Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

marathon:about [2020/12/23 18:30]
letsko
marathon:about [2021/06/17 17:02] (текущий)
letsko [Текущие задачи]
Строка 8: Строка 8:
  
 ---- ----
-Поздравляю всех марафонцев и их болельщиков с наступающей чередой новогодне-рождественских праздников!\\  +**Завершен XXVII конкурс вамках Математического марафона**
-Отдельное поздравление со скорым завершением 2020-го. Очень хочется (хотя и не очень верится), чтобы все беды, ​которые он принес ушли вместе с ним.+
  
-В качестве новогоднего подарка предлагаю **задачи ​очередного XXVII марафонского конкурса!**+**Мои поздравления победителю конкурса, Мерабу Левиашвили, ​призерам, Анатолию Казмерчуку ​и Олегу Полубасову, а также всем тем, ​кто составил им достойную ​конкуренцию**
  
-Напоминаю,​ что в былые времена проходило по два конкурса в год. Будет ли так в 2021 году, покажет время. ​ 
  
 Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания,​ выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными,​ а другие - не очень. На вкус и на цвет... Стать участником марафона может любой желающий. Некоторые задачи вполне доступны школьникам. Для решения других требуются знания,​ выходящие за рамки школьного курса. Одни задачи могут показаться вам интересными,​ а другие - не очень. На вкус и на цвет...
Строка 25: Строка 23:
  ​Ведущий Марафона  ​Ведущий Марафона
 --- //​[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]// --- //​[[val-etc@yandex.ru|Vladimir letsko]]//
 +
 +[[Afterword XXVII |Послесловие к XXVII конкурсу]]
  
 ---- ----
- 
  
  
 ====== Текущие задачи ====== ====== Текущие задачи ======
 ---- ----
-===== ММ261 ===== +**На данный момент отсутствуют.** 
- **Конкурсная задача ММ261** (4 балла)+----
  
-Решения принимаются до __13.03.2021__ 
  
-Натуральные числа 1, 2, 3, …, 100 разбили на 10 групп по 10 чисел. Найти наибольшую возможную сумму НОД этих десяток.+====== Разбор задач ====== 
 +---- 
 +===== 
 +Вектором граней выпуклого многогранника P назовем набор [f<​sub>​3</​sub>,​ f<​sub>​4</​sub>,​ …, f<​sub>​s</​sub>​],​ где f<​sub>​i</​sub>​ – количество i-угольных граней P, а s - наибольшее число сторон грани. Будем говорить, что P относится к классу m, если max(f<​sub>​i</​sub>​) = m.
  
-===== ММ262 ===== +----
- ​**Конкурсная задача ММ262** (3 балла)+
  
-Решения принимаются до __20.03.2021__ 
  
-Разносторонний треугольник назовем прогрессивным,​ если длины его сторон образуют арифметическую прогрессию.  +**Конкурсная ​задача ​ММ270** (16 баллов)
-Доказать,​ что треугольник прогрессивен тогда и только тогда, когда прямая, проходящая через точку Нагеля и центр Шпикера,​ параллельна средней (по длинестороне. ​+
  
-Примечание: ​тривиальное ​решение (недаром цена задачи всего 3 балла) ​на ЕГЭ бы не приняли, но у насслава Богу, не ЕГЭ :-)+Найти наибольшее возможное ​количество граней многогранника класса ​m.
  
-===== ММ263 ===== +**Решение**
- **Конкурсная задача ММ263** (4 балла)+
  
-Решения принимаются до __27.03.2021__+Привожу решения призеров конкурса, {{:​marathon:​mm_270_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}} ​и {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_270.pdf|Анатолия Казмерчука}},​ а также обобщение задачи победителя конкурса {{:​marathon:​обобщение-мм270.docx|Мераба Левиашвили}} ​.
  
-Сколько решений может иметь уравнение ​[3x]{x} – [x]{3x} = c, в зависимости от значения параметра c?\\ +**Обсуждение**
-([x] и {x} означают соответственно целую часть (пол) и дробную часть числа x.)+
  
-===== ММ264 ===== +В отличие от ММ269, где вопрос задачи был сформулирован для частных значений m, а обобщали его сами конкурсанты, в ММ270 сразу же был сформулирован общий вопрос. Объясняется это просто. В ММ269 ответа на общий вопрос ведущий на момент опубликования задачи не знал (и даже склонялся, но, к счастью не "​доказал"​ неверный ответ). А для ММ270 у меня был верный обоснованный ответ.
- **Конкурсная задача ​ММ264** ​(4 балла)+
  
-Решения принимаются до __04.04.2021__+Эта ситуация выбила почву из под ног большинства любителей обобщений. Да, практически все, решившие ММ270, ​нашли заодно и наибольшие количества вершин и ребер m-многогранников. Но ответы на эти вопросы становятся очевидны ​при ​успешном решении основной задачи. Единственным, кто изыскал возможности пообобщать стал Мераб Левиашвили. Он перешел от рассмотрения многогранников к рассмотрению простых (каждая вершина имеет степень n) политопов размерностей,​ больших 3. У таких политопов существуют грани разных размерностей. Соответственно можно рассматривать разные аналоги m-многогранников. Мераб остановился на случае ​двумерных граней. На основании известных соотношений Дена-Соммервиля он получил наименьшие значения m, для которых существуют n-мерные политопы класса m и верхние оценки для числа граней таких политопов для n \in {4, 5}, а также некоторые оценки для n \in {6, 7, 8}Я привожу только обобщение задачи (присланное Мерабом отдельным документом),​ в том числе, и по причине слишком большого веса основного решения.
  
-Назовем пару натуральных ​чисел a и b аддитивной, если ​τ(a+b)=τ(a)+τ(b),​σ(a+b)=σ(a)+σ(b)  ​и φ(a+b)=φ(a)+φ(b) +Во всех присланных ​решениях имеется содержится ответ 7m-4 для больших значений mРазнятся эти решения ​степенью гипотетичности и обоснованности данного ​ответа, а также ​количеством ​частных ​значений ​m, подтверждающих данную гипотезу (это касается решений,​ где 7m-4 именно ​гипотеза).
-Доказать, что ​существует бесконечно много ​аддитивных пар.\\ +
-(τ(n)σ(n), φ(n) - количество ​и сумма натуральных ​делителей и функция Эйлера ​соответственно.)+
  
-===== ММ265 ===== 
- ​**Конкурсная задача ММ265** (5 баллов) 
  
-Решения принимаются ​до __11.04.2021__+**Награды**
  
-Разрезать правильный треугольник ​на наименьшее возможное количество прямоугольных треугольников так, чтобы никакие два из возникших ​треугольников не были подобны. +За решение задачи ММ270 ​участники Марафона получают следующие ​призовые баллы:\\ 
-  +Мераб Левиашвили - 18;\\ 
-===== ММ266 ===== +Олег Полубасов - 16;\\ 
- ​**Конкурсная задача ММ266** (7 баллов)+Анатолий Казмерчук - 16;\\ 
 +Александр Романов - 16;\\ 
 +Константин Шамсутдинов - 10;\\ 
 +Виктор Филимоненков - 10;\\ 
 +Денис Овчинников - 8.\\
  
-Решения принимаются до __18.04.2021__ +Эстетическая оценка задачи ​- 4.балла
- +
-Вася Пупкин выписал дни рождения семерых своих однокурсников,​ родившихся в январе одного и того же года, что и Вася, и, поэкспериментировав с выписанными числами,​ заметил два факта:​\\  +
-1) τ(n<​sup>​3</​sup>​ )=τ(n)<​sup>​2</​sup>,​ где n – произведение всех выписанных чисел;​\\ +
-2) сумма ​кубов составных чисел больше суммы кубов остальных. \\ +
-Найдите дни рождения Васиных товарищей, если известно,​ что все они младше Васи. +
- +
-Примечание:​ при сравнении возрастов учитываются дни, но не часы рождения. +
- +
-===== ММ267 ===== +
- ​**Конкурсная задача ММ267** (7 баллов) +
- +
-Решения принимаются до __25.04.2021__ +
- +
-Вася и Петя поспорили. Вася уверен,​ что среди представлений натурального числа n в виде суммы натуральных слагаемых чаще встречаются те, у которых каждое слагаемое присутствует не более двух раз, чем те, у которых все слагаемые не кратны 3. Петя уверен в обратном. Кто из них прав? +
- +
-===== ММ268 ===== +
- ​**Конкурсная задача ММ268** (9 баллов) +
- +
-Решения принимаются до __02.05.2021__ +
- +
-Назовем натуральное число m допустимым,​ если существует такое n, что из чисел 1,2,…,n можно составить сумму произведений,​ в которой каждое число встречается ровно один раз, равную m. Сколько существует недопустимых чисел?  +
-Примечание:​ в суммах произведений допускаются одиночные слагаемые. Например,​ число 148 допустимо,​ поскольку 148=1·3 + 2·5·8 + 4 + 6·9 + 7.+
  
 ---- ----
  
-===== 
-Вектором граней выпуклого многогранника P назовем набор [f<​sub>​3</​sub>,​ f<​sub>​4</​sub>,​ …, f<​sub>​s</​sub>​],​ где f<​sub>​i</​sub>​ – количество i-угольных граней P, а s - наибольшее число сторон грани. Будем говорить,​ что P относится к классу m, если max(f<​sub>​i</​sub>​) = m. 
  
 ===== ММ269 ===== ===== ММ269 =====
 +
  ​**Конкурсная задача ММ269** (11 баллов)  ​**Конкурсная задача ММ269** (11 баллов)
- 
-Решения принимаются до __11.05.2021__ 
  
 Какова максимальная возможная степень вершины выпуклого многогранника\\ ​ Какова максимальная возможная степень вершины выпуклого многогранника\\ ​
 a) класса 3;\\ a) класса 3;\\
 b) класса 4? b) класса 4?
- 
-===== ММ270 ===== 
- ​**Конкурсная задача ММ270** (16 баллов) 
- 
-Решения принимаются до __22.05.2021__ 
- 
-Найти наибольшее возможное количество граней многогранника класса m. 
- 
----- 
- 
-====== Разбор задач ====== 
- 
-===== ММ260 ===== 
- ​**Конкурсная задача ММ260** (12 баллов) 
- 
-__Задача ММ260 обобщает и развивает ММ231__ 
- 
-Пусть ABC - некоторый треугольник,​ точки K, L, M лежат соответственно на прямых AB, BC и AC, а s - некоторое действительное число, отличное от 0 и 1. Треугольник KLM будем называть подобно-вписанным в ?ABC, если\\ 
-AK=sAB, BL=sBC, CM=sCA;\\ 
-треугольник KLM подобен треугольнику ABC.\\ 
-Сколько подобно вписанных треугольников может быть у произвольного треугольника?​ 
  
 **Решение** **Решение**
  
-Привожу решения {{:​marathon:​mm260_dendr81.pdf|Дениса Овчинникова}}, {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_260.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:​marathon:​mm260_val.pdfвторское}}.+Привожу решения {{:​marathon:​mm269_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}}, {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_269.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:​marathon:​shamsutdinov_mm269.docx|Константина Шамсутдинова}}.
  
 **Обсуждение** ​ **Обсуждение** ​
  
-ММ260 - плод присущего ведущему духу противоречия. Это ответ на реакцию ряда марафонцев на ММ231, не усмотревших у этой задачи интересных обобщений.\\ +Согласно традициям Марафона последние задачи каждого конкурса имеют повышенную сложность. Эта традиция ​сохранилась и в данном конкурсе.  
-Судя по томучто ​ММ260 ​конкурсантам понравилась, ​есть" удалась.+Результатом этого усложнения чаще всего был ​отток значительной части конкурсантов. А эта традиция неожиданно была нарушена! Из тех, кто регулярно участвовал в нынешнем ​конкурсе, не прислали решения ММ269 всего два человека. А остальные ​порадовали, но не пощадили ведущего :-) Впрочем,​ после моей мольбывсе же сжалились, сократив самое длинное из решений на 40(!) страниц.
  
-Некоторые затруднения, возникшие у участниковоказались связаны с исследованием частного случая, когда исходный ​треугольник равнобедренныйно не равносторонний.  +Разумеется, основные страсти кипели ​вокруг обобщения задачи, очевидного по постановке вопроса. Но только по постановке. Да-да, ответ 3m-3 не годится! 
-Все ​марафонцы заметили, что ​количество подобно-вписанных треугольников ​для ​таких треугольников меньше, чем для ​разносторонних, не все правильно выяснили на сколько меньше+В какой-то момент у меня имелось три решенияв которых ​приводилась и обосновывалась точная формула для ​максимальной возможной степени вершины m-многогранника. Точнее, три разных формулы, дающих разные ответы :-)\\ 
- +Понимая, что ситуация, когда "​Вася и Петя оба ​правы",​ маловероятнаведущий был вынужден углубиться в многостраничные трактаты,​ воспользовавшись удачно подвернувшейся просьбой продлить срок приема ​решений. ​Дополнительное ​время не пропало ​даромИ ведущий и конкурсанты обнаружили некоторые ошибки и неточности в решениях. Во всех, ​кроме ​одного, в котором ошибок найти не удалось (или, все же, пока не удалось?). Желающие могут попробовать определить это решение из приводимого ниже списка ​начисленных призовых баллов (а также попытаться найти ​ошибки и в этом ​решении)
-В то же время, ​никто не прошел мимо класса ​автомедианных (см. авторское ​решениетреугольников. Я столкнулся с этим классом треугольников именно ​при решении данной задачиТо, что они называются автомедианными я узнал ​позже, ​от АД. Блинкова (хотя сразу ​обнаружил, что эти треугольники ​подобны треугольникам из своих медиан). +
-Кроме того, мне сразу бросилась ​в глаза масса замечательных свойств этих треугольников. Часть этих свойств ​приведена в авторском ​решении. Позже мы с Ярославом ​Сысосевым ​обнаружили еще море свойств (большинство из которых оказались нигде ранее не описаны).  +
-Возможно, они ​пригодятся для новых марафонских задач. Поэтому я не буду приводить их здесь.+
  
 **Награды** **Награды**
  
-За решение задачи ММ260 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ +За решение задачи ММ269 участники Марафона получают следующие призовые баллы: ​\\ 
-Анатолий Казмерчук - 13\\ +Олег Полубасов - 18;\\ 
-Денис Овчинников - 13\\ +Мераб Левиашвили - 16;\\ 
-Константин Шамсутдинов - 12\\ +Анатолий Казмерчук - 13;\\ 
-Виктор Филимоненков - 11\\ +Константин Шамсутдинов - 13;\\ 
-Владислав Франк - 10\\+Василий Дзюбенко - 11;\\ 
 +Александр Романов - 11;\\ 
 +Виктор Филимоненков - 11;\\ 
 +Денис Овчинников 7.
  
-**Эстетическая оценка задачи - баллов **+**Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла**
 ---- ----
  
  
-===== ММ259 =====+===== ММ268 =====
  
-**Конкурсная задача ММ259** (баллов)+**Конкурсная задача ММ268** (баллов)
  
-Может ли треугольник с вершинами в центроиде и центрах вписанной и описанной окружностей некоторого треугольника быть\\  +Назовем натуральное число m допустимым, если существует такое n, что из чисел 1,2,…,n можно составить сумму произведений, в которой каждое число встречается ровно один раз, равную m. Сколько существует недопустимых чисел
-a) равновелик;\\ +
-б) подобен;\\ +
-в) равен ​\\ +
-исходному?+
  
-**Решение** +Примечание: ​в суммах произведений ​допускаются одиночные слагаемые. ​Например,​ число ​148 допустимо, ​поскольку ​148=1·3 + 2·5·8 + 4 + 6·9 + 7.
- +
-Привожу решения {{:​marathon:​mm259_dendr81.pdf|Дениса Овчинникова}} и {{:​marathon:​frank_mm259.pdf|Владислава Франка}}. С рншением Анатолия Казмерчука можно ознакомиться [[https://​dxdy.ru/​post1490274.html#​p1490274]|тут]]. +
- +
-**Обсуждение**  +
- +
-Как обычно,​ к концу соревнования (или очередного этапа, кому как нравится) ​марафонцы начали потихоньку уставать и сходить с дистанции. +
-Зато оставшиеся участники ​порадовали разнообразием подходов+
-Например, Влад Франк прибегнул к комплексной параметризации. Аналогичный прием, примененный при решении ММ157 (см. разбор), привел к короткому изящному решению. Удалось ли добиться такого же эффекта для ММ259, судите сами. +
- +
-Некоторое расхождение в оценках связано со строгостью обоснования последнего пункта. +
-За одним исключением. У Виктора Филимоненкова все обосновано строго. Но он почему-то рассмотрел треугольник с вершинами в центрах вписанной и описанной окружностей и в ортоцентре (а не центориде,​ как было в условии). +
-Такой треугольник не может быть не только равен, но и подобен исходному. +
- +
-Для полноты картины замечу,​ что треугольник с вершинами в центроиде,​ инцентре и ортоцентре,​ так же как и треугольник из условия, ​может быть равновелик и подобен,​ но не равен исходному. +
-В параметризации A(-1;0), B(1;0), C(x;y), где 0≤x<1, (x+1)<​sup>​2</​sup>​+y<​sup>​2</​sup>​ ≤4, единственному треугольнику с вершинами в центроиде,​ инцентре и ортоцентре, ​подобному исходному соответствует С(0.6367873395...;​ 0.5201582408...).  +
-Наконец,​ треугольника с вершинами в центроидеортоцентре и центре описанной окружности не существует,​ поскольку эти точки лежат на прямой Эйлера. +
- +
-Любопытно,​ что, если в указанной параметризации взять C(0.3246129395...,​ 0.4677703801...),​ треугольник с вершинами в ортоцентре и двух точках Аполлония (изодинамических центрах) подобен исходному с коэффициентов подобия довольно близким к 1. +
- +
-Я полагаючто никакой треугольник не может быть равен треугольнику ​с вершинами в каких-то трех своих замечательных точках. Но пока проверил не все сочетания замечательных точек из ETC (а там порядка 40000 центров) по три :-)  +
- +
-**Награды** +
- +
-За решение задачи ММ259 ​участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ +
-Анатолий Казмерчук - 9\\ +
-Владислав Франк - 8\\ +
-Денис Овчинников - 8\\ +
-Константин Шамсутдинов - 7\\ +
-Виктор Филимоненков - 5\\+
  
-**Эстетическая оценка ​задачи ​- 4.8  балла **+[[problem 268|Решение задачи ​ММ268]]
  
 ---- ----
  
  
-===== ММ258 ===== 
- ​**Конкурсная задача ММ258** (7 баллов) 
  
-Сколько элементов содержит множество сумм квадратов цифр квадратов чисел, в десятичной записи которых присутствуют по одному разу ровно три ненулевых цифры: 1, 4, 9? (Нулей может быть сколько угодно).+===== ММ267 =====
  
-**Решение**+**Конкурсная задача ММ267** (7 баллов)
  
-Привожу решения {{:​marathon:​мм258_fiviol.docx|Виктора ​Филимоненкова}}{{:​marathon:​mm258_dendr81.pdf|Дениса Овчинникова}} и {{:​marathon:​bukina_mm258.pdf|Анны Букиной}}.+Вася и Петя поспорили. Вася уверен, что среди представлений натурального числа n в виде суммы натуральных слагаемых чаще встречаются те, у которых каждое слагаемое ​присутствует ​не более двух разчем те, у которых все слагаемые ​не кратны 3. Петя ​уверен в обратномКто из них прав?
  
-**Обсуждение** +[[problem 267|Решение ​задачи ММ267]]
  
-ММ258 не вызвала затруднений ни у кого из тех, кто прислал решения. Интересно,​ что в большинстве присланных решений перебор минимизирован настолько,​ что его вполне можно осуществить вручную. 
- 
-Естественные обобщения задачи рассмотрели Олег Полубасов и Анатолий Казмерчук. Процитирую Олега: 
- 
-"​Если рассмотреть всевозможные тройки {a, b, c} от {1, 1, 1} до {9, 9, 9}, то окажется,​ что размеры множеств сумм могут принимать следующие значения:​ 
-2-38, 40, 42-49, 52, 56, 57, 60.  
-Двухэлементное множество сумм даёт тройка {1, 1, 1}, а 60-элементное – тройка {7, 8, 9}.  
-Чаще всего (13 раз) встречается размер 24. Размер 25 встречается 7 раз."​ 
- 
-Эта техническая и достаточно рутинная задача возникла как побочный продукт из попытки решить более содержательную задачу.\\ 
-Легко понять,​ что суммы квадратов цифр натурального числа может быть любым натуральным числом (достаточно ограничиться рассмотрением репьюнитов).\\ 
-Немногим сложнее обосновывается,​ что сумма цифр квадрата натурального числа может быть любым натуральным числом,​ сравнимым с 0, 1, 4, 7 (квадратами) по модулю 9.\\ 
-А вот с суммами квадратов цифр квадратов натуральных чисел дело обстоит интереснее. ​ 
-По-видимому,​ они могут принимать любые значения за исключением 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 20.\\ 
-При попытке обосновать это утверждение и возникла данная задача. Почему именно 1, 4, 9?\\ 
-Во-первых,​ сумма число 149 приводит 13, а 1049 - к 19 (эти числа наряду с 15, 17 и 18 входят в список небольших чисел, имеющих нетривиальные требуемые представления). 
-А во-вторых,​ 1, 4, 9 (фигурирующие в условии) - это все ненулевые цифры, являющиеся квадратами,​ а 25 (фигурирующее в ответе) тоже квадрат. Мне показалось,​ что это будет уместно в задаче про сумму **квадратов** цифр **квадратов** чисел. 
- 
-Сама же попытка обоснования приведенного предположения утонула в переборе переборов и к задаче не привела. 
- 
-**Награды** 
- 
-За решение задачи ММ258 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ 
-Анатолий Казмерчук - 8\\ 
-Олег Полубасов - 8\\ 
-Владислав Франк - 8\\ 
-Константин Шамсутдинов - 7\\ 
-Денис Овчинников - 7\\ 
-Виктор Филимоненков - 7\\ 
-Анна Букина - 7. 
- 
-**Эстетическая оценка задачи - 4 балла ** 
----- 
-PS: Владислав Франк прислал мне строгое доказательство того, что каждое натуральное число, большее 20, есть сумма квадратов цифр некоторого квадрата. 
 ---- ----
  
 +===== ММ266 =====
  
-===== ММ257 ===== +**Конкурсная задача ММ266** (баллов)
- **Конкурсная задача ММ257** (баллов)+
  
-__Задача ​ММ257 ​сюжетно связана с ММ237__+Вася Пупкин выписал ​дни рождения семерых своих однокурсников,​ родившихся в январе одного и того же года, ​что и Вася, и, поэкспериментировав с выписанными числами,​ заметил два факта:​\\  
 +1) τ(n<​sup>​3</​sup>​ )=τ(n)<​sup>​2</​sup>,​ где n – произведение всех выписанных чисел;​\\ 
 +2) сумма кубов составных чисел больше суммы кубов остальных\\. 
 +Найдите дни рождения Васиных товарищей,​ если известно,​ что все они младше Васи.
  
-Студент математического факультета Вася ​Пупкин пропустил (по уважительной причине) занятие по дискретной математике. Однокурсники ​рассказали,​ что на занятии рассматривался ​некий граф. Но ни один из них не зафиксировал этот граф ни с помощью гаджетов, ни на бумагу. Впрочем, Васины однокурсники,​ утверждают, что это не страшно,​ поскольку они и так помнят этот граф. В подтверждение своих слов они наперебой кинулись вспоминать характеристики графа:​\\ +Примечаниепри сравнении возрастов учитываются днино не часы рождения.
-Аня: В графе было ровно 3 связных компоненты.\\ +
-Ваня: Причем во всех связных компонентах графа имелись циклы.\\ +
-Даня: А еще среди связных ​ компонент не было изоморфных.\\ +
-Маня: Число ребер в одной из компонент было равно половине общего числа ребер.\\ +
-Саня: При этом число ребер было равно сумме количеств вершин и связных компонент.\\ +
-Таня: В графе была всего одна вершина степени 3.\\ +
-Зина: А всего в графе было не более 13 вершин.\\ +
-Лина: И при этом не было висячих вершин. \\ +
-Нина: А степень одной из вершин не менее чем на 2 превосходила степень каждой из остальных вершин.\\ +
-Фаина: Зина, Лина и Нина правы.\\ +
-Услышавший эти реплики преподаватель сказал,​ что память подвела ровно одного человека.\\  +
-Сможет ли Вася (умница и отличник) однозначно восстановить граф?\\+
  
-**Решение** +[[problem 266|Решение задачи ММ266]]
- +
-Привожу решения {{:​marathon:​fiviol_mm257.docx|Виктора Филимоненкова}} и {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_257.pdf|Анатолия Казмерчука}}. +
- +
-**Обсуждение**  +
- +
-Сразу несколько участников покритиковали ведущего за то, что он не уточнил,​ что имеет в виду под "​графом"​.  +
-Сначала меня удивила такая реакция:​ ведь в предудыщих марафонских турнирах графы фигурировали десятки раз и подобных вопросов не возникало. +
-Задумавшись я понял, что в большинстве предыдущих задач структура графа, возникающего на том или ином множестве,​ вводилась прямо в условии. +
-Впрочем,​ в ряде задач (ММ105, ММ116, ММ146, ММ153, ММ156) так же как и в ММ257 рассматривались абстрактные графы, но к неоднозначности это не приводило. А меожет,​ и приводило... Давно это было, 100 задач назад. +
-В общем, на будущее:​ под графом я всегда имею в виду классический граф: непустое (обычно конечное) множество вершин и множество ребер, каждое из которых есть двухэлементое множество вершин. +
-Это не значит,​ что я зарекаюсь использовать будущих задачах,​ орграфы,​ мультиграфы,​ гиперграфы,​ бинарные отношения и даже матроиды. Но когда я буду использовать такие структуры,​ я отдельно заострю на этом внимание. +
- +
-Составляя задачу,​ я вдохновлялся ММ237. И начал с того, что продублировал реплику Фаины. Дальнейшие реплики подбирались так, чтобы, с одной стороны,​ не было лишних,​ а с другой - граф определялся однозначно. +
-Вроде, удалось. Хотя задача понравилась далеко не всем. Но мне понравилась. Поэтому я, все же, намерен в одном из грядущих конкурсов заставить Васю и его друзей обсудить новый математический объект. +
- +
-У тех, кто отозвался,​ задача затруднений не вызвала. Единственный балл изъят за излишнее увлечение сестрой таланта. ​   +
- +
-**Награды** +
- +
-За решение задачи ММ257 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ +
-Анатолий Казмерчук - 10\\ +
-Константин Шамсутдинов - 9\\ +
-Владислав Франк - 9\\ +
-Денис Овчинников - 9\\ +
-Виктор Филимоненков - 9\\ +
-Олег Полубасов - 8.+
  
-**Эстетическая оценка задачи - 4.3 балла ** 
 ---- ----
  
 +===== ММ265 =====
  
-===== ММ256 ===== +**Конкурсная задача ММ265** (баллов)
-**Конкурсная задача ММ256** (баллов)+
  
-При каком ​наименьшем натуральном n уравнение n{x}<​sup>​2</​sup>​ +{x}=[x] ​имеет не менее 1000000 ​решений в рациональных числах?​+Разрезать правильный треугольник на наименьшее возможное количество прямоугольных треугольников так, чтобы ​никакие два из возникших треугольников не были подобны.
  
-__Примечание: {x} – дробная часть ​числа x, [x – целая часть (пол) числа x.__+[[problem 265|Решение ​задачи ​ММ265]]
  
- 
-**Решение** 
- 
-Привожу решения {{:​marathon:​mm256_dendr81.pdf|Дениса Овчинникова}} и {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_256.pdf|Анатолия Казмерчука}}. С решением **vpb** можно познакомиться в разборе ММ256 на [[https://​dxdy.ru/​post1486803.html#​p1486803 | dxdy.ru]] 
- 
-**Обсуждение** ​ 
- 
-В Марафоне неоднократно встречались задачи про функции [x] и {x} (ММ79, ММ176, ММ202, ММ263...)\\ 
-Маскируется под них и ММ256. Но прозорливые конкурсанты верно разглядели в ней задачку по арифметике (теории чисел). И уверенно справились. 
-А вот попыток изучить аналоги и обобщения было меньше обычного. Единственным,​ кто преуспел в этом оказался (и это не стало неожиданностью для ведущего) Анатолий Казмерчук. 
- 
-На этот раз конкурсанты были довольно единодушны при оценивании задачи. Соглашусь с ними и я :-)  
- 
-**Награды** 
- 
-За решение задачи ММ256 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ 
-Анатолий Казмерчук - 10\\ 
-Константин Шамсутдинов - 8\\ 
-Олег Полубасов - 8\\ 
-Владислав Франк - 8\\ 
-Денис Овчинников - 8\\ 
-Виктор Филимоненков - 8\\ 
-vpb - 8. 
- 
-**Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла ** 
 ---- ----
  
 +===== ММ264 =====
  
-===== ММ255 ===== +**Конкурсная задача ММ264** (балла)
-**Конкурсная задача ММ255** (баллов)+
  
-Найти наименьшее ​натуральное число, имеющее ровно ​7 представлений в виде произведения наибольшего возможного ​количества попарно различных ​натуральных сомножителей+Назовем пару натуральных чисел a и b аддитивной, если ​τ(a+b)=τ(a)+τ(b),​σ(a+b)=σ(a)+σ(b)  ​и φ(a+b)=φ(a)+φ(b).  
 +Доказать, что существует бесконечно много ​аддитивных ​пар.\\
  
-**Решение**+(τ(n), σ(n), φ(n) - количество натуральных делителей,​ сумма ​натуральных делителей и функция Эйлера соответственно.)
  
-Привожу решения {{:​marathon:​fiviol_мм255.docx|Виктора Филимоненкова}},​ {{:​marathon:​mm255_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}} и {{:​marathon:​mm255_shamsutdinov.docx|Константина Шамсутдинова}}. +[[problem 264|Решение задачи ММ264]]
- +
-**Обсуждение**  +
- +
-Несложное обоснование существования чисел, имеющих в точности k представлений в виде произведения наибольшего возможного количества попарно различных сомножителей,​ оценивалось в один дополнительный балл. Еще 1 или два балла начислялись за нахождение наименьших чисел для других значений k.  +
- +
-ММ255 еще раз продемонстрировала полярность вкусов и предпочтений конкурсантов. Впрочем,​ из усредненной эстетической оценки видно, что тех, кому задача понравилась - большинство. В любом случае еще раз призываю конкурсантов не забывать присылать свои оценки задач. И использовать шкалу оценок по полной. Оценка по однобалльной шкале не позволит ведущему учесть ваши предпочтения при составлении новых задач (хотя предпочтеyия ведущего,​ по-видимому,​ в любом случае будут иметь приоритет). +
- +
-**Награды** +
- +
-За решение задачи ММ255 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ +
-Константин Шамсутдинов - 10\\ +
-Олег Полубасов - 9\\ +
-Анатолий Казмерчук - 8\\ +
-Владислав Франк - 8\\ +
-Денис Овчинников - 8\\ +
-Виктор Филимоненков - 7\\ +
-Владимир Дорофеев - 4. +
- +
-**Эстетическая оценка задачи - 4.4 балла **+
  
 ---- ----
  
 +===== ММ263 =====
 + ​**Конкурсная задача ММ263** (4 балла)
  
-===== ММ254 =====+Сколько решений может иметь уравнение [3x]{x} – [x]{3x} ​c, в зависимости от значения параметра c?\\
  
-**Конкурсная задача ММ254** ​(6 баллов) +([x] и {x} означают соответственно ​целую часть (пол) и дробную часть числа ​x.)
- +
-Вася вписал круг в треугольник со сторонами 3, 4, 5. И вписывает новые круги так, что каждый последующий касается двух сторон треугольника и одного из предыдущих кругов. Может ли суммарная площадь кругов превысить 80% от площади треугольника и на каком шаге (круге) может случиться это событие?​ +
- +
-**Решение** +
- +
-Привожу решения ​{{:​marathon:​мм254_fiviol.docx|Виктора Филимоненкова}}, {{:​marathon:​mm254_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}} и {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_254.pdf|Анатолия Казмерчука}}. +
- +
-**Обсуждение**  +
- +
-В отличие от прошлой задачи, при решении ММ254 избежали технических ошибок (хотя ошибиться было где). Но неожиданно вернулись проблемы с пониманием условия и вопроса задачи. +
-И если для ММ251 такие проблемы были вполне ожидаемы (я уже объяснял,​ почему сознательно не стал доскональнее прописывать условие той задачи),​ то ММ254 представлялась мне сформулированной ясно и однозначно. +
-Единственный нюанс - учитывать ли первый круг. Для придания однозначности я продублировал слово "​шагов",​ словом "​кругов",​ поясняя,​ что первый круг тоже следует считать. Тем не менее, сосчитали его не все. Но я заранее решил, что ​не буду считать это за ошибку. +
-Я не снижал баллы и за отсутствие явного указания на то, что Вася может и не добраться до 80% даже при бесконечном числе шагов ​(ведь в задаче спрашивалось "​может ​ли площадь кругов превысить 80%", а не "​превысит ли")+
-Теперь о замечаниях, за которые баллы снимались. +
-Валентин Пивоваров почему-то решил, что за один шаг обязательно вписывается сразу по 3 круга (в каждый из углов треугольника). Перечитав условие я убедился,​ что в нем нет намеков на такое толкование. Тем не менее, я счел возможным поставить Валентину достаточно высокий балл, поскольку параметры трех геометрических прогрессий были определены верно, то есть, было сделано практически все, что нужно для решения. +
-Еще два участника почему-то ограничились нахождением наименьшего количества кругов,​ покрывающих более 80% площади треугольника. Проанализировав условие,​ я пришел к выводу,​ что вина за такую трактовку лежит исключительно на этих участниках :-) +
-Наконец,​ в одном из решений превышение 80% на любом круге, начиная с 6-го, отмечается,​ но отдельно не обосновывается. Хотя легко подобрать начальные данные так, что правильным ответом будет, например,​ такой "​требуемый процент будет превышен на 3-м, 4-м или 5-м шаге"​. +
- +
-Анатолий Казмерчук нашел диапазон,​ в котором может изменяться отношение площади треугольника к предельной сумме площадей кругов в зависимости от формы треугольника. +
-Олег Полубасов показал,​ как приближаться к границам этого диапазона,​ но не обосновал непреодолимость этих границ.  +
-Владислав Франк получил нижнюю границу. +
- +
-Отдельно отмечу замечательное наблюдение Олега Полубасова - поразительную близость отношения площади египетского треугольника к сумме площадей вписанного круга и трех кругов,​ вписанных в углы треугольника,​ к π/2.  +
- +
-Участники поставили передо мной непростую задачу:​ зачастую те решения,​ которые содержали обобщения задачи,​ одновременно имели перечисленные выше недостатки. Во что вылилось добавление дополнительных баллов при одновременном вычитании основных см. ниже. +
- +
-**Награды** +
- +
-За решение задачи ММ254 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ +
-Анатолий Казмерчук - 7\\ +
-Владислав Франк - 7\\ +
-Олег Полубасов - 7\\ +
-Константин Шамсутдинов - 6\\ +
-Виктор Филимоненков - 6\\ +
-Денис Овчинников - 5\\ +
-Валентин Пивоваров - 4.+
  
-**Эстетическая оценка ​задачи ​- 4.4 балла **+[[problem 263|Решение задачи ​ММ263]]
  
 ---- ----
  
-===== ММ253 ===== 
  
-**Конкурсная задача ММ253** (5 баллов) +===== ММ262 =====
- +
-Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA<​sub>​1</​sub>​B<​sub>​1</​sub>​C<​sub>​1</​sub>​ равна 2. Сечение призмы,​ проходящее через середину отрезка AB<​sub>​1</​sub>​ перпендикулярно ему имеет площадь 28sqrt(39)/​81. Найти объем призмы?​ +
- +
-**Решение** +
- +
-Привожу решения {{:​marathon:​mm253_shamsutdinov.docx|Константина Шамсутдинова}} (замечательное своей краткостью),​ {{:​marathon:​mm253_dziubenko.pdf|Василия Дзюбенко}} (замечательное своей основательностью),​ и {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_253.pdf|Анатолия Казмерчука}} (как всегда,​ замечательное во всех отношениях). +
- +
-**Обсуждение**  +
- +
-Предлагая эту задачу,​ я изначально был уверен,​ что участники не попадутся в небольшую ловушку - наличие двух случаев. Но некоторые ответы на ММ251 эту уверенность поколебали. +
-Как выяснилось,​ зря. Все присланные решения содержат по два ответа. Правда,​ в некоторых из решений по одному (разному) ответу оказались неверны из-за вычислительных ошибок. +
- +
-Составляя задачу,​ я долго бился над тем, чтобы оба ответа были "​приличными"​. Если под приличностью понимать отсутствие многоэтажных радикалов,​ то задуманное осуществить удалось.  +
-Но сделать оба ответа совсем компактными я так и не смог. Остановился на варианте,​ когда более сложный случай пятиугольного сечения приводит к более простому ответу. +
- +
-Анатолий Казмерчук исследовал вопрос о количестве решений задачи в зависимости от соотношения между стороной основания призмы и площадью сечения.  +
- +
-**Награды** +
- +
-За решение задачи ММ253 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ +
-Анатолий Казмерчук - 6\\ +
-Денис Овчинников - 5\\ +
-Василий Дзюбенко - 5\\ +
-Владислав Франк - 5\\ +
-Константин Шамсутдинов - 5\\ +
-Валентин Пивоваров - 5\\ +
-Олег Полубасов - 4\\ +
-Виктор Филимоненков - 4. +
- +
-**Эстетическая оценка задачи - 4.1 балла ** +
----- +
- +
- +
----- +
-===== ММ252 =====+
    
-**Конкурсная задача ММ252** (3 балла)+**Конкурсная задача ММ262** (3 балла)
  
-Для числа 90 существуют две пары представлений в виде произведения трех сомножителей таких, что суммы сомножителей внутри каждой ​пары одинаковы:​  +Разносторонний ​треугольник назовем прогрессивным, если длины ​его сторон образуют арифметическую прогрессию.  
-90=1⋅9⋅10=2⋅3⋅15, ​ 1+9+10=2+3+15;​\\ +Доказать,​ что ​треугольник прогрессивен тогда и только тогда, когда прямая,​ проходящая через ​точку Нагеля и центр Шпикера, параллельна средней стороне
-90=2⋅5⋅9=3⋅3⋅10, ​ 2+5+9=3+3+10.\\ +
-Доказать,​ что ​существует бесконечно много ​натуральных чисел вида p<​sup>​k</​sup>​q (pq – простые,​ k – натуральное), обладающих таким свойством.+
  
-**Решение**+Примечание:​ тривиальное решение ​(недаром цена задачи всего 3 балла) на ЕГЭ бы не приняли,​ но у нас, слава Богу, не ЕГЭ :-)
  
-Привожу решения {{:​marathon:​mm252_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}},​ {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_252.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:​marathon:​mm252_ovcvinnikov.pdf|Дениса Овчинникова}}.+[[problem 262|Решение задачи ​ММ262]]
  
-**Обсуждение** ​ 
- 
-На задачу ММ252 поступило существенно меньше решений,​ чем на ММ251 :-( \\ 
-И это вопреки тому, что добавилось два новых участника:​ один относительно новый (в рамках текущего конкурса),​ а другой - новый участник Марафона в целом.\\ 
-Некоторые из "​пропавших"​ (надеюсь,​ все же, отлучившихся) конкурсантов признались,​ что они не справились с ММ252. При том, что задача,​ на мой взгляд,​ весьма проста. Ведь бесконечная серия подходящих чисел строится из одного подходящего числа тривиально. По-видимому,​ проблема в нахождении одного подходящего примера.\\ 
-В этой связи еще раз подчеркну (в первую очередь,​ для тех, кто присоединился к Марафону недавно) принципиальное отличие Марафона от олимпиады,​ проводимой "​здесь и сейчас"​. Решение марафонских задач предполагает использование любых источников. Использование вычислительной мощи компьютера тоже не считается зазорным.  ​ 
- 
-Анатолий Казмерчук доказал,​ что среди степеней простых чисел нет чисел с рассматриваемым свойством.\\ 
-Денис Овчинников предпринял попытку доказать,​ что таковых нет и среди чисел p<​sup>​k</​sup>​q,​ при p > 2. Правда,​ в его рассуждении (это признает и сам Денис) есть "​темное пятно"​. Но, возможно,​ доказательство можно довести до ума. 
-Олегу Полубасову удалось построить более одной серии рассматриваемых чисел. Для этого Олег подловил ведущего на неаккуратной формулировке (ох уж эти формулировки!). В самом деле, в условии сказано,​ что исходное число - натуральное. Но про натуральность сомножителей (которую имел в виду ведущий и почти все конкурсанты) ничего не говорится. 
- 
-Интересно,​ является ли найденная серия единственной если, все же, рассматривать разложения на натуральные сомножители. 
- ​Полагаю,​ что для всех подходящих серий p = 2, но при этом допускаю,​ что серий может быть много. Впрочем,​ это только мои предположения. ​ 
- 
-**Награды** 
- 
-За решение задачи ММ252 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ 
-Анатолий Казмерчук - 5\\ 
-Олег Полубасов - 5\\ 
-Денис Овчинников - 5\\ 
-Виктор Филимоненков - 4\\ 
-Василий Дзюбенко - 4\\ 
-Владислав Франк - 4\\ 
-Константин Шамсутдинов - 4\\ 
-Валентин Пивоваров - 1. 
- 
-**Эстетическая оценка задачи - 3.9 балла ** 
 ---- ----
- +===== ММ261 =====
- +
-===== ММ251 =====+
    
-**Конкурсная задача ММ251** (балла)+**Конкурсная задача ММ261** (балла)
  
-Из книги вырвано несколько страниц. Сумма номеров оставшихся страниц 5001. Пусть n – наименьшее возможное число страницкоторое могло ​быть в этой книге изначально. Найдите наибольший возможный номер отсутствующей страницы, при условии, что в книге было n страниц.+Натуральные числа ​12, 3, ..., 100 разбили на 10 групп по 10 чисел. Найти наибольшую возможную сумму НОД этих десяток.
  
-**Решение**+[[problem 261|Решение ​задачи ММ261]]
  
-Привожу решения {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_251.pdf|Анатолия Казмерчука}} и {{:​marathon:​mm251_fomina.docx|Елены Фоминой}} (новичка Марафона). 
- 
-**Обсуждение** ​ 
- 
-Совершенно неожиданно задача ММ251, которую я считал легкой и поместил в конкурс "​для разогрева",​ вызвала затруднения у значительного числа конкурсантов,​ в том числе у признанных асов. 
-Кроме неверных решений я получил также некоторые упреки за неоднозначность формулировки:​\\ 
-Из книги нельзя вырвать страницы - только листы;​\\ 
-Не уточнено,​ подходит ли одна страница под формулировку "​несколько страниц";​\\ 
-Не указано,​ на какой стороне разворота книги находится первая страница;​\\ 
-не указано,​ является ли печать (и соответственно нумерация) двусторонней... 
- 
-Я исходил из того, что на каждом листе расположены две страницы,​ причем меньший из номеров нечетен. Я ни разу не встречал книги, где на правом развороте были бы страницы с четными номерами (и сомневаюсь в существовании таких диковин). Переплетенные документы с односторонней печатью,​ я, конечно,​ встречал,​ но это были отчеты,​ дипломные работы,​ диссертации... и ни разу не книги. (Правда,​ мне указали,​ что самиздатовская книга может иметь одностороннюю печать.)\\ 
-Что касается толкования слова "​несколько",​ на мой взгляд,​ одна страница вполне подошла бы под это понятие. Но, поскольку я имел в виду обычную книгу с двусторонней печатью,​ этот момент не важен. Каждый вырванный лист - это пара вырванных страниц.\\ 
-Я не оговорил эти моменты вполне сознательно,​ полагая,​ что без этих нюансов задача станет совсем уж тривиальной. Впрочем,​ я был уверен,​ что и эти моменты не вызовут затруднений для подавляющего большинства участников. Но ошибся. Наверное,​ часть конкурсантов расслабились за лето и еще не вошли в форму.\\ 
-Каждый из перечисленных моментов,​ стал для кого-то камнем преткновения. Еще двое конкурсантов споткнулись о домысленное условие,​ что страницы вырывались подряд. 
- 
-Даже некоторые из тех, кто пришел к верному ответу,​ рассуждали,​ на мой взгляд,​ не вполне строго. Например,​ вывод, что в книге было 100 страниц,​ сделанный на основании того, что 5050 наименьшее треугольное число, превышающее 5001. Ведь 5050 превышает и, скажем,​ 5037. Но, если бы сумма оставшихся страниц была 5037, в книге изначально должно было быть больше 100 страниц. ​ 
-Другим неаккуратным шагом стало отбрасывание варианта с одной страницей не на основании того, что на одном листе находятся две страницы,​ а из-за того, что "​один"​ - это не "​несколько"​. 
-Я не стал придираться к этим моментам. ​ 
- 
-Самым предусмотрительным оказался Виктор Филимоненков,​ рассмотревший как классические книжки,​ так и их альтернативные разновидности.\\ 
-А единственным конкурсантам,​ рассмотревшим обобщение задачи стал Анатолий Казмерчук. Он выяснил,​ какие числа могут быть суммами номеров вырванных страниц. 
- 
-**Награды** 
- 
-За решение задачи ММ251 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ 
-Анатолий Казмерчук - 4\\ 
-Виктор Филимоненков - 3\\ 
-Олег Полубасов - 3\\ 
-Елена Фомина - 3\\ 
-Владимир Дорофеев - 3\\ 
-Владислав Франк - 3\\ 
-Константин Шамсутдинов - 3\\ 
-Константин Кноп - 1\\ 
-Александр Домашенко - 1\\ 
-Валентин Пивоваров - 1\\ 
-Анна Букина - 1\\ 
-cubaca - 1. 
- 
-**Эстетическая оценка задачи - 4 балла ** 
 ---- ----
- 
  
  
 ~~NOTOC~~ ~~NOTOC~~
 

 


Страница: [[marathon:about]]

marathon/about.1608737421.txt · Последние изменения: 2020/12/23 18:30 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006