Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

marathon:about [2020/11/01 16:48]
letsko [ММ259]
marathon:about [2021/06/17 17:02] (текущий)
letsko [Текущие задачи]
Строка 8: Строка 8:
  
 ---- ----
 +**Завершен XXVII конкурс вамках Математического марафона**
 +
 +**Мои поздравления победителю конкурса,​ Мерабу Левиашвили,​ призерам,​ Анатолию Казмерчуку и Олегу Полубасову,​ а также всем тем, кто составил им достойную конкуренцию**
  
-Близится к завершению **XXVI конкурс в рамках Математического марафона!** 
  
 Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания,​ выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными,​ а другие - не очень. На вкус и на цвет... Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания,​ выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными,​ а другие - не очень. На вкус и на цвет...
  
-Но если любите поломать голову над нестандартными задачами,​ участвуйте,​ не стесняйтесь.+Но если ​вы любите поломать голову над нестандартными задачами,​ участвуйте,​ не стесняйтесь.
  
 Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас. Жду от вас комментариев марафонских задач, а также пожеланий Марафону. Эта обратная связь позволит сделать Марафон интереснее для вас.
Строка 21: Строка 23:
  ​Ведущий Марафона  ​Ведущий Марафона
 --- //​[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]// --- //​[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]//
 +
 +[[Afterword XXVII |Послесловие к XXVII конкурсу]]
  
 ---- ----
- 
  
  
 ====== Текущие задачи ====== ====== Текущие задачи ======
 +----
 +**На данный момент отсутствуют.**
 ---- ----
  
-===== ММ260 ===== 
  
- **Конкурсная ​задача ММ260** (12 баллов) +====== Разбор задач ​====== 
- +---- 
-Решения принимаются до __14.11.2020__ +===== 
- +Вектором граней выпуклого многогранника ​P назовем набор [f<​sub>​3</​sub>​f<​sub>​4</​sub>​…, f<​sub>​s</​sub>​],​ где f<​sub>​i</​sub> ​– количество ​i-угольных граней P, а s наибольшее число сторон грани. Будем говорить, что относится к классу m, если max(f<​sub>​i</​sub>​) = m.
- +
-Задача ММ260 ​обобщает и развивает ММ231 +
- +
-Пусть ABC – некоторый треугольник, точки K, L, M лежат соответственно на прямых ABAC и BCа s – некоторое действительное число, отличное от 0 и 1. Треугольник KLM будем называть подобно-вписанным в ∆ABC, если +
-AK=sAB, BL=sBC, CM=sCA; +
-треугольник KLM подобен треугольнику ABC. +
-Сколько подобно вписанных треугольников может быть у произвольного треугольника?+
  
 ---- ----
  
-====== Разбор задач ====== 
  
-===== ММ259 =====+**Конкурсная задача ​ММ270** (16 баллов)
  
-**Конкурсная задача ММ259** (8 баллов) +Найти ​наибольшее возможное ​количество ​граней ​многогранника ​класса m.
- +
-Может ​ли треугольник с вершинами в центроиде и центрах ​вписанной и описанной окружностей некоторого ​треугольника быть\\  +
-a) равновелик;\\ +
-б) подобен;​\\ +
-в) равен \\ +
-исходному?​+
  
 **Решение** **Решение**
  
-Привожу решения {{:​marathon:​mm259_dendr81.pdf|Дениса Овчинникова}} и {{:​marathon:​frank_mm259.pdf|Владислава Франка}}. С рншением ​Анатолия Казмерчука ​можно ознакомиться [[https://​dxdy.ru/​post1490274.html#​p1490274]|тут]]. +Привожу решения ​призеров конкурса, ​{{:​marathon:​mm_270_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}} и {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_270.pdf|Анатолия Казмерчука}}, а также обобщение задачи победителя конкурса {{:​marathon:​обобщение-мм270.docx|Мераба Левиашвили}} .
- +
-**Обсуждение** +
  
-Как обычно, к концу ​соревнования (или очередного этапа, кому как нравится) марафонцы начали потихоньку уставать и сходить с дистанции. +**Обсуждение**
-Зато оставшиеся участники порадовали разнообразием подходов. +
-Например,​ Влад Франк прибегнул к комплексной параметризации. Аналогичный прием, примененный при решении ММ157 (см. разбор),​ привел к короткому изящному решению. Удалось ли добиться такого же эффекта для ММ259, судите сами.+
  
-Некоторое расхождение в оценках ​связано со строгостью обоснования последнего пункта+В отличие от ММ269, где вопрос задачи был ​сформулирован ​для частных значений m, а обобщали ​его сами конкурсанты, ​в ММ270 ​сразу же был сформулирован общий вопросОбъясняется это просто. В ММ269 ​ответа на общий вопрос ведущий на момент опубликования задачи ​не знал (и даже склонялся, но, к счастью не оказал" ​неверный ответ). А для ММ270 у меня был верный обоснованный ​ответ.
-За одним исключением. У Виктора Филимоненкова все ​обосновано ​строгоНо он почему-то рассмотрел треугольник ​с вершинами в центрах вписанной и описанной окружностей и в ортоцентре (а не центоридекак было в условии). +
-Такой ​треугольник ​не может быть не только равен, но и подобен ​исходному.+
  
-Для полноты картины замечу, что треугольник с вершинами в центроидеинцентре и ортоцентре, так же как и треугольник ​из условия, может быть равновелик и подобенно не равен исходному. +Эта ситуация выбила почву из под ног большинства любителей обобщений. Да, практически всерешившие ММ270, ​нашли заодно и наибольшие количества вершин и ребер m-многогранников. Но ответы ​на эти вопросы становятся очевидны при успешном решении основной задачи. Единственным, кто ​изыскал возможности ​пообобщать стал Мераб Левиашвили. Он перешел от рассмотрения многогранников к рассмотрению простых (каждая вершина имеет степень n) политопов размерностейбольших 3. У таких ​политопов существуют грани разных размерностей. Соответственно можно рассматривать разные аналоги m-многогранников. Мераб остановился ​на случае двумерных граней. На основании известных соотношений Дена-Соммервиля ​он получил наименьшие значения m, для которых существуют n-мерные политопы класса m и верхние оценки для числа граней ​таких политопов для n \in {4, 5}, а также некоторые оценки для n \in {67, 8}. Я привожу только обобщение задачи (присланное Мерабом отдельным документом), в том числе, и по причине слишком большого веса основного решения.
-В параметризации A(-1;0), B(1;0), C(x;y), где 0≤x<1, (x+1)<​sup>​2</​sup>​+y<​sup>​2</​sup>​ ≤4, единственному треугольнику с вершинами в центроидеинцентре и ортоцентре, подобному исходному соответствует С(0.6367873395...;​ 0.5201582408...).  +
-Наконец, треугольника с вершинами в центроидеортоцентре ​и центре описанной окружности не существует, поскольку ​эти точки лежат на прямой Эйлера.+
  
-Любопытно, что, если в указанной параметризации взять C(0.3246129395...,​ 0.4677703801...), ​треугольник с вершинами в ортоцентре и двух ​точках Аполлония (изодинамических центрахподобен исходному с коэффициентов подобия довольно близким к 1.+Во всех ​присланных решениях имеется содержится ответ 7m-4 для больших ​значений m. Разнятся эти решения степенью гипотетичности и обоснованности данного ответа, а также количеством частных значений m, подтверждающих данную гипотезу (это касается решений,​ где 7m-4 именно гипотеза).
  
-Я полагаю,​ что никакой треугольник не может быть равен треугольнику с вершинами в каких-то трех своих замечательных точках. Но пока проверил все сочетания замечательных точек из ETC (а там порядка 40000 центров) по три :-)  
  
 **Награды** **Награды**
  
-За решение задачи ММ259 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ +За решение задачи ММ270 участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\ 
-Анатолий Казмерчук - 9\\ +Мераб Левиашвили - 18;\\ 
-Владислав Франк - 8\\ +Олег Полубасов - 16;\\ 
-Денис Овчинников - 8\\ +Анатолий Казмерчук - 16;\\ 
-Константин Шамсутдинов - 7\\ +Александр Романов - 16;\\ 
-Виктор Филимоненков - 5\\+Константин Шамсутдинов - 10;\\ 
 +Виктор Филимоненков - 10;\\ 
 +Денис Овчинников - 8.\\
  
-**Эстетическая оценка задачи - 4.8  балла ​**+Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла
  
 ---- ----
  
  
-===== ММ258 ===== +===== ММ269 =====
- ​**Конкурсная задача ММ258** (7 баллов)+
  
-Сколько элементов ​содержит множество сумм квадратов цифр ​квадратов чиселв десятичной записи которых ​присутствуют ​по одному разу ровно три ​ненулевых цифры: 1, 4, 9? (Нулей может быть ​сколько угодно).+ **Конкурсная задача ММ269** (11 баллов
 + 
 +Какова максимальная ​возможная степень вершины выпуклого многогранника\\  
 +a) класса 3;\\ 
 +b) класса 4?
  
 **Решение** **Решение**
  
-Привожу решения {{:​marathon:​мм258_fiviol.docx|Виктора Филимоненкова}}, {{:​marathon:​mm258_dendr81.pdf|Дениса Овчинникова}} и {{:​marathon:​bukina_mm258.pdf|Анны Букиной}}.+Привожу решения {{:​marathon:​mm269_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}}, {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_269.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:​marathon:​shamsutdinov_mm269.docx|Константина Шамсутдинова}}.
  
 **Обсуждение** ​ **Обсуждение** ​
  
-ММ258 не вызвала затруднений ни у кого из тех, кто прислал решения. Интересно, что в большинстве присланных решений перебор минимизирован ​настолько,​ что его вполне можно осуществить вручную. +Согласно традициям Марафона последние задачи ​каждого ​конкурса имеют повышенную сложность. Эта традиция ​сохранилась и в данном ​конкурсе. ​ 
- +Результатом этого усложнения чаще всего был отток значительной части конкурсантов. А эта традиция неожиданно была нарушена! Из тех, кто ​регулярно участвовал ​в нынешнем конкурсе, не прислали решения ​ММ269 всего два человека. ​А остальные порадовали, но не пощадили ​ведущего :-) Впрочемпосле ​моей мольбы, все ​же сжалились, сократив самое длинное из решений на 40(!) страниц.
-Естественные обобщения ​задачи ​рассмотрели Олег Полубасов и Анатолий Казмерчук. Процитирую Олега:​ +
- +
-сли рассмотреть всевозможные тройки {a, b, c} от {1, 1, 1} до {9, 9, 9}, то окажется, что ​размеры множеств сумм могут принимать следующие значения: +
-2-38, 40, 42-49, 52, 56, 57, 60.  +
-Двухэлементное множество сумм даёт тройка {1, 1, 1}, а 60-элементное – тройка {7, 8, 9}.  +
-Чаще всего (13 раз) встречается размер 24. Размер 25 встречается 7 раз." +
- +
-Эта техническая и достаточно рутинная задача возникла как побочный продукт из попытки решить более содержательную задачу.\\ +
-Легко понять, ​что суммы ​квадратов цифр ​натурального числа может быть любым ​натуральным числом (достаточно ограничиться рассмотрением репьюнитов).\\ +
-Немногим сложнее обосновывается,​ что сумма цифр квадрата натурального числа может ​быть любым ​натуральным числом,​ сравнимым с 01, 4, 7 (квадратами) по модулю 9.\\ +
-А вот с суммами квадратов цифр квадратов натуральных чисел дело обстоит интереснее.  +
-По-видимомуони могут ​принимать любые значения ​за исключением 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 20.\\ +
-При попытке обосновать это утверждение и возникла данная задача. Почему именно 1, 4, 9?\\ +
-Во-первых, ​сумма число 149 приводит 13, а 1049 - к 19 (эти числа наряду с 15, 17 и 18 входят ​в список небольших чиселимеющих нетривиальные требуемые представления). +
-А во-вторых1, 4, 9 (фигурирующие в условии) - это ​все ​ненулевые цифры, являющиеся квадратами, а 25 (фигурирующее в ответе) тоже квадрат. Мне показалось, что это будет уместно в задаче про ​сумму **квадратов** цифр **квадратов** чисел.+
  
-Сама ​же попытка обоснования приведенного ​предположения утонула в переборе переборов и к задаче не привела.+Разумеется, основные страсти кипели вокруг обобщения задачи,​ очевидного ​по постановке вопроса. Но только по постановке. Да-да, ответ 3m-3 не годится
 +В какой-то момент у меня имелось три решения,​ в которых ​приводилась и обосновывалась точная формула для максимальной возможной степени вершины m-многогранника. Точнее, три разных формулы, дающих разные ​ответы :-)\\ 
 +Понимая, что ситуация, когда "​Вася и Петя оба правы",​ маловероятна, ведущий был вынужден углубиться в многостраничные трактаты, ​воспользовавшись удачно подвернувшейся просьбой продлить срок приема решений. Дополнительное время не пропало даром. И ведущий и конкурсанты обнаружили некоторые ошибки и неточности ​в решениях. Во всех, ​кроме одного,​ в котором ошибок найти не удалось (или, все же, пока ​не удалось?​). Желающие могут попробовать определить это решение из приводимого ниже списка начисленных призовых баллов (а также попытаться найти ошибки и в этом решении)
  
 **Награды** **Награды**
  
-За решение задачи ММ258 участники Марафона получают следующие призовые баллы: ​\\ +За решение задачи ММ269 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ 
-Анатолий Казмерчук - 8\\ +Олег Полубасов - 18;\\ 
-Олег Полубасов - 8\\ +Мераб Левиашвили - 16;\\ 
-Владислав Франк - 8\\ +Анатолий Казмерчук - 13;\\ 
-Константин Шамсутдинов - 7\\ +Константин Шамсутдинов - 13;\\ 
-Денис Овчинников - 7\\ +Василий ​Дзюбенко - 11;\\ 
-Виктор Филимоненков - 7\\ +Александр Романов - 11;\\ 
-Анна Букина - 7.+Виктор Филимоненков - 11;\\ 
 +Денис Овчинников ​- 7.
  
-**Эстетическая оценка задачи - 4 балла ** +**Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла**
----- +
-PS: Владислав Франк прислал мне строгое доказательство того, что каждое натуральное число, большее 20, есть сумма квадратов цифр некоторого квадрата.+
 ---- ----
  
  
-===== ММ257 ===== +===== ММ268 =====
- ​**Конкурсная задача ММ257** (9 баллов)+
  
-__Задача ММ257 сюжетно связана с ММ237__+**Конкурсная задача ММ268** (9 баллов)
  
-Студент математического факультета Вася Пупкин пропустил (по уважительной причине) занятие по дискретной математике. Однокурсники рассказали,​ что на занятии рассматривался некий граф. Но ни один из них не зафиксировал этот граф ни с помощью гаджетов, ни на бумагу. Впрочем, Васины ​однокурсники,​ утверждают, что ​это не страшнопоскольку они и так помнят этот граф. В подтверждение своих слов они наперебой кинулись ​вспоминать характеристики графа:​\\ +Назовем натуральное число допустимым, если существует такое n, что ​из чисел 1,2,​…,​n ​можно составить сумму произведений, в которой каждое число встречается ровно один раз, равную mСколько ​существует недопустимых чисел
-Аня: В графе было ровно 3 связных компоненты.\\ +
-Ваня: Причем ​во всех связных компонентах графа ​имелись циклы.\\ +
-Даня: А еще среди связных  ​компонент не было изоморфных.\\ +
-Маня: Число ребер в одной из компонент было равно половине общего ​числа ребер.\\ +
-Саня: При этом число ребер было равно сумме количеств вершин и связных компонент.\\ +
-Таня: В графе была всего одна вершина степени 3.\\ +
-Зина: А всего в графе было не более 13 вершин.\\ +
-Лина: И при этом не было висячих вершин. \\ +
-Нина: А степень ​одной из вершин не менее чем на 2 превосходила степень каждой из остальных вершин.\\ +
-Фаина: ЗинаЛина и Нина правы.\\ +
-Услышавший эти реплики преподаватель сказал, что память подвела ровно одного человека.\\  +
-Сможет ли Вася (умница и отличник) однозначно восстановить граф?\\+
  
-**Решение** +Примечание: в суммах произведений допускаются одиночные слагаемые. ​Например, ​число ​148 допустимо, поскольку ​148=1·3 + 2·5·8 + 4 + 6·9 + 7.
- +
-Привожу решения {{:​marathon:​fiviol_mm257.docx|Виктора Филимоненкова}} и {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_257.pdf|Анатолия Казмерчука}}. +
- +
-**Обсуждение**  +
- +
-Сразу несколько ​участников покритиковали ведущего за то, что он не уточнил,​ что имеет в виду под "​графом".  +
-Сначала меня удивила такая реакция:​ ведь в предудыщих марафонских турнирах графы фигурировали десятки раз и подобных вопросов не возникало. +
-Задумавшись я понял, что в большинстве ​предыдущих задач ​структура графа, возникающего на том или ином множестве, вводилась прямо в условии. +
-Впрочем,​ в ряде задач (ММ105, ММ116, ММ146, ММ153, ММ156) так же как ​и в ММ257 рассматривались абстрактные графы, ​но к неоднозначности это не приводило. А меожет,​ и приводило... Давно это было, 100 задач назад. +
-В общем, на будущее:​ под графом я всегда имею в виду классический ​граф: непустое (обычно конечное) ​множество вершин и множество ребер, каждое из которых есть двухэлементое множество вершин. +
-Это не значит, что я зарекаюсь использовать будущих задачах,​ орграфы, мультиграфы, гиперграфы,​ бинарные отношения и даже ​матроиды. Но когда я буду использовать такие структурыя отдельно заострю на этом внимание. +
- +
-Составляя задачу,​ я вдохновлялся ММ237. И начал с того, что продублировал реплику Фаины. Дальнейшие реплики подбирались так, чтобы, с одной стороны,​ не было лишних, а с другой - граф определялся однозначно. +
-Вродеудалось. Хотя задача ​понравилась далеко не всем. Но мне понравилась. Поэтому я, все же, намерен в одном из грядущих конкурсов заставить Васю и его друзей обсудить новый математический объект. +
- +
-У тех, кто отозвался,​ задача затруднений не вызвала. Единственный балл изъят за излишнее увлечение сестрой таланта. ​   +
- +
-**Награды**+
  
-За решение задачи ММ257 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ +[[problem 268|Решение задачи ММ268]]
-Анатолий Казмерчук - 10\\ +
-Константин Шамсутдинов - 9\\ +
-Владислав Франк - 9\\ +
-Денис Овчинников - 9\\ +
-Виктор Филимоненков - 9\\ +
-Олег Полубасов - 8.+
  
-**Эстетическая оценка задачи - 4.3 балла ** 
 ---- ----
  
  
-===== ММ256 ===== 
-**Конкурсная задача ММ256** (8 баллов) 
  
-При каком наименьшем натуральном n уравнение n{x}<​sup>​2</​sup>​ +{x}=[x] имеет не менее 1000000 решений в рациональных числах?​+===== ММ267 =====
  
-__Примечание: {x} – дробная ​часть числа x, [x]  – целая ​часть ​(полчисла x.__+**Конкурсная ​задача ​ММ267** ​(7 баллов)
  
 +Вася и Петя поспорили. Вася уверен,​ что среди представлений натурального числа n в виде суммы натуральных слагаемых чаще встречаются те, у которых каждое слагаемое присутствует не более двух раз, чем те, у которых все слагаемые не кратны 3. Петя уверен в обратном. Кто из них прав?
  
-**Решение**+[[problem 267|Решение ​задачи ММ267]]
  
-Привожу решения {{:​marathon:​mm256_dendr81.pdf|Дениса Овчинникова}} и {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_256.pdf|Анатолия Казмерчука}}. С решением **vpb** можно познакомиться в разборе ММ256 на [[https://​dxdy.ru/​post1486803.html#​p1486803 | dxdy.ru]]+----
  
-**Обсуждение** ​+===== ММ266 =====
  
-В Марафоне неоднократно встречались задачи про функции [x] и {x} (ММ79, ММ176, ММ202, ММ263...)\\ +**Конкурсная задача ​ММ266** ​(баллов)
-Маскируется под ​них и ММ256. Но прозорливые конкурсанты верно разглядели в ней ​задачку по арифметике ​(теории чисел). И уверенно справились. +
-А вот попыток изучить аналоги и обобщения было меньше обычного. Единственным,​ кто преуспел в этом оказался (и это не стало неожиданностью для ​ведущегоАнатолий Казмерчук.+
  
-На этот раз конкурсанты были довольно единодушны при ​оценивании задачи. Соглашусь с ними и я :-) +Вася Пупкин выписал дни рождения семерых своих однокурсников, родившихся в январе ​одного и того же года, что и Вася, и, поэкспериментировав с выписанными числами, ​заметил ​два факта:​\\  
 +1) τ(n<​sup>​3</​sup>​ )=τ(n)<​sup>​2</​sup>,​ где n – произведение всех выписанных ​чисел;\\ 
 +2) сумма кубов ​составных чисел больше суммы кубов остальных\\. 
 +Найдите дни рождения Васиных товарищей,​ если известно,​ что все они младше Васи.
  
-**Награды**+Примечание: при сравнении возрастов учитываются ​дни, но не часы рождения.
  
-За решение задачи ММ256 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ +[[problem 266|Решение задачи ММ266]]
-Анатолий Казмерчук - 10\\ +
-Константин Шамсутдинов - 8\\ +
-Олег Полубасов - 8\\ +
-Владислав Франк - 8\\ +
-Денис Овчинников - 8\\ +
-Виктор Филимоненков - 8\\ +
-vpb - 8.+
  
-**Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла ** 
 ---- ----
  
 +===== ММ265 =====
  
-===== ММ255 ===== +**Конкурсная задача ММ265** (баллов)
-**Конкурсная задача ММ255** (баллов)+
  
-Найти наименьшее натуральное число, имеющее ровно 7 представлений в виде произведения наибольшего возможного количества попарно различных ​натуральных сомножителей+Разрезать правильный треугольник на наименьшее возможное количество прямоугольных треугольников так, чтобы ​никакие два из возникших ​треугольников не были подобны.
  
-**Решение** +[[problem 265|Решение задачи ММ265]]
- +
-Привожу решения {{:​marathon:​fiviol_мм255.docx|Виктора Филимоненкова}},​ {{:​marathon:​mm255_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}} и {{:​marathon:​mm255_shamsutdinov.docx|Константина Шамсутдинова}}. +
- +
-**Обсуждение**  +
- +
-Несложное обоснование существования чисел, имеющих в точности k представлений в виде произведения наибольшего возможного количества попарно различных сомножителей,​ оценивалось в один дополнительный балл. Еще 1 или два балла начислялись за нахождение наименьших чисел для других значений k.  +
- +
-ММ255 еще раз продемонстрировала полярность вкусов и предпочтений конкурсантов. Впрочем,​ из усредненной эстетической оценки видно, что тех, кому задача понравилась - большинство. В любом случае еще раз призываю конкурсантов не забывать присылать свои оценки задач. И использовать шкалу оценок по полной. Оценка по однобалльной шкале не позволит ведущему учесть ваши предпочтения при составлении новых задач (хотя предпочтеyия ведущего,​ по-видимому,​ в любом случае будут иметь приоритет). +
- +
-**Награды** +
- +
-За решение задачи ММ255 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ +
-Константин Шамсутдинов - 10\\ +
-Олег Полубасов - 9\\ +
-Анатолий Казмерчук - 8\\ +
-Владислав Франк - 8\\ +
-Денис Овчинников - 8\\ +
-Виктор Филимоненков - 7\\ +
-Владимир Дорофеев - 4. +
- +
-**Эстетическая оценка задачи - 4.4 балла **+
  
 ---- ----
  
 +===== ММ264 =====
  
-===== ММ254 =====+**Конкурсная задача ​ММ264** (4 балла)
  
-**Конкурсная задача ММ254** (6 баллов)+Назовем пару ​натуральных чисел a и b аддитивной, если τ(a+b)=τ(a)+τ(b),​σ(a+b)=σ(a)+σ(b) ​ и φ(a+b)=φ(a)+φ(b).  
 +Доказать, что существует ​бесконечно много аддитивных пар.\\
  
-Вася вписал ​круг в треугольник со сторонами 3, 4, 5. И вписывает новые круги так, что каждый последующий касается двух сторон треугольника и одного из предыдущих кругов. Может ли суммарная площадь кругов превысить 80% от площади треугольника и на каком шаге (кругеможет случиться это событие?​+(τ(n), σ(n), φ(n) - количество натуральных делителейсумма натуральных делителей и функция Эйлера соответственно.)
  
-**Решение** +[[problem 264|Решение задачи ММ264]]
- +
-Привожу решения {{:​marathon:​мм254_fiviol.docx|Виктора Филимоненкова}},​ {{:​marathon:​mm254_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}} и {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_254.pdf|Анатолия Казмерчука}}. +
- +
-**Обсуждение**  +
- +
-В отличие от прошлой ​задачи, при решении ММ254 избежали технических ошибок (хотя ошибиться было где). Но неожиданно вернулись проблемы с пониманием условия и вопроса задачи. +
-И если для ММ251 такие проблемы были вполне ожидаемы (я уже объяснял,​ почему сознательно не стал доскональнее прописывать условие той задачи),​ то ММ254 представлялась мне сформулированной ясно и однозначно. +
-Единственный нюанс - учитывать ли первый круг. Для придания однозначности я продублировал слово "​шагов",​ словом "​кругов",​ поясняя,​ что первый круг тоже следует считать. Тем не менее, сосчитали его не все. Но я заранее решил, что не буду считать это за ошибку. +
-Я не снижал баллы и за отсутствие явного указания на то, что Вася может и не добраться до 80% даже при бесконечном числе шагов (ведь в задаче спрашивалось "​может ли площадь кругов превысить 80%", а не "​превысит ли"​). +
-Теперь о замечаниях,​ за которые баллы снимались. +
-Валентин Пивоваров почему-то решил, что за один шаг обязательно вписывается сразу по 3 круга (в каждый из углов треугольника). Перечитав условие я убедился,​ что в нем нет намеков на такое толкование. Тем не менее, я счел возможным поставить Валентину достаточно высокий балл, поскольку параметры трех геометрических прогрессий были определены верно, то есть, было сделано практически все, что нужно для решения. +
-Еще два участника почему-то ограничились нахождением наименьшего количества кругов,​ покрывающих более 80% площади треугольника. Проанализировав условие,​ я пришел к выводу,​ что вина за такую трактовку лежит исключительно на этих участниках :-) +
-Наконец,​ в одном из решений превышение 80% на любом круге, начиная с 6-го, отмечается,​ но отдельно не обосновывается. Хотя легко подобрать начальные данные так, что правильным ответом будет, например,​ такой "​требуемый процент будет превышен на 3-м, 4-м или 5-м шаге"​. +
- +
-Анатолий Казмерчук нашел диапазон,​ в котором может изменяться отношение площади треугольника к предельной сумме площадей кругов в зависимости от формы треугольника. +
-Олег Полубасов показал,​ как приближаться к границам этого диапазона,​ но не обосновал непреодолимость этих границ.  +
-Владислав Франк получил нижнюю границу. +
- +
-Отдельно отмечу замечательное наблюдение Олега Полубасова - поразительную близость отношения площади египетского треугольника к сумме площадей вписанного круга и трех кругов,​ вписанных в углы треугольника,​ к π/2.  +
- +
-Участники поставили передо мной непростую задачу:​ зачастую те решения,​ которые содержали обобщения задачи,​ одновременно имели перечисленные выше недостатки. Во что вылилось добавление дополнительных баллов при одновременном вычитании основных см. ниже. +
- +
-**Награды** +
- +
-За решение задачи ММ254 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ +
-Анатолий Казмерчук - 7\\ +
-Владислав Франк - 7\\ +
-Олег Полубасов - 7\\ +
-Константин Шамсутдинов - 6\\ +
-Виктор Филимоненков - 6\\ +
-Денис Овчинников - 5\\ +
-Валентин Пивоваров - 4. +
- +
-**Эстетическая оценка задачи - 4.4 балла **+
  
 ---- ----
  
-===== ММ253 =====+===== ММ263 ===== 
 + ​**Конкурсная задача ММ263** (4 балла)
  
-**Конкурсная задача ​ММ253** (5 баллов)+Сколько решений может иметь ​уравнение [3x]{x} – [x]{3x} = c, в зависимости от значения параметра c?\\
  
-Сторона ​основания правильной треугольной призмы ABCA<​sub>​1</​sub>​B<​sub>​1</​sub>​C<​sub>​1</​sub>​ равна 2. Сечение призмы,​ проходящее через ​середину отрезка AB<​sub>​1</​sub> ​перпендикулярно ему имеет площадь 28sqrt(39)/81. Найти объем призмы?​+([x] и {x} означают ​соответственно целую ​часть (пол) и дробную часть числа x.)
  
-**Решение**+[[problem 263|Решение ​задачи ММ263]]
  
-Привожу решения {{:​marathon:​mm253_shamsutdinov.docx|Константина Шамсутдинова}} (замечательное своей краткостью),​ {{:​marathon:​mm253_dziubenko.pdf|Василия Дзюбенко}} (замечательное своей основательностью),​ и {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_253.pdf|Анатолия Казмерчука}} (как всегда,​ замечательное во всех отношениях). 
- 
-**Обсуждение** ​ 
- 
-Предлагая эту задачу,​ я изначально был уверен,​ что участники не попадутся в небольшую ловушку - наличие двух случаев. Но некоторые ответы на ММ251 эту уверенность поколебали. 
-Как выяснилось,​ зря. Все присланные решения содержат по два ответа. Правда,​ в некоторых из решений по одному (разному) ответу оказались неверны из-за вычислительных ошибок. 
- 
-Составляя задачу,​ я долго бился над тем, чтобы оба ответа были "​приличными"​. Если под приличностью понимать отсутствие многоэтажных радикалов,​ то задуманное осуществить удалось. ​ 
-Но сделать оба ответа совсем компактными я так и не смог. Остановился на варианте,​ когда более сложный случай пятиугольного сечения приводит к более простому ответу. 
- 
-Анатолий Казмерчук исследовал вопрос о количестве решений задачи в зависимости от соотношения между стороной основания призмы и площадью сечения. ​ 
- 
-**Награды** 
- 
-За решение задачи ММ253 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ 
-Анатолий Казмерчук - 6\\ 
-Денис Овчинников - 5\\ 
-Василий Дзюбенко - 5\\ 
-Владислав Франк - 5\\ 
-Константин Шамсутдинов - 5\\ 
-Валентин Пивоваров - 5\\ 
-Олег Полубасов - 4\\ 
-Виктор Филимоненков - 4. 
- 
-**Эстетическая оценка задачи - 4.1 балла ** 
 ---- ----
  
  
----- +===== ММ262 =====
-===== ММ252 =====+
    
-**Конкурсная задача ММ252** (3 балла)+**Конкурсная задача ММ262** (3 балла)
  
-Для числа 90 существуют две пары представлений в виде произведения трех сомножителей таких, что суммы сомножителей внутри каждой ​пары одинаковы:​  +Разносторонний ​треугольник назовем прогрессивным, если длины ​его сторон образуют арифметическую прогрессию.  
-90=1⋅9⋅10=2⋅3⋅15, ​ 1+9+10=2+3+15;​\\ +Доказать,​ что ​треугольник прогрессивен тогда и только тогда, когда прямая,​ проходящая через ​точку Нагеля и центр Шпикера, параллельна средней стороне
-90=2⋅5⋅9=3⋅3⋅10, ​ 2+5+9=3+3+10.\\ +
-Доказать,​ что ​существует бесконечно много ​натуральных чисел вида p<​sup>​k</​sup>​q (pq – простые,​ k – натуральное), обладающих таким свойством.+
  
-**Решение**+Примечание:​ тривиальное решение ​(недаром цена задачи всего 3 балла) на ЕГЭ бы не приняли,​ но у нас, слава Богу, не ЕГЭ :-)
  
-Привожу решения {{:​marathon:​mm252_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}},​ {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_252.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:​marathon:​mm252_ovcvinnikov.pdf|Дениса Овчинникова}}.+[[problem 262|Решение задачи ​ММ262]]
  
-**Обсуждение** ​ 
- 
-На задачу ММ252 поступило существенно меньше решений,​ чем на ММ251 :-( \\ 
-И это вопреки тому, что добавилось два новых участника:​ один относительно новый (в рамках текущего конкурса),​ а другой - новый участник Марафона в целом.\\ 
-Некоторые из "​пропавших"​ (надеюсь,​ все же, отлучившихся) конкурсантов признались,​ что они не справились с ММ252. При том, что задача,​ на мой взгляд,​ весьма проста. Ведь бесконечная серия подходящих чисел строится из одного подходящего числа тривиально. По-видимому,​ проблема в нахождении одного подходящего примера.\\ 
-В этой связи еще раз подчеркну (в первую очередь,​ для тех, кто присоединился к Марафону недавно) принципиальное отличие Марафона от олимпиады,​ проводимой "​здесь и сейчас"​. Решение марафонских задач предполагает использование любых источников. Использование вычислительной мощи компьютера тоже не считается зазорным.  ​ 
- 
-Анатолий Казмерчук доказал,​ что среди степеней простых чисел нет чисел с рассматриваемым свойством.\\ 
-Денис Овчинников предпринял попытку доказать,​ что таковых нет и среди чисел p<​sup>​k</​sup>​q,​ при p > 2. Правда,​ в его рассуждении (это признает и сам Денис) есть "​темное пятно"​. Но, возможно,​ доказательство можно довести до ума. 
-Олегу Полубасову удалось построить более одной серии рассматриваемых чисел. Для этого Олег подловил ведущего на неаккуратной формулировке (ох уж эти формулировки!). В самом деле, в условии сказано,​ что исходное число - натуральное. Но про натуральность сомножителей (которую имел в виду ведущий и почти все конкурсанты) ничего не говорится. 
- 
-Интересно,​ является ли найденная серия единственной если, все же, рассматривать разложения на натуральные сомножители. 
- ​Полагаю,​ что для всех подходящих серий p = 2, но при этом допускаю,​ что серий может быть много. Впрочем,​ это только мои предположения. ​ 
- 
-**Награды** 
- 
-За решение задачи ММ252 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ 
-Анатолий Казмерчук - 5\\ 
-Олег Полубасов - 5\\ 
-Денис Овчинников - 5\\ 
-Виктор Филимоненков - 4\\ 
-Василий Дзюбенко - 4\\ 
-Владислав Франк - 4\\ 
-Константин Шамсутдинов - 4\\ 
-Валентин Пивоваров - 1. 
- 
-**Эстетическая оценка задачи - 3.9 балла ** 
 ---- ----
- +===== ММ261 =====
- +
-===== ММ251 =====+
    
-**Конкурсная задача ММ251** (балла)+**Конкурсная задача ММ261** (балла)
  
-Из книги вырвано несколько страниц. Сумма номеров оставшихся страниц 5001. Пусть n – наименьшее возможное число страницкоторое могло ​быть в этой книге изначально. Найдите наибольший возможный номер отсутствующей страницы, при условии, что в книге было n страниц.+Натуральные числа ​12, 3, ..., 100 разбили на 10 групп по 10 чисел. Найти наибольшую возможную сумму НОД этих десяток.
  
-**Решение**+[[problem 261|Решение ​задачи ММ261]]
  
-Привожу решения {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_251.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:​marathon:​mm251_fomina.docx|Елены Фоминой}} (новичка Марафона). 
- 
-**Обсуждение** ​ 
- 
-Совершенно неожиданно задача ММ251, которую я считал легкой и поместил в конкурс "​для разогрева",​ вызвала затруднения у значительного числа конкурсантов,​ в том числе у признанных асов. 
-Кроме неверных решений я получил также некоторые упреки за неоднозначность формулировки:​\\ 
-Из книги нельзя вырвать страницы - только листы;​\\ 
-Не уточнено,​ подходит ли одна страница под формулировку "​несколько страниц";​\\ 
-Не указано,​ на какой стороне разворота книги находится первая страница;​\\ 
-не указано,​ является ли печать (и соответственно нумерация) двусторонней... 
- 
-Я исходил из того, что на каждом листе расположены две страницы,​ причем меньший из номеров нечетен. Я ни разу не встречал книги, где на правом развороте были бы страницы с четными номерами (и сомневаюсь в существовании таких диковин). Переплетенные документы с односторонней печатью,​ я, конечно,​ встречал,​ но это были отчеты,​ дипломные работы,​ диссертации... и ни разу не книги. (Правда,​ мне указали,​ что самиздатовская книга может иметь одностороннюю печать.)\\ 
-Что касается толкования слова "​несколько",​ на мой взгляд,​ одна страница вполне подошла бы под это понятие. Но, поскольку я имел в виду обычную книгу с двусторонней печатью,​ этот момент не важен. Каждый вырванный лист - это пара вырванных страниц.\\ 
-Я не оговорил эти моменты вполне сознательно,​ полагая,​ что без этих нюансов задача станет совсем уж тривиальной. Впрочем,​ я был уверен,​ что и эти моменты не вызовут затруднений для подавляющего большинства участников. Но ошибся. Наверное,​ часть конкурсантов расслабились за лето и еще не вошли в форму.\\ 
-Каждый из перечисленных моментов,​ стал для кого-то камнем преткновения. Еще двое конкурсантов споткнулись о домысленное условие,​ что страницы вырывались подряд. 
- 
-Даже некоторые из тех, кто пришел к верному ответу,​ рассуждали,​ на мой взгляд,​ не вполне строго. Например,​ вывод, что в книге было 100 страниц,​ сделанный на основании того, что 5050 наименьшее треугольное число, превышающее 5001. Ведь 5050 превышает и, скажем,​ 5037. Но, если бы сумма оставшихся страниц была 5037, в книге изначально должно было быть больше 100 страниц. ​ 
-Другим неаккуратным шагом стало отбрасывание варианта с одной страницей не на основании того, что на одном листе находятся две страницы,​ а из-за того, что "​один"​ - это не "​несколько"​. 
-Я не стал придираться к этим моментам. ​ 
- 
-Самым предусмотрительным оказался Виктор Филимоненков,​ рассмотревший как классические книжки,​ так и их альтернативные разновидности.\\ 
-А единственным конкурсантам,​ рассмотревшим обобщение задачи стал Анатолий Казмерчук. Он выяснил,​ какие числа могут быть суммами номеров вырванных страниц. 
- 
-**Награды** 
- 
-За решение задачи ММ251 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ 
-Анатолий Казмерчук - 4\\ 
-Виктор Филимоненков - 3\\ 
-Олег Полубасов - 3\\ 
-Елена Фомина - 3\\ 
-Владимир Дорофеев - 3\\ 
-Владислав Франк - 3\\ 
-Константин Шамсутдинов - 3\\ 
-Константин Кноп - 1\\ 
-Александр Домашенко - 1\\ 
-Валентин Пивоваров - 1\\ 
-Анна Букина - 1\\ 
-cubaca - 1. 
- 
-**Эстетическая оценка задачи - 4 балла ** 
 ---- ----
- 
  
  
 ~~NOTOC~~ ~~NOTOC~~
 

 


Страница: [[marathon:about]]

marathon/about.1604238499.txt · Последние изменения: 2020/11/01 16:48 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006