Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Это старая версия документа.


Математический марафон


Близится к завершению XXVI конкурс в рамках Математического марафона!

Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания, выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными, а другие - не очень. На вкус и на цвет…

Но если любите поломать голову над нестандартными задачами, участвуйте, не стесняйтесь.

Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас.

Не забывайте, пожалуйста, присылать вместе с Вашими решениями свои эстетические оценки задач по пятибалльной шкале.

Ведущий Марафона — Vladimir letsko


Текущие задачи


ММ259

Конкурсная задача ММ259 (8 баллов)

Решения принимаются до 31.10.2020

Может ли треугольник с вершинами в центроиде и центрах вписанной и описанной окружностей некоторого треугольника быть
a) равновелик;
б) подобен;
в) равен
исходному?

ММ260

Конкурсная задача ММ260 (12 баллов)

Решения принимаются до 14.11.2020

Задача ММ260 обобщает и развивает ММ231

Пусть ABC – некоторый треугольник, точки K, L, M лежат соответственно на прямых AB, AC и BC, а s – некоторое действительное число, отличное от 0 и 1. Треугольник KLM будем называть подобно-вписанным в ∆ABC, если AK=sAB, BL=sBC, CM=sCA; треугольник KLM подобен треугольнику ABC. Сколько подобно вписанных треугольников может быть у произвольного треугольника?


Разбор задач

ММ258

Конкурсная задача ММ258 (7 баллов)

Сколько элементов содержит множество сумм квадратов цифр квадратов чисел, в десятичной записи которых присутствуют по одному разу ровно три ненулевых цифры: 1, 4, 9? (Нулей может быть сколько угодно).

Решение

Привожу решения Виктора Филимоненкова, Дениса Овчинникова и Анны Букиной.

Обсуждение

ММ258 не вызвала затруднений ни у кого из тех, кто прислал решения. Интересно, что в большинстве присланных решений перебор минимизирован настолько, что его вполне можно осуществить вручную.

Естественные обобщения задачи рассмотрели Олег Полубасов и Анатолий Казмерчук. Процитирую Олега:

«Если рассмотреть всевозможные тройки {a, b, c} от {1, 1, 1} до {9, 9, 9}, то окажется, что размеры множеств сумм могут принимать следующие значения: 2-38, 40, 42-49, 52, 56, 57, 60. Двухэлементное множество сумм даёт тройка {1, 1, 1}, а 60-элементное – тройка {7, 8, 9}. Чаще всего (13 раз) встречается размер 24. Размер 25 встречается 7 раз.»

Эта техническая и достаточно рутинная задача возникла как побочный продукт из попытки решить более содержательную задачу.\ Легко понять, что суммы квадратов цифр натурального числа может быть любым натуральным числом (достаточно ограничиться рассмотрением репьюнитов).\ Немногим сложнее обосновывается, что сумма цифр квадрата натурального числа может быть любым натуральным числом, сравнимым с 0, 1, 4, 7 (квадратами) по модулю 9.\ А вот с суммами квадратов цифр квадратов натуральных чисел дело обстоит интереснее. По-видимому, они могут принимать любые значения за исключением 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 20.\ При попытке обосновать это утверждение и возникла данная задача. Почему именно 1, 4, 9?\ Во-первых, сумма число 149 приводит 13, а 1049 - к 19 (эти числа наряду с 15, 17 и 18 входят в список небольших чисел, имеющих нетривиальные требуемые представления). А во-вторых, 1, 4, 9 (фигурирующие в условии) - это все ненулевые цифры, являющиеся квадратами, а 25 (фигурирующее в ответе) тоже квадрат. Мне показалось, что это будет уместно в задаче про сумму квадратов цифр квадратов чисел. Сама же попытка обоснования приведенного предположения утонула в переборе переборов и к задаче не привела.

Награды

За решение задачи ММ256 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Анатолий Казмерчук - 10
Константин Шамсутдинов - 9
Владислав Франк - 9
Денис Овчинников - 9
Виктор Филимоненков - 9
Олег Полубасов - 8.

Эстетическая оценка задачи - 4.3 балла


ММ257

Конкурсная задача ММ257 (9 баллов)

Задача ММ257 сюжетно связана с ММ237

Студент математического факультета Вася Пупкин пропустил (по уважительной причине) занятие по дискретной математике. Однокурсники рассказали, что на занятии рассматривался некий граф. Но ни один из них не зафиксировал этот граф ни с помощью гаджетов, ни на бумагу. Впрочем, Васины однокурсники, утверждают, что это не страшно, поскольку они и так помнят этот граф. В подтверждение своих слов они наперебой кинулись вспоминать характеристики графа:
Аня: В графе было ровно 3 связных компоненты.
Ваня: Причем во всех связных компонентах графа имелись циклы.
Даня: А еще среди связных компонент не было изоморфных.
Маня: Число ребер в одной из компонент было равно половине общего числа ребер.
Саня: При этом число ребер было равно сумме количеств вершин и связных компонент.
Таня: В графе была всего одна вершина степени 3.
Зина: А всего в графе было не более 13 вершин.
Лина: И при этом не было висячих вершин.
Нина: А степень одной из вершин не менее чем на 2 превосходила степень каждой из остальных вершин.
Фаина: Зина, Лина и Нина правы.
Услышавший эти реплики преподаватель сказал, что память подвела ровно одного человека.
Сможет ли Вася (умница и отличник) однозначно восстановить граф?

Решение

Привожу решения Виктора Филимоненкова и Анатолия Казмерчука.

Обсуждение

Сразу несколько участников покритиковали ведущего за то, что он не уточнил, что имеет в виду под «графом». Сначала меня удивила такая реакция: ведь в предудыщих марафонских турнирах графы фигурировали десятки раз и подобных вопросов не возникало. Задумавшись я понял, что в большинстве предыдущих задач структура графа, возникающего на том или ином множестве, вводилась прямо в условии. Впрочем, в ряде задач (ММ105, ММ116, ММ146, ММ153, ММ156) так же как и в ММ257 рассматривались абстрактные графы, но к неоднозначности это не приводило. А меожет, и приводило… Давно это было, 100 задач назад. В общем, на будущее: под графом я всегда имею в виду классический граф: непустое (обычно конечное) множество вершин и множество ребер, каждое из которых есть двухэлементое множество вершин. Это не значит, что я зарекаюсь использовать будущих задачах, орграфы, мультиграфы, гиперграфы, бинарные отношения и даже матроиды. Но когда я буду использовать такие структуры, я отдельно заострю на этом внимание.

Составляя задачу, я вдохновлялся ММ237. И начал с того, что продублировал реплику Фаины. Дальнейшие реплики подбирались так, чтобы, с одной стороны, не было лишних, а с другой - граф определялся однозначно. Вроде, удалось. Хотя задача понравилась далеко не всем. Но мне понравилась. Поэтому я, все же, намерен в одном из грядущих конкурсов заставить Васю и его друзей обсудить новый математический объект.

У тех, кто отозвался, задача затруднений не вызвала. Единственный балл изъят за излишнее увлечение сестрой таланта.

Награды

За решение задачи ММ256 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Анатолий Казмерчук - 10
Константин Шамсутдинов - 9
Владислав Франк - 9
Денис Овчинников - 9
Виктор Филимоненков - 9
Олег Полубасов - 8.

Эстетическая оценка задачи - 4.3 балла


ММ256

Конкурсная задача ММ256 (8 баллов)

При каком наименьшем натуральном n уравнение n{x}2 +{x}=[x] имеет не менее 1000000 решений в рациональных числах?

Примечание: {x} – дробная часть числа x, [x] – целая часть (пол) числа x.

Решение

Привожу решения Дениса Овчинникова и Анатолия Казмерчука. С решением vpb можно познакомиться в разборе ММ256 на dxdy.ru

Обсуждение

В Марафоне неоднократно встречались задачи про функции [x] и {x} (ММ79, ММ176, ММ202, ММ263…)
Маскируется под них и ММ256. Но прозорливые конкурсанты верно разглядели в ней задачку по арифметике (теории чисел). И уверенно справились. А вот попыток изучить аналоги и обобщения было меньше обычного. Единственным, кто преуспел в этом оказался (и это не стало неожиданностью для ведущего) Анатолий Казмерчук.

На этот раз конкурсанты были довольно единодушны при оценивании задачи. Соглашусь с ними и я :-)

Награды

За решение задачи ММ256 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Анатолий Казмерчук - 10
Константин Шамсутдинов - 8
Олег Полубасов - 8
Владислав Франк - 8
Денис Овчинников - 8
Виктор Филимоненков - 8
vpb - 8.

Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла


ММ255

Конкурсная задача ММ255 (7 баллов)

Найти наименьшее натуральное число, имеющее ровно 7 представлений в виде произведения наибольшего возможного количества попарно различных натуральных сомножителей.

Решение

Привожу решения Виктора Филимоненкова, Олега Полубасова и Константина Шамсутдинова.

Обсуждение

Несложное обоснование существования чисел, имеющих в точности k представлений в виде произведения наибольшего возможного количества попарно различных сомножителей, оценивалось в один дополнительный балл. Еще 1 или два балла начислялись за нахождение наименьших чисел для других значений k.

ММ255 еще раз продемонстрировала полярность вкусов и предпочтений конкурсантов. Впрочем, из усредненной эстетической оценки видно, что тех, кому задача понравилась - большинство. В любом случае еще раз призываю конкурсантов не забывать присылать свои оценки задач. И использовать шкалу оценок по полной. Оценка по однобалльной шкале не позволит ведущему учесть ваши предпочтения при составлении новых задач (хотя предпочтеyия ведущего, по-видимому, в любом случае будут иметь приоритет).

Награды

За решение задачи ММ255 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Константин Шамсутдинов - 10
Олег Полубасов - 9
Анатолий Казмерчук - 8
Владислав Франк - 8
Денис Овчинников - 8
Виктор Филимоненков - 7
Владимир Дорофеев - 4.

Эстетическая оценка задачи - 4.4 балла


ММ254

Конкурсная задача ММ254 (6 баллов)

Вася вписал круг в треугольник со сторонами 3, 4, 5. И вписывает новые круги так, что каждый последующий касается двух сторон треугольника и одного из предыдущих кругов. Может ли суммарная площадь кругов превысить 80% от площади треугольника и на каком шаге (круге) может случиться это событие?

Решение

Привожу решения Виктора Филимоненкова, Олега Полубасова и Анатолия Казмерчука.

Обсуждение

В отличие от прошлой задачи, при решении ММ254 избежали технических ошибок (хотя ошибиться было где). Но неожиданно вернулись проблемы с пониманием условия и вопроса задачи. И если для ММ251 такие проблемы были вполне ожидаемы (я уже объяснял, почему сознательно не стал доскональнее прописывать условие той задачи), то ММ254 представлялась мне сформулированной ясно и однозначно. Единственный нюанс - учитывать ли первый круг. Для придания однозначности я продублировал слово «шагов», словом «кругов», поясняя, что первый круг тоже следует считать. Тем не менее, сосчитали его не все. Но я заранее решил, что не буду считать это за ошибку. Я не снижал баллы и за отсутствие явного указания на то, что Вася может и не добраться до 80% даже при бесконечном числе шагов (ведь в задаче спрашивалось «может ли площадь кругов превысить 80%», а не «превысит ли»). Теперь о замечаниях, за которые баллы снимались. Валентин Пивоваров почему-то решил, что за один шаг обязательно вписывается сразу по 3 круга (в каждый из углов треугольника). Перечитав условие я убедился, что в нем нет намеков на такое толкование. Тем не менее, я счел возможным поставить Валентину достаточно высокий балл, поскольку параметры трех геометрических прогрессий были определены верно, то есть, было сделано практически все, что нужно для решения. Еще два участника почему-то ограничились нахождением наименьшего количества кругов, покрывающих более 80% площади треугольника. Проанализировав условие, я пришел к выводу, что вина за такую трактовку лежит исключительно на этих участниках :-) Наконец, в одном из решений превышение 80% на любом круге, начиная с 6-го, отмечается, но отдельно не обосновывается. Хотя легко подобрать начальные данные так, что правильным ответом будет, например, такой «требуемый процент будет превышен на 3-м, 4-м или 5-м шаге».

Анатолий Казмерчук нашел диапазон, в котором может изменяться отношение площади треугольника к предельной сумме площадей кругов в зависимости от формы треугольника. Олег Полубасов показал, как приближаться к границам этого диапазона, но не обосновал непреодолимость этих границ. Владислав Франк получил нижнюю границу.

Отдельно отмечу замечательное наблюдение Олега Полубасова - поразительную близость отношения площади египетского треугольника к сумме площадей вписанного круга и трех кругов, вписанных в углы треугольника, к π/2.

Участники поставили передо мной непростую задачу: зачастую те решения, которые содержали обобщения задачи, одновременно имели перечисленные выше недостатки. Во что вылилось добавление дополнительных баллов при одновременном вычитании основных см. ниже.

Награды

За решение задачи ММ254 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Анатолий Казмерчук - 7
Владислав Франк - 7
Олег Полубасов - 7
Константин Шамсутдинов - 6
Виктор Филимоненков - 6
Денис Овчинников - 5
Валентин Пивоваров - 4.

Эстетическая оценка задачи - 4.4 балла


ММ253

Конкурсная задача ММ253 (5 баллов)

Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 2. Сечение призмы, проходящее через середину отрезка AB1 перпендикулярно ему имеет площадь 28sqrt(39)/81. Найти объем призмы?

Решение

Привожу решения Константина Шамсутдинова (замечательное своей краткостью), Василия Дзюбенко (замечательное своей основательностью), и Анатолия Казмерчука (как всегда, замечательное во всех отношениях).

Обсуждение

Предлагая эту задачу, я изначально был уверен, что участники не попадутся в небольшую ловушку - наличие двух случаев. Но некоторые ответы на ММ251 эту уверенность поколебали. Как выяснилось, зря. Все присланные решения содержат по два ответа. Правда, в некоторых из решений по одному (разному) ответу оказались неверны из-за вычислительных ошибок.

Составляя задачу, я долго бился над тем, чтобы оба ответа были «приличными». Если под приличностью понимать отсутствие многоэтажных радикалов, то задуманное осуществить удалось. Но сделать оба ответа совсем компактными я так и не смог. Остановился на варианте, когда более сложный случай пятиугольного сечения приводит к более простому ответу.

Анатолий Казмерчук исследовал вопрос о количестве решений задачи в зависимости от соотношения между стороной основания призмы и площадью сечения.

Награды

За решение задачи ММ253 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Анатолий Казмерчук - 6
Денис Овчинников - 5
Василий Дзюбенко - 5
Владислав Франк - 5
Константин Шамсутдинов - 5
Валентин Пивоваров - 5
Олег Полубасов - 4
Виктор Филимоненков - 4.

Эстетическая оценка задачи - 4.1 балла



ММ252

Конкурсная задача ММ252 (3 балла)

Для числа 90 существуют две пары представлений в виде произведения трех сомножителей таких, что суммы сомножителей внутри каждой пары одинаковы: 90=1⋅9⋅10=2⋅3⋅15, 1+9+10=2+3+15;
90=2⋅5⋅9=3⋅3⋅10, 2+5+9=3+3+10.
Доказать, что существует бесконечно много натуральных чисел вида pkq (p, q – простые, k – натуральное), обладающих таким свойством.

Решение

Привожу решения Олега Полубасова, Анатолия Казмерчука и Дениса Овчинникова.

Обсуждение

На задачу ММ252 поступило существенно меньше решений, чем на ММ251 :-(
И это вопреки тому, что добавилось два новых участника: один относительно новый (в рамках текущего конкурса), а другой - новый участник Марафона в целом.
Некоторые из «пропавших» (надеюсь, все же, отлучившихся) конкурсантов признались, что они не справились с ММ252. При том, что задача, на мой взгляд, весьма проста. Ведь бесконечная серия подходящих чисел строится из одного подходящего числа тривиально. По-видимому, проблема в нахождении одного подходящего примера.
В этой связи еще раз подчеркну (в первую очередь, для тех, кто присоединился к Марафону недавно) принципиальное отличие Марафона от олимпиады, проводимой «здесь и сейчас». Решение марафонских задач предполагает использование любых источников. Использование вычислительной мощи компьютера тоже не считается зазорным.

Анатолий Казмерчук доказал, что среди степеней простых чисел нет чисел с рассматриваемым свойством.
Денис Овчинников предпринял попытку доказать, что таковых нет и среди чисел pkq, при p > 2. Правда, в его рассуждении (это признает и сам Денис) есть «темное пятно». Но, возможно, доказательство можно довести до ума. Олегу Полубасову удалось построить более одной серии рассматриваемых чисел. Для этого Олег подловил ведущего на неаккуратной формулировке (ох уж эти формулировки!). В самом деле, в условии сказано, что исходное число - натуральное. Но про натуральность сомножителей (которую имел в виду ведущий и почти все конкурсанты) ничего не говорится.

Интересно, является ли найденная серия единственной если, все же, рассматривать разложения на натуральные сомножители. Полагаю, что для всех подходящих серий p = 2, но при этом допускаю, что серий может быть много. Впрочем, это только мои предположения.

Награды

За решение задачи ММ252 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Анатолий Казмерчук - 5
Олег Полубасов - 5
Денис Овчинников - 5
Виктор Филимоненков - 4
Василий Дзюбенко - 4
Владислав Франк - 4
Константин Шамсутдинов - 4
Валентин Пивоваров - 1.

Эстетическая оценка задачи - 3.9 балла


ММ251

Конкурсная задача ММ251 (3 балла)

Из книги вырвано несколько страниц. Сумма номеров оставшихся страниц 5001. Пусть n – наименьшее возможное число страниц, которое могло быть в этой книге изначально. Найдите наибольший возможный номер отсутствующей страницы, при условии, что в книге было n страниц.

Решение

Привожу решения Анатолия Казмерчука и Елены Фоминой (новичка Марафона).

Обсуждение

Совершенно неожиданно задача ММ251, которую я считал легкой и поместил в конкурс «для разогрева», вызвала затруднения у значительного числа конкурсантов, в том числе у признанных асов. Кроме неверных решений я получил также некоторые упреки за неоднозначность формулировки:
Из книги нельзя вырвать страницы - только листы;
Не уточнено, подходит ли одна страница под формулировку «несколько страниц»;
Не указано, на какой стороне разворота книги находится первая страница;
не указано, является ли печать (и соответственно нумерация) двусторонней…

Я исходил из того, что на каждом листе расположены две страницы, причем меньший из номеров нечетен. Я ни разу не встречал книги, где на правом развороте были бы страницы с четными номерами (и сомневаюсь в существовании таких диковин). Переплетенные документы с односторонней печатью, я, конечно, встречал, но это были отчеты, дипломные работы, диссертации… и ни разу не книги. (Правда, мне указали, что самиздатовская книга может иметь одностороннюю печать.)
Что касается толкования слова «несколько», на мой взгляд, одна страница вполне подошла бы под это понятие. Но, поскольку я имел в виду обычную книгу с двусторонней печатью, этот момент не важен. Каждый вырванный лист - это пара вырванных страниц.
Я не оговорил эти моменты вполне сознательно, полагая, что без этих нюансов задача станет совсем уж тривиальной. Впрочем, я был уверен, что и эти моменты не вызовут затруднений для подавляющего большинства участников. Но ошибся. Наверное, часть конкурсантов расслабились за лето и еще не вошли в форму.
Каждый из перечисленных моментов, стал для кого-то камнем преткновения. Еще двое конкурсантов споткнулись о домысленное условие, что страницы вырывались подряд.

Даже некоторые из тех, кто пришел к верному ответу, рассуждали, на мой взгляд, не вполне строго. Например, вывод, что в книге было 100 страниц, сделанный на основании того, что 5050 наименьшее треугольное число, превышающее 5001. Ведь 5050 превышает и, скажем, 5037. Но, если бы сумма оставшихся страниц была 5037, в книге изначально должно было быть больше 100 страниц. Другим неаккуратным шагом стало отбрасывание варианта с одной страницей не на основании того, что на одном листе находятся две страницы, а из-за того, что «один» - это не «несколько». Я не стал придираться к этим моментам.

Самым предусмотрительным оказался Виктор Филимоненков, рассмотревший как классические книжки, так и их альтернативные разновидности.
А единственным конкурсантам, рассмотревшим обобщение задачи стал Анатолий Казмерчук. Он выяснил, какие числа могут быть суммами номеров вырванных страниц.

Награды

За решение задачи ММ251 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Анатолий Казмерчук - 4
Виктор Филимоненков - 3
Олег Полубасов - 3
Елена Фомина - 3
Владимир Дорофеев - 3
Владислав Франк - 3
Константин Шамсутдинов - 3
Константин Кноп - 1
Александр Домашенко - 1
Валентин Пивоваров - 1
Анна Букина - 1
cubaca - 1.

Эстетическая оценка задачи - 4 балла


 

 


Страница: [[marathon:about]]

marathon/about.1603613264.txt · Последние изменения: 2020/10/25 11:07 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006