|
||||||||||||||||||
|
Это старая версия документа. Математический марафонСтартовал XXV юбилейный конкурс в рамках Математического марафона! Активная фаза начнется осенью. Но решать задачи можно (и нужно) уже сейчас. Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания, выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными, а другие - не очень. На вкус и на цвет… Но если любите поломать голову над нестандартными задачами, участвуйте, не стесняйтесь. Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас. Не забывайте, пожалуйста, присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале. Ведущий Марафона — Vladimir letsko Текущие задачиММ241Конкурсная задача ММ241 (4 балла) Решения принимаются до 06.09.2019 При каких натуральных n множество {1,2,…,n} можно разбить на два подмножества так, что произведение элементов первого подмножества равно сумме элементов второго? ММ242Конкурсная задача ММ242 (5 баллов) (по мотивам №19 ЕГЭ) Решения принимаются до 13.09.2019
На сайте проводится опрос, кого из m номинированных футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует один раз за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста – доля голосов, отданных за него, в процентах, округленных до целого числа. После того, как проголосовали n посетителей, суммарный рейтинг номинантов составил 95%. ММ243Конкурсная задача ММ243 (5 баллов) Решения принимаются до 20.09.2019 В треугольнике ABC a<b<c и a⋅la=c⋅lc. Найти угол β. ММ244Конкурсная задача ММ244 (6 баллов) Решения принимаются до 27.09.2019
Галя предложила Ане, Боре и Васе такую загадку: ММ245Конкурсная задача ММ245 (5 баллов) Решения принимаются до 04.10.2019 В остроугольном треугольнике ABC провели высоту BH. Найти отношение площадей треугольников ABH и CBH, если первый из них подобен треугольнику из своих медиан, а второй – треугольнику из своих высот. ММ246Конкурсная задача ММ246 (7 баллов) Решения принимаются до 11.10.2019 Сколько (с точностью до подобия) существует разносторонних треугольников, разрезаемых на два равнобедренных более чем одним способом? ММ247Конкурсная задача ММ247 (7 баллов) Решения принимаются до 18.10.2019
Пусть k – фиксированное натуральное число. Для натуральных n определим функцию
fk(n)=(lcm(n,n+1,…,n+k-1))/(lcm(n+1,n+2,…,n+k)). ММ248Конкурсная задача ММ248 (8 баллов) Решения принимаются до 25.10.2019 Найти наименьшее натуральное k такое, что во множестве {(τ(kn))/(τ(n))|n ∈ N} ровно 13 целых чисел. ММ249Конкурсная задача ММ249 (10 баллов) Решения принимаются до 01.11.2019 Пусть k – натуральное число и a – некоторая перестановка 2020-элементного множества. Может ли уравнение xk = a иметь ровно 2020 решений? ММ250Конкурсная задача ММ250 (14 баллов) Решения принимаются до 29.11.2019 Найти наименьшее возможное количество ребер выпуклого многогранника, у которого сумма длин ребер равна сумме длин диагоналей. Разбор задачММ240Конкурсная задача ММ2409 (13 баллов) Проективную плоскость разбили несколькими прямыми общего положения. При этом образовалось ровно 17 треугольников. Сколько пятиугольников могло при этом получиться? Решение Привожу решения Виктора Филимоненкова, Константина Шамсутдинова и Анатолия Казмерчука. Обсуждение
Задача ММ240 - побочный продукт попытки найти решение другой задачи.
В условии фиксировалось количество треугольников, но не прямых. Любопытно, что, доказывая реализуемость возможных значений пятиугольников приводили конфигурации с различными количествами прямых: За сим заканчиваю обзор завершающей задачи XXIV Марафонского конкурса и приступаю к: подведению итогов; поиску ошибок в решении Константина; размышлению над тем, почему никто не догадался использовать 18 прямых Награды
За решение задачи ММ240 участники Марафона получают следующие призовые баллы: Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла ММ239Конкурсная задача ММ239 (10 баллов) Решения принимаются до 17.11.2018
Существует ли выпуклый многогранник, у которого: Примечание: Если у вас получается, что ответ на пункт «а» отрицательный, а на пункт «b» - положительный, подумайте еще. Решение Привожу решения Виктора Филимоненкова и Анатолия Казмерчука. Обсуждение
Ровно в половине всех присланных (и всех приведенных) решений авторы обошлись без картининок.
Чтобы восполнить этот пробел, приведу пару своих картинок (зря, чтоли рисовал?). На втором рисунке приведен граф многогранника с вектором граней (28,0,0,4,0,36), обосновывающий положительный ответ к пункту d).
ММ239 (как и ММ235) - это отголосок XXII Марафонского конкурса, посвященного данной тематике. Участники, пропустившие тот конкурс, вынуждены были переотрывать утверждения типа Теоремы Эберхарда etc (конечно, можно было просто найти нужные результаты в сети, но наши конкурсанты не ищут легких путей ). С удовольствием констатирую, что нашлись те, кто преодолел эти трудности (были ли те, кто не смог - неизвестно, они решений не прислали). Награды
За решение задачи ММ239 участники Марафона получают следующие призовые баллы: Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла ММ238Конкурсная задача ММ238 (7 баллов)
Вася написал на доске k последовательных натуральных чисел и нашел их НОК - V. Решение Привожу решения Виктора Филимоненкова, Евгения Гужавина и Анатолия Казмерчука. Обсуждение
Наверное, марафонцы подустали. Так что, запланированный перерыв (на Реальный конкурс) будет весьма кстати.
Говоря о тяжеловесном подходе я имел в виду то, как многие конкурсанты оценивали Mk/mk, где Mk - максимальное значение отношения произведения k последовательных чисел к их НОК, а mk, соответственно, минимальное.
Наиболее простым мне показался метод, примененный Владиславом Франком (правда, применяя его Влад пару раз обсчитался Только один из конкурсантов заметил (по крайней мере, только один отметил), что Mk/mk равно {LCM(1,2,…,k)/k (см. https://oeis.org/A002944) Некоторые участники не стали приводит примеров Васиных и Петиных чисел (если при этом существование таких чисел было строго обосновано, баллы не снимались), другие же - привели, ни разу при этом не повторившись. Минимальный пример приведен в решении Анатолия Казмерчука. Васины числа начинаются с 21169, а Петины с 21600. По-видимому, это наименьшие подходящие числа. По крайней мере, в авторском решении фигурируют именно они. А я, кажется, искал именно наименьшие. Впрочем, задача составлялась в апреле и подробности я уже забыл, а в сохранившемся maple-документе нет ни одного комментария Награды
За решение задачи ММ238 участники Марафона получают следующие призовые баллы: Эстетическая оценка задачи - 4.9 балла ММ237Конкурсная задача ММ237 (7 баллов) Студент математического факультета Вася Пупкин написал на доске некоторую перестановку A из S10 в виде произведения независимых циклов (запись каждого цикла начинается с наименьшего элемента; опускались ли в записи циклы длины 1 - неизвестно). Васины однокурсники прокомментировали эту запись.
Аня: A6 – тождественная перестановка.
Вася (умница и отличник) заметил, что количество верных утверждений его однокурсников равно наибольшей длине цикла в A. Решение Привожу решения Виктора Филимоненкова и Анатолия Казмерчука. Обсуждение
Естественно конкурсанты начали решение с проверки утверждений Мани и Сани, истинность которых не зависит от записанной на доске перестановки. Увлекшись обобщениями вопроса о количестве решений уравнения X2=B в S10, я доказал, что для любого простого p и любого n уравнение Xp=B имеет либо единственное решение, либо количество его решений кратно p (для составных показателей это уже не так). Не остановшись на достигнутом, я вывел общую формулу для количества решений уравнения Xk=B в Sn (понятно, что ответ зависит от цикловой структуры B). Конечно, я понимал, что вряд ли являюсь первопроходцем: уж больно классический объект и слишком естественна постановка задачи. Но всерьез гуглить начал лишь только получив результат. Разумеется, у меня нашлись предшественники. Причем, насколько мне удалось установить, первая работа с ответом на этот вопрос была на русском языке (хотя я старательно формулировал запрос на английском): http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=sm&paperid=2731&option_lang=eng Приведу все возможные количества решений Xk=B в Sn для небольших k и n.
k = 2
k = 3
k = 4
k = 5
k = 6 Поясню, как я реагировал на шибки при подсчете возможных количеств решений уравнения X2=B в S10. Фатальная ошибка (вместо самих решений считалось лишь возможное количество их цикловых видов), приведшая к «опровержению» утверждения Маши, разумеется, нарушила весь дальнейший ход решения и была отражена в оценке. Автору неверных комбинаторных формул при подсчете количеств решений повезло больше. Одно решение при этом не исчезло, а три не появилось. Поэтому дальнейшая цепочка рассуждний привела к верному ответу. Но оставить ощибки на промежуточных шагах без внимания я, конечно, не мог. Наконец, локальные арифметические ошибки, не повлиявшие на решения я вовсе не учитывал. Пример такой ошибки есть в приведенном решения Анатолия Казмерчука (там, где у Анатолия получилсь 18 решений должно быть 24). В самом деле, 18 получается как сумма двух слагаемых, одно из которых подсчитано верно и равно 12. Понятно, что сумма при этом будет больше 3, что собственно и требовалось. Поэтому данная вычислительная ошибка в принципе не могла повлиять на ход решения. Неполный балл у Константина Шамсудтинова связан не с ошибками, а с недостаточно подробным изложением решения. Обосновав верную оценку утверждений Сани и Мани, Константин написал, что дальнейшее очевидно и привел павильный ответ. Закончу разбор выражением удовлетворения содержательным обсуждением предыдущей задачи и сожаления, что эта увлеченность помешала участникам диалога обратить внимание на нынешнюю. Награды
За решение задачи ММ237 участники Марафона получают следующие призовые баллы: Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла ММ236Конкурсная задача ММ236 (7 баллов) Натуральные числа от 1 до 4n разбили на четыре группы по n чисел в каждой. Оказалось, что произведение всех чисел из первой группы равно произведениям всех чисел из второй и третьей групп. Найти наименьшую возможную сумму чисел четвертой группы.Существует ли выпуклый многогранник, у которого равны: количество ребер; количество диагоналей; суммарное количество диагоналей граней? ММ235Конкурсная задача ММ235 (7 баллов) Существует ли выпуклый многогранник, у которого равны: количество ребер; количество диагоналей; суммарное количество диагоналей граней? ММ234Конкурсная задача ММ234 (5 баллов)
Функция g(n) натурального аргумента n задается так: ММ233
Конкурсная задача ММ233 (6 баллов)
При каких значениях параметра a множество точек плоскости, задаваемых системой ММ232Конкурсная задача ММ232 (6 баллов) Сколько решений в натуральных числах, имеет уравнение x3 + y3 = z3 - i для каждого i ∈ {1, 2, 4} ? Я нашел воистину замечательные ответы на эти вопросы, но поля… Надеюсь, у конкурсантов с полями все хорошо. ММ231Конкурсная задача ММ231 (4 балла) На сторонах AB, BC и AC египетского треугольника ABC выбрали точки C1, A1 и B1 соответственно. Оказалось, что треугольники AB1C1, BC1A1 и CA1B1 равновелики. Какую часть площади ABC составляет площадь треугольника A1B1C1 при условии, что последний - прямоугольный?
|
|||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|