 |
|
 |
 |
 | Карта сайта |
 | Недавние изменения |
 | Поиск |
 | Вы посетили |
 | История страницы |
 | Вход |
Различия
Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.
|
marathon:archive [2014/09/18 13:17] letsko |
marathon:archive [2021/03/29 07:54] (текущий) letsko |
||
|---|---|---|---|
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| ====== Архив Марафона ====== | ====== Архив Марафона ====== | ||
| + | * [[ММ61-100|Задачи ММ1-100]] | ||
| - | ---- | + | * [[ММ101-200|Задачи ММ101-200]] |
| - | + | ||
| - | ===== ММ190 ===== | + | |
| - | + | ||
| - | //Настоящая геометрия// | + | |
| - | + | ||
| - | **Конкурсная задача ММ190** (12 баллов) | + | |
| - | + | ||
| - | Найти наименьшее возможное число прямых, равноудаленных от всех вершин тетраэдра? | + | |
| - | + | ||
| - | Примечание: под тетраэдром понимается произвольная треугольная пирамида. | + | |
| - | [[problem_190|Решение задачи 190]] | ||
| ---- | ---- | ||
| + | ===== ММ260 ===== | ||
| + | **Конкурсная задача ММ260** (12 баллов) | ||
| - | ===== ММ189 ===== | + | __Задача ММ260 обобщает и развивает ММ231__ |
| - | //Псевдогеометрия// | + | Пусть ABC - некоторый треугольник, точки K, L, M лежат соответственно на прямых AB, BC и AC, а s - некоторое действительное число, отличное от 0 и 1. Треугольник KLM будем называть подобно-вписанным в ?ABC, если\\ |
| + | AK=sAB, BL=sBC, CM=sCA;\\ | ||
| + | треугольник KLM подобен треугольнику ABC.\\ | ||
| + | Сколько подобно вписанных треугольников может быть у произвольного треугольника? | ||
| - | **Конкурсная задача ММ189** (6 баллов) | + | [[problem 260|Решение задачи ММ260]] |
| - | Для каких натуральных m существует треугольник с целочисленными сторонами и медианой m?\\ | ||
| - | Для каждого подходящего m найти наибольшую возможную сторону. | ||
| - | |||
| - | [[problem_189|Решение задачи 189]] | ||
| ---- | ---- | ||
| - | ===== ММ188 ===== | + | ===== ММ259 ===== |
| - | //Когда трехмерный случай сложнее четырехмерного// | + | **Конкурсная задача ММ259** (8 баллов) |
| - | **Конкурсная задача ММ188** (9 баллов) | + | Может ли треугольник с вершинами в центроиде и центрах вписанной и описанной окружностей некоторого треугольника быть\\ |
| + | a) равновелик;\\ | ||
| + | б) подобен;\\ | ||
| + | в) равен \\ | ||
| + | исходному? | ||
| - | 1. a,b,c,d - векторы трехмерного евклидова пространства (не обязательно различные). | + | [[problem 259|Решение задачи ММ259]] |
| - | M = {{a,b,c}, {a,b,d}, {a,c,d}, {b,c,d}}. Подмножество множества M назовем хорошим, если при подходящем выборе векторов все тройки из данного подмножества образуют базис, а остальные не образуют. Сколько хороших подмножеств у M? | + | |
| - | 2. Тот же вопрос для пяти векторов в четырехмерном пространстве. | + | |
| - | 3. Тот же вопрос для пяти векторов в трехмерном пространстве. | + | |
| - | [[problem_188|Решение задачи 188]] | ||
| ---- | ---- | ||
| - | ===== ММ187 ===== | ||
| - | //Можно обойтись без эллиптических кривых// | + | ===== ММ258 ===== |
| + | **Конкурсная задача ММ258** (7 баллов) | ||
| - | **Конкурсная задача ММ187** (6 баллов) | + | Сколько элементов содержит множество сумм квадратов цифр квадратов чисел, в десятичной записи которых присутствуют по одному разу ровно три ненулевых цифры: 1, 4, 9? (Нулей может быть сколько угодно). |
| - | Доказать, что существует бесконечно много пар натуральных чисел <m>(a,b)</m>, таких что <m>{a^2+b^2}/{ab+1}</m> является натуральным числом. | + | [[problem 258|Решение задачи ММ258]] |
| - | Доказать, что существует бесконечно много пар, для которых <m>{a^2+b^2}/{ab+1}=1369</m>. | + | |
| - | Существуют ли пары, для которых <m>{a^2+b^2}/{ab+1}=2013</m>? | + | |
| - | [[problem_187|Решение задачи 187]] | ||
| ---- | ---- | ||
| - | ===== ММ186 ===== | + | ===== ММ257 ===== |
| - | + | **Конкурсная задача ММ257** (9 баллов) | |
| - | //Еще в школе, решая задачи типа "Из пунктов A и B навстречу друг другу...", грезил предлагаемой задачей. И вот...// | + | |
| - | **Конкурсная задача ММ186** (7 баллов) | + | __Задача ММ257 сюжетно связана с ММ237__ |
| - | В 12:00 расстояние от маяка до сухогруза "Альфа" составляло 12 км, а до буксира "Омега" - <m>4sqrt{13}</m>. | + | Студент математического факультета Вася Пупкин пропустил (по уважительной причине) занятие по дискретной математике. Однокурсники рассказали, что на занятии рассматривался некий граф. Но ни один из них не зафиксировал этот граф ни с помощью гаджетов, ни на бумагу. Впрочем, Васины однокурсники, утверждают, что это не страшно, поскольку они и так помнят этот граф. В подтверждение своих слов они наперебой кинулись вспоминать характеристики графа:\\ |
| - | В 13:00 расстояния от маяка до "Альфы" и "Омеги" оказались такими же как 12:00. А в 14:00 расстояния от маяка до "Альфы" и "Омеги" оказались равны по <m>12sqrt{5}</m> | + | Аня: В графе было ровно 3 связных компоненты.\\ |
| - | Найти минимальное расстояние от "Альфы" до "Омеги", учитывая, что в 13:45 смотритель маяка не видел "Омегу" за "Альфой". | + | Ваня: Причем во всех связных компонентах графа имелись циклы.\\ |
| + | Даня: А еще среди связных компонент не было изоморфных.\\ | ||
| + | Маня: Число ребер в одной из компонент было равно половине общего числа ребер.\\ | ||
| + | Саня: При этом число ребер было равно сумме количеств вершин и связных компонент.\\ | ||
| + | Таня: В графе была всего одна вершина степени 3.\\ | ||
| + | Зина: А всего в графе было не более 13 вершин.\\ | ||
| + | Лина: И при этом не было висячих вершин. \\ | ||
| + | Нина: А степень одной из вершин не менее чем на 2 превосходила степень каждой из остальных вершин.\\ | ||
| + | Фаина: Зина, Лина и Нина правы.\\ | ||
| + | Услышавший эти реплики преподаватель сказал, что память подвела ровно одного человека.\\ | ||
| + | Сможет ли Вася (умница и отличник) однозначно восстановить граф?\\ | ||
| - | Примечание: Сухогруз и буксир движутся прямолинейно и равномерно. Все плавсредства и маяк - материальные точки. | + | [[problem 257|Решение задачи ММ257]] |
| - | [[problem_186|Решение задачи 186]] | ||
| ---- | ---- | ||
| - | ===== ММ185 ===== | + | ===== ММ256 ===== |
| + | **Конкурсная задача ММ256** (8 баллов) | ||
| - | //Очередной раз режем квадрат// | + | При каком наименьшем натуральном n уравнение n{x}<sup>2</sup> +{x}=[x] имеет не менее 1000000 решений в рациональных числах? |
| - | **Конкурсная задача ММ185** (5 баллов) | + | __Примечание: {x} – дробная часть числа x, [x] – целая часть (пол) числа x.__ |
| - | Квадрат со стороной 1 разрезали на 100 прямоугольников с суммой периметров P. Найти диапазон возможных значений P. | + | [[problem 256|Решение задачи ММ256]] |
| - | [[problem_185|Решение задачи 185]] | ||
| ---- | ---- | ||
| - | ===== ММ184 ===== | + | ===== ММ255 ===== |
| - | //Как же без графов?// | + | **Конкурсная задача ММ255** (7 баллов) |
| - | **Конкурсная задача ММ184** (7 баллов) | + | Найти наименьшее натуральное число, имеющее ровно 7 представлений в виде произведения наибольшего возможного количества попарно различных натуральных сомножителей. |
| - | Компания из 30 отдыхающих собралась для 10-дневного рафтинга. Некоторые их туристов были знакомы между собой. График дежурств (по три человека на каждый день, чтобы каждый отдежурил ровно один раз) составили с помощью жребия. Получилось, что в каждой тройке дежурных ровно двое знакомы между собой. Недовольный такой ситуацией командор предложил свой график, такой что в каждой тройке была ровно одна пара незнакомых. Этот график тоже не всем понравился. Покумекав, туристы смогли совместными усилиями составить такой график, что в каждой тройке дежурных все были знакомы между собой. | + | [[problem 255|Решение задачи ММ255]] |
| - | Какое наименьшее и наибольшее число пар знакомых могло быть в данной группе? | + | |
| - | [[problem_184|Решение задачи 184]] | ||
| ---- | ---- | ||
| - | ===== ММ183 ===== | + | ===== ММ254 ===== |
| - | //Легкая задача с очевидным неочевидным обобщением// | + | **Конкурсная задача ММ254** (6 баллов) |
| - | **Конкурсная задача ММ183** (3 балла) | + | Вася вписал круг в треугольник со сторонами 3, 4, 5. И вписывает новые круги так, что каждый последующий касается двух сторон треугольника и одного из предыдущих кругов. Может ли суммарная площадь кругов превысить 80% от площади треугольника и на каком шаге (круге) может случиться это событие? |
| - | Про пять чисел a,b,c,d,e известно, что a<b<c<d<e. Попарные суммы этих чисел выписали в порядке неубывания. Найти число вариантов расположения сумм в этом списке в зависимости от конкретных значений исходных чисел. | + | [[problem 254|Решение задачи ММ254]] |
| - | [[problem_183|Решение задачи 183]] | ||
| ---- | ---- | ||
| + | ===== ММ253 ===== | ||
| - | ===== ММ182 ===== | + | **Конкурсная задача ММ253** (5 баллов) |
| - | //Продолжаем разминаться// | + | Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C<sub>1</sub> равна 2. Сечение призмы, проходящее через середину отрезка AB<sub>1</sub> перпендикулярно ему имеет площадь 28sqrt(39)/81. Найти объем призмы? |
| - | **Конкурсная задача ММ182** (3 балла) | + | [[problem 253|Решение задачи ММ253]] |
| - | Назовем натуральное число n суперделимым, если:\\ | ||
| - | 1) в каноническом разложении n имеется более двух простых делителей;\\ | ||
| - | 2) для любого собственного подмножества множества простых делителей n число n кратно сумме элементов этого подмножества.\\ | ||
| - | Доказать, что существует бесконечно много суперделимых чисел. | ||
| - | |||
| - | [[problem_182|Решение задачи 182]] | ||
| ---- | ---- | ||
| + | ===== ММ252 ===== | ||
| + | |||
| + | **Конкурсная задача ММ252** (3 балла) | ||
| + | Для числа 90 существуют две пары представлений в виде произведения трех сомножителей таких, что суммы сомножителей внутри каждой пары одинаковы: | ||
| + | 90=1⋅9⋅10=2⋅3⋅15, 1+9+10=2+3+15;\\ | ||
| + | 90=2⋅5⋅9=3⋅3⋅10, 2+5+9=3+3+10.\\ | ||
| + | Доказать, что существует бесконечно много натуральных чисел вида p<sup>k</sup>q (p, q – простые, k – натуральное), обладающих таким свойством. | ||
| - | ===== ММ181 ===== | + | [[problem 252|Решение задачи ММ252]] |
| - | //Разминка// | ||
| - | |||
| - | **Конкурсная задача ММ181** (3 балла) | ||
| - | |||
| - | Существует ли натуральное число n, среди остатков от деления которого на все натуральные числа меньшие n чаще всего встречается остаток 2013? | ||
| - | |||
| - | [[problem_181|Решение задачи 181]] | ||
| ---- | ---- | ||
| - | ===== MM180 ===== | + | ===== ММ251 ===== |
| + | |||
| + | **Конкурсная задача ММ251** (3 балла) | ||
| - | **Конкурсная задача ММ180** (13 баллов) | + | Из книги вырвано несколько страниц. Сумма номеров оставшихся страниц 5001. Пусть n – наименьшее возможное число страниц, которое могло быть в этой книге изначально. Найдите наибольший возможный номер отсутствующей страницы, при условии, что в книге было n страниц. |
| - | Назовем натуральное число "трижды нечетным", если само число, сумма его делителей и сумма делителей суммы его делителей нечетны. Может ли "трижды нечетное" число быть кратно 821? | + | [[problem 251|Решение задачи ММ251]] |
| - | [[problem_180|Решение задачи 180]] | ||
| ---- | ---- | ||
| + | ===== ММ250 ===== | ||
| + | |||
| + | **Конкурсная задача ММ250** (14 баллов) | ||
| + | Найти наименьшее возможное количество ребер выпуклого многогранника, у которого сумма длин ребер равна сумме длин диагоналей. | ||
| - | ===== MM179 ===== | + | [[problem 250|Решение задачи ММ250]] |
| - | **Конкурсная задача ММ179**(10 баллов) | ||
| - | |||
| - | Имеется 11 монет: 2 золотых; 4 серебряных; 5 бронзовых. Известно, что одна золотая, одна серебряная и 2 бронзовых монеты - фальшивые. Все настоящие монеты равны по весу. Все фальшивые тоже равны по весу, но легче настоящих. Золотые, серебряные и бронзовые отличаются друг от друга по внешнему виду. За четыре взвешивания на чашечных весах без гирь определить фальшивые монеты. | ||
| - | |||
| - | [[problem_179|Решение задачи 179]] | ||
| ---- | ---- | ||
| + | ===== ММ249 ===== | ||
| - | ===== ММ178 ===== | + | **Конкурсная задача ММ249** (10 баллов) |
| - | **Конкурсная задача ММ178 (Оладьи на сковородке)** (9 баллов) | + | Пусть k – натуральное число и a – некоторая перестановка 2020-элементного множества. Может ли уравнение x<sup>k</sup>=a иметь ровно 2020 решений? |
| - | В единичный круг поместим (без наложений) k кругов одинакового радиуса. Обозначим через S<sub>k</sub> максимальное значение площади этих k кругов. Расставить числа S<sub>1</sub>, S<sub>2</sub>,..., S<sub>12</sub> в порядке возрастания. | + | [[problem 249|Решение задачи ММ249]] |
| - | [[problem_178|Решение задачи 178]] | ||
| ---- | ---- | ||
| + | ===== ММ248 ===== | ||
| - | ===== ММ177 ===== | + | **Конкурсная задача ММ248** (8 баллов) |
| - | **Конкурсная задача ММ177** (6 баллов) | + | Найти наименьшее натуральное k такое, что во множестве {(τ(kn))/(τ(n))|n ∈ N} ровно 13 целых чисел. |
| - | В розыгрыше кубка мира участвуют 128 равных по силе шахматистов. 10 из них представляют Россию, 8 - Украину. После жеребьевки в первом раунде встречаются №1 и №2, № 3 и №4, ..., №127 и №128. Во втором раунде победитель первой пары встречается с победителем второй, победитель третьей - с победителем четвертой и т. д. Российским шахматистам по жребию достались номера 1, 9, 17, 25, 33, 41, 49, 57, 65 и 73; украинским - 2, 18, 34, 50, 66, 82, 98, 114. | + | [[problem 248|Решение задачи ММ248]] |
| - | За первое место выплачиваются призовые - 200000 долларов, за второе - 10000 долларов.. За остальные места призовые не выплачиваются.\\ | + | |
| - | Какой финал более вероятен: чисто российский или чисто украинский?\\ | + | |
| - | Каковы российское и украинское призовые мат. ожидания? | + | |
| - | [[problem_177|Решение задачи 177]] | ||
| ---- | ---- | ||
| + | ===== ММ247 ===== | ||
| - | ===== ММ176 ===== | + | **Конкурсная задача ММ247** (7 баллов) |
| - | + | ||
| - | **Конкурсная задача ММ176** (5 баллов) | + | |
| - | Сколько точек экстремума, не являющихся точками разрыва, имеет функция f(x) = {x}+{x<sup>2</sup>}+{x}<sup>2</sup> ? | ||
| - | Примечание:\\ | + | Пусть k – фиксированное натуральное число. Для натуральных n определим функцию f<sub>k</sub>(n)=lcm(n, n+1,..., n+k-1)/lcm(n+1, n+2,..., n+k)} |
| - | {x} - дробная часть числа x. | + | Найти наименьшие значения f<sub>5</sub>(n) и f<sub>9</sub>(n). |
| - | [[problem_176|Решение задачи 176]] | + | [[problem 247|Решение задачи ММ247]] |
| ---- | ---- | ||
| + | ===== ММ246 ===== | ||
| - | ===== ММ175 ===== | + | **Конкурсная задача ММ246** (7 баллов) |
| - | **Конкурсная задача ММ175 (А-5)** (8 баллов) | ||
| - | Натуральное число n назовем g-2-числом, если число 2n, записанное в системе счисления c основанием g получается из n перестановкой цифр. Какие основания встречаются (в натуральном ряду) чаще: те, для которых существуют трехзначные g-2-числа, или те, в которых нет трехзначных g-2-чисел? | + | Сколько (с точностью до подобия) существует разносторонних треугольников, разрезаемых на два равнобедренных более чем одним способом? |
| - | Примечание: | + | [[problem 246|Решение задачи ММ246]] |
| - | Расcматриваются позиционные системы счисления с натуральными основаниями g>1. | + | |
| - | + | ||
| - | [[problem_175|Решение задачи 175]] | + | |
| ---- | ---- | ||
| + | ===== ММ245 ===== | ||
| - | ===== ММ174 ===== | + | **Конкурсная задача ММ245** (5 баллов) |
| - | **Конкурсная задача ММ174 (А-4)** (7 баллов) | + | В остроугольном треугольнике ABC провели высоту BH. |
| + | Найти отношение площадей треугольников ABH и CBH, если первый из них подобен треугольнику из своих медиан, а второй – треугольнику из своих высот. | ||
| - | Найти наименьшее натуральное число, произведение всех натуральных делителей которого заканчивается | + | [[problem 245|Решение задачи ММ245]] |
| - | а) ровно 2013 нулями;\\ | + | |
| - | б) не менее чем 2013 нулями.\\ | + | |
| - | + | ||
| - | Примечание:\\ | + | |
| - | Система счисления десятичная. | + | |
| - | + | ||
| - | [[problem_174|Решение задачи 174]] | + | |
| ---- | ---- | ||
| + | ===== ММ244 ===== | ||
| - | ===== ММ173 ===== | + | **Конкурсная задача ММ244** (6 баллов) |
| - | **Конкурсная задача ММ173 (А-3)** (5 баллов) | + | Галя предложила Ане, Боре и Васе такую загадку:\\ |
| + | - Я задумала три попарно различных ненулевых цифры. Сейчас я по секрету сообщу Ане сумму квадратов, Боре произведение, а Варе сумму задуманных цифр. Попробуйте отгадать эти цифры. | ||
| + | Узнав сумму квадратов произведение и сумму, Аня, Боря и Вася сначала задумались, а затем разговорились: \\ | ||
| + | А: Я не могу определить, что это за цифры.\\ | ||
| + | Б: И я не могу.\\ | ||
| + | В: И я тоже.\\ | ||
| + | A: Тогда я их знаю!\\ | ||
| + | Б: После этой реплики и я их знаю.\\ | ||
| + | Что это за тройка цифр? \\ | ||
| + | Примечание: У Ани, Бори и Васи все хорошо с арифметикой и логикой. | ||
| - | Последовательность состоит из натуральных чисел, представимых в виде суммы четырех своих (попарно различных) делителей, расположенных в естественном порядке. Найти стомиллиардный член этой последовательности. | ||
| - | [[problem_173|Решение задачи 173]] | + | [[problem 244|Решение задачи ММ244]] |
| ---- | ---- | ||
| + | ===== ММ243 ===== | ||
| - | ===== ММ172 ===== | + | **Конкурсная задача ММ243** (5 баллов)⊥ |
| - | **Конкурсная задача ММ172 (А-2)** (5 баллов) | ||
| - | Доказать, что существует бесконечно много хитовых abc-троек, таких что c является степенью пятерки. | + | В треугольнике ABC a<b<c и a⋅l<sub>a</sub>=c⋅l<sub>c</sub> Найти угол β. |
| - | Примечание: | + | [[problem 243|Решение задачи ММ243]] |
| - | Тройка натуральных чисел a,b,c называется хитовой abc-тройкой, если a+b = c, GCD(a,b) = 1 и c > rad(abc). \\ | + | |
| - | Примечание к примечанию: | + | |
| - | Пусть <m> n = {p_1}^{s_1}...{p_k}^{s_k} </m>, тогда <m> rad(n) = p_1...p_k </m> | + | |
| - | + | ||
| - | [[problem_172|Решение задачи 172]] | + | |
| ---- | ---- | ||
| + | ===== ММ242 ===== | ||
| - | ===== ММ171 ===== | + | **Конкурсная задача ММ242** (5 баллов) |
| - | + | ||
| - | **Конкурсная задача ММ171 (А-1)** (5 баллов) | + | |
| - | + | ||
| - | Вася, Петя, Коля и Федя хвалились параллелепипедами, которые они склеили из единичных кубиков. Васин параллелепипед имел размеры axbxc. Петин - (a+1)xbxc, Колин - (a+1)x(b+1)xc, а Федин - (a+1)x(b+1)x(c+1).\\ | + | |
| - | - Зато у моего параллелепипеда диагональ целочисленная - сказал Вася.\\ | + | |
| - | - Подумаешь! У моего тоже диагональ целочисленная - заявил Петя.\\ | + | |
| - | - И у моего - заметил Коля.\\ | + | |
| - | - И у моего тоже - не отстал от товарищей Федя.\\ | + | |
| - | Найти максимально возможное количество честных среди перечисленных мальчиков. | + | |
| - | + | ||
| - | [[problem_171|Решение задачи 171]] | + | |
| + | На сайте проводится опрос, кого из m номинированных футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует один раз за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста - доля голосов, отданных за него, в процентах, округленных до целого числа. После того, как проголосовали n посетителей, суммарный рейтинг номинантов составил 95%.\\ | ||
| + | a) При каком наименьшем m такое возможно?\\ | ||
| + | b) При каком наименьшем n такое возможно?\\ | ||
| + | c) При каком наименьшем m+n такое возможно? | ||
| + | [[problem 242|Решение задачи ММ242]] | ||
| ---- | ---- | ||
| + | ===== ММ241 ===== | ||
| - | ===== ММ170 ===== | + | **Конкурсная задача ММ241** (4 балла) |
| - | + | ||
| - | **Конкурсная задача ММ170** (8 баллов) | + | |
| - | + | ||
| - | Прямоугольный параллелепипед склеили из единичных некрашеных кубиков. После этого три грани параллелепипеда покрасили в красный цвет. Остальные три грани покрасили в синий, желтый и зеленый цвета (по одной в каждый цвет). | + | |
| - | Оказалось, что некрашеных кубиков в два раза больше, чем кубиков, имеющих, по крайней мере, одну красную грань. Количества кубиков, имеющих хотя бы одну синюю (желтую, зеленую) грань также являются делителями количества некрашеных кубиков. | + | |
| - | Найти объем параллелепипеда. | + | |
| - | + | ||
| - | [[problem_170|Решение задачи 170]] | + | |
| - | + | ||
| - | ---- | + | |
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | ===== ММ169 ===== | + | |
| - | + | ||
| - | **Конкурсная задача ММ169** (6 баллов) | + | |
| - | Для каждого натурального числа n обозначим s(n)=φ(σ(n))/σ(φ(n)), где φ(n) - функция Эйлера, а σ(n) - сумма натуральных делителей числа n. Может ли s(n) быть:\\ | + | При каких натуральных n множество {1, 2, …, n} можно разбить на два подмножества так, что произведение элементов первого подмножества равно сумме элементов второго? |
| - | а) меньше 1/50;\\ | + | |
| - | б) больше 7? | + | |
| - | [[problem_169|Решение задачи 169]] | ||
| + | [[problem 241|Решение задачи ММ241]] | ||
| ---- | ---- | ||
| - | ===== ММ168 ===== | + | ===== ММ240 ===== |
| + | **Конкурсная задача ММ240** (13 баллов) | ||
| - | **Конкурсная задача ММ168** (5 баллов) | + | Проективную плоскость разбили несколькими прямыми общего положения. При этом образовалось ровно 17 треугольников. Сколько пятиугольников могло при этом получиться? |
| - | Существует ли многогранник, у которого ровно:\\ | + | [[problem 240|Решение задачи ММ240]] |
| - | 2 диагонали;\\ | + | |
| - | 5 диагоналей;\\ | + | |
| - | 7 диагоналей? | + | |
| - | [[problem_168|Решение задачи 168]] | ||
| ---- | ---- | ||
| + | ===== ММ239 ===== | ||
| + | **Конкурсная задача ММ239** (10 баллов) | ||
| - | ===== MM167 ===== | + | Существует ли выпуклый многогранник, у которого:\\ |
| + | a) не менее половины граней - семиугольники;\\ | ||
| + | b) более половины граней - семиугольники; \\ | ||
| + | с) не менее половины граней - восьмиугольники;\\ | ||
| + | d) более половины граней - восьмиугольники;\\ | ||
| + | e) не менее половины граней - девятиугольники? | ||
| - | **Конкурсная задача ММ167** (4 балла) | + | //Примечание: Если у вас получается, что ответ на пункт «а» отрицательный, а на пункт «b» - положительный, подумайте еще.// |
| - | Будем говорить, что треугольник принадлежит к классу k, если из него можно получить прикладыванием к нему другого треугольника (без наложения) ровно k различных равнобедренных треугольников. Найти все возможные значения k. | ||
| - | [[problem_167|Решение задачи 167]] | + | [[problem 239|Решение задачи ММ239]] |
| ---- | ---- | ||
| Строка 322: | Строка 283: | ||
| - | ===== MM166 ===== | + | ===== ММ238 ===== |
| - | + | **Конкурсная задача ММ238** (7 баллов) | |
| - | **Конкурсная задача ММ166** (3 балла) | + | |
| - | + | ||
| - | Для каждого из натуральных чисел от 1 до 10000000000 находят знакочередующуюся сумму всех натуральных делителей, упорядоченных по возрастанию (делитель 1 берется со знаком минус). | + | |
| - | Сколько отрицательных и сколько нечетных чисел при этом получится? | + | |
| - | + | ||
| - | [[problem_166|Решение задачи 166]] | + | |
| + | Вася написал на доске k последовательных натуральных чисел и нашел их НОК - V.\\ | ||
| + | Петя написал k последовательных натуральных чисел, больших Васиных, и тоже нашел их НОК - P. \\ | ||
| + | Оказалось, что 2018 < V/P < 2019. \\ | ||
| + | При каком наименьшем k такое возможно? | ||
| ---- | ---- | ||
| - | + | [[problem 238|Решение задачи ММ238]] | |
| - | + | ||
| - | ===== MM165 ===== | + | |
| - | + | ||
| - | **Конкурсная задача ММ165 (РК-5)** (7 баллов) | + | |
| - | + | ||
| - | //По мотивам задачи ММ74// | + | |
| - | + | ||
| - | Вася и Петя поспорили. | + | |
| - | Вася утверждает, что объем выпуклого многогранника, все грани которого правильные многоугольники, а все 15 ребер имеют длину 1 заведомо больше объема каждого из выпуклых многогранников, о которых идет речь в задаче ММ74. Петя же утверждает, что не больше, а меньше. | + | |
| - | В качестве третейского судьи позвали Федю. Подумав, Федя пришел к выводу, что возможны разные типы выпуклых многогранников с 15-ю единичными ребрами, все грани которых - правильные многоугольники. Для одних объем, заведомо больше объема любого из многогранников из ММ74, а для других - наоборот меньше. | + | |
| - | Кто прав? | + | |
| - | + | ||
| - | [[problem_165|Решение задачи 165]] | + | |
| ---- | ---- | ||
| - | ===== ММ164 ===== | + | ===== ММ237 ===== |
| + | **Конкурсная задача ММ237** (7 баллов) | ||
| - | **Конкурсная задача ММ164 (РК-4)** (6 баллов) | + | Студент математического факультета Вася Пупкин написал на доске некоторую перестановку A из S<sub>10</sub> в виде произведения независимых циклов (запись каждого цикла начинается с наименьшего элемента; опускались ли в записи циклы длины 1 - неизвестно). Васины однокурсники прокомментировали эту запись. |
| - | //По мотивам задачи ММ135// | + | Аня: A<sup>6</sup> – тождественная перестановка.\\ |
| + | Ваня: Длины всех циклов A – числа Фибоначчи.\\ | ||
| + | Даня: В S<sub>10</sub> существует ровно 3 перестановки, квадрат которых равен A.\\ | ||
| + | Маня: Хм, уравнение X<sup>2</sup> =B не может иметь в S<sub>10</sub> ровно 3 решения ни при каком B.\\ | ||
| + | Саня: Более того, количество решений уравнения X<sup>2</sup> =B в S<sub>10</sub> не может быть нечетным ни при каком B.\\ | ||
| + | Таня: Квадрат наибольшего элемента в самом длинном цикле меньше порядка A.\\ | ||
| + | Зина: A<sup>5</sup> имеет столько же циклов, сколько и A.\\ | ||
| + | Лина: Внутри всех циклов элементы строго возрастают.\\ | ||
| + | Нина: Произведение всех элементов одного из циклов кратно произведению всех элементов более длинного цикла и сумме всех элементов более короткого.\\ | ||
| + | Фаина: Зина, Лина и Нина правы. | ||
| - | В задаче ММ135 приведено несколько рекуррентных последовательной вида a<sub>i+1</sub>=da<sub>i</sub>-a<sub>i-1</sub> соседние члены которых дают бесконечные множества пар натуральных чисел (a,b) таких, что остатки от деления a<sup>2</sup> на b и b<sup>2</sup> на a равны 2011. | + | Вася (умница и отличник) заметил, что количество верных утверждений его однокурсников равно наибольшей длине цикла в A.\\ |
| - | Существует ли натуральное число c<2000000, для которого найдется не менее 100 последовательностей с попарно различными d, соседние члены которых дают бесконечные множества пар натуральных чисел (a,b) таких, что остатки от деления a<sup>2</sup> на b и b<sup>2</sup> на a равны c? | + | Найдите A. |
| - | + | ||
| - | [[problem_164|Решение задачи 164]] | + | |
| + | [[problem 237|Решение задачи ММ237]] | ||
| ---- | ---- | ||
| + | ===== ММ236 ===== | ||
| + | **Конкурсная задача ММ236** (7 баллов) | ||
| - | ===== ММ163 ===== | + | Натуральные числа от 1 до 4n разбили на четыре группы по n чисел в каждой. Оказалось, что произведение всех чисел из первой группы равно произведениям всех чисел из второй и третьей групп. Найти наименьшую возможную сумму чисел четвертой группы. |
| - | + | ||
| - | **Конкурсная задача ММ163 (РК-3)** (5 баллов) | + | |
| - | + | ||
| - | //По мотивам задачи ММ94 (и ММ162)// | + | |
| - | + | ||
| - | Пару похожих чисел a и b назовем s-парой, если a = spq, b=s<sup>3</sup>r, где p, q, r, s - попарно различные простые числа. Проверить истинность каждого из следующих утверждений: | + | |
| - | 1. Для каждого простого s найдется хотя бы одна s-пара. | + | |
| - | 2. Для некоторых простых s существует более одной s-пары. | + | |
| - | 3. Для каждого простого s число s-пар конечно. | + | |
| - | + | ||
| - | [[problem_163|Решение задачи 163]] | + | |
| + | [[problem 236|Решение задачи ММ236]] | ||
| ---- | ---- | ||
| + | ===== ММ235 ===== | ||
| + | **Конкурсная задача ММ235** (7 баллов) | ||
| - | ===== MM162 ===== | + | Существует ли выпуклый многогранник, у которого равны: количество ребер; количество диагоналей; суммарное количество диагоналей граней? |
| - | ** Конкурсная задача ММ162 (РК-2)** (4 балла) | + | [[problem 235|Решение задачи ММ235]] |
| - | + | ||
| - | //По мотивам задачи ММ94// | + | |
| - | + | ||
| - | Пару различных натуральных чисел a и b назовем похожими, если φ(a)=φ(b), σ(a)=σ(b), τ(a)=τ(b), где φ(n), σ(n) и τ(n), соответственно функция Эйлера, сумма и число натуральных делителей числа n (см. разбор ММ94). | + | |
| - | Существуют ли похожие числа a и b такие, что τ(a)=τ(b)=4? | + | |
| - | + | ||
| - | [[problem_162|Решение задачи 162]] | + | |
| ---- | ---- | ||
| + | ===== ММ234 ===== | ||
| + | **Конкурсная задача ММ234** (5 баллов) | ||
| + | Функция g(n) натурального аргумента n задается так:\\ | ||
| + | Пусть n натуральное число. Определим f(n) как число, полученное удалением последней цифры из десятичной записи n, увеличенное на квадрат этой цифры.\\ | ||
| + | Например, f(576) = 57 + 36 = 93.\\ | ||
| + | Тогда g(n) = |{n, f(n), f(f(n)), f(f(f(n))), …}|.\\ | ||
| + | Пусть a и b – 2018-значные числа. Может ли оказаться, что g(a) = g(b) + 26? | ||
| - | ===== ММ161 ===== | + | [[problem 234|Решение задачи ММ234]] |
| - | + | ||
| - | ** Конкурсная задача ММ161 (РК-1) ** (3 балла) | + | |
| - | + | ||
| - | //По мотивам задачи ММ132 (и ряда других)// | + | |
| - | + | ||
| - | Граф G=<V,E> задан на множестве V = {1, 2, ..., 1000000000000} по правилу: {a,b} ∈ E тогда и только тогда, когда сумма чисел a и b равна некоторой четной натуральной степени их разности. | + | |
| - | Найти число связных компонент G и диаметр наибольшей компоненты. | + | |
| - | + | ||
| - | [[problem_161|Решение задачи 161]] | + | |
| ---- | ---- | ||
| - | ===== ММ160 ===== | ||
| - | **Конкурсная задача ММ160 (ТГ-5)** (10 баллов) | + | ===== ММ233 ===== |
| + | |||
| + | **Конкурсная задача ММ233** (6 баллов)\\ | ||
| - | На множестве натуральных чисел от 1 до 10460353203 структура графа G задается так: | + | Очередной отголосок ЕГЭ в Марафоне |
| - | вершины a и b смежны <=> множества цифр в g-ичной записи чисел a и b различны при любом натуральном g ≥ 2. | + | |
| - | Является ли G:\\ | + | |
| - | a) двудольным; \\ | + | |
| - | b) связным;\\ | + | |
| - | с) ациклическим?\\ | + | |
| - | d) Чему равна степень вершины 3?\\ | + | |
| - | e) Есть ли G вершины, степень которых больше чем 10000000000? | + | |
| - | [[problem_160|Решение задачи 160]] | + | При каких значениях параметра a множество точек плоскости, задаваемых системой \\ |
| - | ---- | + | (x - a + 1)<sup>2</sup> + (y - 3)<sup>2</sup> ≤ 80, \\ |
| - | + | (x - 3)<sup>2</sup> + (y - 4a + 1)<sup>2</sup> ≤ 20a<sup>2</sup>, \\ | |
| - | + | 230 - 2a = |4x + 3y + 115 - a| + |4x + 3y - 115 + a| \\ | |
| - | ===== ММ159 ===== | + | является кругом? |
| - | + | ||
| - | **Конкурсная задача ММ159** (6 баллов) | + | |
| - | + | ||
| - | Для натурального числа n, большего 1, обозначим через qu(n) отношение суммы количеств единиц во всех записях числа n в системах счисления с натуральными основаниями, большими 1, к самому числу n. | + | |
| - | Найти наибольшее и наименьшее значение qu(n) и предел qu(n) при n, стремящимся к бесконечности. | + | |
| - | Конечны ли множества чисел, для которых qu(n): меньше 1; больше 1; равно 1? | + | |
| - | + | ||
| - | **Решение** | + | |
| - | + | ||
| - | [[problem_159|Решение задачи 159]] | + | |
| + | [[problem 233|Решение задачи ММ233]] | ||
| ---- | ---- | ||
| + | ===== ММ232 ===== | ||
| + | |||
| + | **Конкурсная задача ММ232** (6 баллов) | ||
| - | ===== ММ158 ===== | + | Сколько решений в натуральных числах, имеет уравнение **x<sup>3</sup> + y<sup>3</sup> = z<sup>3</sup> - i** для каждого **i ∈ {1, 2, 4}** ? |
| - | Задача ММ158 предложена Олегом Полубасовым | + | Я нашел воистину замечательные ответы на эти вопросы, но поля... |
| + | Надеюсь, у конкурсантов с полями все хорошо. | ||
| - | **Конкурсная задача ММ158 (ТГ-4)** (7 баллов) | + | [[problem 232|Решение задачи ММ232]] |
| - | + | ||
| - | I. Города занумерованы от 1 до N. Дорога, непосредственно соединяющая города i и j, существует, если и только если |i-j| - простое число. Длина дороги равна |i-j|. | + | |
| - | Найти зависимость длины кратчайшего гамильтонова цикла от величины N.\\ | + | |
| - | II. Заменим в I |i-j| нат i+j. | + | |
| - | Найти зависимость длины кратчайшего гамильтонова цикла от величины N, при условии, что полученный граф гамильтонов. | + | |
| - | + | ||
| - | [[problem_158|Решение задачи 158]] | + | |
| ---- | ---- | ||
| - | ===== ММ157 ===== | + | ===== ММ231 ===== |
| + | |||
| + | **Конкурсная задача ММ231** (4 балла) | ||
| - | **Kонкурсная задача ММ157** (6 баллов) | + | На сторонах AB, BC и AC египетского треугольника ABC выбрали точки C<sub>1</sub>, A<sub>1</sub> и B<sub>1</sub> соответственно. Оказалось, что треугольники AB<sub>1</sub>C<sub>1</sub>, BC<sub>1</sub>A<sub>1</sub> и CA<sub>1</sub>B<sub>1</sub> равновелики. Какую часть площади ABC составляет площадь треугольника A<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C<sub>1</sub> при условии, что последний - прямоугольный? |
| - | В треугольнике ABC, отличном от прямоугольного, проведены высоты AE и CF, пересекающиеся в точке H. Через точки A и H проведены перпендикуляры к EF, пересекающие прямую BC в точках K и L. | + | [[problem 231|Решение задачи ММ231]] |
| - | Найти KL, если радиус окружности, вписанной в треугольник ABC равен r, а BC = a. | + | |
| - | + | ||
| - | [[problem_157|Решение задачи 157]] | + | |
| ---- | ---- | ||
| + | =====Терминология ММ228-230===== | ||
| + | Несколько (не менее трех) прямых на плоскости называются **прямыми общего положения**, если любые 3 их них высекают треугольник. На рисунке 1 представлены 7 прямых общего положения. | ||
| - | ===== ММ156 ===== | + | {{ :marathon:mm228-230.png |}} |
| - | + | ||
| - | **Kонкурсная задача ММ156 (ТГ-3)** (5 баллов) | + | **Внешним контуром** конфигурации n прямых общего положения назовем многоугольник, высекаемый данными прямыми. На рисунке 1 это красный девятиугольник ABCDEFGHJ.\\ |
| - | + | **Внешним циклом** конфигурации назовем список количеств вершин внешних областей конфигурации, перечисленных в порядке обхода этих областей (направление и начало обхода не важны). Внешний цикл конфигурации, представленной на рисунке 1: (1, 2, 3, 3, 1, 3, 1, 5, 1, 2, 2, 2, 2, 2). \\ | |
| - | На занятии по дискретной математике на доске был изображен некоторый граф. | + | **Выпуклыми вершинами** внешнего контура назовем вершины, в которых углы меньше развернутого. На рисунке 1 выпуклыми вершинами являются A, C, E, J.\\ |
| - | Вася Пупкин записал в тетрадку количество вершин и ребер каждой связной компоненты графа, а также степени вершин самой большой (по количеству вершин) компоненты. | + | **Обратными вершинами** назовем вершины внешнего контура, углы при которых больше развернутого. На рисунке 1 это вершины B, D, F, G, H.\\ |
| - | Но само изображение графа он срисовать забыл. Кроме того, он забыл, за какую именно из вышеперечисленных характеристик отвечает каждое из записанных чисел. | + | **Элементарными отрезками** назовем отрезки, концы которых являются соседним точками пересечения одной из прямых конфигурации с другими прямыми. Отрезок CD на рисунке 1 элементарен, а отрезок BC – нет.\\ |
| - | Сможет ли Вася решить домашнее задание "Найти диаметры каждой связной компоненты", если у него в тетрадке записаны числа: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 9? | + | **Элементарными многоугольниками** назовем многоугольники, стороны которых являются элементарными отрезками (одна сторона – один отрезок). Например, треугольник DEF на рисунке 1 элементарен, а треугольник BCD – нет.\\ |
| - | + | **Впадиной** назовем участок внешнего контура между двумя соседними выпуклыми вершинами, содержащий хотя бы одну обратную вершину. Конфигурация, изображенная на рисунке 1 имеет 3 впадины ABC, CDE и EFGHJ.\\ | |
| - | [[problem_156|Решение задачи 156]] | + | **Вектором граней** конфигурации назовем упорядоченный набор из n-2 чисел (где n – количество прямых), первое из которых равно количеству элементарных треугольников, второе – количеству элементарных четырехугольников и т. д. Вектор граней конфигурации, представленной на рисунке 1 – [6, 8, 1, 0, 0]. |
| ---- | ---- | ||
| + | ===== ММ230 ===== | ||
| + | |||
| + | **Конкурсная зхадача ММ230** (15 баллов) | ||
| - | ===== ММ155 ===== | + | Может ли вектор граней конфигурации нескольких прямых общего положения начинаться с чисел 157, 5250, 52? |
| - | **Конкурсная задача ММ155** (4 балла) | + | [[problem 230|Решение задачи ММ230]] |
| - | + | ||
| - | Существует ли цепочка из 1000 последовательных натуральных чисел, каждое из которых имеет не менее 1000 натуральных делителей? | + | |
| - | + | ||
| - | [[problem_155|Решение задачи 155]] | + | |
| ---- | ---- | ||
| + | ===== ММ229 ===== | ||
| + | |||
| + | **Конкурсная задача ММ229** (7 баллов) | ||
| - | ===== ММ154 ===== | + | Петя нарисовал на доске несколько прямых общего положения так, что все попарные точки пересечения прямых попали на чертеж.\\ |
| + | Вася выписал себе в тетрадь внешний цикл возникшей конфигурации: (1, 4, 3, 1, 4, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 4, 2, 1, 3). \\ | ||
| + | После этого Петя стер рисунок. Сможет ли Вася восстановить:\\ | ||
| + | 1) количество прямых;\\ | ||
| + | 2) количество элементарных многоугольников:\\ | ||
| + | 3) количество выпуклых вершин;\\ | ||
| + | 4) количество элементарных отрезков, ограничивающих внешний контур;\\ | ||
| + | 5) количество сторон выпуклой оболочки внешнего контура;\\ | ||
| + | 6) суммарное число сторон элементарных многоугольников;\\ | ||
| + | 7) количество обратных вершин;\\ | ||
| + | 8) количество впадин;\\ | ||
| + | 9) количество сторон внешнего контура? | ||
| - | **Конкурсная задача ММ154** (5 баллов) | + | Примечание: Вася – умный. |
| - | + | ||
| - | Математик D предложил математикам A, B и C следующую задачку: | + | |
| - | + | ||
| - | Я загадал два натуральных числа (не обязательно различных), каждое из которых не превосходит 20. | + | |
| - | Сейчас я сообщу A сумму квадратов, B - произведение, а C - сумму этих чисел, а вы должны будете отгадать эти числа. | + | |
| - | Узнав предназначенную информацию математики разговорились.\\ | + | |
| - | A: Я не знаю этих чисел.\\ | + | |
| - | B: Я тоже их не знаю.\\ | + | |
| - | C: И я не знаю.\\ | + | |
| - | B: Тогда я их знаю.\\ | + | |
| - | C: А я не знаю.\\ | + | |
| - | А: Зато я узнал их еще до того, как ты в первый раз это сказал. | + | |
| - | + | ||
| - | Что это за числа? | + | |
| - | + | ||
| - | [[problem_154|Решение задачи 154]] | + | |
| + | [[problem 229|Решение задачи ММ229]] | ||
| ---- | ---- | ||
| + | ===== ММ228 ===== | ||
| + | |||
| + | **Конкурсная задача ММ228** (4 балла) | ||
| - | ===== MM153 ===== | + | Какое наименьшее число элементарных четырехугольников может быть в конфигурации из семи прямых общего положения? |
| - | + | ||
| - | ** Конкурсная задача ММ153 (ТГ-2)** (4 балла) | + | |
| - | + | ||
| - | Пусть n, m и k означают соответственно число вершин, ребер и связных компонент графа. | + | |
| - | Какое наименьшее количество изолированных вершин может иметь граф, для которого выполняется соотношение 11k = 10n = 8m? | + | |
| - | + | ||
| - | [[problem_153|Решение задачи 153]] | + | |
| + | [[problem 228|Решение задачи ММ228]] | ||
| ---- | ---- | ||
| + | ===== ММ227 ===== | ||
| + | |||
| + | **Конкурсная зхадача ММ227** (7 баллов) | ||
| - | ===== ММ152 ===== | + | Пусть <m>n = {p_1}^{a_1}{p_2}^{a_2}...{p_s}^{a_s}</m> - каноническое разложение n. Обозначим через sopf(n) число <m>p_1+p_2+...p_s</m>.\\ |
| - | + | Назовем натуральное число k слабым, если уравнение x = k*sopf(x) неразрешимо в натуральных числах, и сильным в противном случае.\\ | |
| - | **Конкурсная задача ММ152 **(6 баллов) | + | Доказать, что сильных чисел бесконечно много.\\ |
| - | + | Найти наименьшее слабое число.\\ | |
| - | Сколькими способами можно разрезать квадрат на 10 квадратов. | + | Доказать, что слабых чисел бесконечно много. |
| - | Два разрезания считаются неразличимыми, если в итоге получится поровну квадратов каждого размера. | + | |
| - | + | ||
| - | [[problem_152|Решение задачи 152]] | + | |
| + | [[problem 227|Решение задачи ММ227]] | ||
| ---- | ---- | ||
| - | ===== ММ151 ===== | + | ===== ММ226 ===== |
| + | |||
| + | **Конкурсная зхадача ММ226** (5 баллов) | ||
| - | **Конкурсная задача ММ151 (ТГ-1)** (4 балла) | + | Назовем натуральное число n счастливым, если оно является точной седьмой степенью, а седьмой (при упорядочении по возрастанию) натуральный делитель n равен количеству натуральных делителей n. |
| - | + | А есть ли, вообще, счастье в жизни? В смысле, существуют ли счастливые числа? | |
| - | Каждая клетка доски 4х4 покрашена либо в черный, либо в белый цвет. | + | |
| - | На множестве клеток задана структура графа. Две клетки смежны, если: они одного цвета; у них одинаковое число соседей каждого цвета. (Соседними считаются клетки имеющие общую сторону.) | + | |
| - | Какое наименьшее и наибольшее количество ребер может иметь такой граф, если:\\ | + | |
| - | а) количество клеток одного цвета может быть любым;\\ | + | |
| - | б) черных и белых клеток поровну? | + | |
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | [[problem_151|Решение задачи 151]] | + | |
| + | [[problem 226|Решение задачи ММ226]] | ||
| ---- | ---- | ||
| - | ===== Терминология к задачам ММ145,146,147,150 ===== | ||
| - | В задачах КГ12 - КГ15 будем придерживаться следующих определений и обозначений: | + | =====ММ225===== |
| - | Под многоугольником мы будем понимать плоскую замкнутую несамопересекающуюся ломаную, никакие три последовательные вершины которой не коллинеарны. Число сторон исходного многоугольника обозначим через n. | + | **Конкурсная задача ММ225** (6 баллов) |
| - | Назовем сторону многоугольника свободной, если продолжение этой стороны за каждую ограничивающую ее вершину в некоторой окрестности этой вершины лежит вне многоугольника. | + | |
| - | Назовем сторону полусвободной, если вне многоугольника лежит продолжение стороны ровно за одну из двух ограничивающих ее вершин. Сторону, не являющуюся ни свободной, ни полусвободной, будем называть зажатой. Например, сторона AB (рис. 1), является свободной, сторона BC - полусвободной, а сторона EF - зажатой. | + | |
| - | Диагональ, все точки которой принадлежат многоугольнику, будем называть внутренней. Диагональ, не имеющую с многоугольником общих точек, за исключением вершин, которые она соединяет, будем называть внешней. Например, диагональ BF (рис. 1) - внутренняя, а диагональ BD - внешняя (диагональ BE не является ни внешней, ни внутренней). | + | |
| - | {{:marathon:pict_1_scs.jpg|:marathon:pict_1_scs.jpg}} | + | Найти все значения параметра a, при которых уравнение (2a+3)x<sup>2</sup> + xa + 3a - 1 = 0 имеет два целых корня. |
| - | ---- | + | |
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | ===== ММ150 ===== | + | |
| - | + | ||
| - | **Конукрсная задача ММ150 (КГ15)** (12 баллов) | + | |
| - | + | ||
| - | Каждому n-угольнику поставим в соответствие ожерелье из n бусин белого, зеленого и красного цветов следующим образом: свободой стороне соответствует белая бусина; полусвободной - зеленая; зажатой - красная. | + | |
| - | Два n-угольника назовем эквивалентными, если им соответствуют одинаковые ожерелья (ожерелье не меняется при поворотах и переворачивании). На сколько классов эквивалентности разобьются 20-угольники? | + | |
| - | + | ||
| - | [[problem_150|Решение задачи 150]] | + | |
| + | [[problem 225|Решение задачи ММ225]] | ||
| ---- | ---- | ||
| + | =====ММ224===== | ||
| + | **Конкурсная задача ММ224** (6 баллов) | ||
| - | ===== ММ149 ===== | + | В задаче, которую задали на дом Пете и Васе, требовалось найти площади треугольников, на которые разбивается исходный треугольник ABC трисектрисами, проведенными из вершины C. При сверке ответов у Пети и Васи совпали значения двух площадей: 2 и 4. Третья площадь у Пети оказалась равной 10, а у Васи - 20. Найти угол С, если известно, что один из учеников получил за домашнее задание пятерку. |
| - | + | ||
| - | **Конкурсная задача ММ149** (8 баллов) | + | |
| - | + | ||
| - | При каком наименьшем n в группе перестановок S<sub>n</sub> существует подгруппа порядка 253? Привести пример такой подгруппы. | + | |
| - | + | ||
| - | [[problem_149|Решение задачи 149]] | + | |
| + | [[problem 224|Решение задачи ММ224]] | ||
| ---- | ---- | ||
| + | =====ММ223===== | ||
| + | **Конкурсная задача ММ223** (6 баллов) | ||
| + | Рассмотрим две задачки. | ||
| + | 1. Вася получил за четверть 5 оценок по географии. Ему удалось незаметно исправить в журнале первую из них с тройки на пятерку. Выставляя итоговую оценку, учительница находит среднюю оценку и округляет ее до целой. Какова вероятность, что Васина оценка за четверть повысится при условии, что учительница не выявит подлога, а все допустимые упорядоченные наборы оценок равновероятны? | ||
| + | 2. Вася получил за четверть 5 оценок по географии. Ему удалось незаметно исправить в журнале первую попавшуюся из них с тройки на пятерку. Выставляя итоговую оценку, учительница находит среднюю оценку и округляет ее до целой. Какова вероятность, что Васина оценка за четверть повысится при условии, что учительница не выявит подлога, а все допустимые упорядоченные наборы оценок равновероятны? | ||
| - | ===== ММ148 ===== | + | Какое из условий выгоднее для жуликоватого Васи? |
| - | + | ||
| - | **Конкурсная задача ММ148** (8 баллов) | + | |
| - | + | ||
| - | Сколько внутренних диагоналей может иметь n-угольник? | + | |
| - | [[problem_148|Решение задачи 148]] | + | Примечание: Был ли журнал электронным – не важно. Но важно, что колы не ставим: разрешается использовать только оценки 2, 3, 4, 5 |
| + | [[problem 223|Решение задачи ММ223]] | ||
| ---- | ---- | ||
| + | =====ММ222===== | ||
| + | **Конкурсная задача ММ222** (6 баллов) | ||
| + | На доске написано 10 попарно различных натуральных чисел. После того как 5 из этих чисел разделили на 5, а другие 5 умножили на 5 возникли 10 попарно различных натуральных чисел, отличных от исходных. При этом сумма новых чисел оказалась в 3 раза больше суммы исходных. | ||
| + | Пусть n - наименьшее возможное значение наибольшего из исходных чисел, для которых возможна описанная ситуация. | ||
| + | Сколько существует различных наборов исходных чисел с наибольшим числом n+1? | ||
| - | ===== ММ147 ===== | + | [[problem 222|Решение задачи ММ222]] |
| - | + | ||
| - | **Конкурсная задача ММ147 (КГ13)** (6 баллов) | + | |
| - | + | ||
| - | Какое наименьшее число внутренних диагоналей может иметь n-угольник, у которого ровно один угол больше развернутого? | + | |
| - | + | ||
| - | [[problem_147|Решение задачи 147]] | + | |
| ---- | ---- | ||
| + | =====ММ221===== | ||
| + | **Конкурсная задача ММ221** (4 балла) | ||
| + | Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение 3x<sup>4</sup> + 2y<sup>3</sup> = 37<sup>z</sup> ? | ||
| - | + | [[problem 221|Решение задачи ММ221]] | |
| - | ===== ММ146 ====== | + | |
| - | + | ||
| - | **Конкурсная задача ММ146** (4 балла) | + | |
| - | + | ||
| - | При каких D существуют графы диаметра D, у которых сумма квадратов степеней вершин равна D<sup>2</sup>? | + | |
| - | + | ||
| - | [[problem_146|Решение задачи 146]] | + | |
| ---- | ---- | ||
| Строка 644: | Строка 529: | ||
| - | ===== ММ145 ===== | + | =====ММ220===== |
| - | **Конкурсная задача ММ145 (КГ12** (3 балла) | + | **Конкурсная задача ММ220** (15 баллов) |
| - | Сколько внешних диагоналей может иметь n-угольгик? | + | Найти наименьшее v такое, что существует многогранник, имеющий v вершин и 2016 диагоналей, а многогранника, имеющего v+1 вершину и 2016 диагоналей, не существует. |
| - | + | [[problem 220|Решение задачи ММ220]] | |
| - | [[problem_145|Решение задачи 145]] | + | |
| ---- | ---- | ||
| + | =====ММ219===== | ||
| - | ===== ММ144 ===== | + | **Конкурсная задача ММ219** (8 баллов) |
| - | ** Конкурсная задача ММ144 **(5 баллов) | + | Какое наибольшее количество диагоналей может иметь одиннадцатигранник? |
| - | + | ||
| - | На поле e4 стоит чёрный король. Первый игрок ставит на любую клетку доски, не находящуюся под боем чёрного короля, белых королей (по одному за ход). Второй игрок делает (правильный) ход чёрным королём. Игра заканчивается, когда у чёрного короля не будет ходов. Каково минимальное количество ходов, за которое первый игрок может достичь цели? | + | |
| - | + | ||
| - | [[problem_144|Решение задачи 144]] | + | |
| + | [[problem 219|Решение задачи ММ219]] | ||
| ---- | ---- | ||
| + | =====ММ218===== | ||
| + | **Конкурсная задача ММ218** (5 баллов) | ||
| + | Найти наименьшее возможное количество диагоналей многогранника, имеющего 2017 ребер. | ||
| - | ===== ММ143 ===== | ||
| - | |||
| - | **Конкурсная задача ММ143 (КГ11)** (4 балла) | ||
| - | |||
| - | Девять из десяти ребер пятиугольной пирамиды имеют длину 1. В каком диапазоне может изменяться длина 10-го ребра? | ||
| - | |||
| - | [[problem_143|Решение задачи 143]] | ||
| + | [[problem 218|Решение задачи ММ218]] | ||
| ---- | ---- | ||
| + | =====ММ217===== | ||
| + | **Конкурсная задача ММ217** (6 баллов) | ||
| - | ===== ММ142 ===== | + | Диагонали AC<sub>1</sub> и BD<sub>1</sub> шестигранника ABCDA<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C<sub>1</sub>D<sub>1</sub>, все грани которого четырехугольны, пересекаются в точке O. Могут ли остальные пары диагоналей скрещиваться? |
| - | + | ||
| - | **Конкурсная задача ММ142** (4 балла) | + | |
| - | + | ||
| - | Все 80 натуральных делителей натурального числа n расположили в порядке возрастания. Оказалось, делители с первого по четвертый образуют геометрическую прогрессию, делители с четвертого по седьмой - арифметическую прогрессию, а восьмой делитель меньше 200. | + | |
| - | Найти n. | + | |
| - | + | ||
| - | [[problem_142|Решение задачи 142]] | + | |
| + | [[problem 217|Решение задачи ММ217]] | ||
| ---- | ---- | ||
| + | =====ММ216===== | ||
| + | **Конкурсная задача ММ216** (10 баллов) | ||
| - | ===== ММ141 ===== | + | Назовем натуральное число n красивым, если наименьшее натуральное число, имеющее ровно n натуральных делителей, кратно n.\\ |
| - | + | 1. Доказать, что все праймориалы красивы.\\ | |
| - | **Конкурсная задача ММ141** (3 балла) | + | 2. Верно ли, что все факториалы красивы?\\ |
| - | + | 3. Сколько существует красивых чисел вида k<sup>7</sup>, где k - некоторое натуральное число?\\ | |
| - | Существуют ли натуральные числа n>1 такие, что σ(σ(n))<1.000000001n? (σ(n) - сумма натуральных делителей числа n.) | + | 4. Сколько существует красивых чисел вида 7<sup>k</sup>, где k - некоторое натуральное число? |
| - | + | ||
| - | [[problem_141|Решение задачи 141]] | + | |
| + | [[problem 216|Решение задачи ММ216]] | ||
| ---- | ---- | ||
| - | ===== ММ140 ===== | + | =====ММ215===== |
| - | + | ||
| - | Задача ММ140 навеяна вот этой: http://e-science.ru/forum/index.php?showtopic=26362 \\ | + | |
| - | + | ||
| - | + | ||
| - | **Конкурсная задача ММ140** (10 баллов) | + | |
| - | + | ||
| - | На квадратной площади, разлинованной на nxn клеток (полей) собрались n<sup>2</sup> человек, каждый из которых является либо рыцарем (всегда говорят правду), либо лжецом (всегда лгут). Каждый расположился на отдельном поле. После этого каждый произнес: "Среди моих соседей поровну рыцарей и лжецов". Какова наибольшая возможная доля рыцарей среди собравшихся? | + | |
| - | Примечания:\\ | + | **Конкурсная задача ММ215** (4 балла) |
| - | n>1;\\ | + | |
| - | Соседними считаются поля, имеющие общую сторону;\\ | + | |
| - | Каждый из собравшихся знает, кем являются его соседи. | + | |
| - | [[problem_140|Решение задачи 140]] | + | На какое наименьшее количество тетраэдров можно разрезать шестиугольную призму? |
| + | [[problem 215|Решение задачи ММ215]] | ||
| ---- | ---- | ||
| + | =====ММ214===== | ||
| - | ===== ММ139 ===== | + | **Конкурсная задача ММ214** (4 балла) |
| - | Задача ММ139 является развитием идеи задачи Кузнецова Сергея Тихоновича. | + | 1. Все грани многогранника - n-угольники. При каких n это возможно?\\ |
| - | Оценка за решение этой задачи будет учитываться дважды: в основном Марафоне и в тематическом конкурсе. | + | 2. При каком наименьшем числе граней существует многогранник, все грани которого пятиугольны? |
| - | + | ||
| - | **Конкурсная задача ММ139 (МИ5)** (7 баллов) | + | |
| - | + | ||
| - | Кнопки калькулятора расположены так, как на цифровой клавиатуре:\\ | + | |
| - | {{:marathon:mm_139.jpg|:marathon:mm_139.jpg}}\\ | + | |
| - | Назовём смежными те кнопки, которые имеют общую сторону или отрезок стороны (клавиша 0 смежна с клавишами 1 и 2). | + | |
| - | Вначале на индикаторе число 0. Начинает игру Петя, прибавляя к нему любое (им выбранное) число от 0 до 9. Затем Вася прибавляет в полученному числу слагаемое, находящееся на смежной кнопке с той, которую нажимал Петя. Затем Петя делает свой ход, прибавляя число, смежное с нажатым Васей и т.д. Игра заканчивается, когда после очередного действия на индикатор появится некоторое наперёд заданное число N (N>10). | + | |
| - | Для каких N наибольшее число вариантов первого хода Пети приведёт его в дальнейшем к победе? | + | |
| - | + | ||
| - | Примечание: Игра заканчивается, когда после очередного действия на индикаторе появится некоторое наперёд заданное число N (N>10). Если же некоторым ходом получено число, более N, игрок, сделавший такой ход, проигрывает. | + | |
| - | + | ||
| - | [[problem_139|Решение задачи 139]] | + | |
| + | [[problem 214|Решение задачи ММ214]] | ||
| ---- | ---- | ||
| + | =====ММ213===== | ||
| - | ===== ММ138 ===== | + | **Конкурсная задача ММ213** (4 балла) |
| - | **Конкурсная задача ММ138** (6 баллов) | + | 1. Пусть H = {h<sub>1</sub>, h_2,..., h<sub>f</sub>} , где f - количество граней, а h<sub>i</sub> - число сторон i -й грани. Какое наименьшее значение может принимать f-|H| ?\\ |
| - | + | 2. Пусть g<sub>i</sub> означает число i-угольных граней многогранника для каждого значения i . Могут ли все g<sub>i</sub> не превышать 2? | |
| - | Доказать, что для любого натурального k найдутся натуральные a, n и g, такие что для всех i из {0,1,... ,k-1} | + | |
| - | в системе счисления с оcнованием g+i, число a является n-i-значным. | + | |
| - | + | ||
| - | [[problem_138|Решение задачи 138]] | + | |
| + | [[problem 213|Решение задачи ММ213]] | ||
| ---- | ---- | ||
| + | =====ММ212===== | ||
| + | **Конкурсная задача ММ212** (4 балла) | ||
| - | ===== ММ137 ===== | + | Доказать, что любой многогранник, имеющий 2016 вершин, может быть разрезан на 4030 тетраэдров. |
| - | Оценка за решение задачи ММ137 учитывается дважды: в основном Марафоне | + | **Решение** |
| - | и в тематическом конкурсе. | + | |
| - | + | ||
| - | **Конкурсная задача ММ137 (МИ4)** (6 баллов) | + | |
| - | + | ||
| - | Шашки двух игроков стоят на противоположный полях прямоугольника 1x(N+2), между ними N клеток. Начальная скорость каждой шашки равна 1. | + | |
| - | Каждый ходом игрок может или передвинуть свою шашку в сторону противника на величину, равную текущей скорости или увеличить скорость на 1 и передвинуть шашку в этом направлении уже на величину увеличенной скорости. | + | |
| - | Выигрывает тот, кто поставит свою шашку на шашку противника или перепрыгнет через неё. | + | |
| - | Для каких натуральных N, не превосходящих 100, выиграет второй игрок? | + | |
| - | + | ||
| - | [[problem_137|Решение задачи 137]] | + | |
| + | [[problem 212|Решение задачи ММ212]] | ||
| ---- | ---- | ||
| + | =====ММ211===== | ||
| + | **Конкурсная задача ММ211** (3 балла) | ||
| - | ===== ММ136 ===== | + | Доказать, что при любом четном f > 4 существует многогранник, имеющий f граней, все грани которого четырехугольники. |
| - | + | ||
| - | Оценка за решение задачи ММ136 учитывается дважды: в основном Марафоне и в тематическом конкурсе. | + | |
| - | + | ||
| - | **Конкурсная задача ММ136 (МИ3)** (5 баллов) | + | |
| - | + | ||
| - | На столе в открытую лежит 16 карт: 4 туза (считаются за 1 очко), 4 двойки, 4 тройки и 4 четвёрки. Петя и Вася по очереди берут оттуда по одной карте и складывают в отдельную стопку (общую). Выигрывает тот, после чьего хода сумма очков в этой стопке составит 21 очко (или заставивший соперника своим ходом превысить это значение). Петя начинает игру. Кто победит в игре и какой стратегии он должен придерживаться (как реагировать на ходы соперника)? | + | |
| - | + | ||
| - | [[problem_136|Решение задачи 136]] | + | |
| + | [[problem 211|Решение задачи ММ211]] | ||
| ---- | ---- | ||
| + | ===== ММ210 ===== | ||
| + | **Конкурсная задача ММ210** (13 баллов) | ||
| + | 1. Пусть М = {h<sub>a</sub>, h<sub>b</sub>, h<sub>c</sub>, b<sub>a</sub>, b<sub>b</sub>, b<sub>c</sub>, m<sub>a</sub>, m<sub>b</sub>, m<sub>c</sub>} - множество, состоящее из величин высот, биссектрис, и медиан некоторого треугольника. Сколько элементов может быть в M?\\ | ||
| + | 2. Пусть в разностороннем треугольнике ABC (a < b < c) и множество М из п.1 содержит 9 элементов. Соответствующие числа расположили в порядке возрастания. Сколько различных упорядочиваний может при этом получится?\\ | ||
| + | 3. Тот же вопрос для случая, когда среди чисел {h<sub>a</sub>, h<sub>b</sub>, h<sub>c</sub>, b<sub>a</sub>, b<sub>b</sub>, b<sub>c</sub>, m<sub>a</sub>, m<sub>b</sub>, m<sub>c</sub>} могут быть одинаковые. (В этом случае полагаем a ≤ b ≤ c и рассматриваем строгое упорядочивание классов одинаковых величин. Перестановки внутри класса не важны.) | ||
| - | ===== ММ135 ===== | + | Примечание.\\ |
| - | + | Получить ответ для каждого из случаев:\\ | |
| - | **Конкурсная задача ММ135** (4 балла) | + | 1) рассматриваются только невырожденные треугольники;\\ |
| - | + | 2) допускаются вырожденные треугольники (все вершины лежат на одной прямой). | |
| - | Конечно ли множество пар натуральных чисел (a,b), таких что остатки от деления a<sup>2</sup> на b и b<sup>2</sup> на a равны по 2011? | + | |
| - | + | ||
| - | [[problem_135|Решение задачи 135]] | + | |
| + | [[problem_210|Решение задачи 210]] | ||
| ---- | ---- | ||
| + | =====ММ209===== | ||
| + | **Конкурсная задача ММ209** (9 баллов) | ||
| - | ===== ММ134 ===== | + | Эта задача прямое продолжение задач ММ29 и ММ39 |
| - | Оценка за решение задачи ММ134 учитывается дважды: в основном Марафоне и в тематическом конкурсе. | + | Назовем натуральное число a третькубом, по основанию g, если дважды приписав в g-ичной системе a к себе получим полный куб. Доказать, что существует бесконечно много оснований g, для которых есть третькубы. |
| - | + | ||
| - | **Конкурсная задача ММ134 (МИ2)** (4 балла) | + | |
| - | + | ||
| - | Позицией в игре является конечное множество чисел, записанных в двоичной системе счисления. Игроки по очереди разбивают одно из чисел этого множества на части так, чтобы выполнялись два правила: | + | |
| - | 1) оба полученных числа должны начинаться с единицы; | + | |
| - | 2) хотя бы одно из них должно заканчиваться нулём. | + | |
| - | Например, 1101 можно разбить только на 110 и 1, а 11010 - на 1 и 1010 или на 110 и 10. | + | |
| - | + | ||
| - | Проигрывает тот игрок, кто не сможет сделать ход согласно правилам. | + | |
| - | + | ||
| - | Кто выиграет, если игра начнётся с числа (2011)<sub>10</sub>=(11111011011)<sub>2</sub>? | + | |
| - | + | ||
| - | [[problem_134|Решение задачи 134]] | + | |
| + | [[problem_209|Решение задачи 209]] | ||
| ---- | ---- | ||
| + | =====ММ208===== | ||
| - | ===== ММ133 ===== | + | **Конкурсная задача ММ208** (7 баллов) |
| - | Оценка за решение задачи ММ133 учитывается дважды: в основном Марафоне и в тематическом конкурсе. | + | От двух до пяти. |
| - | **Конкурсная задача ММ133 ** (3 балла) | + | Найти наименьшее натуральное число, представимое в виде суммы пяти натуральных слагаемых не менее чем четырьмя способами, таким образом, что любые три слагаемых взаимно просты, а любые два не взаимно просты,. |
| - | + | ||
| - | На столе лежит N спичек. Петя и Вася поочерёдно берут оттуда от 1 до 5 спичек, однако нельзя повторять число, взятое соперником на предыдущем ходу. Выигрывает тот, кто забирает последнюю спичку. Начинает Петя, своим первым ходом может взять любое количество от 1 до 5. Найдите общий вид чисел N, при которых партию выиграет Вася. | + | |
| - | + | ||
| - | [[problem_133|Решение задачи 133]] | + | |
| + | [[problem_208|Решение задачи 208]] | ||
| ---- | ---- | ||
| + | =====ММ207===== | ||
| - | ===== ММ132 ===== | + | **Конкурсная задача ММ207** (13 баллов) |
| - | + | ||
| - | **Конкурсная задача ММ132 ** (5 баллов) (Здравствуй 2011-й) | + | |
| - | + | ||
| - | Граф G=<V,E> задан на множестве V = {1, 2,..., 2011} по правилу: {x,y} ∈ E <=> |x-y| > a , где a - фиксированное натуральное число, меньшее 1006.\\ | + | |
| - | Сколько периферийных вершин может иметь граф G? | + | |
| - | Примечание: Вершина графа называется периферийной, если ее эксцентриситет равен диаметру графа. | + | Задача ММ207 является прямым продолжением задач ММ77 и ММ206 |
| - | [[problem_132|Решение задачи 132]] | + | Обозначим через A(a,d) максимально возможное количество последовательных натуральных чисел таких, что первое из имеет ровно a натуральных делителей, второе - a+d, третье - a+2d и т.д. (иными словами, количества делителей последовательных чисел образуют арифметическую прогрессию с первым членом a и разностью d).\\ |
| + | 1) найти наибольшее возможное значение A(n,1);\\ | ||
| + | 2) найти наибольшее возможное значение A(n,3);\\ | ||
| + | 3) найти A(2,2);\\ | ||
| + | 4) найти A(4,2);\\ | ||
| + | 5) доказать, что при подходящем n A(n,2) ≥ 8. | ||
| + | [[problem_207|Решение задачи 207]] | ||
| ---- | ---- | ||
| + | =====ММ206===== | ||
| - | ===== ММ131 ===== | + | **Конкурсная задача ММ206** (11 баллов) |
| - | ** Конкурсная задача ММ131 ** (3 балла) //(Прощай 2010-й)// | + | Задача ММ206 является прямым продолжением задачи ММ77 |
| - | Граф G=<V,E> задан на множестве V = {1, 2, ..., 2010} по правилу: {x,y} ∈ E <=> x+y = a или x+y = b, где a и b - фиксированные натуральные числа. | + | Каждое из n натуральных чисел, идущих подряд, имеет ровно k натуральных делителей. Какое наибольшее значение может принимать n, если\\ |
| - | При каких a и b, граф G:\\ | + | 1) k = 18;\\ |
| - | а) связен;\\ | + | 2) k = 20;\\ |
| - | б) является деревом;\\ | + | 3) k = 22;\\ |
| - | в) является цепью;\\ | + | 4) k = 202. |
| - | г) имеет циклы? | + | |
| - | [[problem_131|Решение задачи 131]] | + | Замечание: Относительно скромное количество призовых баллов за эту задачу обусловлено тем, что при ее решении можно воспользоваться не только решением ММ77, но и результатами статьи, на которую есть ссылка в обсуждении. |
| + | [[problem_206|Решение задачи 206]] | ||
| ---- | ---- | ||
| - | ===== ММ130 ===== | + | =====ММ205===== |
| - | **Конкурсная задача ММ130** | + | **Конкурсная задача ММ205** (7 баллов) |
| - | Комната имеет форму прямоугольного параллелепипеда шириной a, высотой b и длиной c. На стене aхb сидит таракан. | + | Вася выписывает в порядке возрастания натуральные числа, имеющие по 2016 натуральных делителей. На каком шаге он впервые выпишет число, не кратное 2016? |
| - | Он находится на расстоянии a/2 от смежной стены и на расстоянии x от потолка, x ≤ b/2 и хочет попасть в точку, | + | |
| - | симметричную исходной относительно центра параллелепипеда. | + | |
| - | + | ||
| - | Для некоторых значений a, b, c кратчайший путь между этими точками будет проходить через одну и ту же | + | |
| - | последовательность граней при любом x, 0 ≤ x ≤ b/2. Для каждой такой последовательности граней приведите | + | |
| - | пример тройки a, b, c. | + | |
| - | + | ||
| - | Примечание: термин "кратчайший путь" означает путь, для которого нельзя найти путь, более короткий. | + | |
| - | + | ||
| - | [[problem_130|Решение задачи 130]] | + | |
| + | [[problem_205|Решение задачи 205]] | ||
| ---- | ---- | ||
| - | ===== ММ129 ===== | ||
| - | **Конкурсная задача ММ129** | + | =====ММ204===== |
| - | Будем заполнять бесконечный клетчатый лист бумаги натуральными числами по спирали (каждый следующий виток начинается на вертикали, в которой стоит единица): | + | **Конкурсная задача ММ204** (5 баллов) |
| - | {{:marathon:mm_129.jpg|:marathon:mm_129.jpg}} | + | Найти натуральное число, которое в трех различных системах счисления записывается 102, 201 и 20001 соответственно. |
| - | + | ||
| - | Для каждого числа найдём восемь модулей разности его с соседями (по вертикали, горизонтали и диагонали). Количество простых чисел среди этих восьми назовем индексом простоты окружения исходного сила. | + | |
| - | Какое наибольшее значение может принимать индекс простоты окружения? | + | |
| - | Для скольких чисел достигается это значение? | + | |
| - | + | ||
| - | [[problem_129|Решение задачи 129]] | + | |
| + | [[problem_204|Решение задачи 204]] | ||
| ---- | ---- | ||
| - | ===== Терминология ММ 121, ММ122,ММ125, ММ127, ММ128 ===== | ||
| - | В рамках 13-го тура, как обычно, проводился тематический конкурс. | + | =====ММ203===== |
| - | Он являлся прямым продолжением тематического конкурса из 11-го тура. | + | |
| - | Его тематика - комбинаторная геометрия. | + | |
| - | Более того, тематические задачи тура, как и задачи ММ57, ММ101, ММ102, ММ103, ММ104 и ММ120, так или иначе связаны с выпуклыми многоугольниками. | + | **Конкурсная задача ММ203** (5 баллов) |
| - | Ниже приведен ряд определений и обозначений, используемых в задачах тематического конкурса. | + | |
| - | Число сторон исходного выпуклого многоугольника всегда обозначается через n (если иное не оговорено в конкретной задаче). | + | Единичный квадрат разрезали на 5 равновеликих фигур отрезками, параллельными диагоналям. Найти наименьшую возможную суммарную длину этих отрезков. |
| - | Исхоный многоугольник разбивается своими диагоналями на элементарные.\\ | + | |
| - | Точка внутри многоугольника называется особой (полюсом), если в ней пересекаются не менее трех диагоналей. | + | |
| - | Если в особой точке пересекаются k диагоналей, то она является полюсом порядка k-2. | + | |
| - | Многоугольник без особых точек будем называть ординарным, иначе - особенным.\\ | + | |
| - | Структурным графом выпуклого многоугольника будем называть граф, вершинами которого служат вершины и точки пересечения диагоналей исходного многоугольника, а ребрами - отрезки диагоналей и стороны исходного многоугольника.\\ | + | |
| - | Дуальный граф - граф геометрически двойственный структурному (вершины - грани плоской укладки структурного графа, две вершины смежны, если соответствующие грани имеют общую сторону). | + | |
| - | Сопровождающий граф - дуальный граф без вершины, соответствующей внешней грани.\\ | + | |
| - | Будем называть два выпуклых многоугольника изотопными, если изоморфны их структурные графы. | + | |
| - | В задаче ММ104 было введено понятие изоморфизма многоугольников. Изоморфными назывались многоугольники, сопровождающие графы которых изоморфны. Можно доказать, что два выпуклых многоугольника изоморфны тогда и только тогда, когда они изотопны. Мы не стали предлагать это утверждение в качестве марафонской задачи. Желающие убедиться в его справедливости могут сделать это самостоятельно (или с помощью книжек: см., например, А.А.Зыков. Основы теории графов). | + | |
| - | Пусть n>5. Характеристическим вектором n-угольника будем называть набор s = (s<sub>1</sub>, s<sub>2</sub>, ..., s<sub>m</sub>), где m = [n/2]-2, s<sub>k</sub> - число полюсов порядка k. | + | [[problem_203|Решение задачи 203]] |
| - | Два многоугольники будем называть изополярными, если равны их характеристические векторы.\\ | + | |
| - | Вектором граней многоугольника будем называть набор t = (t<sub>3</sub>, t<sub>4</sub>, ..., t<sub>n</sub>), где t<sub>k</sub> - количество элементарных k-угольников. | + | |
| - | Два многоугольника будем называть однотипными, если равны их векторы граней. | + | |
| - | [[Illustrations_102&Co|Иллюстрации к ММ102 & Co]] | ||
| ---- | ---- | ||
| - | ===== ММ128 ===== | ||
| - | Оценка за решение задачи ММ128 учитывается дважды в основном Марафоне и в тематическом конкурсе. | + | =====ММ202===== |
| - | ** Конкурсная задача ММ128 (КГ-10)** (20 баллов) | + | **Конкурсная задача ММ202** (5 баллов) |
| - | На сколько классов изополярных восьмиугольников разбиваются выпуклые восьмиугольники? | + | При каких значениях параметра a разрешимо уравнение x<sup>2</sup> - a = [x]{x}? |
| - | + | ||
| - | [[problem_128|Решение задачи 128]] | + | |
| + | [[problem_202|Решение задачи 202]] | ||
| ---- | ---- | ||
| + | =====ММ201===== | ||
| - | ===== ММ127 ===== | + | **Конкурсная задача ММ201** (3 балла) |
| - | Оценка за решение задачи ММ127 учитывается дважды в основном Марафоне и в тематическом конкурсе. | + | Для каждого натурального k найти все возможные n, при которых множество {1, 2, ..., n} можно разбить на классы так, что наибольший элемент в каждом классе ровно в k раз больше количества элементов класса. |
| - | ** Конкурсная задача ММ127 (КГ-9)** (12 баллов) | + | [[problem_201|Решение задачи 201]] |
| - | + | ||
| - | Существуют ли однотипные, но не изополярные многоугольники? | + | |
| - | + | ||
| - | [[problem_127|Решение задачи 127]] | + | |
| ---- | ---- | ||
| - | |||
| - | ===== ММ126 ===== | ||
| - | |||
| - | **Конкурсная задача ММ126** (4 балла) | ||
| - | |||
| - | Есть 8 шаров, среди которых 6 заряжены нейтрально, один - положительно и один - отрицательно. Есть прибор, который, будучи поднесённым к группе шаров, покажет их общий заряд (он покажет 0 и если в группе нет ни одного заряженного шара, и если они там оба). | ||
| - | За какое наименьшее число измерений можно найти положительный и отрицательный шары в группе? | ||
| - | |||
| - | [[problem_126|Решение задачи 126]] | ||
| ---- | ---- | ||
| + | * [[ММ61-100|Задачи ММ1-100]] | ||
| + | * [[ММ101-200|Задачи ММ101-200]] | ||
| + | |||
| + | * [[competition out of competition|Конкурс вне конкурса]] | ||
| - | ===== ММ125 ===== | + | * [[addition_56|Приложение к ММ56]] |
| - | + | ||
| - | Оценка за решение задачи ММ125 учитывается дважды в основном Марафоне и в тематическом конкурсе. | + | |
| - | + | ||
| - | **Конкурсная задача ММ125 (КГ-8)** (4 балла) | + | |
| - | + | ||
| - | Верно ли, что группа автоморфизмов структурного графа любого n-угольника изоморфна подгруппе группы диэдра n-й степени? | + | |
| - | + | ||
| - | [[problem_125|Решение задачи 125]] | + | |
| ---- | ---- | ||
| - | |||
| - | |||
| - | ===== ММ124 ===== | ||
| - | |||
| - | **Конкурсная задача ММ124** (4 балла) | ||
| - | |||
| - | Пусть S<sub>n</sub> = 2 + 3 + 5 + 7 +...+ p<sub>n</sub> - сумма n первых простых чисел. | ||
| - | Доказать, что S<sub>n</sub> является простым тогда и только тогда, когда существует такое простое число q, что S<sub>n</sub> + q кратно 2, 3, 5, ..., p<sub>n</sub>. | ||
| - | |||
| - | [[problem_124|Решение задачи 124]] | ||
| - | |||
| - | ---- | ||
| - | |||
| - | |||
| - | |||
| - | |||
| - | ===== ММ123 ===== | ||
| - | |||
| - | **Конкурсная задача MM123** (5 баллов) | ||
| - | |||
| - | Квадратная монета со стороной 1 см бросается случайным образом на лист бумаги, разлинованный квадратными | ||
| - | клетками со стороной 2 см. Какая вероятность того, что монета попадёт целиком в клетку? | ||
| - | |||
| - | [[problem_123|Решение задачи 123]] | ||
| - | |||
| - | ---- | ||
| - | |||
| - | |||
| - | |||
| - | |||
| - | |||
| - | ===== ММ122 ===== | ||
| - | |||
| - | Задача ММ122 является прямым продолжением задачи ММ57. | ||
| - | Оценка за решение задачи ММ122 учитывается дважды в основном Марафоне и в тематическом конкурсе. | ||
| - | |||
| - | ** Конкурсная задача ММ122 (КГ-7) ** (4 балла) | ||
| - | |||
| - | 1. Найти формулу для выражения числа вершин структурного графа с данным характеристическим вектором. \\ | ||
| - | 2. Найти формулу для выражения числа элементарных многоугольников исходного многоугольника с данным характеристическим вектором. | ||
| - | |||
| - | [[problem_122|Решение задачи 122]] | ||
| - | |||
| - | ---- | ||
| - | |||
| - | |||
| - | |||
| - | ===== ММ121 ===== | ||
| - | |||
| - | Задача ММ121 является прямым продолжением задачи ММ104. | ||
| - | Оценка за решение задачи ММ121 учитывается дважды в основном Марафоне и в тематическом конкурсе. | ||
| - | |||
| - | ** Конкурсная задача ММ121 (КГ-6) ** (8 баллов) | ||
| - | |||
| - | 1. На сколько классов однотипных семиугольников разбиваются выпуклые семиугольники? | ||
| - | 2. На сколько классов изотопных семиугольников разбиваются выпуклые семиугольники? | ||
| - | |||
| - | [[problem_121|Решение задачи 121]] | ||
| - | |||
| - | ---- | ||
| - | |||
| - | ===== ММ120 ===== | ||
| - | |||
| - | Задача ММ120 утратила статус конкурсной и может свободно обсуждаться на форуме. | ||
| - | |||
| - | Задача ММ120 продолжает линию задачи ММ57 и тематического конкурса 11-го тура. | ||
| - | |||
| - | **Конкурсная задача ММ120** (7 баллов) | ||
| - | |||
| - | В задаче ММ103 каждому выпуклому многоугольнику был поставлен в соответствие сопровождающий граф: | ||
| - | вершины графа - элементарные многоугольники, на которые разбивается исходный многоугольник своими диагоналями; | ||
| - | две вершины смежны, если соответствующие многоугольники имеют общую сторону. | ||
| - | |||
| - | Найти возможные значения диаметра и радиуса, а также возможные количества периферийных и центральных вершин сопровождающего графа произвольного выпуклого n-угольника. | ||
| - | |||
| - | [[problem_120|Решение задачи 120]] | ||
| - | |||
| - | ---- | ||
| - | |||
| - | |||
| - | |||
| - | ===== ММ119 ===== | ||
| - | |||
| - | Задача ММ119 утратила статус конкурсной и может свободно обсуждаться. | ||
| - | |||
| - | **Конкурсная задача ММ119 (Ш-5)** (8 баллов) | ||
| - | |||
| - | Придумать корректную (т.е. ее можно получить из начальной по всем правилам шахматной игры) позицию, в которой белые дают мат в один ход, как можно бОльшим числом способов. | ||
| - | |||
| - | Примечания:\\ | ||
| - | 1. Корректность позиции обосновывается указанием ходов к ней приводящих.\\ | ||
| - | 2. 8 баллов - это условная цена задачи. Их можеть быть и меньше, и больше, в зависимости от достигнутого результата. | ||
| - | Дополнительные призовые баллы могут быть начислены за обоснование неулучшаемости предложенного решения (однако их будет не больше, чем за решение, которое окажется лучше неулучшаемого) :) | ||
| - | |||
| - | [[problem_119|Решение задачи 119]] | ||
| - | |||
| - | ---- | ||
| - | |||
| - | ===== ММ118 ===== | ||
| - | |||
| - | Задача о задаче (нестареющая классика на новый лад). | ||
| - | |||
| - | ** Конкурсная задача ММ118 ** (7 баллов) | ||
| - | |||
| - | Ведущий Математического марафона придумал задачу. Но, прежде чем помещать ее в Марафон, он решил протестировать задачу и рассказал ее своему коллеге: | ||
| - | |||
| - | - Бывшие одноклассники Петр и Николай встретились на мероприятии, посвященном 40-ю выпуска из школы, и разговорились.\\ | ||
| - | П: Да-а... разбросала нас жизнь, 40 лет тебя не видел и ничего о тебе не слышал. А ведь раньше не разлей вода были, за одной партой сидели. Ну и как ты? Семьей обзавелся?\\ | ||
| - | Н: А как же! У меня три красавца сына!\\ | ||
| - | П: Ну ты даешь! И сколько же им лет?\\ | ||
| - | Н: Надеюсь, ты по-прежнему любишь головоломки? Тогда догадайся сам. Сумма их возрастов равна номеру квартиры, в которой ты жил в школьные годы, а произведение возрастов равно... | ||
| - | |||
| - | ... И ведущий Марафона для удобства коллеги написал нужное число на бумажке и продолжил: | ||
| - | |||
| - | - Петр достал ручку и на несколько минут погрузился в вычисления...\\ | ||
| - | П: Ты знаешь, этих данных мне мало.\\ | ||
| - | Н: Ах, да! Забыл добавить, что среднего я назвал в твою честь.\\ | ||
| - | П: Спасибо! Теперь информации достаточно.\\ | ||
| - | Сколько лет сыновьям Николая? | ||
| - | |||
| - | Коллега ведущего погрузился в вычисления (более продолжительные, чем Петр из задачи). Но его комментарий, не отличался от комментария Петра:\\ | ||
| - | - Ты знаешь, этих данных мне мало - сказал он ведущему Марафона. | ||
| - | - Ах, да! - осознал ошибку ведущий - Тогда пусть Петром зовут не среднего, а старшего сына Николая. | ||
| - | - К сожалению, это не спасет задачу. А вот если Николай назовет Петром своего младшего сына, тогда задача будет иметь единственное решение! | ||
| - | |||
| - | Что за число написал ведущий? | ||
| - | |||
| - | [[problem_118|Решение задачи 118]] | ||
| - | |||
| - | ---- | ||
| - | |||
| - | ===== ММ117 ===== | ||
| - | |||
| - | Задача ММ117 утратила статус конкурсной и может свободно обсуждаться. | ||
| - | |||
| - | Призовые баллы за решение ММ117 учитываются дважды: в тематическом конкурсе и в основном Марафоне. | ||
| - | А сама задача ММ117 является прямым продолжением задачи ММ115 и так же как ММ115 предложена Сергеем Половинкиным. | ||
| - | |||
| - | ** Конкурсная задача ММ117 (Ш-4) ** (7 баллов) | ||
| - | |||
| - | На шахматной доске расставлено 64 белых коня. Какое минимальное количество коней нужно заменить черными, так чтобы в полученной позиции, действуя по правилам задачи ММ115, было бы невозможно получить хотя бы один одноцветный квадрат 5Х5? | ||
| - | Каково количество таких позиций? | ||
| - | |||
| - | [[problem_117|Решение задачи 117]] | ||
| - | ---- | ||
| - | |||
| - | ===== ММ116 ===== | ||
| - | |||
| - | Задача ММ116 навеяна обсуждением одной из последовательностей в OEIS. | ||
| - | |||
| - | ** Конкурсная задача ММ116 ** (10 баллов) | ||
| - | |||
| - | Сколько существует связных графов, таких что произведение степеней вершин равно: | ||
| - | а) сумме степеней вершин;\\ | ||
| - | б) сумме квадратов степеней вершин?\\ | ||
| - | |||
| - | [[problem_116|Решение задачи 116]] | ||
| - | ---- | ||
| - | |||
| - | |||
| - | ===== ММ115 ===== | ||
| - | |||
| - | Задача ММ15 составлена специально для Математического марафона **Сергеем Половинкиным**. | ||
| - | |||
| - | Призовые баллы за решение ММ115 учитываются дважды: в тематическом конкурсе и в основном Марафоне. | ||
| - | |||
| - | **Конкурсная задача ММ115** (Ш-3) (10 баллов) | ||
| - | |||
| - | На шахматной доске расставлены кони. | ||
| - | |||
| - | {{:marathon:407024bebd3e_1_.jpg|:pic_115}} | ||
| - | |||
| - | Разрешается менять цвет фигур одновременно в клетках на одной вертикали, горизонтали или диагонали (в частности, в одной угловой клетке - считается, что она сама - диагональ). Можно ли получить одноцветный квадрат 5X5 в каком-либо месте доски? | ||
| - | |||
| - | [[problem_115|Решение задачи 115]] | ||
| - | ---- | ||
| - | |||
| - | ===== ММ114 ===== | ||
| - | |||
| - | **Конкурсная задача ММ114** (7 баллов) | ||
| - | |||
| - | Спорный участок имеет форму правильного треугольника периметром 100 м.\\ | ||
| - | Х, отстаивающий свое право собственности, решил для надежности обнести участок забором и приобрел 100 м сетки-рабицы. | ||
| - | Но к тому моменту, когда X закупил сетку, состоялся суд, присудивший разделить спорный участок между X и Y. | ||
| - | Линия раздела прошла по прямой через центр участка. А Y тут же оградил свою часть. Когда X оградил свою, у него | ||
| - | осталось 47 метров неиспользованной сетки.\\ | ||
| - | Найти площади участков, доставшихся X и Y. | ||
| - | |||
| - | [[problem_114|Решение задачи 114]] | ||
| - | ---- | ||
| - | |||
| - | |||
| - | ===== ММ113 ===== | ||
| - | |||
| - | Результат Задачи ММ113 учитывается дважды: в тематическом конкурсе и в основном Марафоне. | ||
| - | |||
| - | **Конкурсная задача ММ113 (Ш-3)[/color]** (10 баллов) | ||
| - | |||
| - | На множестве полей шахматной доски определим структуру графа G<sub>N</sub> следующим образом: | ||
| - | две вершины (два поля) будем считать смежными, если конь может за один ход переместиться из одной вершины в другую. | ||
| - | Аналогично определим граф слона G<sub>B</sub>, граф ладьи G<sub>R</sub>, граф ферзя G<sub>Q</sub> и граф короля G<sub>K</sub>. | ||
| - | Для каждого из этих графов:\\ | ||
| - | 1. Найти\\ | ||
| - | а) количество ребер;\\ | ||
| - | б) количество компонент связности;\\ | ||
| - | в) радиус и диаметр каждой компоненты;\\ | ||
| - | г) наибольшую клику.\\ | ||
| - | 2. Выяснить является ли граф:\\ | ||
| - | а) двудольным;\\ | ||
| - | б) эйлеровым;\\ | ||
| - | в) гамильтоновым;\\ | ||
| - | г) планарным? | ||
| - | |||
| - | [[problem_113|Решение задачи 113]] | ||
| - | ---- | ||
| - | |||
| - | ===== ММ112 ===== | ||
| - | Светлой памяти C5 ЕГЭ посвящается. | ||
| - | |||
| - | ** Конкурсная задача ММ112 ** (6 баллов) | ||
| - | |||
| - | Решить уравнение при всех возможных наборах значений параметров a и b:\\ | ||
| - | 11x+a<sup>2</sup>-2a+b<sup>2</sup>+4b+|2x+a<sup>2</sup>-2a+4b+b<sup>2</sup>|+|-3x+2+a<sup>2</sup>-2a-4b-b<sup>2</sup>|+|-x-4b-b<sup>2</sup>+a<sup>2</sup>-2a|+18|x-2|=20 | ||
| - | |||
| - | [[problem_112|Решение задачи 112]] | ||
| - | ---- | ||
| - | |||
| - | ===== ММ111 ===== | ||
| - | |||
| - | Результат Задачи ММ111 учитывается дважды: в тематическом конкурсе и в основном Марафоне. | ||
| - | |||
| - | **Конкурсная задача ММ111 (Ш-1)** (3 балла) | ||
| - | |||
| - | Найти количество способов, которыми за наименьшее возможное число ходов из начальной позиции может быть получена позиция на диаграмме.\\ | ||
| - | {{:marathon:pic_111.jpg|:marathon:pic_111.jpg}} | ||
| - | |||
| - | Примечание:\\ | ||
| - | Ходы должны делаться по всем правилам шахматной игры. | ||
| - | |||
| - | [[problem_111|Решение задачи 111]] | ||
| - | |||
| - | ---- | ||
| - | |||
| - | |||
| - | ===== ММ110 ===== | ||
| - | |||
| - | ** Конкурсная задача ММ110 (КГ-5) ** (6 баллов) | ||
| - | |||
| - | Квадрат со стороной n (n - натуральное, большее 1) разрезали на 4 прямоугольника с целочисленными сторонами. Сколько различных значений может принимать сумма | ||
| - | периметров полученных прямоугольников при всех таких разрезаниях? | ||
| - | |||
| - | [[problem_110|Решение задачи 110]] | ||
| - | |||
| - | ---- | ||
| - | |||
| - | |||
| - | ===== ММ109 ===== | ||
| - | |||
| - | ** Конкурсная задача ММ109 ** (6 баллов) | ||
| - | |||
| - | Тремя семействами параллельных линий плоскость разрезана на равные треугольники. | ||
| - | Можно ли в каждый труегольник вписать одно из чисел 1, 2, 3 так, чтобы:\\ | ||
| - | 1) хотя бы в один треугольник была вписана тройка;\\ | ||
| - | 2) число в каждом треугольнике указывало, сколько различных чисел написано в | ||
| - | трех треугольниках, имеющих общую сторону с данным? | ||
| - | |||
| - | [[problem_109|Решение задачи 109]] | ||
| - | |||
| - | ---- | ||
| - | |||
| - | |||
| - | |||
| - | ===== ММ108 ===== | ||
| - | |||
| - | Задачка с антресолей. | ||
| - | |||
| - | ** Конкурсная задача ММ108 ** (4 балла) | ||
| - | |||
| - | Однородную пирамиду разрезали на слои равной толщины плоскостями, параллельными | ||
| - | основанию. При каком наименьшем количестве частей их можно будет разложить на | ||
| - | разные чаши равноплечных весов без гирь так, чтобы весы уравновесились? | ||
| - | |||
| - | [[problem_108|Решение задачи 108]] | ||
| - | |||
| - | ---- | ||
| - | |||
| - | |||
| - | |||
| - | ===== ММ107 ===== | ||
| - | |||
| - | Наталия Макарова предложила посвятить целый тур Марафона любимым ею | ||
| - | магическим и латинским квадратам. К столь радикальным шагам я пока не готов, | ||
| - | но, в порядке эксперимента, предлагаю участникам "квадратную" задачку, | ||
| - | навеянную предлагаемыми задачами, но значительно более простую. | ||
| - | |||
| - | ** Конкурсная задача ММ107 ** (4 балла) | ||
| - | |||
| - | Существует ли магический квадрат 3х3, составленный и попарно различных простых | ||
| - | чисел, магическая сумма которого, тоже простое число? | ||
| - | |||
| - | Примечание:\\ | ||
| - | Магический квадрат - это квадратная матрица, у которой сумма элементов каждой | ||
| - | строки (столбца, большой диагонали) равна одному и тому же числу (магической | ||
| - | сумме). | ||
| - | |||
| - | [[problem_107|Решение задачи 107]] | ||
| - | |||
| - | ---- | ||
| - | |||
| - | |||
| - | |||
| - | ===== ММ106 ===== | ||
| - | |||
| - | Некоторые из марафонских задач привели к появлению новых последовательностей | ||
| - | в OEIS. Макс Алексеев предложил использовать обратный механизм. | ||
| - | |||
| - | ** Конкурсная задача №106 ** (от 3 баллов) | ||
| - | |||
| - | Последовательность A116983 из OEIS определяется так:\\ | ||
| - | a(n) есть порядковый номер n! при лексико-графическом упорядочении наборов | ||
| - | цифр числа n! (система счисления десятичная). Последнее число, представленное | ||
| - | в OEIS, - a(14). Требуется найти еще несколько членов A116983. | ||
| - | |||
| - | Примечание:\\ | ||
| - | Три балла будут присуждаются за нахождение a(15). За нахождение большего числа | ||
| - | членов последовательности можно заработать больше баллов (но шкала, конечно, | ||
| - | не линейная). | ||
| - | |||
| - | [[problem_106|Решение задачи 106]] | ||
| - | |||
| - | ---- | ||
| - | |||
| - | |||
| - | |||
| - | ===== ММ105 ===== | ||
| - | |||
| - | ** Конкурсная задача ММ105 ** (6 баллов) | ||
| - | |||
| - | Математик C загадал некий граф и сообщил математику A степени всех вершин, | ||
| - | а математику B - количество вершин и число связных компонент этого графа. | ||
| - | Дальше, как водится, состоялся обмен мнениями.\\ | ||
| - | A: Знание степеней всех вершин графа не позволяет мне одозначно определить, | ||
| - | какой граф был загадан.\\ | ||
| - | B: Зато я теперь в состоянии сделать это. | ||
| - | |||
| - | Сколько ребер было в загаданном графе? | ||
| - | |||
| - | Примечание:\\ | ||
| - | Рассматриваются классические графы (неориентированные, без петель и кратных | ||
| - | ребер). | ||
| - | |||
| - | [[problem_105|Решение задачи 105]] | ||
| - | |||
| - | ---- | ||
| - | |||
| - | |||
| - | |||
| - | |||
| - | ===== ММ104 ===== | ||
| - | Баллы, полученные за решение данной задачи учитываются дважды: | ||
| - | в основном Марафоне и в тематическом конкурсе. | ||
| - | А сама задача является прямым продолжением задач ММ57, ММ101, ММ102 и ММ103. | ||
| - | |||
| - | ** Конкурсная задача ММ104 (КГ-4) ** (9 баллов) | ||
| - | |||
| - | Два выпуклых n-угольника назовем изоморфными, если изоморфны их | ||
| - | сопровождающие графы. | ||
| - | |||
| - | Два выпуклых n-угольника назовем однотипными, если в разбиениях этих | ||
| - | многоугольников на элементарные присутствует поровну треугольников, | ||
| - | поровну четырехугольников и т.д. | ||
| - | |||
| - | 1. Имеется ли логическая зависимость между однотипностью и изоморфностью | ||
| - | выпуклых многоугольников?\\ | ||
| - | 2. На сколько классов однотипных семиугольников разбиваются ординарные | ||
| - | семиугольники?\\ | ||
| - | 3. На сколько классов изоморфных семиугольников разбиваются ординарные | ||
| - | семиугольники? | ||
| - | |||
| - | [[problem_104|Решение задачи 104]] | ||
| - | |||
| - | ---- | ||
| - | |||
| - | |||
| - | |||
| - | ===== ММ103 ===== | ||
| - | Баллы, полученные за решение данной задачи учитываются дважды: | ||
| - | в основном Марафоне и в тематическом конкурсе. | ||
| - | А сама задача является прямым продолжением задач ММ57, ММ101 и ММ102. | ||
| - | |||
| - | ** Конкурсная задача ММ103 (КГ-3) ** (3 балла) | ||
| - | |||
| - | Сопоставим каждому выпуклому многоугольнику (сопровождающий) граф по следующему | ||
| - | правилу:\\ | ||
| - | вершинами графа будут элементарные многоугольники;\\ | ||
| - | две вершины смежны, если соответствующие многоугольники имеют общую сторону. | ||
| - | |||
| - | 1. Доказать, что сопровождающий граф любого выпуклого многоугольника | ||
| - | является планарным и двудольным.\\ | ||
| - | 2. Сформулировать условие ординарности многоугольника в терминах | ||
| - | сопровождающего графа. | ||
| - | |||
| - | [[problem_103|Решение задачи 103]] | ||
| - | |||
| - | ---- | ||
| - | |||
| - | |||
| - | ===== ММ102 ===== | ||
| - | Баллы, полученные за решение данной задачи учитываются дважды: | ||
| - | в основном Марафоне и в тематическом конкурсе.\\ | ||
| - | А сама задача является прямым продолжением задач ММ57 и ММ101. | ||
| - | |||
| - | ** Конкурсная задача ММ102 (КГ-2) ** (9 баллов) | ||
| - | |||
| - | На какое наименьшее число частей может разбиваться диагоналями выпуклый n-угольник | ||
| - | при:\\ | ||
| - | a) n = 6;\\ | ||
| - | b) n = 7;\\ | ||
| - | c) n = 8;\\ | ||
| - | d) n = 9? | ||
| - | |||
| - | **Примечание**:\\ | ||
| - | Цена задачи указана весьма условно.\\ | ||
| - | Я не умею строго обосновывать минимальность известных мне разбиений не для всех указанных n. | ||
| - | Соответственно и сами известные мне ответы могут оказаться неверными. | ||
| - | 9 призовых баллов будет присуждаться за решения аналогичые моему (имеющие тот же | ||
| - | ответ и ту же степень строгости его обоснования). | ||
| - | За улучшение известных мне ответов, получение более строгих обоснований, получение | ||
| - | (хотя бы частично) обоснованных ответов для бОльших n будут начисляться дополнительные | ||
| - | призовые баллы. | ||
| - | |||
| - | [[problem_102|Решение задачи 102]] | ||
| - | |||
| - | ---- | ||
| - | |||
| - | |||
| - | |||
| - | ===== ММ101 ===== | ||
| - | |||
| - | Баллы, полученные за решение данной задачи учитываются дважды: | ||
| - | в основном Марафоне и в тематическом конкурсе. | ||
| - | А сама задача является прямым продолжением задачи ММ57. | ||
| - | |||
| - | ** Конкурсная задача ММ101 (КГ-1) ** (8 баллов) | ||
| - | |||
| - | Назовем многоугольник ординарным (термин "регулярный", использованный в задаче №57, | ||
| - | явно неудачен), если он выпуклый и никакие 3 его диагонали не пересекаются в | ||
| - | одной точке внутри многоугольника. Пусть n - число сторон ординарного многоугольника. | ||
| - | Ординарный многоугольник разбивается своими диагоналями на многоугольники, | ||
| - | которые мы будем называть элементарными. | ||
| - | Начиная с какого n, число элементарных четырехугольников может превысить число | ||
| - | элементарных треугольников? | ||
| - | |||
| - | [[problem_101|Решение задачи 101]] | ||
| - | |||
| - | ---- | ||
| - | |||
| - | |||
| - | ====== Конкурс вне Конкурса ====== | ||
| - | ---- | ||
| - | |||
| - | В каждой задаче тематического конкурса требовалось указать правило, | ||
| - | по которому строится данная последовательность натуральных чисел. | ||
| - | |||
| - | Цена задания определялась в зависимости от количества участников, | ||
| - | справившихся с ним. | ||
| - | |||
| - | 1) 6, 15, 35, 77, 91, 143, 187, 209,... | ||
| - | Цена задачи - 5 баллов | ||
| - | |||
| - | 2) 1, 1, 1, 2, 1, 3, 3, 2, 4, 4, 2, 7, 5, 4, 6, 6, 2, 12, 7, 6, 8, 8, 4, 15, | ||
| - | 9, 6, 13,... | ||
| - | Цена задачи - 6 баллов | ||
| - | |||
| - | 3) 71, 431, 719, 1511,... | ||
| - | Цена задачи - 6 баллов | ||
| - | |||
| - | 4) 136, 244, 2178, 6514, 58618, 76438,... | ||
| - | Цена задачи - 5 баллов (с учетом наличия в OEIS) | ||
| - | |||
| - | 5) 2, 5, 11, 19, 30, 44, 62, 85, 115, 155, 210, 288,... | ||
| - | Цена задачи - 6 баллов | ||
| - | |||
| - | 6) 1, 3, 13, 61, 321,... | ||
| - | Цена задачи - 6 баллов | ||
| - | |||
| - | 7) 1, 2, 21, 224, 2521, 31446, 345621, 3845668, 43046721,... | ||
| - | Цена задачи - 7 баллов | ||
| - | |||
| - | 8) 2, 65, 72, 128, 250, 370, 468, 520, 637, 730,... | ||
| - | Цена задачи - 7 баллов | ||
| - | |||
| - | 9) 5, 13, 271, 7159,... | ||
| - | Цена задачи - 7 баллов | ||
| - | |||
| - | 10) 7, 13, 15, 21, 26, 31, 40, 42, 43, 57, 62, 63, 73, 80, 85, 86, 91, 93, 111, 114, 121,... | ||
| - | Цена задачи - 7 баллов | ||
| - | |||
| - | [[problem_100.5|Конкурс вне Конкурса. Решение]] | ||
| - | |||
| - | ---- | ||
| - | |||
| - | * [[ММ61-100|Задачи ММ61-100]] | ||
| - | |||
| - | * [[http://www-old.fizmat.vspu.ru/konkurs/archive.htm| Задачи 1-60]] | ||
| - | |||
| - | * [[addition_56|Приложение к ММ56]] | ||
| - | |||
| - | ---- | ||