Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

marathon:about [2019/10/19 05:47]
letsko [ММ240]
marathon:about [2021/06/17 17:02] (текущий)
letsko [Текущие задачи]
Строка 8: Строка 8:
  
 ---- ----
 +**Завершен XXVII конкурс вамках Математического марафона**
 +
 +**Мои поздравления победителю конкурса,​ Мерабу Левиашвили,​ призерам,​ Анатолию Казмерчуку и Олегу Полубасову,​ а также всем тем, кто составил им достойную конкуренцию**
  
-Продолжается **XXV юбилейный конкурс в рамках Математического марафона!** 
  
 Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания,​ выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными,​ а другие - не очень. На вкус и на цвет... Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания,​ выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными,​ а другие - не очень. На вкус и на цвет...
  
-Но если любите поломать голову над нестандартными задачами,​ участвуйте,​ не стесняйтесь.+Но если ​вы любите поломать голову над нестандартными задачами,​ участвуйте,​ не стесняйтесь.
  
 Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас. Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас.
  
 Не забывайте,​ пожалуйста,​ присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале. ​ Не забывайте,​ пожалуйста,​ присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале. ​
----- 
  
  ​Ведущий Марафона  ​Ведущий Марафона
 --- //​[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]// --- //​[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]//
  
 +[[Afterword XXVII |Послесловие к XXVII конкурсу]]
  
- 
-====== Текущие задачи ====== 
 ---- ----
  
-===== ММ247 ===== 
-  
-**Конкурсная задача ММ247** (7 баллов) 
-Решения принимаются до __18.10.2019__ 
  
-Пусть k – фиксированное натуральное ​число. Для натуральных n определим функцию +====== Текущие задачи ======
-f<​sub>​k</​sub>​(n)=(lcm(n,​n+1,​…,​n+k-1))/​(lcm(n+1,​n+2,​…,​n+k)).\\ ​  +
-Найти наименьшие значения f<​sub>​5</​sub>​(n) и f<​sub>​9</​sub>​(n).+
 ---- ----
- +**На данный момент отсутствуют.**
-===== ММ248 ===== +
-  +
-**Конкурсная задача ММ248** (8 баллов) +
-Решения принимаются до __25.10.2019__ +
- +
-Найти наименьшее натуральное k такое, что во множестве {(τ(kn))/​(τ(n))|n ∈ N} ровно 13 целых чисел.+
 ---- ----
  
-===== ММ249 ===== 
-  
-**Конкурсная задача ММ249** (10 баллов) 
-Решения принимаются до __01.11.2019__ 
  
-Пусть k – натуральное число и a – некоторая перестановка 2020-элементного множества. Может ли уравнение x<​sup>​k</​sup> ​a иметь ровно 2020 решений?​+====== Разбор задач ======
 ---- ----
 +=====
 +Вектором граней выпуклого многогранника P назовем набор [f<​sub>​3</​sub>,​ f<​sub>​4</​sub>,​ …, f<​sub>​s</​sub>​],​ где f<​sub>​i</​sub>​ – количество i-угольных граней P, а s - наибольшее число сторон грани. Будем говорить,​ что P относится к классу m, если max(f<​sub>​i</​sub>​) = m.
  
-===== ММ250 ===== 
-  
-**Конкурсная задача ММ250** (14 баллов) 
-Решения принимаются до __29.11.2019__ 
- 
-Найти наименьшее возможное количество ребер выпуклого многогранника,​ у которого сумма длин ребер равна сумме длин диагоналей. 
- 
----- 
- 
-====== Разбор задач ====== 
 ---- ----
-===== ММ246 ===== 
  
-**Конкурсная задача ММ246** (7 баллов) 
  
 +**Конкурсная задача ММ270** (16 баллов)
  
-Сколько (с точностью до подобия) существует ​разносторонних треугольников, разрезаемых на два равнобедренных более чем одним ​способом?+Найти наибольшее возможное количество граней многогранника ​класса m.
  
 **Решение** **Решение**
  
-Привожу решения {{:​marathon:​shamsutdinov_mm246.docx|Константина Шамсутдинова}}{{:​marathon:​fiviol_мм246.docx|Виктора Филимоненкова}} и {{:​marathon:​mm246.pdf|авторское}}. +Привожу решения ​призеров конкурса, ​{{:​marathon:​mm_270_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}} ​и {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_270.pdf|Анатолия Казмерчука}}, а также обобщение задачи победителя конкурса ​{{:​marathon:​обобщение-мм270.docx|Мераба Левиашвили}} .
  
-**Обсуждение** ​+**Обсуждение**
  
-ММ246 оказалась трудным орешком. Половина конкурсантов потеряли нужные (нашли лишние) треугольники. +В отличие от ММ269, где вопрос ​задачи был ​сформулирован ​для частных значений m, а обобщали его сами конкурсанты, в ММ270 сразу же был сформулирован общий вопрос. Объясняется это просто. В ММ269 ​ответа на общий вопрос ведущий на момент ​опубликования задачи не знал (и даже склонялся, но, к счастью ​не "доказал" ​неверный ответ). А для ММ270 у меня был ​верный обоснованный ответ.
-Особенно странным ​оказалось ​именно приобретение лишних ​решений. Ведь, в отличие ​от потери нужных,​ эта ошибка легко проверяется. +
-Правда,​ за один (наиболее удививший ​меня) лишний ​треугольник я не стал штрафовать нашедшего его участника. Речь ​идет о прямоугольном равнобедренном треугольнике, который, ​в силу своей равнобедренности,​ в ответ ​включен не былно в остальном, по мнению приведшего его участника, удовлетворял условию (?!).+
  
-Кстатитребование разносторонности ​треугольника ​попало в условие ​только на основании того, что я так и не смог решить считать ли, например, биссектрисы углов ​при основании треугольника с углами 367272 градуса разными разрезами.+Эта ​ситуация выбила почву из под ног большинства любителей обобщений. Да, практически все, ​решившие ММ270, нашли ​заодно и наибольшие количества вершин ​и ребер m-многогранников. Но ответы на эти вопросы становятся очевидны при успешном решении основной задачи. Единственным,​ кто изыскал возможности пообобщать стал Мераб Левиашвили. Он перешел от рассмотрения многогранников к рассмотрению простых (каждая вершина имеет степень n) политопов размерностей, больших 3. У таких ​политопов существуют грани разных размерностей. Соответственно можно рассматривать разные аналоги m-многогранников. Мераб остановился на случае двумерных граней. На основании ​известных соотношений Дена-Соммервиля он получил наименьшие значения m, для ​которых ​существуют n-мерные политопы класса m и верхние оценки для числа ​граней таких политопов для n \in {4, 5}, а также некоторые оценки для n \in {678}. Я привожу только обобщение задачи (присланное Мерабом отдельным ​документом),​ в том числе, и по причине слишком большого веса основного ​решения.
  
-Мне представляется, что задача становится ​проще, а перебор прозрачнее, если сразу договориться ​об упорядочивании углов исходного треугольника.  +Во всех присланных решениях имеется ​содержится ответ 7m-4 для ​больших ​значений m. Разнятся эти решения степенью ​гипотетичности ​и обоснованности данного ответа, а также количеством частных значений mподтверждающих данную ​гипотезу (это касается ​решений, где 7m-4 именно гипотеза).
-К моему удивлению этим путем пошли менее половины участников. Тем ​не менеенекоторые из тех, кто не упорядочивал углы ​исходного треугольника, добрались до верного ответа ;-)+
  
-Любопытно,​ что в ответ пошло два треугольника,​ где требуемые разрезы выходят из разных вершин,​ и один с разрезами,​исходящими из одной вершины. 
- 
-К вопросу о красоте. \\ 
-ММ246, с моей точки зрения,​ одна из лучших в текущем конкурсе. Но с этим мнением согласны не все. Что ж, как говорится,​ о вкусах не спорят.\\ 
-Спорить не буду, но попробую проаргументировать свои предпочтения.\\ 
-Часто наличие нескольких,​ а не одного решения - безусловный минус задачи. Так было бы, например,​ с ММ244. И я был бы согласен с теми, кто поставил мне в вину наличие нескольких решений,​ если бы решений на самом деле было больше одного. 
-Но для ММ246 наличие трех решений кажется украшением,​ а не дефектом задачи. Ведь они - принципиально разные. 
-Например,​ два равнобедренных треугольника с углами 36, 72, 72 (градусов) и 36, 36, 108 (градусов) - разные,​ но не принципиально. Каждый из них возникает при разрезании другого на два равнобедренных. 
-А для разносторонних,​ попавших в ответ это не так. 
-Ну и треугольник с наименьшим углом п/13, IMHO, сам по себе красив в качестве ответа.\\ 
-Свою позицию я прояснил. Готов выслушать аргументы противоположного толка. 
  
 **Награды** **Награды**
  
-За решение задачи ММ246 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ +За решение задачи ММ270 участники Марафона получают следующие призовые баллы:​\\ 
-Александр Домашенко - 7;\\ +Мераб Левиашвили - 18;\\ 
-Анатолий Казмерчук - 7;\\ +Олег Полубасов ​16;\\ 
-Константин Шамсутдинов - 7;\\ +Анатолий Казмерчук - 16;\\ 
-Мераб Левиашвили - 7;\\ +Александр Романов - 16;\\ 
-Виктор Филимоненков - 7;\\ +Константин Шамсутдинов - 10;\\ 
-Валентина Колыбасова - 5;\\ +Виктор Филимоненков - 10;\\ 
-Валентин Пивоваров - 5;\\ +Денис ​Овчинников - 8.\\ 
-Владислав Франк ​- 5;\\ + 
-Анна Букина - 5;\\ +Эстетическая оценка ​задачи - 4.8 балла
-Владимир Дорофеев ​- 4.\\+
  
-**Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла** 
 ---- ----
  
-===== ММ245 ===== 
  
-**Конкурсная задача ​ММ245** (5 баллов)+===== ММ269 =====
  
-В остроугольном ​треугольнике ABC провели высоту BH.  + **Конкурсная задача ММ269** (11 баллов) 
-Найти отношение площадей треугольников ABH и CBH, если первый из них ​подобен треугольнику из своих ​медиан, а второй – треугольнику из своих высот.+ 
 +Какова максимальная возможная степень вершины выпуклого многогранника\\  
 +a) класса 3;\\ 
 +b) класса 4?
  
 **Решение** **Решение**
  
-Привожу решения {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_245.docx|Анатолия Казмерчука}}, {{:​marathon:​ariadna_mm245.pdf|Валентины Колыбасовой}} (оба, как обычно,​ подробные, с чертежами) и {{:​marathon:​fiviol_мм25.docx|Виктора Филимоненкова}} (как обычно,​ краткое, хотя ​и не самое краткое)+Привожу решения {{:​marathon:​mm269_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}}, {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_269.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:​marathon:​shamsutdinov_mm269.docx|Константина ​Шамсутдинова}}.
  
 **Обсуждение** ​ **Обсуждение** ​
  
-ММ245 не вызвала больших затруднений у участников. Изъятые баллы - следствие, скореенедостаточной аккуратности. +Согласно ​традициям Марафона последние задачи каждого конкурса имеют повышенную ​сложность. Эта традиция ​сохранилась и в данном ​конкурсе.  
-Хотя ​у меня были сомнениястоит ли вообще изымать баллы. Ведь в условии сказано просто "найти отношение ​площадей", ​а не айти ​отношение площади ​первого к площади второго"+Результатом этого усложнения чаще всего был отток значительной ​части ​конкурсантов. А эта традиция неожиданно была нарушена! Из техкто регулярно участвовал в нынешнем конкурсе, не прислали решения ММ269 всего два человека. А остальные порадовали, ​но не пощадили ведущего :-) Впрочем, после моей мольбы,​ все же сжалились, сократив самое длинное из решений на 40(!) страниц.
  
-Дополнительный ​балл добавлен за переформулировку задачи таким образомчтобы ответ стал ​единственным. +Разумеется, ​основные страсти кипели вокруг обобщения задачи, очевидного по постановке вопроса. Но только по постановке. Да-да, ответ 3m-3 не годится! 
-У меня тоже возникало ​желание добиться ​единственности ответа. ​Но я не стал делать этогорешив отловить ​тех, кто потеряет один ответ. Капкан ​не сработал.+В какой-то момент у меня ​имелось три решенияв которых приводилась и обосновывалась точная формула для максимальной возможной ​степени вершины m-многогранникаТочнее, три разных формулы, дающих разные ответы :-)\\ 
 +Понимая, что ситуация, ​когда "​Вася и Петя оба правы",​ маловероятна, ведущий был вынужден углубиться ​в многостраничные трактаты,​ воспользовавшись удачно подвернувшейся просьбой продлить срок приема решенийДополнительное время не пропало даром. И ведущий и конкурсанты обнаружили некоторые ​ошибки и неточности в решениях. Во всех, кроме одного, ​в котором ошибок найти не удалось (или, все же, пока не удалось?​). Желающие могут попробовать определить это решение из приводимого ниже списка начисленных призовых ​баллов (а также попытаться найти ошибки и в этом решении)
  
 **Награды** **Награды**
  
-За решение задачи ММ245 участники Марафона получают следующие призовые баллы:​\\  +За решение задачи ММ269 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ 
-Александр Домашенко ​6;\\ +Олег Полубасов - 18;\\ 
-Анатолий Казмерчук - 5;\\ +Мераб Левиашвили ​16;\\ 
-Константин Шамсутдинов - 5;\\ +Анатолий Казмерчук - 13;\\ 
-Мераб Левиашвили ​- 5;\\ +Константин Шамсутдинов - 13;\\ 
-Виктор Филимоненков 5;\\ +Василий Дзюбенко - 11;\\ 
-Анна Букина - 5;\\ +Александр Романов - 11;\\ 
-Валентина Колыбасова 5;\\ +Виктор Филимоненков - 11;\\ 
-Владимир Дорофеев - 5;\\ +Денис Овчинников - 7.
-Владислав Франк - 4;\\ +
-Валентин Пивоваров - 4.+
  
-**Эстетическая оценка задачи - 4.балла**+**Эстетическая оценка задачи - 4.балла**
 ---- ----
  
-===== ММ244 ===== 
  
-**Конкурсная задача ​ММ244** (6 баллов)+===== ММ268 =====
  
-Галя предложила Ане, Боре и Васе такую загадку:​\\ +**Конкурсная задача ​ММ268** (9 баллов)
-- Я задумала три попарно различных ненулевых цифры. Сейчас я по секрету сообщу Ане сумму квадратов,​ Боре произведение,​ а Варе сумму задуманных цифр. Попробуйте отгадать эти цифры. ​  +
-Узнав сумму квадратов произведение и сумму, Аня, Боря и Вася сначала ​задумались, а затем разговорились:​ \\ +
-А: Я не могу определить, ​что это за цифры.\\ +
-Б: И я не могу.\\ +
-В: И я тоже.\\ +
-A: Тогда я их знаю!\\ +
-Б: После этой реплики и я их знаю.\\ +
-Что это за тройка цифр? \\ +
-Примечание:​ У Ани, Бори и Васи ​все хорошо с арифметикой и логикой.+
  
-**Решение**+Назовем натуральное число m допустимым,​ если существует такое n, что из чисел 1,2,…,n можно составить сумму произведений,​ в которой каждое число встречается ровно один раз, равную m. Сколько существует недопустимых чисел? 
  
-Привожу решения {{:marathon:​kazmerchuk_mm_244.docx|Анатолия Казмерчука}} и {{:​marathon:​shamsutdinov_mm244.docx|Константина Шамсутдинова}}+Примечаниев суммах произведений допускаются одиночные слагаемые. Например, число 148 допустимо, поскольку 148=1·3 + 2·5·8 + 4 + 6·9 + 7.
  
-**Обсуждение** +[[problem 268|Решение ​задачи ММ268]]
  
-ММ244 оказалась первой задачей юбилейного конкурса,​ вызвавшей серьезные затруднения у участников. В отличие от большинства трудных задач из предыдущих конкурсов,​ затруднения не остановили конкурсантов и они прислали решения.  +----
-Тем самым, трудности возникли уже у ведущего:​\\  +
-найти ошибку в длинном правдоподобном решении;​\\ +
-разобраться в программе,​ написанной на неизвестном языке, и присланной вместо решения;​\\ +
-как оценивать логическую ошибку при верной арифметике;​\\ +
-как оценивать арифметическую ошибку при верной логике,​ не повлиявшую на ответ;​\\ +
-как оценивать арифметическую ошибку при верной логике,​ повлиявшую на ответ;​\\ +
-наконец,​ как оценить верный ответ при отсутствии решения. ​+
  
-Отмечу,​ что перечисленные ситуации (наряду с тему, которые не вызвали вопросов) встречаются в присланных решениях. ​ 
  
-Наиболее коварный момент в задаче - второе заявление Бори. ​ 
-Сразу несколько конкурсантов проигнорировали начало этого заявления... и получили лишние решения. Меня удивило,​ что это их не удивило (иначе они бы перепроверили свои рассуждения). 
  
-Представленные ниже призовые баллы - плод моих мучительных раздумий и рандомных порывов. Так что, не судите строго (как старался делать и я).+===== ММ267 =====
  
-На [[https://​www.facebook.com/​groups/​mathpuz/​1378859588956546/?​comment_id=1378879308954574&​reply_comment_id=1379017442274094&​notif_id=1569669688346425&​notif_t=group_comment_mention|FB]] можно найти несколько ​разновидностей ​ММ244, предложенных Константином Кнопом. Там же есть решение Олега Полубасова (ушедшего в марафонское подполье)+**Конкурсная задача ​ММ267** (7 баллов)
  
-**Награды**+Вася и Петя поспорили. Вася уверен,​ что среди представлений натурального числа n в виде суммы натуральных слагаемых чаще встречаются те, у которых каждое слагаемое присутствует не более двух раз, чем те, у которых все слагаемые не кратны 3. Петя уверен в обратном. Кто из них прав?
  
-За решение задачи ММ244 участники Марафона получают следующие призовые баллы:​\\  +[[problem 267|Решение задачи ММ267]]
-Анатолий Казмерчук - 7;\\ +
-Константин Шамсутдинов - 6;\\ +
-Мераб Левиашвили - 6;\\ +
-Владислав Франк - 6;\\ +
-Виктор Филимоненков - 5;\\ +
-Анна Букина - 4;\\ +
-Валентин Пивоваров - 4;\\ +
-Валентина Колыбасова - 3;\\ +
-Антон Никонов - 3;\\ +
-Александр Домашенко - 3;\\ +
-Лев Песин - 3.+
  
-**Эстетическая оценка задачи - 4.4 балла** 
 ---- ----
  
 +===== ММ266 =====
  
-===== ММ243 =====+**Конкурсная задача ​ММ266** (7 баллов)
  
-**Конкурсная задача ММ243** ​(баллов)⊥+Вася Пупкин выписал дни рождения семерых своих однокурсников, родившихся в январе одного и того же года, что и Вася, и, поэкспериментировав с выписанными числами, ​заметил ​два факта:\\  
 +1) τ(n<​sup>​3</​sup>​ )=τ(n)<​sup>​2</​sup>,​ где n – произведение всех выписанных чисел;​\\ 
 +2) сумма кубов составных чисел больше суммы кубов остальных\\. 
 +Найдите дни рождения Васиных товарищей,​ если известно,​ что все они младше Васи.
  
 +Примечание:​ при сравнении возрастов учитываются дни, но не часы рождения.
  
-В треугольнике ABC a<b<c и a⋅l<​sub>​a</​sub>​=c⋅l<​sub>​c</​sub>​ Найти угол β. +[[problem 266|Решение ​задачи ММ266]]
  
-**Решение**+----
  
-Привожу решения {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_243.docx|Анатолия Казмерчука}},​ {{:​marathon:​ariadna_mm243.pdf|Валентины Колыбасовой}} и {{:​marathon:​bukina_mm243.pdf|Анны Букиной}} (только они не поленились сделать чертежи).+===== ММ265 =====
  
-Еще ​одно решение ({{:​marathon:​fiviol_мм243.docx|Виктора Филимоненкова}}- пример одного из наиболее кратких решений+**Конкурсная задача ММ265** ​(5 баллов)
  
-**Обсуждение** +Разрезать правильный треугольник на наименьшее возможное количество прямоугольных треугольников так, чтобы никакие ​два из возникших треугольников не были подобны.
  
-Задача не вызвала затруднений у конкурсантов.  +[[problem 265|Решение задачи ММ265]]
-Зато присланные решения довольно разннобразны. \\ +
-Тем самым, они оправдали ожидания ведущего,​ получившего данный результат в качестве побочного продукта при решении более сложной ​задачи+
-Соответственно,​ и решение ​ММ243 получилось весьма громоздким. Искать более простые решения ведущий не стал (хотя подозревал,​ что они есть), доверив это участникам Марафона. ​+
  
-**Награды** 
- 
-За решение задачи ММ243 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ 
-Анатолий Казмерчук - 6;\\ 
-Александр Домашенко - 5;\\ 
-Константин Шамсутдинов - 5;\\ 
-Мераб Левиашвили - 5;\\ 
-Владислав Франк - 5;\\ 
-Валентина Колыбасова - 5;\\ 
-Анна Букина - 5;\\ 
-Валентин Пивоваров - 5;\\ 
-Виктор Филимоненков - 5;\\ 
-Антон Никонов - 3. 
- 
-**Эстетическая оценка задачи - 4.4 балла** 
 ---- ----
  
 +===== ММ264 =====
  
-===== ММ242 =====+**Конкурсная задача ​ММ264** (4 балла)
  
-**Конкурсная задача ММ242** (5 баллов)+Назовем пару ​натуральных чисел a и b аддитивной, если τ(a+b)=τ(a)+τ(b),​σ(a+b)=σ(a)+σ(b) ​ и φ(a+b)=φ(a)+φ(b).  
 +Доказать, что существует ​бесконечно много аддитивных пар.\\
  
-На сайте проводится опрос, кого из m номинированных футболистов посетители сайта считают ​лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует один раз за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста - доля голосов,​ отданных за него, в процентах, округленных до целого числа. После того, как проголосовали n посетителей, суммарный рейтинг номинантов ​составил 95%.\\ +(τ(n)σ(n), φ(n) - количество ​натуральных делителей, сумма натуральных делителей ​и функция Эйлера соответственно.)
-a) При каком наименьшем m такое ​возможно?​\\ +
-b) При каком наименьшем n такое возможно?\\  +
-cПри каком наименьшем m+n такое возможно?​+
  
-**Решение**+[[problem 264|Решение ​задачи ММ264]]
  
-Привожу решения {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_242.docx|Анатолия Казмерчука}} и {{:​marathon:​ariadna_mm242.pdf|Валентины Колыбасовой}}.+----
  
-**Обсуждение** +===== ММ263 ===== 
 + **Конкурсная задача ММ263** (4 балла)
  
-Судьбу задачи ММ242 ​решал ответ на 3-й вопрос. Придумав условие, я сразу для себя решил, что если в наименьшем m+n не будут участвовать ​ни наименьшее m, ни наименьшее nто задача будет достаточно ​интересна, а в противном случае - скучна. О том, что можно будет заменить в условии число 95 (взятое от фонаря) я в тот момент почему-то не думал.+Сколько решений может иметь уравнение ​[3x]{x} – [x]{3x} = cв зависимости от значения ​параметра c?\\
  
-Я был уверен,​ что наиболее сложен пункт c, и ожидал ошибок именно там. К чести конкурсантов с этим пунктом справились все. Но одному из участников неожиданно ​не покорился пункт b. Еще более неожиданной для меня были две попытки дать ​неверный ответ к пункту a, в связи с альтернативной трактовкой термина "​округление"​. Мудрые составители ЕГЭ-шной задачи (коей навеяна ММ242дали полное определение правил ​округления прямо в условии,​ а я был уверен, ​что у конкурсантов ​с этим проблем не будет...+([x] и {x} означают соответственно ​целую часть (пол) и дробную часть числа x.)
  
-Любопытны примеры, приведенные участниками в подтверждение ответа 11 к пункту a. В них встретились следующие значения n:\\ +[[problem 263|Решение ​задачи ​ММ263]]
-29 - 3 раза;​\\ +
-31 - 2 раза;​\\ +
-67 - 1 раз;\\ +
-73 - 1 раз;\\ +
-201 - 2 раза;​\\ +
-10000 - 2 рвза.+
  
-Я не стал штрафовать участников ни за неверное утверждение,​ что минимальное n, при котором достигается m = 11, равно 31 (ведь в задаче про это не спрашивалось),​ ни за краткость в обоснованиях,​ полагая,​ что ссылка на перебор,​ с правильным указанием границ перебора является (при наличии верного ответа) достаточным обоснованием. 
- 
-Я ожидал достаточно массового упоминания того факта, что суммарный рейтинг может быть любым целым числом в пределах от 0 (например,​ каждый из 201 номинантов получил по 1 голосу) до 200 (например,​ каждый из 200 номинантов получил по 1 голосу). Однако данное утверждение обнаружилось лишь в одной работе и было поощрено дополнительным баллом. 
- 
-**Награды** 
- 
-За решение задачи ММ242 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ 
-Анатолий Казмерчук - 6;\\ 
-Владимир Дорофеев - 6;\\ 
-Александр Домашенко - 5;\\ 
-Константин Шамсутдинов - 5;\\ 
-Мераб Левиашвили - 5;\\ 
-Владислав Франк - 5;\\ 
-Валентина Колыбасова - 5;\\ 
-Антон Никонов - 5;\\ 
-Анна Букина - 5;\\ 
-Валентин Пивоваров - 5;\\ 
-Виктор Филимоненков - 4. 
- 
-**Эстетическая оценка задачи - 4.5 балла** 
 ---- ----
  
-===== ММ241 ===== 
  
-**Конкурсная задача ММ241** (балла)+===== ММ262 ===== 
 +  
 +**Конкурсная задача ММ262** (балла)
  
-При каких ​натуральных n множество {1, 2, …, n} можно разбить на два подмножества так, что произведение элементов первого подмножества равно сумме элементов второго?+Разносторонний треугольник назовем прогрессивным, если длины его сторон образуют арифметическую ​прогрессию.  
 +Доказать, что ​треугольник ​прогрессивен ​тогда ​и только тогда, когда ​прямая, проходящая через точку Нагеля и центр Шпикера,​ параллельна средней стороне. 
  
-**Решение**+Примечание:​ тривиальное решение ​(недаром цена задачи всего 3 балла) на ЕГЭ бы не приняли,​ но у нас, слава Богу, не ЕГЭ :-)
  
-Привожу решения {{:​marathon:​domashenko_mm241.docx|Александра Домашенко}} ​и {{:​marathon:​ariadna_mm241.pdf|Валентины Колыбасовой}}.+[[problem 262|Решение ​задачи ММ262]]
  
-**Обсуждение** 
- 
-На первую задачу юбилейного Марафонского конкурса поступило 10 решений. 
-Радует появление сразу троих новых участников. Огорчает исчезновение примерно такого же числа участников предыдущего конкурса. Призываю их подключиться к конкурсу со следующей задачи. 
- 
-Задача ММ241 не вызвала затруднений у большинства конкурсантов. ​ 
-Но был один момент,​ вызвавший разногласия участников. Он касается разрешимости задачи для значений n=1 и n=3. 
-Участники разделись на 3 категории:​\\ ​ 
-первые (Константин Шамсутдинов и Владислав Франк) считают,​ что задача разрешима для каждого из этих n;\\ 
-вторые (их большинство) полагают,​ что задача разрешима для n=3, но не для n=1;\\ 
-наконец Александр Домашенко придерживается мнения,​ что задача не разрешима для обоих упомянутых n. 
- 
-Александр не проаргументировал свое мнение,​ что постановка задачи имеет смысл, начиная с n=4. Полагаю,​ он отталкивался от бинарности операций сложения и умножения. 
-Аргументы Владислава и Константина - произведение элементов пустого множества равно 1, поэтому для n=1 можно поместить 1 в первое подмножество,​ а во второе не помещать ничего. 
-Я согласен с аргументом про произведение элементов пустого множества,​ но... В формулировке идет речь о разбиении. А в разбиении по определению участвуют только непустые подмножества. 
-Поэтому (а вовсе не из конформизма) я склонен присоединиться к большинству. Но при этом не снижал баллы тем, кто придерживается альтернативных мнений. 
- 
-Дополнительные баллы начислены за успешный поиск разбиений,​ не попадающих под общее описание (упоминание наличия таких разбиений и прведение единичного примера не учитывались). 
-Мераб Левиашвили предложил несколько простых вариаций на тему задачи. Уточняю для него и других новичков Марафона,​ что дополнительными баллами такие предложения оцениваются при условии,​ что они содержат какие-то продвижения в указанных направлениях (ну, или если покажутся ведущему неожиданными и очень красивыми). ​ 
- 
-Напоминаю как новичкам,​ так и некоторым забывчивым старожилам,​ что я жду от вас эстетических оценок предлагаемых задач. 
- 
-**Награды** 
- 
-За решение задачи ММ241 участники Марафона получают следующие призовые баллы:​\\ ​ 
-Александр Домашенко - 6;\\ 
-Константин Шамсутдинов - 5;\\ 
-Анатолий Казмерчук - 4;\\ 
-Мераб Левиашвили - 4;\\ 
-Виктор Филимоненков - 4;\\ 
-Владислав Франк - 4;\\ 
-Валентина Колыбасова - 4;\\ 
-Антон Никонов - 4;\\ 
-Владимир Дорофеев - 4;\\ 
-Анна Букина - 2. 
- 
-**Эстетическая оценка задачи - 4.5 балла** 
 ---- ----
 +===== ММ261 =====
 + 
 +**Конкурсная задача ММ261** (4 балла)
  
 +Натуральные числа 1, 2, 3, ..., 100 разбили на 10 групп по 10 чисел. Найти наибольшую возможную сумму НОД этих десяток.
  
-===== ММ240 ===== +[[problem 261|Решение задачи ММ261]]
-**Конкурсная ​задача ММ2409** (13 баллов)+
  
-Проективную плоскость разбили несколькими прямыми общего положения. При этом образовалось ровно 17 треугольников. Сколько пятиугольников могло при этом получиться?​ 
- 
-[[problem 240|Решение задачи ММ240]] 
- 
-**Решение** 
- 
-Привожу решения {{:​marathon:​fiviol_мм240.docx|Виктора Филимоненкова}},​ {{:​marathon:​kosshams_mm240.docx|Константина Шамсутдинова}} и {{:​marathon:​kazmerchuk_mm240.docx|Анатолия Казмерчука}}. 
- 
-**Обсуждение** ​ 
- 
-Задача ММ240 - побочный продукт попытки найти решение другой задачи.\\ 
-Я пытался понять,​ верно ли, что любом n>4 можно найти такое расположение n прямых общего положения на проективной плоскости,​ что в разбиении будут возникать только треугольники,​ четырехугольники и пятиугольники. ​ 
-Мы с ученицей (которой я предложил эту задачу) довольно быстро продвинулись в деле отыскания все больших n, но на общий принцип (а есть ли он?) так и не вышли. 
-Надо будет внимательнее присмотреться к подходам,​ предложенным конкурсантами. Возможно,​ они помогут решить и задачу-предшественник. 
- 
-В условии фиксировалось количество треугольников,​ но не прямых. Любопытно,​ что, доказывая реализуемость возможных значений пятиугольников приводили конфигурации с различными количествами прямых:​\\ 
-Виктор Филимонеков использовал от 9 до 11 и от 15 до 17 прямых:​\\ 
-Анатолий Казмерчук от 12 до 17 прямых;​\\ 
-в авторском решении участвуют от 9 до 17 прямых,​ исключая 15.\\ 
-Наиболее красиво в этом плане решение Константина Шамсутдинова,​ в котором все конфигурации построены по единой схеме с использованием только 17 прямых (мне до сих пор не верится,​ что такое возможно). 
- 
-За сим заканчиваю обзор завершающей задачи XXIV Марафонского конкурса и приступаю к: подведению итогов;​ поиску ошибок в решении Константина;​ размышлению над тем, почему никто не догадался использовать 18 прямых :-)  
-  
-**Награды** 
- 
-За решение задачи ММ240 участники Марафона получают следующие призовые баллы:​\\ ​ 
-Константин Шамсутдинов - 16;\\ 
-Анатолий Казмерчук - 15;\\ 
-Виктор Филимоненков - 13;\\ 
-Владимир Чубанов - 7. 
- 
-**Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла** 
 ---- ----
- 
- 
-===== ММ239 ===== 
-**Конкурсная задача ММ239** (10 баллов) 
- 
-Решения принимаются до __17.11.2018__ 
- 
-Существует ли выпуклый многогранник,​ у которого:​\\ 
-a) не менее половины граней - семиугольники;​\\ 
-b) более половины граней - семиугольники;​ \\ 
-с) не менее половины граней - восьмиугольники;​\\ 
-d) более половины граней - восьмиугольники;​\\ 
-e) не менее половины граней ​ - девятиугольники?​ 
- 
-//​Примечание:​ Если у вас получается,​ что ответ на пункт «а» отрицательный,​ а на пункт «b» - положительный,​ подумайте еще.// ​ 
- 
- 
-[[problem 239|Решение задачи ММ239]] 
- 
  
  
 ~~NOTOC~~ ~~NOTOC~~
 

 


Страница: [[marathon:about]]

marathon/about.1571453252.txt · Последние изменения: 2019/10/19 05:47 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006