Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

--- marathon:about [2019/06/11 13:11]
letsko [ММ244]
+++ marathon:about [2021/06/17 17:02] (текущий)
letsko [Текущие задачи]
@@ Строка 8: / Строка 8: @@
 ----
+**Завершен XXVII конкурс вамках Математического марафона**
-Стартовал **XXV юбилейный конкурс в рамках Математического марафона!**
+**Мои поздравления победителю конкурса, Мерабу Левиашвили, призерам, Анатолию Казмерчуку и Олегу Полубасову, а также всем тем, кто составил им достойную конкуренцию**
-Активная фаза начнется осенью. Но решать задачи можно (и нужно) уже сейчас.
 Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания, выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными, а другие - не очень. На вкус и на цвет...
-Но если любите поломать голову над нестандартными задачами, участвуйте, не стесняйтесь.
+Но если вы любите поломать голову над нестандартными задачами, участвуйте, не стесняйтесь.
 Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас.
 Не забывайте, пожалуйста, присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале.
-----
  Ведущий Марафона
 --- //[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]//
+[[Afterword XXVII |Послесловие к XXVII конкурсу]]
+----
 ====== Текущие задачи ======
+----
+**На данный момент отсутствуют.**
 ----
-===== ММ241 =====
-**Конкурсная задача ММ241** (4 балла)
-Решения принимаются до __06.09.2019__
-При каких натуральных n множество {1,2,…,n} можно разбить на два подмножества так, что произведение элементов первого подмножества равно сумме элементов второго?
+====== Разбор задач ======
 ----
+=====
+Вектором граней выпуклого многогранника P назовем набор [f<sub>3</sub>, f<sub>4</sub>, …, f<sub>s</sub>], где f<sub>i</sub> – количество i-угольных граней P, а s - наибольшее число сторон грани. Будем говорить, что P относится к классу m, если max(f<sub>i</sub>) = m.
-===== ММ242 =====
-**Конкурсная задача ММ242** (5 баллов) (по мотивам №19 ЕГЭ)
-Решения принимаются до __13.09.2019__
-На сайте проводится опрос, кого из m номинированных футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует один раз за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста – доля голосов, отданных за него, в процентах, округленных до целого числа. После того, как проголосовали n посетителей, суммарный рейтинг номинантов составил 95%.\\
-a)При каком наименьшем m такое возможно?\\
-b) При каком наименьшем n такое возможно?\\
-c)При каком наименьшем m+n такое воз можно?
 ----
-===== ММ243 =====
-**Конкурсная задача ММ243** (5 баллов)
-Решения принимаются до __20.09.2019__
-В треугольнике ABC  a<b<c и a⋅l<sub>a</sub>=c⋅l<sub>c</sub>. Найти угол β.
+**Конкурсная задача ММ270** (16 баллов)
-----
-===== ММ244 =====
+Найти наибольшее возможное количество граней многогранника класса m.
-**Конкурсная задача ММ244** (6 баллов)
-Решения принимаются до __27.09.2019__
-Галя предложила Ане, Боре и Васе такую загадку:\\
+**Решение**
-- Я задумала три попарно различных ненулевых цифры. Сейчас я по секрету сообщу Ане сумму квадратов, Боре произведение, а Васе сумму задуманных цифр. Попробуйте отгадать эти цифры.
-Узнав сумму квадратов произведение и сумму, Аня, Боря и Вася сначала задумались, а затем разговорились:\\
-А: Я не могу определить, что это за цифры.\\
-Б: И я не могу.\\
-В: И я тоже.\\
-A: Тогда я их знаю!\\
-Б: После этой реплики и я их знаю.\\
-Что это за тройка цифр? \\
-Примечание: У Ани, Бори и Васи все хорошо с арифметикой и логикой.
-----
-===== ММ245 =====
+Привожу решения призеров конкурса, {{:marathon:mm_270_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}} и {{:marathon:kazmerchuk_mm_270.pdf|Анатолия Казмерчука}}, а также обобщение задачи победителя конкурса {{:marathon:обобщение-мм270.docx|Мераба Левиашвили}} .
-**Конкурсная задача ММ245** (5 баллов)
-Решения принимаются до __04.10.2019__
-В остроугольном треугольнике ABC провели высоту BH. Найти отношение площадей треугольников ABH и CBH, если первый из них подобен треугольнику из своих медиан, а второй – треугольнику из своих высот.
+**Обсуждение**
-----
-===== ММ246 =====
+В отличие от ММ269, где вопрос задачи был сформулирован для частных значений m, а обобщали его сами конкурсанты, в ММ270 сразу же был сформулирован общий вопрос. Объясняется это просто. В ММ269 ответа на общий вопрос ведущий на момент опубликования задачи не знал (и даже склонялся, но, к счастью не "доказал" неверный ответ). А для ММ270 у меня был верный обоснованный ответ.
-**Конкурсная задача ММ246** (7 баллов)
-Решения принимаются до __11.10.2019__
-Сколько (с точностью до подобия) существует разносторонних треугольников, разрезаемых на два равнобедренных более чем одним способом?
+Эта ситуация выбила почву из под ног большинства любителей обобщений. Да, практически все, решившие ММ270, нашли заодно и наибольшие количества вершин и ребер m-многогранников. Но ответы на эти вопросы становятся очевидны при успешном решении основной задачи. Единственным, кто изыскал возможности пообобщать стал Мераб Левиашвили. Он перешел от рассмотрения многогранников к рассмотрению простых (каждая вершина имеет степень n) политопов размерностей, больших 3. У таких политопов существуют грани разных размерностей. Соответственно можно рассматривать разные аналоги m-многогранников. Мераб остановился на случае двумерных граней. На основании известных соотношений Дена-Соммервиля он получил наименьшие значения m, для которых существуют n-мерные политопы класса m и верхние оценки для числа граней таких политопов для n \in {4, 5}, а также некоторые оценки для n \in {6, 7, 8}. Я привожу только обобщение задачи (присланное Мерабом отдельным документом), в том числе, и по причине слишком большого веса основного решения.
-----
-===== ММ247 =====
+Во всех присланных решениях имеется содержится ответ 7m-4 для больших значений m. Разнятся эти решения степенью гипотетичности и обоснованности данного ответа, а также количеством частных значений m, подтверждающих данную гипотезу (это касается решений, где 7m-4 именно гипотеза).
-**Конкурсная задача ММ247** (7 баллов)
-Решения принимаются до __18.10.2019__
-Пусть k – фиксированное натуральное число. Для натуральных n определим функцию
-f<sub>k</sub>(n)=(lcm(n,n+1,…,n+k-1))/(lcm(n+1,n+2,…,n+k)).\\
-Найти наименьшие значения f<sub>5</sub>(n) и f<sub>9</sub>(n).
-----
-===== ММ248 =====
+**Награды**
-**Конкурсная задача ММ248** (8 баллов)
-Решения принимаются до __25.10.2019__
-Найти наименьшее натуральное k такое, что во множестве {(τ(kn))/(τ(n))|n ∈ N} ровно 13 целых чисел.
+За решение задачи ММ270 участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\
-----
+Мераб Левиашвили - 18;\\
+Олег Полубасов - 16;\\
+Анатолий Казмерчук - 16;\\
+Александр Романов - 16;\\
+Константин Шамсутдинов - 10;\\
+Виктор Филимоненков - 10;\\
+Денис Овчинников - 8.\\
-===== ММ249 =====
+Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла
-**Конкурсная задача ММ249** (10 баллов)
-Решения принимаются до __01.11.2019__
-Пусть k – натуральное число и a – некоторая перестановка 2020-элементного множества. Может ли уравнение x<sup>k</sup> = a иметь ровно 2020 решений?
 ----
-===== ММ250 =====
-**Конкурсная задача ММ250** (14 баллов)
-Решения принимаются до __29.11.2019__
-Найти наименьшее возможное количество ребер выпуклого многогранника, у которого сумма длин ребер равна сумме длин диагоналей.
+===== ММ269 =====
-----
-====== Разбор задач ======
-----
-===== ММ240 =====
+ **Конкурсная задача ММ269** (11 баллов)
-**Конкурсная задача ММ2409** (13 баллов)
-Проективную плоскость разбили несколькими прямыми общего положения. При этом образовалось ровно 17 треугольников. Сколько пятиугольников могло при этом получиться?
+Какова максимальная возможная степень вершины выпуклого многогранника\\
+a) класса 3;\\
+b) класса 4?
 **Решение**
-Привожу решения {{:marathon:fiviol_мм240.docx|Виктора Филимоненкова}}, {{:marathon:kosshams_mm240.docx|Константина Шамсутдинова}} и {{:marathon:kazmerchuk_mm240.docx|Анатолия Казмерчука}}.
+Привожу решения {{:marathon:mm269_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}}, {{:marathon:kazmerchuk_mm_269.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:marathon:shamsutdinov_mm269.docx|Константина Шамсутдинова}}.
 **Обсуждение**
-Задача ММ240 - побочный продукт попытки найти решение другой задачи.\\
+Согласно традициям Марафона последние задачи каждого конкурса имеют повышенную сложность. Эта традиция сохранилась и в данном конкурсе.
-Я пытался понять, верно ли, что любом n>4 можно найти такое расположение n прямых общего положения на проективной плоскости, что в разбиении будут возникать только треугольники, четырехугольники и пятиугольники.
+Результатом этого усложнения чаще всего был отток значительной части конкурсантов. А эта традиция неожиданно была нарушена! Из тех, кто регулярно участвовал в нынешнем конкурсе, не прислали решения ММ269 всего два человека. А остальные порадовали, но не пощадили ведущего :-) Впрочем, после моей мольбы, все же сжалились, сократив самое длинное из решений на 40(!) страниц.
-Мы с ученицей (которой я предложил эту задачу) довольно быстро продвинулись в деле отыскания все больших n, но на общий принцип (а есть ли он?) так и не вышли.
-Надо будет внимательнее присмотреться к подходам, предложенным конкурсантами. Возможно, они помогут решить и задачу-предшественник.
-В условии фиксировалось количество треугольников, но не прямых. Любопытно, что, доказывая реализуемость возможных значений пятиугольников приводили конфигурации с различными количествами прямых:\\
+Разумеется, основные страсти кипели вокруг обобщения задачи, очевидного по постановке вопроса. Но только по постановке. Да-да, ответ 3m-3 не годится!
-Виктор Филимонеков использовал от 9 до 11 и от 15 до 17 прямых:\\
+В какой-то момент у меня имелось три решения, в которых приводилась и обосновывалась точная формула для максимальной возможной степени вершины m-многогранника. Точнее, три разных формулы, дающих разные ответы :-)\\
-Анатолий Казмерчук от 12 до 17 прямых;\\
+Понимая, что ситуация, когда "Вася и Петя оба правы", маловероятна, ведущий был вынужден углубиться в многостраничные трактаты, воспользовавшись удачно подвернувшейся просьбой продлить срок приема решений. Дополнительное время не пропало даром. И ведущий и конкурсанты обнаружили некоторые ошибки и неточности в решениях. Во всех, кроме одного, в котором ошибок найти не удалось (или, все же, пока не удалось?). Желающие могут попробовать определить это решение из приводимого ниже списка начисленных призовых баллов (а также попытаться найти ошибки и в этом решении).
-в авторском решении участвуют от 9 до 17 прямых, исключая 15.\\
-Наиболее красиво в этом плане решение Константина Шамсутдинова, в котором все конфигурации построены по единой схеме с использованием только 17 прямых (мне до сих пор не верится, что такое возможно).
-За сим заканчиваю обзор завершающей задачи XXIV Марафонского конкурса и приступаю к: подведению итогов; поиску ошибок в решении Константина; размышлению над тем, почему никто не догадался использовать 18 прямых :-)
 **Награды**
-За решение задачи ММ240 участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\
+За решение задачи ММ269 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\
-Константин Шамсутдинов - 16;\\
+Олег Полубасов - 18;\\
-Анатолий Казмерчук - 15;\\
+Мераб Левиашвили - 16;\\
-Виктор Филимоненков - 13;\\
+Анатолий Казмерчук - 13;\\
-Владимир Чубанов - 7.
+Константин Шамсутдинов - 13;\\
+Василий Дзюбенко - 11;\\
+Александр Романов - 11;\\
+Виктор Филимоненков - 11;\\
+Денис Овчинников - 7.
 **Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла**
@@ Строка 164: / Строка 113: @@
-===== ММ239 =====
+===== ММ268 =====
-**Конкурсная задача ММ239** (10 баллов)
-Решения принимаются до __17.11.2018__
+**Конкурсная задача ММ268** (9 баллов)
-Существует ли выпуклый многогранник, у которого:\\
+Назовем натуральное число m допустимым, если существует такое n, что из чисел 1,2,…,n можно составить сумму произведений, в которой каждое число встречается ровно один раз, равную m. Сколько существует недопустимых чисел?
-a) не менее половины граней - семиугольники;\\
-b) более половины граней - семиугольники; \\
-с) не менее половины граней - восьмиугольники;\\
-d) более половины граней - восьмиугольники;\\
-e) не менее половины граней  - девятиугольники?
-//Примечание: Если у вас получается, что ответ на пункт «а» отрицательный, а на пункт «b» - положительный, подумайте еще.//
+Примечание: в суммах произведений допускаются одиночные слагаемые. Например, число 148 допустимо, поскольку 148=1·3 + 2·5·8 + 4 + 6·9 + 7.
+[[problem 268|Решение задачи ММ268]]
-**Решение**
+----
-Привожу решения {{:marathon:fiviol_мм239.docx|Виктора Филимоненкова}} и {{:marathon:kazmerchuk_mm_239.docx|Анатолия Казмерчука}}.
-**Обсуждение**
-Ровно в половине всех присланных (и всех приведенных) решений авторы обошлись без картининок.
+===== ММ267 =====
-Чтобы восполнить этот пробел, приведу пару своих картинок (зря, чтоли рисовал?).\\
-Первый рисунок иллюстрирует ответы сразу к трем пунктам задачи: a), b), c).
-Отрезав от додекаэдра красные вершины, получим многогранник в котором более (а значит, и не менее) половины граней являются семиугольниками.
-Если же наоборот, оставить красные вершины, а остальные отрезать, получим многогранник, в котором ровно половина граней - восьмиугольники.
-{{ :marathon:dode_red.png?direct |[url=https://radikal.ru][img]https://c.radikal.ru/c29/1811/ee/fe9c0eb0fc7c.png[/img][/url]}}
+**Конкурсная задача ММ267** (7 баллов)
-На втором рисунке приведен граф многогранника с вектором граней (28,0,0,4,0,36), обосновывающий положительный ответ к пункту d).
+Вася и Петя поспорили. Вася уверен, что среди представлений натурального числа n в виде суммы натуральных слагаемых чаще встречаются те, у которых каждое слагаемое присутствует не более двух раз, чем те, у которых все слагаемые не кратны 3. Петя уверен в обратном. Кто из них прав?
-{{ :marathon:28-0-0-4-0-36.jpg?direct |[url=https://radikal.ru][img]https://b.radikal.ru/b16/1811/db/cc6dba0522fa.jpg[/img][/url]
+[[problem 267|Решение задачи ММ267]]
-}}
-ММ239 (как и ММ235) - это отголосок XXII Марафонского конкурса, посвященного данной тематике. Участники, пропустившие тот конкурс, вынуждены были переотрывать утверждения типа Теоремы Эберхарда etc (конечно, можно было просто найти нужные результаты в сети, но наши конкурсанты не ищут легких путей :-)). С удовольствием констатирую, что нашлись те, кто преодолел эти трудности (были ли те, кто не смог - неизвестно, они решений не прислали).\\
-Изучение вопроса о верхней грани отношения количества k-угольных граней к общему числу граней (6\le k\le 12) поощрялось дополнительными баллами. В случае **vpb**, это поощрение  скомпенсировалось сбавкой за штейнеровское отношение к читателю :-). (Каюсь, сам я работ Якоба Штейнера в первоисточнике не читал, но, говорят, он свои сугубо геометрические выкладки вообще не снабжал чертежами.)
-Остальные изъятия сделаны либо за отсутствие примеров на некоторые пункты, либо за присутствие примеров с невозможными многогранниками (с нецелым количеством ребер :-))
-Волшебное превращение восьмиугольных граней в семиугольные (при склейке по общей треугольной грани) я оценивать не стал :-)
-**Награды**
-За решение задачи ММ239 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\
-Анатолий Казмерчук - 12;\\
-Владимир Чубанов - 11;\\
-vpb - 10;\\
-Константин Шамсутдинов - 10;\\
-Виктор Филимоненков - 9;\\
-Владислав Франк - 6.
-**Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла**
 ----
+===== ММ266 =====
-===== ММ238 =====
+**Конкурсная задача ММ266** (7 баллов)
-**Конкурсная задача ММ238** (7 баллов)
-Вася написал на доске k последовательных натуральных чисел и нашел их НОК - V.\\
+Вася Пупкин выписал дни рождения семерых своих однокурсников, родившихся в январе одного и того же года, что и Вася, и, поэкспериментировав с выписанными числами, заметил два факта:\\
-Петя написал k последовательных натуральных чисел, больших Васиных, и тоже нашел их НОК - P. \\
+) τ(n<sup>3</sup> )=τ(n)<sup>2</sup>, где n – произведение всех выписанных чисел;\\
-Оказалось, что  2018 < V/P < 2019. \\
+) сумма кубов составных чисел больше суммы кубов остальных\\.
-При каком наименьшем k такое возможно?
+Найдите дни рождения Васиных товарищей, если известно, что все они младше Васи.
-----
-**Решение**
+Примечание: при сравнении возрастов учитываются дни, но не часы рождения.
-Привожу решения {{:marathon:fiviol_мм238.docx|Виктора Филимоненкова}}, {{:marathon:guzhavine_mm238.pdf|Евгения Гужавина}} и {{:marathon:kazmerchuk_mm_238.docx|Анатолия Казмерчука}}.
+[[problem 266|Решение задачи ММ266]]
-**Обсуждение**
+----
-Наверное, марафонцы подустали. Так что, запланированный перерыв (на Реальный конкурс) будет весьма кстати.\\
+===== ММ265 =====
-Полагаю, следствием этой усталости стало и значительное количество мелких неточностей в решениях, и тяжеловесный подход к простым вещам, и почти полное отсутствие аналогов, параллелей и обобщений. А этих самых параллелей немало. Впрочем, вслед за конкурсантами помолчу о них и я: приберегу для следующих задач.
-Говоря о тяжеловесном подходе я имел в виду то, как многие конкурсанты оценивали M<sub>k</sub>/m<sub>k</sub>, где M<sub>k</sub> - максимальное значение отношения произведения k последовательных чисел к их НОК, а m<sub>k</sub>, соответственно, минимальное.
+**Конкурсная задача ММ265** (5 баллов)
-Наиболее простым мне показался метод, примененный Владиславом Франком (правда, применяя его Влад пару раз обсчитался :-) \\
-Проиллюстрирую подход Влада на примере нахождения M<sub>9</sub>/m<sub>9</sub>: Среди девяти последовательных чисел ровно три кратно 3 и ровно одно кратно 9. Поэтому множитель 3 не войдет в искомое отношение. Однако туда войдут множители 5 и 7, так среди 9 последовательных чисел может быть как два, так и одно кратное 5 (7). Наконец, если произведение девяти чисел начинается с числа кратного 8, то его отношение к НОК будет в 8 раз больше, чем в случае, когда произведение начинается с нечетного числа. Итого M<sub>9</sub>/m<sub>9</sub>=280.
-Только один из конкурсантов заметил (по крайней мере, только один отметил), что M<sub>k</sub>/m<sub>k</sub> равно {LCM(1,2,...,k)/k (см. https://oeis.org/A002944)
+Разрезать правильный треугольник на наименьшее возможное количество прямоугольных треугольников так, чтобы никакие два из возникших треугольников не были подобны.
-Некоторые участники не стали приводит примеров Васиных и Петиных чисел (если при этом существование таких чисел было строго обосновано, баллы не снимались), другие же - привели, ни разу при этом не повторившись.
-Минимальный пример приведен в решении Анатолия Казмерчука. Васины числа начинаются с 21169, а Петины с 21600. По-видимому, это наименьшие подходящие числа. По крайней мере, в авторском решении фигурируют именно они. А я, кажется, искал именно наименьшие. Впрочем, задача составлялась в апреле и подробности я уже забыл, а в сохранившемся maple-документе нет ни одного комментария :-(
-**Награды**
-За решение задачи ММ238 участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\
+[[problem 265|Решение задачи ММ265]]
-Анатолий Казмерчук - 7;\\
-vpb - 7;\\
-Виктор Филимоненков - 7;\\
-Владимир Чубанов - 7;\\
-Евгений Гужавин - 7;\\
-Владислав Франк - 6;\\
-Константин Шамсутдинов - 6;\\
-Владимир Дорофеев -5.
-**Эстетическая оценка задачи - 4.9 балла**
 ----
-===== ММ237 =====
+===== ММ264 =====
-**Конкурсная задача ММ237** (7 баллов)
-Студент математического факультета Вася Пупкин написал на доске некоторую перестановку A из S<sub>10</sub>  в виде произведения независимых циклов (запись каждого цикла начинается с наименьшего элемента; опускались ли в записи циклы длины 1  - неизвестно).  Васины однокурсники прокомментировали эту запись.
+**Конкурсная задача ММ264** (4 балла)
-Аня: A<sup>6</sup>  – тождественная перестановка.\\
+Назовем пару натуральных чисел a и b аддитивной, если τ(a+b)=τ(a)+τ(b),σ(a+b)=σ(a)+σ(b)  и φ(a+b)=φ(a)+φ(b).
-Ваня: Длины всех циклов A – числа Фибоначчи.\\
+Доказать, что существует бесконечно много аддитивных пар.\\
-Даня: В S<sub>10</sub> существует ровно 3 перестановки, квадрат которых равен A.\\
-Маня: Хм, уравнение X<sup>2</sup> =B не может иметь в S<sub>10</sub> ровно 3 решения ни при каком B.\\
-Саня: Более того, количество решений уравнения X<sup>2</sup> =B в S<sub>10</sub> не может быть нечетным  ни при каком B.\\
-Таня: Квадрат наибольшего элемента в самом длинном цикле меньше порядка A.\\
-Зина: A<sup>5</sup>  имеет столько же циклов, сколько и A.\\
-Лина: Внутри всех циклов элементы строго возрастают.\\
-Нина: Произведение всех элементов одного из циклов кратно произведению всех элементов более длинного цикла и сумме всех элементов более короткого.\\
-Фаина: Зина, Лина и Нина правы.
-Вася (умница и отличник) заметил, что количество верных утверждений его однокурсников равно наибольшей длине цикла в A.\\
+(τ(n), σ(n), φ(n) - количество натуральных делителей, сумма натуральных делителей и функция Эйлера соответственно.)
-Найдите A.
-**Решение**
+[[problem 264|Решение задачи ММ264]]
-Привожу решения {{:marathon:fiviol_мм237.docx|Виктора Филимоненкова}} и {{:marathon:kazmerchuk_mm_237.docx|Анатолия Казмерчука}}.
-**Обсуждение**
-Естественно конкурсанты начали решение с проверки утверждений Мани и Сани, истинность которых не зависит от записанной на доске перестановки.\\
-Причем проверка утверждения Мани оказывается наиболее сложной частью задачи. Некоторые участники предпочли ограничиться доказательством отсутствия трех решений уравнения X<sup>2</sup>=B в S<sub>10</sub>, другие же рассмотрели более общий вопрос о возможных количествах решений этого уравнения. Наконец, еще один участник привел чисто алгебраическое обоснование правоты Мани.
-Ведущий пошел по пути "других" (комбинаторщиков), но для надежности проверил свои теоретические выкладки возведением всех элементов S<sub>10</sub> в квадрат (разумеется, не руками). Конкурсанты оказались более уверенными в себе и к мощи компа не прибегали (некоторые - зря :-)).\\
-Дальнейшие рассуждения практически все вели, перебирая возможные длины наибольшего цикла. И только Влад Франк отталкивался от истинности или ложности утверждения Фаины, показав, что этот путь тоже ведет к верному ответу.
-Увлекшись обобщениями вопроса о количестве решений уравнения X<sup>2</sup>=B в S<sub>10</sub>, я доказал, что для любого простого p и любого n уравнение  X<sup>p</sup>=B имеет либо единственное решение, либо количество его решений кратно p (для составных показателей это уже не так).
-Не остановшись на достигнутом, я вывел общую формулу для количества решений уравнения X<sup>k</sup>=B в S<sub>n</sub> (понятно, что ответ зависит от цикловой структуры B). Конечно, я понимал, что вряд ли являюсь первопроходцем: уж больно классический объект и слишком естественна постановка задачи. Но всерьез гуглить начал лишь только получив результат. Разумеется, у меня нашлись предшественники. Причем, насколько мне удалось установить, первая работа с ответом на этот вопрос была на русском языке (хотя я старательно формулировал запрос на английском): http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=sm&paperid=2731&option_lang=eng
-Приведу все возможные количества решений X<sup>k</sup>=B в S<sub>n</sub> для небольших k и n.
-k = 2\\
-	{1}\\
-	{0, 2}\\
-	{0, 1, 4}\\
-	{0, 1, 2, 10}\\
-	{0, 1, 2, 26}\\
-	{0, 1, 4, 76}\\
-	{0, 1, 2, 4, 8, 10, 232}\\
-	{0, 1, 2, 4, 8, 12, 20, 26, 764}\\
-	{0, 1, 2, 4, 10, 12, 16, 52, 76, 2620}\\
-	{0, 1, 2, 4, 6, 8, 10, 24, 26, 40, 152, 232, 9496}
-k = 3\\
-	{1}\\
-	{1}\\
-	{0, 1, 3}\\
-	{0, 1, 9}\\
-	{0, 1, 3, 21}\\
-	{0, 1, 9, 81}\\
-	{0, 1, 3, 9, 21, 351}\\
-	{0, 1, 3, 9, 33, 81, 1233}\\
-	{0, 1, 3, 9, 18, 21, 27, 33, 351, 5769}\\
-	{0, 1, 3, 9, 18, 21, 33, 81, 1233, 31041}
-k = 4\\
-	{1}\\
-	{0, 2}\\
-	{0, 1, 4}\\
-	{0, 1, 16}\\
-	{0, 1, 2, 56}\\
-	{0, 1, 4, 256}\\
-	{0, 1, 2, 4, 16, 1072}\\
-	{0, 1, 4, 8, 48, 56, 6224}\\
-	{0, 1, 2, 10, 16, 256, 33616}\\
-	{0, 1, 2, 4, 6, 10, 56, 64, 96, 1072, 218656}
-k = 5\\
-	{1}\\
-	{1}\\
-	{1}\\
-	{1}\\
-	{0, 1, 25}\\
-	{0, 1, 145}\\
-	{0, 1, 25, 505}\\
-	{0, 1, 25, 145, 1345}\\
-	{0, 1, 25, 145, 505, 3025}\\
-	{0, 1, 25, 145, 385, 505, 1345, 78625}
-k = 6\\
-	{1}\\
-	{0, 2}\\
-	{0, 6}\\
-	{0, 2, 18}\\
-	{0, 1, 2, 66}\\
-	{0, 1, 4, 396}\\
-	{0, 1, 2, 12, 2052}\\
-	{0, 1, 4, 6, 12, 36, 12636}\\
-	{0, 2, 4, 12, 18, 132, 91548}\\
-	{0, 2, 6, 8, 18, 24, 66, 792, 625176}
-Поясню, как я реагировал на шибки при подсчете возможных количеств решений уравнения X<sup>2</sup>=B в S<sub>10</sub>.
-Фатальная ошибка (вместо самих решений считалось лишь возможное количество их цикловых видов), приведшая к "опровержению" утверждения Маши, разумеется, нарушила весь дальнейший ход решения и была отражена в оценке.
-Автору неверных комбинаторных формул при подсчете количеств решений повезло больше. Одно решение при этом не исчезло, а три не появилось. Поэтому дальнейшая цепочка рассуждний привела к верному ответу. Но оставить ощибки на промежуточных шагах без внимания я, конечно, не мог.
-Наконец, локальные арифметические ошибки, не повлиявшие на решения я вовсе не учитывал. Пример такой ошибки есть в приведенном решения Анатолия Казмерчука (там, где у Анатолия получилсь 18 решений должно быть 24). В самом деле, 18 получается как сумма двух слагаемых, одно из которых подсчитано верно и равно 12. Понятно, что сумма при этом будет больше 3, что собственно и требовалось. Поэтому данная вычислительная ошибка в принципе не могла повлиять на ход решения.
-Неполный балл у Константина Шамсудтинова связан не с ошибками, а с недостаточно подробным изложением решения. Обосновав верную оценку утверждений Сани и Мани, Константин написал, что дальнейшее очевидно и привел павильный ответ.
-Закончу разбор выражением удовлетворения содержательным обсуждением предыдущей задачи и сожаления, что эта увлеченность помешала участникам диалога обратить внимание на нынешнюю.
-**Награды**
-За решение задачи ММ237 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\
-Анатолий Казмерчук - 10;\\
-vpb - 8;\\
-Виктор Филимоненков - 7;\\
-Владислав Франк - 7;\\
-Константин Шамсутдинов -6.\\
-Валентина Колыбасова - 5;\\
-Евгений Гужавин - 2;\\
-**Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла**
 ----
-===== ММ236 =====
+===== ММ263 =====
+ **Конкурсная задача ММ263** (4 балла)
-**Конкурсная задача ММ236** (7 баллов)
-Натуральные числа от 1 до 4n разбили на четыре группы по n чисел в каждой. Оказалось, что произведение всех чисел из первой группы равно произведениям всех чисел из второй и третьей групп. Найти наименьшую возможную сумму чисел четвертой группы.Существует ли выпуклый многогранник, у которого равны: количество ребер; количество диагоналей; суммарное количество диагоналей граней?
-[[problem 236|Решение задачи ММ236]]
-----
+Сколько решений может иметь уравнение [3x]{x} – [x]{3x} = c, в зависимости от значения параметра c?\\
-===== ММ235 =====
+([x] и {x} означают соответственно целую часть (пол) и дробную часть числа x.)
-**Конкурсная задача ММ235** (7 баллов)
-Существует ли выпуклый многогранник, у которого равны: количество ребер; количество диагоналей; суммарное количество диагоналей граней?
+[[problem 263|Решение задачи ММ263]]
-[[problem 235|Решение задачи ММ235]]
 ----
-===== ММ234 =====
+===== ММ262 =====
-**Конкурсная задача ММ234** (5 баллов)
+**Конкурсная задача ММ262** (3 балла)
-Функция g(n) натурального аргумента n задается так:\\
+Разносторонний треугольник назовем прогрессивным, если длины его сторон образуют арифметическую прогрессию.
-Пусть n натуральное число. Определим  f(n) как число, полученное удалением последней цифры из десятичной записи n, увеличенное на квадрат этой цифры.\\
+Доказать, что треугольник прогрессивен тогда и только тогда, когда прямая, проходящая через точку Нагеля и центр Шпикера, параллельна средней стороне.
-Например, f(576) = 57 + 36 = 93.\\
-Тогда g(n)  = |{n, f(n), f(f(n)), f(f(f(n))), …}|.\\
-Пусть a и b  –  2018-значные числа. Может ли оказаться, что g(a) = g(b) + 26?
-[[problem 234|Решение задачи ММ234]]
+Примечание: тривиальное решение (недаром цена задачи всего 3 балла) на ЕГЭ бы не приняли, но у нас, слава Богу, не ЕГЭ :-)
-----
+[[problem 262|Решение задачи ММ262]]
-===== ММ233 =====
-**Конкурсная задача ММ233**  (6 баллов)\\
-Очередной отголосок ЕГЭ в Марафоне
-При каких значениях параметра a множество точек плоскости, задаваемых системой \\
- (x - a + 1)<sup>2</sup> + (y - 3)<sup>2</sup> ≤ 80, \\
-(x - 3)<sup>2</sup> + (y - 4a + 1)<sup>2</sup> ≤ 20a<sup>2</sup>, \\
--  2a = |4x + 3y + 115 - a| + |4x + 3y - 115 + a| \\
-является кругом?
-[[problem 233|Решение задачи ММ233]]
 ----
+===== ММ261 =====
-===== ММ232 =====
-**Конкурсная задача ММ232**  (6 баллов)
+**Конкурсная задача ММ261** (4 балла)
-Сколько решений в натуральных числах,  имеет уравнение **x<sup>3</sup> + y<sup>3</sup> = z<sup>3</sup> - i** для каждого  **i ∈ {1, 2, 4}** ?
+Натуральные числа 1, 2, 3, ..., 100 разбили на 10 групп по 10 чисел. Найти наибольшую возможную сумму НОД этих десяток.
-Я нашел воистину замечательные ответы на эти вопросы, но поля...
+[[problem 261|Решение задачи ММ261]]
-Надеюсь, у конкурсантов с полями все хорошо.
-[[problem 232|Решение задачи ММ232]]
 ----
-===== ММ231 =====
-**Конкурсная задача ММ231**  (4 балла)
-На сторонах AB, BC и AC египетского треугольника ABC выбрали точки C<sub>1</sub>, A<sub>1</sub> и B<sub>1</sub> соответственно. Оказалось, что треугольники AB<sub>1</sub>C<sub>1</sub>, BC<sub>1</sub>A<sub>1</sub> и CA<sub>1</sub>B<sub>1</sub> равновелики. Какую часть площади ABC составляет площадь треугольника A<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C<sub>1</sub> при условии, что последний - прямоугольный?
-[[problem 231|Решение задачи ММ231]]
-----
 ~~NOTOC~~