения семерых своих однокурсников, родившихся в январе одного и того же года, что и Вася, и, поэкспериментировав с выписанными числами, заметил два факта:\\ |
| 1) τ(n<sup>3</sup> )=τ(n)<sup>2</sup>, где n – произведение всех выписанных чисел;\\ |
| 2) сумма кубов составных чисел больше суммы кубов остальных\\. |
| Найдите дни рождения Васиных товарищей, если известно, что все они младше Васи. |
| |
k = 2\\ | Примечание: при сравнении возрастов учитываются дни, но не часы рождения. |
1 {1}\\ | |
2 {0, 2}\\ | |
3 {0, 1, 4}\\ | |
4 {0, 1, 2, 10}\\ | |
5 {0, 1, 2, 26}\\ | |
6 {0, 1, 4, 76}\\ | |
7 {0, 1, 2, 4, 8, 10, 232}\\ | |
8 {0, 1, 2, 4, 8, 12, 20, 26, 764}\\ | |
9 {0, 1, 2, 4, 10, 12, 16, 52, 76, 2620}\\ | |
10 {0, 1, 2, 4, 6, 8, 10, 24, 26, 40, 152, 232, 9496} | |
| |
k = 3\\ | [[problem 266|Решение задачи ММ266]] |
1 {1}\\ | |
2 {1}\\ | |
3 {0, 1, 3}\\ | |
4 {0, 1, 9}\\ | |
5 {0, 1, 3, 21}\\ | |
6 {0, 1, 9, 81}\\ | |
7 {0, 1, 3, 9, 21, 351}\\ | |
8 {0, 1, 3, 9, 33, 81, 1233}\\ | |
9 {0, 1, 3, 9, 18, 21, 27, 33, 351, 5769}\\ | |
10 {0, 1, 3, 9, 18, 21, 33, 81, 1233, 31041} | |
| |
k = 4\\ | ---- |
1 {1}\\ | |
2 {0, 2}\\ | |
3 {0, 1, 4}\\ | |
4 {0, 1, 16}\\ | |
5 {0, 1, 2, 56}\\ | |
6 {0, 1, 4, 256}\\ | |
7 {0, 1, 2, 4, 16, 1072}\\ | |
8 {0, 1, 4, 8, 48, 56, 6224}\\ | |
9 {0, 1, 2, 10, 16, 256, 33616}\\ | |
10 {0, 1, 2, 4, 6, 10, 56, 64, 96, 1072, 218656} | |
| |
k = 5\\ | ===== ММ265 ===== |
1 {1}\\ | |
2 {1}\\ | |
3 {1}\\ | |
4 {1}\\ | |
5 {0, 1, 25}\\ | |
6 {0, 1, 145}\\ | |
7 {0, 1, 25, 505}\\ | |
8 {0, 1, 25, 145, 1345}\\ | |
9 {0, 1, 25, 145, 505, 3025}\\ | |
10 {0, 1, 25, 145, 385, 505, 1345, 78625} | |
| |
k = 6\\ | **Конкурсная задача ММ265** (5 баллов) |
1 {1}\\ | |
2 {0, 2}\\ | |
3 {0, 6}\\ | |
4 {0, 2, 18}\\ | |
5 {0, 1, 2, 66}\\ | |
6 {0, 1, 4, 396}\\ | |
7 {0, 1, 2, 12, 2052}\\ | |
8 {0, 1, 4, 6, 12, 36, 12636}\\ | |
9 {0, 2, 4, 12, 18, 132, 91548}\\ | |
10 {0, 2, 6, 8, 18, 24, 66, 792, 625176} | |
| |
Поясню, как я реагировал на шибки при подсчете возможных количеств решений уравнения X<sup>2</sup>=B в S<sub>10</sub>. | Разрезать правильный треугольник на наименьшее возможное количество прямоугольных треугольников так, чтобы никакие два из возникших треугольников не были подобны. |
Фатальная ошибка (вместо самих решений считалось лишь возможное количество их цикловых видов), приведшая к "опровержению" утверждения Маши, разумеется, нарушила весь дальнейший ход решения и была отражена в оценке. | |
Автору неверных комбинаторных формул при подсчете количеств решений повезло больше. Одно решение при этом не исчезло, а три не появилось. Поэтому дальнейшая цепочка рассуждний привела к верному ответу. Но оставить ощибки на промежуточных шагах без внимания я, конечно, не мог. | |
Наконец, локальные арифметические ошибки, не повлиявшие на решения я вовсе не учитывал. Пример такой ошибки есть в приведенном решения Анатолия Казмерчука (там, где у Анатолия получилсь 18 решений должно быть 24). В самом деле, 18 получается как сумма двух слагаемых, одно из которых подсчитано верно и равно 12. Понятно, что сумма при этом будет больше 3, что собственно и требовалось. Поэтому данная вычислительная ошибка в принципе не могла повлиять на ход решения. | |
Неполный балл у Константина Шамсудтинова связан не с ошибками, а с недостаточно подробным изложением решения. Обосновав верную оценку утверждений Сани и Мани, Константин написал, что дальнейшее очевидно и привел павильный ответ. | |
| |
Закончу разбор выражением удовлетворения содержательным обсуждением предыдущей задачи и сожаления, что эта увлеченность помешала участникам диалога обратить внимание на нынешнюю. | [[problem 265|Решение задачи ММ265]] |
| |
**Награды** | ---- |
| |
За решение задачи ММ237 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ | ===== ММ264 ===== |
Анатолий Казмерчук - 10;\\ | |
vpb - 8;\\ | |
Виктор Филимоненков - 7;\\ | |
Владислав Франк - 7;\\ | |
Константин Шамсутдинов -6.\\ | |
Валентина Колыбасова - 5;\\ | |
Евгений Гужавин - 2;\\ | |
| |
**Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла** | **Конкурсная задача ММ264** (4 балла) |
---- | |
| |
===== ММ236 ===== | Назовем пару натуральных чисел a и b аддитивной, если τ(a+b)=τ(a)+τ(b),σ(a+b)=σ(a)+σ(b) и φ(a+b)=φ(a)+φ(b). |
| Доказать, что существует бесконечно много аддитивных пар.\\ |
| |
**Конкурсная задача ММ236** (7 баллов) | (τ(n), σ(n), φ(n) - количество натуральных делителей, сумма натуральных делителей и функция Эйлера соответственно.) |
| |
Натуральные числа от 1 до 4n разбили на четыре группы по n чисел в каждой. Оказалось, что произведение всех чисел из первой группы равно произведениям всех чисел из второй и третьей групп. Найти наименьшую возможную сумму чисел четвертой группы.Существует ли выпуклый многогранник, у которого равны: количество ребер; количество диагоналей; суммарное количество диагоналей граней? | [[problem 264|Решение задачи ММ264]] |
| |
[[problem 236|Решение задачи ММ236]] | |
---- | ---- |
| |
| ===== ММ263 ===== |
| **Конкурсная задача ММ263** (4 балла) |
| |
===== ММ235 ===== | Сколько решений может иметь уравнение [3x]{x} – [x]{3x} = c, в зависимости от значения параметра c?\\ |
**Конкурсная задача ММ235** (7 баллов) | |
| |
Существует ли выпуклый многогранник, у которого равны: количество ребер; количество диагоналей; суммарное количество диагоналей граней? | |
| |
[[problem 235|Решение задачи ММ235]] | |
---- | |
| |
===== ММ234 ===== | ([x] и {x} означают соответственно целую часть (пол) и дробную часть числа x.) |
**Конкурсная задача ММ234** (5 баллов) | |
| |
Функция g(n) натурального аргумента n задается так:\\ | [[problem 263|Решение задачи ММ263]] |
Пусть n натуральное число. Определим f(n) как число, полученное удалением последней цифры из десятичной записи n, увеличенное на квадрат этой цифры.\\ | |
Например, f(576) = 57 + 36 = 93.\\ | |
Тогда g(n) = |{n, f(n), f(f(n)), f(f(f(n))), …}|.\\ | |
Пусть a и b – 2018-значные числа. Может ли оказаться, что g(a) = g(b) + 26? | |
| |
[[problem 234|Решение задачи ММ234]] | |
---- | ---- |
| |
| |
===== ММ233 ===== | ===== ММ262 ===== |
| |
**Конкурсная задача ММ233** (6 баллов)\\ | **Конкурсная задача ММ262** (3 балла) |
Очередной отголосок ЕГЭ в Марафоне | |
| |
При каких значениях параметра a множество точек плоскости, задаваемых системой \\ | Разносторонний треугольник назовем прогрессивным, если длины его сторон образуют арифметическую прогрессию. |
(x - a + 1)<sup>2</sup> + (y - 3)<sup>2</sup> ≤ 80, \\ | Доказать, что треугольник прогрессивен тогда и только тогда, когда прямая, проходящая через точку Нагеля и центр Шпикера, параллельна средней стороне. |
(x - 3)<sup>2</sup> + (y - 4a + 1)<sup>2</sup> ≤ 20a<sup>2</sup>, \\ | |
230 - 2a = |4x + 3y + 115 - a| + |4x + 3y - 115 + a| \\ | |
является кругом? | |
| |
[[problem 233|Решение задачи ММ233]] | Примечание: тривиальное решение (недаром цена задачи всего 3 балла) на ЕГЭ бы не приняли, но у нас, слава Богу, не ЕГЭ :-) |
---- | |
| |
===== ММ232 ===== | [[problem 262|Решение задачи ММ262]] |
| |
**Конкурсная задача ММ232** (6 баллов) | |
| |
Сколько решений в натуральных числах, имеет уравнение **x<sup>3</sup> + y<sup>3</sup> = z<sup>3</sup> - i** для каждого **i ∈ {1, 2, 4}** ? | |
| |
Я нашел воистину замечательные ответы на эти вопросы, но поля... | |
Надеюсь, у конкурсантов с полями все хорошо. | |
| |
[[problem 232|Решение задачи ММ232]] | |
---- | ---- |
| ===== ММ261 ===== |
| |
===== ММ231 ===== | |
| |
**Конкурсная задача ММ231** (4 балла) | **Конкурсная задача ММ261** (4 балла) |
| |
На сторонах AB, BC и AC египетского треугольника ABC выбрали точки C<sub>1</sub>, A<sub>1</sub> и B<sub>1</sub> соответственно. Оказалось, что треугольники AB<sub>1</sub>C<sub>1</sub>, BC<sub>1</sub>A<sub>1</sub> и CA<sub>1</sub>B<sub>1</sub> равновелики. Какую часть площади ABC составляет площадь треугольника A<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C<sub>1</sub> при условии, что последний - прямоугольный? | Натуральные числа 1, 2, 3, ..., 100 разбили на 10 групп по 10 чисел. Найти наибольшую возможную сумму НОД этих десяток. |
| |
[[problem 231|Решение задачи ММ231]] | [[problem 261|Решение задачи ММ261]] |
| |
---- | ---- |
| |
| |
~~NOTOC~~ | ~~NOTOC~~ |