Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

marathon:archive [2015/11/13 09:37]
letsko [Терминология к задачам ММ145,146,147,150]
marathon:archive [2021/03/29 07:54] (текущий)
letsko
Строка 1: Строка 1:
 ====== Архив Марафона ====== ====== Архив Марафона ======
  
-----+  * [[ММ61-100|Задачи ММ1-100]]
  
 +  * [[ММ101-200|Задачи ММ101-200]]
  
-===== Терминология к задачам ММ197,198 ===== 
- 
-Последние задачи 20-го тура посвящены **триангуляции многоугольников** 
- 
-В задачах ММ197 и ММ198 так же, как в задачах ММ145,​146,​147,​150,​ под многоугольником понимается фигура,​ ограниченная плоской несамопересекающейся замкнутой ломаной,​ никакие три последовательные вершины которой не лежат на одной прямой. ​ 
 ---- ----
  
-=====ММ200===== +===== ММ260 ===== 
-  + ​**Конкурсная задача ММ260** (12 баллов)
-**Конкурсная задача ММ200** (баллов) ​+
  
-Обозначим через T(m) максимально возможное количество треугольников,​ на которые можно разрезать треугольник m прямыми. (Никаких других фигур, при разрезании возникать не должно.) +__Задача ​ММ260 ​обобщает и развивает ​ММ231__
-При каком наименьшем m значение отношения T(m)/m достигает ​4?+
  
-Примечание: 8 баллов - это условная ​цена задачи. Такие баллы будут начисляться за результат (и его обоснование) не хуже, чем ​у ведущего.+Пусть ABC - некоторый треугольник, точки K, L, M лежат соответственно ​на прямых AB, BC и AC, а s - некоторое ​действительное ​число, отличное от 0 и 1. Треугольник KLM будем называть подобно-вписанным в ?ABC, если\\ 
 +AK=sAB, BL=sBC, CM=sCA;\\ 
 +треугольник KLM подобен треугольнику ABC.\\ 
 +Сколько подобно вписанных треугольников может быть ​у произвольного треугольника?​
  
-[[problem_200|Решение задачи ​200]] +[[problem 260|Решение задачи ​ММ260]]
----- +
- +
-=====ММ199===== +
- +
-В задаче ММ199 рассматриваются многоугольники,​ которые могут иметь многоугольные "​дыры"​. Будем говорить,​ что данный многоугольник имеет род m, если у него m многоугольных дыр. (В частности,​ в ММ197 и ММ198 рассматриваются многоугольники рода 0.) +
-  +
-**Конкурсная задача ММ199** (5 баллов)  +
- +
-Сколькими внутренними диагоналями и на сколько треугольников триангулируется n-угольник рода m?+
  
-[[problem_199|Решение задачи 199]] 
 ---- ----
  
  
-=====ММ198===== +===== ММ259 =====
-  +
-**Конкурсная задача ММ198** (8 баллов) ​+
  
-Будем говорить,​ что n-угольник относится к классу s, если его можно триангулировать на n-2 треугольника внутренними ​диагоналями в точности s различными способами. Найти три наименьших и три наибольших значения s для n = 20.+**Конкурсная задача ​ММ259** (8 баллов)
  
-[[problem_198|Решение ​задачи 198]] +Может ли треугольник с вершинами в центроиде и центрах вписанной и описанной окружностей некоторого треугольника быть\\ ​ 
-----+a) равновелик;​\\ 
 +б) подобен;​\\ 
 +в) равен \\ 
 +исходному?​
  
 +[[problem 259|Решение задачи ММ259]]
  
-=====ММ197===== 
- 
-** Конкурсная задача ММ197** (5 баллов) 
- 
-Будем говорить,​ что n-угольник относится к классу k, если его можно разрезать на k треугольников одной прямой и нельзя разрезать одной прямой на большее число треугольников. Найти все возможные значения k для [math]$n = 2014$[/​math]. 
- 
-Примечания:​\\ 
-1. Никаких других фигур при разрезании возникать не должно.\\ 
-2. Если вышеописанный разрез осуществить нельзя,​ многоугольник относится к классу 0. 
- 
-[[problem_197|Решение задачи 197]] 
 ---- ----
  
-=====ММ196===== 
  
-Задача ММ 196 составлена Олегом Полубасовым по мотивам ММ186 ​+===== ММ258 ===== 
 + ​**Конкурсная задача ММ258** (7 баллов)
  
-**Конкурсная задача ​ММ196** (9 баллов+Сколько элементов ​содержит множество сумм квадратов цифр квадратов ​чисел, в десятичной записи которых присутствуют по одному разу ровно три ненулевых цифры: 1, 4, 9? (Нулей может быть сколько угодно).
  
-1.    Три корабля A, B, и C движутся равномерно и прямолинейно.\\ +[[problem 258|Решение ​задачи ​ММ258]]
-2.    Когда корабль A находился ближе всего к маяку, расстояние между B и C было 30 миль.\\ +
-3.    Когда корабль B находился ближе всего к маяку, расстояние между A и C было 40 миль.\\ +
-4.    Когда корабль C находился ближе всего к маяку, расстояние между A и B было 14 миль.\\ +
-5.    В 12:00 расстояния от маяка до всех кораблей были одинаковыми.\\ +
-6.    В 13:00 расстояния от маяка до всех кораблей были одинаковыми.\\ +
-7.    В 14:00 расстояния от маяка до всех кораблей были одинаковыми.\\ +
-8.    В 15:00 корабль B пересек маршрут корабля A.\\ +
-9.    В 16:00 корабль A пересек маршрут корабля B.\\ +
-Найти скорость каждого корабля.\\ +
-Примечание:​ Все корабли и маяк - материальные точки.+
  
-[[problem_196|Решение задачи 196]] 
 ---- ----
  
-=====ММ195===== 
-  
-**Конкурсная задача ММ195** (7 баллов) ​ 
  
-Доказать, что для любого натурального числа n, найдется натуральное m, такое что существует не менее n треугольников с целочисленными сторонами и медианой m. +===== ММ257 ===== 
 + **Конкурсная ​задача ММ257** (9 баллов)
  
-[[problem_195|Решение задачи 195]] +__Задача ММ257 сюжетно связана с ММ237__
----- +
- +
- +
-=====ММ194===== +
-  +
-**Конкурсная задача ММ194** (6 баллов) ​+
  
-Из n натуральных чисел, идущих подряд, выбрали ​и разбили их на две тройки. При ​этом оказалось, что площади треугольников, стороны которых равны числам из этих троек, равны. При каком наименьшем n возможна такая ситуация+Студент математического факультета Вася Пупкин пропустил (по уважительной причине) занятие по дискретной математике. Однокурсники рассказаличто на занятии рассматривался некий граф. Но ни один из них не зафиксировал этот граф ни с помощью гаджетов, ни на бумагу. Впрочем, Васины однокурсникиутверждают, что это не страшно,​ поскольку они и так помнят этот граф. В подтверждение своих слов они наперебой кинулись вспоминать характеристики графа:\\ 
 +Аня: В графе было ровно 3 связных ​компоненты.\\ 
 +Ваня: ​Причем во всех связных ​компонентах графа имелись циклы.\\ 
 +Даня: А еще среди связных ​ компонент не было изоморфных.\\ 
 +Маня: Число ребер в одной ​из компонент было ​равно половине общего ​числа ребер.\\ 
 +Саня: При этом число ребер было равно сумме ​количеств вершин и связных компонент.\\ 
 +Таня: В графе была всего одна вершина степени 3.\\ 
 +Зина: А всего в графе было не более 13 вершин.\\ 
 +Лина: И при этом не было висячих вершин. \\ 
 +Нина: А степень одной из вершин не менее чем на 2 превосходила степень ​каждой из остальных вершин.\\ 
 +Фаина: ЗинаЛина и Нина правы.\\ 
 +Услышавший эти ​реплики преподаватель сказал, что память подвела ровно одного человека.\\  
 +Сможет ли Вася (умница и отличник) однозначно восстановить граф?\\
  
-[[problem_194|Решение задачи ​194]]+[[problem 257|Решение задачи ​ММ257]]
  
 ---- ----
  
  
-=====ММ193===== +===== ММ256 ===== 
-  +**Конкурсная задача ​ММ256** (баллов)
-**ММ193** (баллов) ​+
  
-Игроки Вася, Федя и Коля сыграли несколько паркий ​в настольный теннис навылет. Сколько партий мог сыграть Коля, если Вася сыграл a партий, а Федя - b?+При каком наименьшем натуральном n уравнение n{x}<​sup>​2</​sup>​ +{x}=[x] имеет не менее 1000000 решений в рациональных числах?
  
-Примечания:  +__Примечание: {x} – дробная часть числа x, [x]  – целая часть (пол) числа x.__
-участники первой партии определяются жребием;​ +
-для ​определенности будем ​считать, что b ≤ a.+
  
-[[problem_193|Решение задачи ​193]]+[[problem 256|Решение задачи ​ММ256]]
  
 ---- ----
  
-=====ММ192===== 
-  
-**Конкурсная задача ММ192** (5 баллов) ​ 
  
-Рассматриваются целочисленные треугольники со сторонами,​ не превосходящими данного натурального числа n. +===== ММ255 =====
-Каких треугольников больше:​ остроугольных или тупоугольных?​+
  
-[[problem_192|Решение задачи 192]] +**Конкурсная ​задача ММ255** (7 баллов)
-----+
  
-===== ММ191 ===== +Найти ​наименьшее натуральное число, имеющее ровно 7 представлений в виде произведения наибольшего возможного количества попарно различных натуральных сомножителей. 
-  +
-**Конкурсная задача ​ММ191** (4 балла) +
  
-Рассматриваются тройки ​ чисел  a ≤ b ≤ c, не превосходящих данного натурального числа n.  Каких троек больше,​ тех, которые могут быть ​длинами сторон некоторого треугольника,​ или остальных?​+[[problem 255|Решение задачи ММ255]]
  
-[[problem_191|Решение задачи 191]] 
 ---- ----
  
-===== ММ190 ===== 
  
-//​Настоящая геометрия//​+===== ММ254 =====
  
-**Конкурсная задача ММ190** (12 баллов)+**Конкурсная задача ММ254** (баллов)
  
-Найти наименьшее возможное число прямыхравноудаленных ​от всех вершин тетраэдра? ​+Вася вписал круг в треугольник со сторонами 3, 4, 5. И вписывает новые круги так, что каждый последующий касается двух сторон треугольника и одного из предыдущих кругов. Может ли суммарная площадь кругов превысить 80% от площади треугольника и на каком шаге (круге) может случиться это событие?
  
-Примечание: под тетраэдром понимается произвольная треугольная пирамида.+[[problem 254|Решение задачи ММ254]]
  
-[[problem_190|Решение задачи 190]] 
 ---- ----
  
 +===== ММ253 =====
  
-===== ММ189 =====+**Конкурсная задача ​ММ253** (5 баллов)
  
-//Псевдогеометрия//+Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA<​sub>​1<​/sub>​B<​sub>​1<​/sub>​C<​sub>​1</​sub>​ равна 2. Сечение призмы,​ проходящее через ​середину ​отрезка AB<​sub>​1</​sub>​ перпендикулярно ему имеет площадь 28sqrt(39)/​81. Найти объем призмы?
  
-**Конкурсная ​задача ММ189** (6 баллов)+[[problem 253|Решение задачи ММ253]]
  
-Для каких натуральных m существует треугольник с целочисленными сторонами и медианой m?\\  
-Для каждого подходящего m найти наибольшую возможную сторону. 
- 
-[[problem_189|Решение задачи 189]] 
 ---- ----
 +===== ММ252 =====
 + 
 +**Конкурсная задача ММ252** (3 балла)
  
 +Для числа 90 существуют две пары представлений в виде произведения трех сомножителей таких, что суммы сомножителей внутри каждой пары одинаковы: ​
 +90=1⋅9⋅10=2⋅3⋅15, ​ 1+9+10=2+3+15;​\\
 +90=2⋅5⋅9=3⋅3⋅10, ​ 2+5+9=3+3+10.\\
 +Доказать,​ что существует бесконечно много натуральных чисел вида p<​sup>​k</​sup>​q (p, q – простые,​ k – натуральное),​ обладающих таким свойством.
  
-===== ММ188 =====+[[problem 252|Решение задачи ​ММ252]]
  
-//​Когда трехмерный случай сложнее четырехмерного// ​ 
- 
-**Конкурсная задача ММ188** (9 баллов) 
- 
-1. a,b,c,d - векторы трехмерного евклидова пространства (не обязательно различные). 
-M = {{a,b,c}, {a,b,d}, {a,c,d}, {b,c,d}}. Подмножество множества M назовем хорошим,​ если при подходящем выборе векторов все тройки из данного подмножества образуют базис, а остальные не образуют. Сколько хороших подмножеств у M? 
-2. Тот же вопрос для пяти векторов в четырехмерном пространстве. 
-3. Тот же вопрос для пяти векторов в трехмерном пространстве. 
- 
-[[problem_188|Решение задачи 188]] 
 ---- ----
  
-===== ММ187 ===== 
  
-//Можно обойтись без эллиптических кривых//​+===== ММ251 ===== 
 +  
 +**Конкурсная задача ММ251** (3 балла)
  
-**Конкурсная задача ​ММ187** (6 баллов)+Из книги вырвано несколько страниц. Сумма номеров оставшихся страниц 5001. Пусть n – наименьшее возможное ​число страниц, которое могло ​быть в этой книге изначально. Найдите наибольший возможный номер отсутствующей страницы,​ при условии,​ что в книге было n страниц.
  
-Доказать,​ что существует бесконечно много пар натуральных чисел <​m>​(a,​b)</​m>,​ таких что <​m>​{a^2+b^2}/​{ab+1}</​m>​ является натуральным ​числом.  +[[problem 251|Решение ​задачи ​ММ251]]
-Доказать,​ что существует бесконечно много пар, для которых <​m>​{a^2+b^2}/​{ab+1}=1369</​m>​. +
-Существуют ли пары, для которых <​m>​{a^2+b^2}/​{ab+1}=2013</​m>?​+
  
-[[problem_187|Решение задачи 187]] 
 ---- ----
  
  
-===== ММ186 =====+===== ММ250 ===== 
 +  
 +**Конкурсная задача ММ250** (14 баллов)
  
-//Еще в школе, решая ​задачи типа "Из пунктов A и B навстречу друг ​другу...", грезил предлагаемой задачей. И вот...//+Найти наименьшее ​возможное количество ребер выпуклого многогранника, ​у которого сумма длин ​ребер равна сумме длин диагоналей.
  
-**Конкурсная ​задача ММ186** (7 баллов)+[[problem 250|Решение задачи ММ250]]
  
-В 12:00 расстояние от маяка до сухогруза "​Альфа"​ составляло 12 км, а до буксира "​Омега"​ - <​m>​4sqrt{13}</​m>​. ​ 
-В 13:00 расстояния от маяка до "​Альфы"​ и "​Омеги"​ оказались такими же как 12:00. А в 14:00 расстояния от маяка до "​Альфы"​ и "​Омеги"​ оказались равны по <​m>​12sqrt{5}</​m>​ 
-Найти минимальное расстояние от "​Альфы"​ до "​Омеги",​ учитывая,​ что в 13:45 смотритель маяка не видел "​Омегу"​ за "​Альфой"​. 
- 
-Примечание:​ Сухогруз и буксир движутся прямолинейно и равномерно. Все плавсредства и маяк - материальные точки. 
- 
-[[problem_186|Решение задачи 186]] 
 ---- ----
  
 +===== ММ249 =====
  
-===== ММ185 =====+**Конкурсная задача ​ММ249** (10 баллов)
  
-//Очередной раз режем квадрат//+Пусть k – натуральное число и a – некоторая перестановка 2020-элементного множества. Может ли уравнение x<​sup>​k<​/sup>=a иметь ровно 2020 решений?​
  
-**Конкурсная ​задача ММ185** (5 баллов)+[[problem 249|Решение задачи ММ249]]
  
-Квадрат со стороной 1 разрезали на 100 прямоугольников с суммой периметров P. Найти диапазон возможных значений P. 
- 
-[[problem_185|Решение задачи 185]] 
 ---- ----
  
 +===== ММ248 =====
  
-===== ММ184 ===== +**Конкурсная задача ММ248** (8 баллов)
- +
-//Как же без графов?//+
  
-**Конкурсная задача ММ184** (7 баллов)+Найти ​наименьшее натуральное k такое, ​что во множестве {(τ(kn))/(τ(n))|n ∈ N} ровно 13 целых чисел. ​
  
-Компания из 30 отдыхающих собралась для 10-дневного рафтинга. Некоторые их туристов были знакомы между собой. График дежурств (по три человека на каждый день, чтобы каждый отдежурил ровно один раз) составили с помощью жребия. Получилось,​ что в каждой тройке дежурных ровно двое знакомы между собой. Недовольный такой ситуацией командор предложил свой график,​ такой ​что в каждой тройке была ровно одна пара незнакомых. Этот график тоже не всем понравился. Покумекав,​ туристы смогли совместными усилиями составить такой график,​ что в каждой тройке дежурных все были знакомы между собой.  +[[problem 248|Решение задачи ​ММ248]]
-Какое наименьшее и наибольшее число пар знакомых могло быть в данной группе? ​                                                +
  
-[[problem_184|Решение задачи 184]] 
 ---- ----
  
 +===== ММ247 =====
  
-===== ММ183 =====+**Конкурсная задача ​ММ247** (7 баллов)
  
-//​Легкая задача с очевидным неочевидным обобщением//​ 
  
-**Конкурсная задача ММ183** ​(3 балла) +Пусть k – фиксированное натуральное число. Для ​натуральных n определим функцию f<​sub>​k</​sub>​(n)=lcm(n, n+1,..., n+k-1)/​lcm(n+1,​ n+2,..., n+k)} 
 +Найти наименьшие значения f<​sub>​5</​sub>​(n) и f<​sub>​9</​sub>​(n).
  
-Про пять чисел a,b,c,d,e известно, что a<​b<​c<​d<​e. ​ Попарные суммы этих чисел выписали в порядке неубывания. Найти ​число вариантов расположения сумм в этом списке в зависимости от конкретных значений исходных чисел.+[[problem 247|Решение ​задачи ​ММ247]]
  
-[[problem_183|Решение задачи 183]] 
 ---- ----
  
 +===== ММ246 =====
  
-===== ММ182 =====+**Конкурсная задача ​ММ246** (7 баллов)
  
-//​Продолжаем разминаться//​ 
  
-**Конкурсная задача ММ182** (3 балла)+Сколько (с точностью до подобия) существует ​разносторонних треугольников,​ разрезаемых на два равнобедренных более чем одним способом?​
  
-Назовем натуральное число n суперделимым,​ если:​\\ +[[problem 246|Решение задачи ​ММ246]]
-1) в каноническом разложении n имеется более двух простых делителей;​\\ +
-2) для любого собственного подмножества множества простых ​делителей n число n кратно сумме элементов этого подмножества.\\ +
-Доказать, ​что существует бесконечно много суперделимых чисел.+
  
-[[problem_182|Решение задачи 182]] 
 ---- ----
  
 +===== ММ245 =====
  
-===== ММ181 =====+**Конкурсная задача ​ММ245** (5 баллов)
  
-//Разминка//+В остроугольном треугольнике ABC провели высоту BH.  
 +Найти отношение площадей треугольников ABH и CBH, если первый из них подобен треугольнику из своих медиан, а второй – треугольнику из своих высот.
  
-**Конкурсная задача ММ181** (3 балла)  +[[problem 245|Решение задачи ​ММ245]]
- +
-Существует ли натуральное число n, среди остатков от деления которого на все натуральные числа меньшие n чаще всего встречается остаток 2013? +
- +
-[[problem_181|Решение задачи ​181]]+
 ---- ----
  
 +===== ММ244 =====
  
-===== MM180 =====+**Конкурсная задача ММ244** (6 баллов)
  
-**Конкурсная задача ​ММ180** (13 баллов)+Галя предложила Ане, Боре и Васе такую загадку:​\\ 
 +- Я задумала три попарно различных ненулевых цифры. Сейчас я по секрету сообщу Ане сумму квадратов,​ Боре произведение,​ а Варе сумму задуманных цифр. Попробуйте отгадать эти цифры. ​  
 +Узнав сумму квадратов произведение и сумму, Аня, Боря и Вася сначала ​задумались, а затем разговорились:​ \\ 
 +А: Я не могу определить, ​что это за цифры.\\ 
 +Б: И я не могу.\\ 
 +В: И я тоже.\\ 
 +A: Тогда я их знаю!\\ 
 +Б: После этой реплики и я их знаю.\\ 
 +Что это за тройка цифр? \\ 
 +Примечание:​ У Ани, Бори и Васи ​все хорошо с арифметикой и логикой.
  
-Назовем натуральное число "​трижды нечетным",​ если само число, сумма его делителей и сумма делителей суммы его делителей нечетны. Может ли "​трижды нечетное"​ число быть кратно 821? 
  
-[[problem_180|Решение задачи ​180]]+[[problem 244|Решение задачи ​ММ244]]
 ---- ----
  
 +===== ММ243 =====
  
 +**Конкурсная задача ММ243** (5 баллов)⊥
  
  
-===== MM179 =====+В треугольнике ABC a<b<c и a⋅l<​sub>​a</​sub>​=c⋅l<​sub>​c</​sub>​ Найти угол β. 
  
-**Конкурсная ​задача ММ179**(10 баллов)+[[problem 243|Решение задачи ММ243]]
  
-Имеется 11 монет: 2 золотых;​ 4 серебряных;​ 5 бронзовых. Известно,​ что одна золотая,​ одна серебряная и 2 бронзовых монеты - фальшивые. Все настоящие монеты равны по весу. Все фальшивые тоже равны по весу, но легче настоящих. Золотые,​ серебряные и бронзовые отличаются друг от друга по внешнему виду. За четыре взвешивания на чашечных весах без гирь определить фальшивые монеты. 
- 
-[[problem_179|Решение задачи 179]] 
 ---- ----
  
 +===== ММ242 =====
  
-===== ММ178 =====+**Конкурсная задача ​ММ242** (5 баллов)
  
-**Конкурсная задача ​ММ178 (Оладьи на сковородке)** (9 баллов)+На сайте проводится опрос, кого из m номинированных футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. ​Каждый посетитель голосует один раз за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста - доля голосов,​ отданных ​за него, в процентах, округленных до целого ​числа. После того, как проголосовали n посетителей,​ суммарный рейтинг номинантов ​составил 95%.\\ 
 +a) При каком наименьшем m такое ​возможно?​\\ 
 +b) При каком наименьшем n такое возможно?​\\  
 +cПри каком наименьшем m+n такое ​возможно?​
  
-В единичный круг поместим (без наложений) k кругов одинакового радиуса. Обозначим через S<​sub>​k</​sub>​ максимальное значение площади этих k кругов. Расставить числа S<​sub>​1</​sub>,​ S<​sub>​2</​sub>,​...,​ S<​sub>​12</​sub>​ в порядке возрастания. ​  +[[problem 242|Решение задачи ​ММ242]]
- +
-[[problem_178|Решение задачи ​178]]+
 ---- ----
  
 +===== ММ241 =====
  
-===== ММ177 =====+**Конкурсная задача ​ММ241** (4 балла)
  
-**Конкурсная задача ​ММ177** (6 баллов)+При ​каких натуральных n множество {1, 2, …, n} можно разбить на два подмножества так, ​что произведение элементов первого подмножества равно сумме элементов второго?​
  
-В розыгрыше кубка мира участвуют 128 равных по силе шахматистов. 10 из них представляют Россию,​ 8 - Украину. После жеребьевки в первом раунде встречаются №1 и №2, № 3 и №4, ..., №127 и №128. Во втором раунде победитель первой пары встречается с победителем второй,​ победитель третьей - с победителем четвертой и т. д. Российским шахматистам по жребию достались номера 1, 9, 17, 25, 33, 41, 49, 57, 65 и 73; украинским - 2, 18, 34, 50, 66, 82, 98, 114.  
-За первое место выплачиваются призовые -  200000 долларов,​ за второе -  10000 долларов.. За остальные места призовые не выплачиваются.\\  ​ 
-Какой финал более вероятен:​ чисто российский или чисто украинский?​\\ 
-Каковы российское и украинское призовые мат. ожидания?​ 
  
-[[problem_177|Решение задачи ​177]]+[[problem 241|Решение задачи ​ММ241]]
 ---- ----
  
  
-===== ММ176 ===== +===== ММ240 ===== 
- +**Конкурсная задача ММ240** (13 баллов)
-**Конкурсная задача ММ176** (баллов) +
- +
-Сколько точек экстремума,​ не являющихся точками разрыва,​ имеет функция f(x) = {x}+{x<​sup>​2</​sup>​}+{x}<​sup>​2</​sup>​ ?+
  
-Примечание:\\ +Проективную плоскость разбили несколькими прямыми ​общего положения. При этом образовалось ровно 17 треугольников. Сколько пятиугольников могло при этом получиться?
-{x} - дробная часть числа x.+
  
-[[problem_176|Решение задачи ​176]]+[[problem 240|Решение задачи ​ММ240]]
  
 ---- ----
  
  
-===== ММ175 =====+===== ММ239 ===== 
 +**Конкурсная задача ММ239** (10 баллов)
  
-**Конкурсная задача ММ175 (А-5)** (8 баллов)+Существует ли выпуклый многограннику которого:\\ 
 +a) не менее половины граней - семиугольники;\\ 
 +b) более половины граней - семиугольники;​ \\ 
 +с) не менее половины граней ​восьмиугольники;​\\ 
 +d) более половины граней - восьмиугольники;​\\ 
 +eне менее половины граней ​ - девятиугольники?​
  
-Натуральное число n назовем g-2-числом, ​если ​число 2n, записанное в системе счисления c основанием g  ​получается ​из n перестановкой цифр. ​ Какие основания встречаются (в натуральном ряду) чаще: те, для которых существуют трехзначные g-2-числа,​ или те, в которых нет трехзначных g-2-чисел?+//Примечание: Если ​у вас получается, что ответ на пункт «а» отрицательный, а на пункт «b» положительныйподумайте еще.// 
  
-Примечание:​ 
-Расcматриваются позиционные системы счисления с натуральными основаниями g>​1. ​     ​ 
  
-[[problem_175|Решение задачи ​175]]+[[problem 239|Решение задачи ​ММ239]]
  
 ---- ----
  
  
-===== ММ174 ===== 
  
-**Конкурсная задача ММ174 (А-4)** (7 баллов)+===== ММ238 ===== 
 +**Конкурсная задача ММ238** (7 баллов)
  
-Найти ​наименьшее натуральное число, произведение всех натуральных ​делителей которого заканчивается +Вася написал ​на доске k последовательных ​натуральных чисел и нашел их НОК - V.\\ 
-а) ровно 2013 нулями;\\ +Петя написал k последовательных натуральных ​чисел, больших Васиных, и тоже нашел их НОК - P. \\ 
-б) не менее чем 2013 нулями.\\ +Оказалось, что ​ 2018 < V/P < 2019. \\ 
- +При ​каком наименьшем k такое возможно?
-Примечание:\\ +
-Система счисления десятичная. +
- +
-[[problem_174|Решение задачи 174]]+
 ---- ----
  
- +[[problem 238|Решение задачи ​ММ238]]
-===== ММ173 ===== +
- +
-**Конкурсная задача ММ173 (А-3)** (5 баллов) +
- +
-Последовательность состоит из натуральных чисел, представимых в виде суммы четырех своих (попарно различных) делителей,​ расположенных в естественном порядке. Найти стомиллиардный член этой последовательности. +
- +
-[[problem_173|Решение задачи ​173]]+
 ---- ----
  
 +===== ММ237 =====
 +**Конкурсная задача ММ237** (7 баллов)
  
-===== ММ172 =====+Студент математического факультета Вася Пупкин написал на доске некоторую перестановку A из S<​sub>​10</​sub> ​ в виде произведения независимых циклов (запись каждого цикла начинается с наименьшего элемента;​ опускались ли в записи циклы длины 1  - неизвестно). ​ Васины однокурсники прокомментировали эту запись.
  
-**Конкурсная ​задача ​ММ172 (А-2)** (5 баллов)+Аня: A<​sup>​6</​sup> ​ – тождественная перестановка.\\ 
 +Ваня: Длины всех циклов A – числа Фибоначчи.\\ 
 +Даня: В S<​sub>​10</​sub>​ существует ровно 3 перестановки, квадрат которых равен A.\\ 
 +Маня: Хм, уравнение X<​sup>​2</​sup>​ =B не может иметь в S<​sub>​10</​sub>​ ровно 3 решения ни при каком B.\\ 
 +Саня: Более того, количество решений уравнения X<​sup>​2</​sup>​ =B в S<​sub>​10</​sub>​ не может быть нечетным ​ ни при каком B.\\ 
 +Таня: Квадрат наибольшего элемента в самом длинном цикле меньше порядка A.\\ 
 +Зина: A<​sup>​5</​sup> ​ имеет столько же циклов,​ сколько и A.\\ 
 +Лина: Внутри всех циклов элементы строго возрастают.\\ 
 +Нина: Произведение всех элементов одного из циклов кратно произведению всех элементов ​более длинного цикла и сумме всех элементов более короткого.\\ 
 +Фаина: Зина, Лина и Нина правы.
  
-Доказать, что ​существует бесконечно ​много хитовых ​ abc-троек, таких что ​c является ​степенью пятерки.  +Вася (умница и отличник) заметил, что ​количество верных утверждений его однокурсников равно наибольшей длине цикла в A.\\ 
- +Найдите A
-Примечание:  +
-Тройка натуральных чисел a,b,c называется хитовой abc-тройкой, если a+b = c, GCD(a,b) = 1 и c > rad(abc). \\ +
-Примечание к примечанию:​ +
-Пусть <m> n = {p_1}^{s_1}...{p_k}^{s_k} </m>, тогда <m> rad(n) = p_1...p_k </​m>​ +
- +
-[[problem_172|Решение задачи 172]]+
  
 +[[problem 237|Решение задачи ММ237]]
 ---- ----
  
 +===== ММ236 =====
  
-===== ММ171 ===== +**Конкурсная задача ММ236** (баллов)
- +
-**Конкурсная задача ММ171 (А-1)** (баллов) +
- +
-Вася, Петя, Коля и Федя хвалились параллелепипедами,​ которые они склеили из единичных кубиков. Васин параллелепипед имел размеры axbxc. Петин - (a+1)xbxc, Колин - (a+1)x(b+1)xc,​ а Федин - (a+1)x(b+1)x(c+1).\\ +
-- Зато у моего параллелепипеда диагональ целочисленная - сказал Вася.\\ +
-- Подумаешь! У моего тоже диагональ целочисленная - заявил Петя.\\ +
-- И у моего -  заметил Коля.\\ +
-- И у моего тоже - не отстал от товарищей Федя.\\ +
-Найти максимально возможное количество честных среди перечисленных мальчиков. +
- +
-[[problem_171|Решение задачи 171]]+
  
 +Натуральные числа от 1 до 4n разбили на четыре группы по n чисел в каждой. Оказалось,​ что произведение всех чисел из первой группы равно произведениям всех чисел из второй и третьей групп. Найти наименьшую возможную сумму чисел четвертой группы.
  
 +[[problem 236|Решение задачи ММ236]]
 ---- ----
  
  
-===== ММ170 =====+===== ММ235 ===== 
 +**Конкурсная задача ММ235** (7 баллов)
  
-**Конкурсная задача ММ170** (8 баллов+Существует ли выпуклый многогранник, у которого равны: количество реберколичество ​диагоналей; суммарное количество диагоналей граней?
- +
-Прямоугольный параллелепипед склеили из единичных некрашеных кубиков. После этого ​три ​грани ​параллелепипеда покрасили в красный цвет. Остальные ​три грани покрасили ​в синий, желтый и зеленый цвета (по одной в каждый цвет). +
-Оказалось, что некрашеных кубиков в два раза больше, ​чем кубиков, имеющих,​ по крайней мере, одну ​красную грань. Количества кубиков, имеющих хотя бы одну синюю (желтую, зеленую) грань также являются делителями ​количества некрашеных кубиков. +
-Найти объем параллелепипеда. +
- +
-[[problem_170|Решение задачи 170]]+
  
 +[[problem 235|Решение задачи ММ235]]
 ---- ----
  
  
-===== ММ169 ===== +===== ММ234 ===== 
- +**Конкурсная задача ММ234** (баллов)
-**Конкурсная задача ММ169** (баллов) +
- +
-Для каждого натурального числа n обозначим s(n)=φ(σ(n))/​σ(φ(n)),​ где ​ φ(n) - функция Эйлера,​ а σ(n) - сумма натуральных делителей числа n. Может ли s(n) быть:\\  +
-а) меньше 1/50;\\ +
-б) больше 7?+
  
-[[problem_169|Решение задачи ​169]]+Функция g(n) натурального аргумента n задается так:\\ 
 +Пусть n натуральное число. Определим ​ f(n) как число, полученное удалением последней цифры из десятичной ​записи n, увеличенное на квадрат этой цифры.\\ 
 +Например,​ f(576) = 57 + 36 = 93.\\ 
 +Тогда g(n)  = |{n, f(n), f(f(n)), f(f(f(n))), …}|.\\ 
 +Пусть a и b  –  2018-значные ​числа. Может ли оказаться,​ что g(a) = g(b) + 26?
  
 +[[problem 234|Решение задачи ММ234]]
 ---- ----
  
  
-===== ММ168 =====+===== ММ233 ===== 
 +  
 +**Конкурсная задача ММ233** ​ (6 баллов)\\
  
-**Конкурсная задача ММ168** (5 баллов)+Очередной отголосок ЕГЭ ​в Марафоне
  
-Существует ли многогранник, у которого ровно:\\ +При каких значениях параметра a множество точек плоскости, задаваемых системой \\ 
-диагонали;​\\ + (x - a + 1)<​sup>​2</​sup>​ + (y - 3)<​sup>​2</​sup>​ ≤ 80, \\ 
-5 диагоналей;​\\ +(x - 3)<​sup>​2</​sup>​ + (y - 4a + 1)<​sup>​2</​sup>​ ≤ 20a<​sup>​2</​sup>, ​\\ 
-7 диагоналей   + 230 -  2a = |4x + 3y + 115 - a| + |4x + 3y - 115 + a| \\ 
 +является кругом?
  
-[[problem_168|Решение задачи ​168]]+[[problem 233|Решение задачи ​ММ233]]
 ---- ----
  
 +===== ММ232 =====
 + 
 +**Конкурсная задача ММ232** ​ (6 баллов)
  
 +Сколько решений в натуральных числах, ​ имеет уравнение **x<​sup>​3</​sup>​ + y<​sup>​3</​sup>​ = z<​sup>​3</​sup>​ - i** для каждого ​ **i ∈ {1, 2, 4}** ?
  
-===== MM167 ===== +Я нашел воистину замечательные ответы ​на эти вопросы, но поля... 
- +Надеюсь, у конкурсантов с полями все хорошо.
-**Конкурсная задача ММ167** (4 балла) +
- +
-Будем говорить, что треугольник принадлежит к классу k, если из него можно получить прикладыванием к нему другого треугольника (без ​наложения) ровно k различных равнобедренных треугольниковНайти все возможные значения k.   +
- +
-[[problem_167|Решение задачи 167]]+
  
 +[[problem 232|Решение задачи ММ232]]
 ---- ----
  
  
 +===== ММ231 =====
 + 
 +**Конкурсная задача ММ231** ​ (4 балла)
  
-===== MM166 =====+На сторонах AB, BC и AC египетского треугольника ABC выбрали точки C<​sub>​1</​sub>,​ A<​sub>​1</​sub>​ и B<​sub>​1</​sub>​ соответственно. Оказалось,​ что треугольники AB<​sub>​1</​sub>​C<​sub>​1</​sub>,​ BC<​sub>​1</​sub>​A<​sub>​1</​sub>​ и CA<​sub>​1</​sub>​B<​sub>​1</​sub>​ равновелики. Какую часть площади ABC составляет площадь треугольника A<​sub>​1</​sub>​B<​sub>​1</​sub>​C<​sub>​1</​sub>​ при условии,​ что последний - прямоугольный?​
  
-**Конкурсная задача ММ166** (3 балла) +[[problem 231|Решение задачи ​ММ231]]
- +
-Для каждого из натуральных чисел от 1 до 10000000000 находят знакочередующуюся сумму всех натуральных делителей,​ упорядоченных по возрастанию (делитель 1 берется со знаком минус). +
-Сколько отрицательных и сколько нечетных чисел при этом получится?​ +
- +
-[[problem_166|Решение задачи ​166]]+
  
 ---- ----
  
 +=====Терминология ММ228-230=====
  
 +Несколько (не менее трех) прямых на плоскости называются **прямыми общего положения**,​ если любые 3 их них высекают треугольник. На рисунке 1 представлены 7 прямых общего положения. ​
  
-===== MM165 ===== +{{ :​marathon:​mm228-230.png |}} 
- +  
-**Конкурсная ​задача ММ165 (РК-5)** (7 баллов) +**Внешним ​контуром** конфигурации n прямых общего положения назовем многоугольник, высекаемый данными прямыми. На рисунке 1 это красный девятиугольник ABCDEFGHJ.\\ 
- +**Внешним циклом** конфигурации назовем список количеств вершин внешних областей конфигурацииперечисленных в порядке обхода этих областей (направление и начало обхода не важны). Внешний цикл конфигурации, представленной на рисунке 1: (12, 3, 3, 1, 3, 1, 5, 1, 2, 2, 2, 2, 2). \\ 
-//По мотивам ​задачи ММ74//  +**Выпуклыми ​вершинами** внешнего контура назовем вершины, в которых углы меньше развернутого.  На рисунке 1 выпуклыми вершинами являются A, C, E, J.\\ 
- +**Обратными вершинами** назовем вершины внешнего контура, ​углы при которых больше развернутого. На рисунке 1 это вершины B, D, F, G, H.\\ 
-Вася и Петя поспорили. +**Элементарными отрезками** назовем отрезки,​ концы которых являются соседним точками пересечения одной из прямых конфигурации с другими ​прямыми. Отрезок CD на рисунке 1 элементарен,​ а отрезок BC – нет.\\ 
-Вася утверждает, что объем выпуклого многогранника, все грани которого правильные многоугольники, а все 15 ребер имеют длину 1 заведомо больше ​объема каждого из выпуклых многогранников, о которых ​идет речь в задаче ММ74. Петя же утверждаетчто не больше, а меньше. +**Элементарными многоугольниками** назовем многоугольникистороны ​которых ​являются элементарными отрезками (одна сторона – один отрезок). Например, треугольник DEF на рисунке 1 элементарен, а треугольник BCD – нет.\\ 
-В качестве третейского судьи позвали Федю. ПодумавФедя пришел к выводу, что возможны разные типы выпуклых ​многогранников с 15-ю единичными ребрами, все грани которых ​- правильные ​многоугольники. Для ​одних объемзаведомо больше объема ​любого из многогранников из ММ74, а для ​других - наоборот меньше.  +**Впадиной** назовем участок внешнего контура между двумя ​соседними выпуклыми вершинамисодержащий хотя бы одну обратную ​вершину. Конфигурация,​ изображенная на рисунке 1 имеет 3 впадины ABC, CDE и EFGHJ.\\ 
-Кто прав?  +**Вектором граней** конфигурации назовем упорядоченный набор из n-2 чисел (где n – количество прямых), первое ​из которых равно количеству элементарных треугольников, второе – количеству элементарных четырехугольников и т. д. Вектор граней конфигурации, ​представленной на рисунке 1 – [6, 8, 1, 0, 0].
- +
-[[problem_165|Решение задачи 165]+
 ---- ----
  
-===== ММ164 =====+===== ММ230 ===== 
 +  
 +**Конкурсная зхадача ММ230** (15 баллов)
  
-**Конкурсная задача ​ММ164 (РК-4)** (6 баллов)+Может ли вектор граней конфигурации нескольких прямых общего положения начинаться с чисел 157, 5250, 52?
  
-//По мотивам задачи ММ135//  +[[problem 230|Решение задачи ​ММ230]]
- +
-В задаче ММ135 приведено несколько рекуррентных последовательной вида a<​sub>​i+1</​sub>​=da<​sub>​i</​sub>​-a<​sub>​i-1</​sub>​ соседние члены которых дают бесконечные множества пар натуральных чисел (a,b) таких, что остатки от деления a<​sup>​2</​sup>​ на b и b<​sup>​2</​sup>​ на a равны 2011. +
-Существует ли натуральное число c<​2000000,​ для которого найдется не менее 100 последовательностей с попарно различными d, соседние члены которых дают бесконечные множества пар натуральных чисел (a,b) таких, что остатки от деления a<​sup>​2</​sup>​ на b и b<​sup>​2</​sup>​ на a равны c?  +
- +
-[[problem_164|Решение задачи ​164]]+
  
 ---- ----
  
 +===== ММ229 =====
 + 
 +**Конкурсная задача ММ229** (7 баллов)
  
 +Петя нарисовал на доске несколько прямых общего положения так, что все попарные точки пересечения прямых попали на чертеж.\\ ​
 +Вася выписал себе в тетрадь внешний цикл возникшей конфигурации:​ (1, 4, 3, 1, 4, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 4, 2, 1, 3). \\
 +После этого Петя стер рисунок. Сможет ли Вася восстановить:​\\
 +1) количество прямых;​\\
 +2) количество элементарных многоугольников:​\\ ​
 +3) количество выпуклых вершин;​\\
 +4) количество элементарных отрезков,​ ограничивающих внешний контур;​\\
 +5) количество сторон выпуклой оболочки внешнего контура;​\\
 +6) суммарное число сторон элементарных многоугольников;​\\
 +7) количество обратных вершин;​\\
 +8) количество впадин;​\\
 +9) количество сторон внешнего контура?​
  
-===== ММ163 ===== +Примечание: ​Вася ​– умный. ​ 
- +
-**Конкурсная задача ММ163 (РК-3)** (5 баллов) +
- +
-//По мотивам задачи ММ94 (и ММ162)//  +
- +
-Пару похожих чисел a и b назовем s-парой, ​если a = spq,  b=s<​sup>​3</​sup>​r,​ где p, q, r, s - попарно различные простые числа. Проверить истинность каждого ​из следующих утверждений: +
-1. Для каждого простого s найдется хотя бы одна s-пара. +
-2. Для некоторых простых s существует более одной s-пары. +
-3. Для каждого простого s число s-пар конечно. +
- +
-[[problem_163|Решение задачи 163]]+
  
 +[[problem 229|Решение задачи ММ229]]
 ---- ----
  
 +===== ММ228 =====
 + 
 +**Конкурсная задача ММ228** (4 балла)
  
 +Какое наименьшее число элементарных четырехугольников может быть в конфигурации из семи прямых общего положения?​
  
-===== MM162 ===== +[[problem 228|Решение задачи ​ММ228]]
- +
-** Конкурсная задача ММ162 (РК-2)** (4 балла) +
- +
-//По мотивам задачи ММ94//  +
- +
-Пару различных натуральных чисел a и b назовем похожими,​ если φ(a)=φ(b),​ σ(a)=σ(b),​ τ(a)=τ(b),​ где φ(n), σ(n) и τ(n), соответственно функция Эйлера,​ сумма и число натуральных делителей числа n (см. разбор ММ94). +
-Существуют ли похожие числа a и b такие, что τ(a)=τ(b)=4?​ +
- +
-[[problem_162|Решение задачи ​162]]+
 ---- ----
  
 +===== ММ227 =====
 + 
 +**Конкурсная зхадача ММ227** (7 баллов)
  
 +Пусть <m>n = {p_1}^{a_1}{p_2}^{a_2}...{p_s}^{a_s}</​m>​ - каноническое разложение n. Обозначим через sopf(n) число <​m>​p_1+p_2+...p_s</​m>​.\\
 +Назовем натуральное число k слабым,​ если уравнение x = k*sopf(x) неразрешимо в натуральных числах,​ и сильным в противном случае.\\
 +Доказать,​ что сильных чисел бесконечно много.\\
 +Найти наименьшее слабое число.\\
 +Доказать,​ что слабых чисел бесконечно много.
  
- +[[problem 227|Решение задачи ​ММ227]]
-===== ММ161 ===== +
- +
-** Конкурсная задача ММ161 (РК-1) ** (3 балла) +
- +
-//По мотивам задачи ММ132 (и ряда других)//​ +
- +
-Граф G=<​V,​E>​ задан на множестве V = {1, 2, ..., 1000000000000} по правилу:​ {a,b} ∈ E тогда и только тогда, когда сумма чисел a и b равна некоторой четной натуральной степени их разности. +
-Найти число связных компонент G и диаметр наибольшей компоненты. ​                                                     +
- +
-[[problem_161|Решение задачи ​161]] +
 ---- ----
  
-===== ММ160 ===== 
  
-**Конкурсная задача ММ160 (ТГ-5)** (10 баллов)+===== ММ226 ===== 
 +  
 +**Конкурсная зхадача ММ226** (баллов)
  
-На множестве натуральных чисел от 1 до 10460353203 ​структура графа G задается так: +Назовем натуральное число ​счастливымесли оно является точной ​седьмой степенью, ​а седьмой (при упорядочении по возрастаниюнатуральный делитель n равен количеству натуральных делителей n.  
-вершины a и b смежны <=> множества цифр в g-ичной ​записи чисел a и различны при любом ​натуральном g ≥ 2. +А есть ливообще, счастье в жизни? В смысле, существуют ли счастливые числа?
-Является ​ли G:\\ +
-a) двудольным; \\ +
-b) связным;\\ +
-с) ациклическим?\\ +
-d) Чему равна степень вершины 3?\\ +
-e) Есть ли вершины, степень которых больше ​чем 10000000000?+
  
-[[problem_160|Решение задачи ​160]]+[[problem 226|Решение задачи ​ММ226]]
 ---- ----
  
  
-===== ММ159 =====+=====ММ225=====
  
-**Конкурсная задача ММ159** (6 баллов)+**Конкурсная задача ММ225** (6 баллов)
  
-Для натурального числа n, большего 1, обозначим ​через qu(n) отношение суммы количеств единиц во всех записях числа n в системах счисления с натуральными основаниямибольшими 1, к самому числу n. +Найти все значения параметра ​aпри которых уравнение (2a+3)x<​sup>​2</​sup>​ + xa + 3a - 1 = 0 имеет ​два целых ​корня. 
-Найти наибольшее и наименьшее значение ​qu(n) и предел qu(n) при n, стремящимся к бесконечности. +
-Конечны ли множества ​чисел, для которых qu(n): меньше 1; больше 1; равно 1? +
- +
-**Решение** +
- +
-[[problem_159|Решение задачи 159]]+
  
 +[[problem 225|Решение задачи ММ225]]
 ---- ----
  
 +=====ММ224=====
  
-===== ММ158 =====+**Конкурсная задача ​ММ224** (6 баллов)
  
-Задача ​ММ158 ​предложена ​Олегом Полубасовым +В задаче, которую задали на дом Пете и Васе, требовалось найти ​площади треугольников,​ на которые разбивается исходный треугольник ABC трисектрисами,​ проведенными из вершины C. При сверке ответов у Пети и Васи совпали значения двух площадей: 2 и 4. Третья площадь у Пети ​оказалась равной 10, а у Васи  -  20. Найти угол С, если известно, что один из учеников получил за домашнее задание пятерку. ​
  
-**Конкурсная задача ММ158 (ТГ-4)** (7 баллов) +[[problem 224|Решение задачи ​ММ224]]
- +
-I. Города занумерованы от 1 до N. Дорога,​ непосредственно соединяющая города i и j, существует,​ если и только если |i-j| - простое число. Длина дороги равна |i-j|. +
-Найти зависимость длины кратчайшего гамильтонова цикла от величины N.\\ +
-II. Заменим в I |i-j| нат i+j.  +
-Найти зависимость длины кратчайшего гамильтонова цикла от величины N, при условии,​ что полученный граф гамильтонов.  +
- +
-[[problem_158|Решение задачи ​158]]+
 ---- ----
  
  
-===== ММ157 =====+=====ММ223=====
  
-**Kонкурсная задача ММ157** (6 баллов) ​     +**Конкурсная задача ММ223** (6 баллов)
  
-В треугольнике ABC, отличном от прямоугольного,​ проведены ​высоты AE и CF, пересекающиеся в точке H. Через точки A и H проведены перпендикуляры к EF, пересекающие прямую BC в точках K и L. +Рассмотрим две ​задачки.
-Найти KL, если радиус окружности,​ вписанной в треугольник ABC равен r, а BC = a.+
  
-[[problem_157|Решение задачи ​157]]+1. Вася получил за четверть 5 оценок по географии. Ему удалось незаметно исправить в журнале первую из них с тройки на пятерку. ​ Выставляя итоговую оценку,​ учительница находит среднюю оценку и округляет ее до целой. Какова вероятность, ​что Васина оценка за четверть повысится при условии,​ что учительница не выявит подлога,​ а все допустимые упорядоченные наборы оценок равновероятны?​
  
-----+2. Вася получил за четверть 5 оценок по географии. Ему удалось незаметно исправить в журнале первую попавшуюся из них с тройки на пятерку. ​ Выставляя итоговую оценку,​ учительница находит среднюю оценку и округляет ее до целой. Какова вероятность,​ что Васина оценка за четверть повысится при условии,​ что учительница не выявит подлога,​ а все допустимые упорядоченные наборы оценок равновероятны?​
  
 +Какое из условий выгоднее для жуликоватого Васи?
  
 +Примечание:​ Был ли журнал электронным – не важно. ​ Но важно, что колы не ставим:​ разрешается использовать ​ только оценки 2, 3, 4, 5
  
-===== ММ156 ===== +[[problem 223|Решение задачи ​ММ223]]
- +
-**Kонкурсная задача ММ156 (ТГ-3)** (5 баллов) ​      +
- +
-На занятии по дискретной математике на доске был изображен некоторый граф. +
-Вася Пупкин записал в тетрадку количество вершин и ребер каждой связной компоненты графа, а также степени вершин самой большой (по количеству вершин) компоненты. +
-Но само изображение графа он срисовать забыл. Кроме того, он забыл, за какую именно из вышеперечисленных характеристик отвечает каждое из записанных чисел. +
-Сможет ли Вася решить домашнее задание "​Найти диаметры каждой связной компоненты",​ если у него в тетрадке записаны числа: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 6, 9?    +
- +
-[[problem_156|Решение задачи ​156]] +
 ---- ----
  
  
-===== ММ155 =====+=====ММ222=====
  
-**Конкурсная задача ММ155** (балла)+**Конкурсная задача ММ222** (баллов)
  
-Существует ли цепочка из 1000 последовательных натуральных чисел, ​каждое из которых имеет не менее ​1000 натуральных ​делителей? +На доске написано 10 попарно различных натуральных чисел. После того как 5 из этих чисел разделили на 5, а другие 5 умножили на 5 возникли 10 попарно различных натуральных чисел, отличных ​от исходных. При этом сумма новых чисел оказалась в 3 раза больше суммы исходных.  
- +Пусть n - наименьшее возможное значение наибольшего из исходных ​чисел, для которых возможна описанная ситуация. ​  
-[[problem_155|Решение ​задачи ​155]]+Сколько существует различных наборов ​исходных чисел с наибольшим ​числом n+1?
  
 +[[problem 222|Решение задачи ММ222]]
 ---- ----
  
 +=====ММ221=====
  
-===== ММ154 =====+**Конкурсная задача ​ММ221** (4 балла)
  
-**Конкурсная задача ММ154** (5 баллов) +Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение ​3x<​sup>​4</​sup>​ + 2y<​sup>​3</​sup>​ = 37<​sup>​z</​sup> ​?
- +
-Математик D предложил математикам A, B и C следующую задачку:​ +
- +
-Я загадал два натуральных числа ​(не обязательно различных), каждое ​из которых не превосходит 20.  +
-Сейчас я сообщу A сумму квадратов,​ B - произведение, а C - сумму этих чисел, а вы должны будете отгадать эти числа. +
-Узнав предназначенную информацию математики разговорились.\\ +
-A: Я не знаю этих чисел.\\  +
-B: Я тоже их не знаю.\\  +
-C: И я не знаю.\\  +
-B: Тогда я их знаю.\\  +
-C: А я не знаю.\\ +
-А: Зато я узнал их еще до того, как ты в первый раз это сказал. +
- +
-Что это за числа +
- +
-[[problem_154|Решение задачи 154]]+
  
 +[[problem 221|Решение задачи ММ221]]
 ---- ----
  
  
-===== MM153 ===== 
  
-** Конкурсная задача ММ153 (ТГ-2)** (4 балла) 
  
-Пусть n, m и k означают соответственно число вершин,​ ребер и связных компонент графа. +=====ММ220=====
-Какое наименьшее количество изолированных вершин может иметь граф, для которого выполняется соотношение 11k 10n 8m?+
  
-[[problem_153|Решение задачи 153]]+**Конкурсная ​задача ММ220** (15 баллов)
  
----- +Найти наименьшее такое, что существует многогранник, имеющий v вершин и 2016 диагоналей, а многогранника,​ имеющего v+1 вершину и 2016 диагоналей, не существует.
- +
- +
-===== ММ152 ===== +
- +
-**Конкурсная задача ММ152 **(6 баллов) +
- +
-Сколькими способами можно разрезать квадрат на 10 квадратов. +
-Два разрезания ​считаются неразличимыми, ​если в итоге получится поровну ​квадратов каждого размера.+
  
-[[problem_152|Решение задачи ​152]]+[[problem 220|Решение задачи ​ММ220]]
  
 ---- ----
  
  
-===== ММ151 =====+=====ММ219=====
  
-**Конкурсная задача ММ151 (ТГ-1)** (балла)+**Конкурсная задача ММ219** (баллов
  
-Каждая ​клетка доски 4х4 покрашена ​либо ​в черный, ​либо в белый цвет. +Какое наибольшее количество диагоналей может иметь одиннадцатигранник?
-На множестве клеток задана структура графа. Две клетки смежны, ​если: они одного цвета; у них ​одинаковое число соседей каждого цвета. (Соседними считаются клетки имеющие общую сторону.) +
-Какое наименьшее и наибольшее количество ребер ​может иметь ​такой граф, если:\\ +
-а) количество клеток одного ​цвета может быть любым;​\\ +
-б) черных и белых ​клеток поровну? +
- +
- +
-[[problem_151|Решение задачи 151]]+
  
 +[[problem 219|Решение задачи ММ219]]
 ---- ----
  
-===== Терминология к задачам ММ145,​146,​147,​150 ===== 
  
-В задачах КГ12 - КГ15 будем придерживаться следующих определений и обозначений:​+=====ММ218=====
  
-Под многоугольником мы будем понимать плоскую замкнутую несамопересекающуюся ломаную,​ никакие три последовательные вершины которой не коллинеарны,​ и часть плоскости,​ ограниченную этой ломаной. Число сторон исходного многоугольника обозначим через n. +**Конкурсная задача ​ММ218** ​(баллов)
-Назовем сторону многоугольника свободной, если продолжение этой стороны за каждую ограничивающую ее вершину в некоторой окрестности этой вершины лежит вне многоугольника.  +
-Назовем сторону полусвободной,​ если вне многоугольника лежит продолжение стороны ровно за одну из двух ограничивающих ее вершин. Сторону,​ не являющуюся ни свободной,​ ни полусвободной,​ будем называть зажатой. Например,​ сторона AB (рис. 1), является свободной, сторона BC - полусвободной,​ а сторона EF - зажатой. ​  +
-Диагональ, все точки которой принадлежат многоугольнику,​ будем называть внутренней. Диагональ,​ не имеющую с многоугольником общих точек, за исключением вершин,​ которые она соединяет,​ будем называть внешней. Например,​ диагональ BF (рис. 1) - внутренняя,​ а диагональ BD - внешняя (диагональ BE  не является ни внешней,​ ни внутренней).+
  
-{{:​marathon:​pict_1_scs.jpg|:​marathon:​pict_1_scs.jpg}} +Найти наименьшее возможное количество диагоналей многогранника,​ имеющего 2017 ребер
-----+
  
  
- +[[problem 218|Решение задачи ​ММ218]]
- +
- +
- +
-===== ММ150 ===== +
- +
-**Конукрсная задача ММ150 (КГ15)** (12 баллов) +
- +
-Каждому n-угольнику поставим в соответствие ожерелье из n бусин белого,​ зеленого и красного цветов следующим образом:​ свободой стороне соответствует белая бусина;​ полусвободной - зеленая;​ зажатой - красная. +
-Два n-угольника назовем эквивалентными,​ если им соответствуют одинаковые ожерелья (ожерелье не меняется при поворотах и переворачивании). На сколько классов эквивалентности разобьются 20-угольники?​ +
- +
-[[problem_150|Решение задачи ​150]] +
 ---- ----
  
 +=====ММ217=====
  
 +**Конкурсная задача ММ217** (6 баллов)
  
-===== ММ149 ===== +Диагонали AC<​sub>​1</​sub>​ и BD<​sub>​1</​sub> ​шестигранника ABCDA<sub>1</​sub>​B<​sub>​1</​sub>​C<​sub>​1</​sub>​D<​sub>​1</​sub>,​ все грани которого четырехугольны, пересекаются ​в точке O.  Могут ли остальные ​пары диагоналей скрещиваться? ​
- +
-**Конкурсная задача ММ149** (8 баллов)  +
- +
-При каком наименьшем n в группе перестановок S<sub>n</​sub>​ существует подгруппа порядка 253? Привести пример такой подгруппы. +
- +
-[[problem_149|Решение задачи 149]]+
  
 +[[problem 217|Решение задачи ММ217]]
 ---- ----
  
 +=====ММ216=====
  
 +**Конкурсная задача ММ216** (10 баллов)
  
 +Назовем натуральное число n красивым,​ если наименьшее натуральное число, имеющее ровно n натуральных делителей,​ кратно n.\\
 +1. Доказать,​ что все праймориалы красивы.\\
 +2. Верно ли, что все факториалы красивы?​\\
 +3. Сколько существует красивых чисел вида k<​sup>​7</​sup>,​ где k - некоторое натуральное число?​\\
 +4. Сколько существует красивых чисел вида 7<​sup>​k</​sup>,​ где k - некоторое натуральное число?
  
- +[[problem 216|Решение задачи ​ММ216]]
- +
- +
-===== ММ148 ===== +
- +
-**Конкурсная задача ММ148** (8 баллов)  +
- +
-Сколько внутренних диагоналей может иметь n-угольник?​ +
- +
-[[problem_148|Решение задачи ​148]] +
 ---- ----
  
 +=====ММ215=====
  
 +**Конкурсная задача ММ215** (4 балла)
  
 +На какое наименьшее количество тетраэдров можно разрезать шестиугольную призму?​
  
- +[[problem 215|Решение задачи ​ММ215]]
-===== ММ147 ===== +
- +
-**Конкурсная задача ММ147 (КГ13)** (6 баллов)  +
- +
-Какое наименьшее число внутренних диагоналей может иметь n-угольник,​ у которого ровно один угол больше развернутого?​ +
- +
-[[problem_147|Решение задачи ​147]] +
 ---- ----
  
 +=====ММ214=====
  
 +**Конкурсная задача ММ214** (4 балла)
  
 +1. Все грани многогранника - n-угольники. При каких n это возможно?​\\ ​
 +2. При каком наименьшем числе граней существует многогранник,​ все грани которого пятиугольны?​
  
- +[[problem 214|Решение задачи ​ММ214]]
-===== ММ146 ====== +
- +
-**Конкурсная задача ММ146** (4 балла)  +
- +
-При каких D существуют графы диаметра D, у которых сумма квадратов степеней вершин равна D<​sup>​2</​sup>?​ +
- +
-[[problem_146|Решение задачи ​146]] +
 ---- ----
  
  
 +=====ММ213=====
  
 +**Конкурсная задача ММ213** (4 балла)
  
-===== ММ145 ===== +1. Пусть ​ H {h<​sub>​1</​sub>,​ h_2,​..., ​ h<​sub>​f</​sub>​} , где ​ f  - количество граней, а  ​h<​sub>​i</​sub> ​ - число сторон ​ i -й грани. Какое наименьшее значение может ​принимать f-|H| ?\\ 
- +2. Пусть g<​sub>​i</​sub>​ означает число i-угольных ​граней многогранника для каждого значения i . Могут ли все g<​sub>​i</​sub>​ не превышать 2? 
-**Конкурсная задача ММ145 (КГ12** (3 балла)  +
- +
-Сколько внешних диагоналей может иметь n-угольгик? +
- +
- +
-[[problem_145|Решение задачи ​145]]+
  
 +[[problem 213|Решение задачи ММ213]]
 ---- ----
  
 +=====ММ212=====
  
 +**Конкурсная задача ММ212** (4 балла)
  
-===== ММ144 =====                          ​+Доказать,​ что любой многогранник,​ имеющий 2016 вершин,​ может быть разрезан на  4030 тетраэдров.
  
-** Конкурсная задача ММ144 **(5 баллов) +**Решение**
- +
-На поле e4 стоит чёрный король. Первый игрок ставит на любую клетку доски, не находящуюся под боем чёрного короля,​ белых королей (по одному за ход). Второй игрок делает (правильный) ход чёрным королём. Игра заканчивается,​ когда у чёрного короля не будет ходов. Каково минимальное количество ходов, за которое первый игрок может достичь цели? +
- +
-[[problem_144|Решение ​задачи 144]]+
  
 +[[problem 212|Решение задачи ММ212]]
 ---- ----
  
 +=====ММ211=====
  
 +**Конкурсная задача ММ211** (3 балла)
  
 +Доказать,​ что при любом четном f > 4 существует многогранник,​ имеющий f граней,​ все грани которого четырехугольники.
  
- +[[problem 211|Решение задачи ​ММ211]]
-===== ММ143 ===== +
- +
-**Конкурсная задача ММ143 (КГ11)** (4 балла)  +
- +
-Девять из десяти ребер пятиугольной пирамиды имеют длину 1. В каком диапазоне может изменяться длина 10-го ребра?  +
- +
-[[problem_143|Решение задачи ​143]] +
 ---- ----
  
 +===== ММ210 =====
  
 +**Конкурсная задача ММ210** (13 баллов)
  
-===== ММ142 =====+1.  Пусть М {h<​sub>​a</​sub>,​ h<​sub>​b</​sub>,​ h<​sub>​c</​sub>,​ b<​sub>​a</​sub>,​ b<​sub>​b</​sub>,​ b<​sub>​c</​sub>,​ m<​sub>​a</​sub>,​ m<​sub>​b</​sub>,​ m<​sub>​c</​sub>​} - множество,​ состоящее из величин высот, биссектрис,​ и медиан некоторого треугольника. Сколько элементов может быть в M?\\ 
 +2. Пусть в разностороннем треугольнике ABC (a < b < c) и множество ​М из п.1 содержит 9 элементов. Соответствующие числа расположили в порядке возрастания. Сколько различных упорядочиваний может при этом получится?​\\ 
 +3. Тот же вопрос для случая,​ когда среди чисел {h<​sub>​a</​sub>,​ h<​sub>​b</​sub>,​ h<​sub>​c</​sub>,​ b<​sub>​a</​sub>,​ b<​sub>​b</​sub>,​ b<​sub>​c</​sub>,​ m<​sub>​a</​sub>,​ m<​sub>​b</​sub>,​ m<​sub>​c</​sub>​} могут быть одинаковые. (В этом случае полагаем a ≤ b ≤ c  и рассматриваем строгое упорядочивание классов одинаковых величин. Перестановки внутри класса не важны.)
  
-**Конкурсная задача ММ142** (4 балла) +Примечание.\\  
- +Получить ответ для каждого из случаев:\\  
-Все 80 натуральных делителей натурального ​числа ​n расположили в порядке возрастания. Оказалось, делители с первого по четвертый образуют геометрическую прогрессию, ​делители с четвертого по седьмой - арифметическую ​прогрессию,​ а восьмой ​делитель меньше 200. +1) рассматриваются только невырожденные треугольники;\\ 
-Найти n. +2) допускаются вырожденные ​треугольники (все вершины лежат на одной прямой).
- +
-[[problem_142|Решение задачи 142]]+
  
 +[[problem_210|Решение задачи 210]]
 ---- ----
  
 +=====ММ209=====
  
 +**Конкурсная задача ММ209** ​ (9 баллов)
  
-===== ММ141 =====+Эта задача прямое продолжение задач ​ММ29 и ММ39
  
-**Конкурсная задача ММ141** (3 балла)  +Назовем натуральное число a третькубом, по основанию g, если дважды приписав в g-ичной системе a к себе получим полный кубДоказать,​ что существует бесконечно много оснований g, для которых есть третькубы.
- +
-Существуют ли натуральные числа n>​1 ​такие, что σ(σ(n))<​1.000000001n? ​ (σ(n) - сумма натуральных делителей числа n.+
- +
-[[problem_141|Решение задачи 141]]+
  
 +[[problem_209|Решение задачи 209]]
 ---- ----
  
-===== ММ140 =====+=====ММ208=====
  
-Задача ММ140 навеяна вот этой: http://​e-science.ru/​forum/​index.php?​showtopic=26362 \\+**Конкурсная задача ММ208** (7 баллов)
  
 +От двух до пяти.
  
-**Конкурсная задача ММ140** (10 баллов)  +Найти наименьшее ​натуральное число, представимое в виде ​суммы пяти натуральных слагаемых  ​не менее чем четырьмя ​способами,  таким образом, что любые три слагаемых ​взаимно просты, а любые два не взаимно просты,
- +
-На квадратной площади, разлинованной ​на nxn клеток (полей) собрались n<​sup>​2</​sup>​ человек, каждый ​из которых является либо рыцарем (всегда говорят правду), либо лжецом (всегда лгут). Каждый расположился ​на отдельном поле. После этого каждый произнес: "Среди моих ​соседей поровну рыцарей ​и лжецов"​. Какова наибольшая возможная доля рыцарей среди собравшихся?​ +
- +
-Примечания:​\\ ​  +
-n>1;\\ +
-Соседними считаются поля, имеющие общую сторону;​\\ +
-Каждый из собравшихся ​знает, кем являются его соседи. +
- +
-[[problem_140|Решение задачи 140]]+
  
 +[[problem_208|Решение задачи 208]]
 ---- ----
  
  
-===== ММ139 ===== +=====ММ207=====
- +
-Задача ММ139 является развитием идеи задачи Кузнецова Сергея Тихоновича. +
-Оценка за решение этой задачи будет учитываться дважды:​ в основном Марафоне и в тематическом конкурсе. +
- +
-**Конкурсная задача ММ139 (МИ5)** (7 баллов)+
  
-Кнопки калькулятора расположены так, как на цифровой клавиатуре:​\\ +**Конкурсная задача ​ММ207** ​(13 баллов)
-{{:​marathon:​mm_139.jpg|:​marathon:​mm_139.jpg}}\\ +
-Назовём смежными те кнопки,​ которые имеют общую сторону или отрезок стороны (клавиша 0 смежна с клавишами 1 и 2).  +
-Вначале на индикаторе ​число 0. Начинает игру Петя, прибавляя к нему любое ​(им выбранное) число от 0 до 9. Затем Вася прибавляет в полученному числу слагаемое,​ находящееся на смежной кнопке с той, которую нажимал Петя. Затем Петя делает свой ход, прибавляя число, смежное с нажатым Васей и т.д. Игра заканчивается,​ когда после очередного действия на индикатор появится некоторое наперёд заданное число N (N>10)+
-Для каких N наибольшее число вариантов первого хода Пети приведёт его в дальнейшем к победе?​+
  
-Примечание: Игра заканчивается, когда после очередного действия на индикаторе появится ​некоторое наперёд заданное число N (N>10). Если же некоторым ​ходом получено число, более N, игрок, сделавший такой ход, проигрывает.+Задача ​ММ207 ​является прямым продолжением задач ММ77 ​и ММ206 ​
  
-[[problem_139|Решение задачи ​139]]+Обозначим через A(a,d) максимально возможное количество последовательных натуральных чисел таких, что первое из имеет ровно a натуральных делителей,​ второе - a+d, третье - a+2d и т.д. (иными словами,​ количества делителей последовательных чисел образуют арифметическую прогрессию с первым членом a и разностью d).\\ 
 +1) найти наибольшее возможное значение ​A(n,1);\\ 
 +2) найти наибольшее возможное значение A(n,3);\\ 
 +3) найти A(2,2);\\ 
 +4) найти A(4,2);\\ 
 +5) доказать, ​что при подходящем n  A(n,2) ≥ 8.
  
 +[[problem_207|Решение задачи 207]]
 ---- ----
  
  
 +=====ММ206=====
  
-===== ММ138 =====+**Конкурсная задача ​ММ206** (11 баллов)
  
-**Конкурсная задача ММ138** (6 баллов) +Задача ММ206 является прямым продолжением задачи ММ77
  
-Доказать, что ​для любого натурального k найдутся ​натуральные ​a, n и g, такие что для всех i из {0,1,... ,k-1}  +Каждое из n натуральных чисел, идущих подряд, имеет ровно k натуральных делителейКакое наибольшее значение может принимать n, если\\  
-в системе счисления с оcнованием ​g+i, число a является n-i-значным.+1) k = 18;\\ 
 +2) k = 20;\\ 
 +3) k = 22;\\ 
 +4) k = 202.
  
-[[problem_138|Решение задачи ​138]]+Замечание: Относительно скромное количество призовых баллов за эту ​задачу обусловлено тем, что при ее решении можно воспользоваться не только решением ММ77, но и результатами статьи,​ на которую есть ссылка в обсуждении.
  
 +[[problem_206|Решение задачи 206]]
 ---- ----
  
  
 +=====ММ205=====
  
-===== ММ137 =====+**Конкурсная задача ​ММ205** (7 баллов)
  
-Оценка за решение задачи ММ137 ​ учитывается дважды: в основном Марафоне  +Вася выписывает в порядке возрастания натуральные ​числаимеющие ​по 2016 натуральных делителей. ​На каком шаге он впервые выпишет число, не кратное 2016
-и в тематическом конкурсе. +
- +
-**Конкурсная задача ММ137 (МИ4)** (6 баллов) +
- +
-Шашки двух игроков ​стоят ​на противоположный полях прямоугольника 1x(N+2), между ними N клеток. Начальная скорость каждой шашки равна 1. +
-Каждый ходом игрок может или передвинуть свою шашку в сторону противника на величину,​ равную текущей скорости или увеличить скорость ​на 1 и передвинуть шашку в этом направлении уже на величину увеличенной скорости. +
-Выигрывает тот, ​кто поставит свою шашку ​на шашку противника или ​перепрыгнет через неё. +
-Для каких натуральных N, не превосходящих 100, выиграет второй игрок? +
- +
-[[problem_137|Решение задачи 137]]+
  
 +[[problem_205|Решение задачи 205]]
 ---- ----
  
  
  
-===== ММ136 =====+=====ММ204=====
  
-Оценка за решение задачи ММ136 учитывается дважды:​ в основном Марафоне и в тематическом конкурсе.+**Конкурсная задача ММ204** (5 баллов)
  
-**Конкурсная задача ММ136 (МИ3)** (5 баллов) +Найти натуральное ​числокоторое в трех различных системах счисления записывается 102, 201 и 20001 соответственно.
- +
-На столе в открытую лежит 16 карт: 4 туза читаются за 1 очко), 4 двойки, 4 тройки и 4 четвёрки. Петя и Вася по очереди берут оттуда по одной карте и складывают в отдельную ​стопку (общую). Выигрывает тот, после чьего хода сумма очков в этой ​стопке составит 21 очко (или заставивший соперника своим ходом превысить это значение). Петя ​начинает игру. Кто победит в игре и какой ​стратегии он должен придерживаться (как реагировать на ходы соперника)?​ +
- +
-[[problem_136|Решение задачи 136]]+
  
 +[[problem_204|Решение задачи 204]]
 ---- ----
  
  
 +=====ММ203=====
  
 +**Конкурсная задача ММ203** (5 баллов)
  
-===== ММ135 =====+Единичный квадрат разрезали на 5 равновеликих фигур отрезками,​ параллельными диагоналям. Найти наименьшую возможную суммарную длину этих отрезков.
  
-**Конкурсная задача ММ135** (4 балла)  +[[problem_203|Решение задачи ​203]]
- +
-Конечно ли множество пар натуральных чисел (a,b), таких что остатки от деления a<​sup>​2</​sup>​ на b и b<​sup>​2</​sup>​ на a равны по 2011? +
- +
-[[problem_135|Решение задачи ​135]]+
  
 ---- ----
  
  
 +=====ММ202=====
  
-===== ММ134 =====+**Конкурсная задача ​ММ202** (5 баллов)
  
-Оценка за решение задачи ММ134 ​ учитывается дважды:​ в основном Марафоне и в тематическом конкурсе. +При каких значениях параметра разрешимо ​уравнение ​ x<sup>2</sup- a = [x]{x}?
- +
-**Конкурсная задача ММ134 (МИ2)** (4 балла) +
- +
-Позицией в игре является ​конечное множество чисел, ​записанных в двоичной системе счисления. Игроки ​по очереди ​разбивают одно из чисел этого ​множества на части так, чтобы выполнялись два правила:  +
-1) оба полученных числа должны начинаться с единицы;​ +
-2) хотя бы одно из них должно заканчиваться нулём. +
-Например, 1101 можно ​разбить только на 110 и 1, а 11010 - на 1 и 1010 или на 110 и 10. +
- +
-Проигрывает тот игрок, кто ​не сможет сделать ход согласно правилам. +
- +
-Кто выиграет, если игра начнётся с числа (2011)<sub>10</sub>=(11111011011)<​sub>​2</​sub>?​ +
- +
-[[problem_134|Решение задачи 134]]+
  
 +[[problem_202|Решение задачи 202]]
 ---- ----
  
 +=====ММ201=====
  
-===== ММ133 =====+**Конкурсная задача ​ММ201** (3 балла)
  
-Оценка за решение задачи ММ133 ​ учитывается дважды: в основном Марафоне и в тематическом конкурсе.+Для ​каждого натурального k найти все возможные n, при которых множество {1, 2, ..., n} можно разбить на классы так, ​что наибольший элемент в каждом классе ровно ​в k раз больше количества элементов класса
  
-**Конкурсная задача ММ133 ** (3 балла) +[[problem_201|Решение задачи ​201]]
- +
-На столе лежит N спичек. Петя и Вася поочерёдно берут оттуда от 1 до 5 спичек,​ однако нельзя повторять число, взятое соперником на предыдущем ходу. Выигрывает тот, кто забирает последнюю спичку. Начинает Петя, своим первым ходом может взять любое количество от 1 до 5. Найдите общий вид чисел N, при которых партию выиграет Вася. +
- +
-[[problem_133|Решение задачи ​133]]+
  
 ---- ----
  
- 
- 
-===== ММ132 ===== 
- 
-**Конкурсная задача ММ132 ** (5 баллов) (Здравствуй 2011-й) 
- 
-Граф G=<​V,​E>​ задан на множестве V = {1, 2,..., 2011} по правилу:​ {x,y} ∈ E <=> |x-y| > a , где a - фиксированное натуральное число, меньшее 1006.\\ 
-Сколько периферийных вершин может иметь граф G? 
- 
-Примечание:​ Вершина графа называется периферийной,​ если ее эксцентриситет равен диаметру графа. 
- 
-[[problem_132|Решение задачи 132]] 
  
 ---- ----
 +  * [[ММ61-100|Задачи ММ1-100]]
  
 +  * [[ММ101-200|Задачи ММ101-200]]
 +   
 +  * [[competition out of competition|Конкурс вне конкурса]]  ​
  
- +  ​[[addition_56|Приложение к ММ56]] 
-===== ММ131 ===== +
- +
-** Конкурсная задача ММ131 ** (3 балла) ​ //(Прощай 2010-й)//​ +
- +
-Граф G=<​V,​E>​ задан на множестве V = {1, 2, ..., 2010} по правилу: {x,y} ∈ E <=> x+y = a или x+y = b, где a и b - фиксированные натуральные числа. +
-При каких a и b, граф G:\\ +
-а) связен;\\ +
-б) является деревом;​\\ +
-в) является цепью;​\\ +
-г) имеет циклы? +
- +
-[[problem_131|Решение задачи 131]]+
  
 ---- ----
  
  
-===== ММ130 ===== 
- 
-**Конкурсная задача ММ130** ​ 
- 
-Комната имеет форму прямоугольного параллелепипеда шириной a, высотой b и длиной c. На стене aхb сидит таракан. ​ 
-Он находится на расстоянии a/2 от смежной стены и на расстоянии x от потолка,​ x ≤ b/2 и хочет попасть в точку, 
-симметричную исходной относительно центра параллелепипеда. 
- 
-Для некоторых значений a, b, c кратчайший путь между этими точками будет проходить через одну и ту же  
-последовательность граней при любом x, 0 ≤ x ≤ b/2. Для каждой такой последовательности граней приведите ​ 
-пример тройки a, b, c. 
- 
-Примечание:​ термин "​кратчайший путь"​ означает путь, для которого нельзя найти путь, более короткий. 
- 
-[[problem_130|Решение задачи 130]] 
- 
----- 
- 
- 
-===== ММ129 ===== 
- 
-**Конкурсная задача ММ129**  ​ 
- 
-Будем заполнять бесконечный клетчатый лист бумаги натуральными числами по спирали (каждый следующий виток начинается на вертикали,​ в которой стоит единица):​ 
- 
-{{:​marathon:​mm_129.jpg|:​marathon:​mm_129.jpg}} 
- 
-Для каждого числа найдём восемь модулей разности его с соседями (по вертикали,​ горизонтали и диагонали). ​ Количество простых чисел среди этих восьми назовем индексом простоты окружения исходного сила. 
-Какое наибольшее значение может принимать индекс простоты окружения? ​ 
-Для скольких чисел достигается это значение?​ 
- 
-[[problem_129|Решение задачи 129]] 
- 
----- 
- 
-===== Терминология ММ 121, ММ122,​ММ125,​ ММ127, ММ128 ===== 
- 
-В рамках 13-го тура, как обычно,​ проводился тематический конкурс. 
-Он являлся прямым продолжением тематического конкурса из 11-го тура. ​ 
-Его тематика - комбинаторная геометрия. 
- 
-Более того, тематические задачи тура, как и задачи ММ57, ММ101, ММ102, ММ103, ММ104 и ММ120, ​ так или иначе связаны с выпуклыми многоугольниками. 
-Ниже приведен ряд определений и обозначений,​ используемых в задачах тематического конкурса. ​ 
- 
-Число сторон исходного выпуклого многоугольника всегда обозначается через n (если иное не оговорено в конкретной задаче). ​ 
-Исхоный многоугольник разбивается своими диагоналями на элементарные.\\ 
-Точка внутри многоугольника называется особой (полюсом),​ если в ней пересекаются не менее трех диагоналей. 
-Если в особой точке пересекаются k диагоналей,​ то она является полюсом порядка k-2. 
-Многоугольник без особых точек будем называть ординарным,​ иначе - особенным.\\ 
-Структурным графом выпуклого многоугольника будем называть граф, вершинами которого служат вершины и точки пересечения диагоналей исходного многоугольника,​ а ребрами - отрезки диагоналей и стороны исходного многоугольника.\\ 
-Дуальный граф - граф геометрически двойственный структурному (вершины - грани плоской укладки структурного графа, две вершины смежны,​ если соответствующие грани имеют общую сторону). 
-Сопровождающий граф - дуальный граф без вершины,​ соответствующей внешней грани.\\ 
-Будем называть два выпуклых многоугольника изотопными,​ если изоморфны их структурные графы. ​ 
-В задаче ММ104 было введено понятие изоморфизма многоугольников. Изоморфными назывались многоугольники,​ сопровождающие графы которых изоморфны. Можно доказать,​ что два выпуклых многоугольника изоморфны тогда и только тогда, когда они изотопны. Мы не стали предлагать это утверждение в качестве марафонской задачи. Желающие убедиться в его справедливости могут сделать это самостоятельно (или с помощью книжек:​ см., например,​ А.А.Зыков. Основы теории графов). ​ 
- 
-Пусть n>5. Характеристическим вектором n-угольника будем называть набор s = (s<​sub>​1</​sub>,​ s<​sub>​2</​sub>,​ ..., s<​sub>​m</​sub>​),​ где m = [n/​2]-2, ​ s<​sub>​k</​sub>​ - число полюсов порядка k. 
-Два многоугольники будем называть изополярными,​ если равны их характеристические векторы.\\ ​ 
-Вектором граней многоугольника будем называть набор t = (t<​sub>​3</​sub>,​ t<​sub>​4</​sub>,​ ..., t<​sub>​n</​sub>​),​ где t<​sub>​k</​sub>​ - количество элементарных k-угольников. ​ 
-Два многоугольника будем называть однотипными,​ если равны их векторы граней. 
- 
-[[Illustrations_102&​Co|Иллюстрации к ММ102 & Co]] 
----- 
- 
-===== ММ128 ===== 
- 
-Оценка за решение задачи ММ128 учитывается дважды в основном Марафоне и в тематическом конкурсе. 
- 
-** Конкурсная задача ММ128 (КГ-10)** (20 баллов) 
- 
-На сколько классов изополярных восьмиугольников разбиваются выпуклые восьмиугольники?​ 
- 
-[[problem_128|Решение задачи 128]] 
- 
----- 
- 
- 
-===== ММ127 ===== 
- 
-Оценка за решение задачи ММ127 учитывается дважды в основном Марафоне и в тематическом конкурсе. 
- 
-** Конкурсная задача ММ127 (КГ-9)** (12 баллов) 
- 
-Существуют ли однотипные,​ но не изополярные многоугольники?​ 
- 
-[[problem_127|Решение задачи 127]] 
- 
----- 
- 
- 
-===== ММ126 ===== 
- 
-**Конкурсная задача ММ126** (4 балла) 
- 
-Есть 8 шаров, среди которых 6 заряжены нейтрально,​ один - положительно и один - отрицательно. Есть прибор,​ который,​ будучи поднесённым к группе шаров, покажет их общий заряд (он покажет 0 и если в группе нет ни одного заряженного шара, и если они там оба). 
-За какое наименьшее число измерений можно найти положительный и отрицательный шары в группе?​ 
- 
-[[problem_126|Решение задачи 126]] 
- 
----- 
- 
- 
-===== ММ125 ===== 
- 
-Оценка за решение задачи ММ125 учитывается дважды в основном Марафоне и в тематическом конкурсе. 
- 
-**Конкурсная задача ММ125 (КГ-8)** (4 балла) 
- 
-Верно ли, что группа автоморфизмов структурного графа любого n-угольника изоморфна подгруппе группы диэдра n-й степени?​ 
- 
-[[problem_125|Решение задачи 125]] 
- 
----- 
- 
- 
- 
- 
-===== ММ124 ===== 
- 
-**Конкурсная задача ММ124** (4 балла) 
- 
-Пусть S<​sub>​n</​sub>​ = 2 + 3 + 5 + 7 +...+ p<​sub>​n</​sub>​ - сумма n первых простых чисел.  ​ 
-Доказать,​ что ​ S<​sub>​n</​sub>​ является простым тогда и только тогда, когда существует такое простое число q, что S<​sub>​n</​sub>​ + q кратно 2, 3, 5, ..., p<​sub>​n</​sub>​. 
- 
-[[problem_124|Решение задачи 124]] 
- 
----- 
- 
- 
- 
- 
-===== ММ123 ===== 
- 
-**Конкурсная задача MM123** (5 баллов) 
- 
-Квадратная монета со стороной 1 см бросается случайным образом на лист бумаги,​ разлинованный квадратными ​ 
-клетками со стороной 2 см. Какая вероятность того, что монета попадёт целиком в клетку?​ 
- 
-[[problem_123|Решение задачи 123]] 
- 
----- 
- 
- 
- 
- 
- 
-===== ММ122 ===== 
- 
-Задача ММ122 является прямым продолжением задачи ММ57. 
-Оценка за решение задачи ММ122 учитывается дважды в основном Марафоне и в тематическом конкурсе. 
- 
-** Конкурсная задача ММ122 (КГ-7) ** (4 балла) 
- 
-1. Найти формулу для выражения числа вершин структурного графа с данным характеристическим вектором. \\ 
-2. Найти формулу для выражения числа элементарных многоугольников исходного многоугольника с данным характеристическим вектором. ​ 
- 
-[[problem_122|Решение задачи 122]] 
- 
----- 
- 
- 
- 
-===== ММ121 ===== 
- 
-Задача ММ121 является прямым продолжением задачи ММ104. 
-Оценка за решение задачи ММ121 учитывается дважды в основном Марафоне и в тематическом конкурсе. 
- 
-** Конкурсная задача ММ121 (КГ-6) ** (8 баллов) 
- 
-1. На сколько классов однотипных семиугольников разбиваются выпуклые семиугольники?​ 
-2. На сколько классов изотопных семиугольников разбиваются выпуклые семиугольники? ​ 
- 
-[[problem_121|Решение задачи 121]] 
- 
----- 
- 
-===== ММ120 ===== 
- 
-Задача ММ120 утратила статус конкурсной и может свободно обсуждаться на форуме. 
- 
-Задача ММ120 продолжает линию задачи ММ57 и тематического конкурса 11-го тура. ​ 
- 
-**Конкурсная задача ММ120** (7 баллов) 
- 
-В задаче ММ103 каждому выпуклому многоугольнику был поставлен в соответствие сопровождающий граф: 
-вершины графа - элементарные многоугольники,​ на которые разбивается исходный многоугольник своими диагоналями;​ 
-две вершины смежны,​ если соответствующие многоугольники имеют общую сторону. 
- 
-Найти возможные значения диаметра и радиуса,​ а также возможные количества периферийных и центральных вершин сопровождающего графа произвольного выпуклого n-угольника. 
- 
-[[problem_120|Решение задачи 120]] 
- 
----- 
- 
- 
- 
-===== ММ119 ===== 
- 
-Задача ММ119 утратила статус конкурсной и может свободно обсуждаться. 
- 
-**Конкурсная задача ММ119 (Ш-5)** (8 баллов) 
- 
-Придумать корректную (т.е. ее можно получить из начальной по всем правилам шахматной игры) позицию,​ в которой белые дают мат в один ход, как можно бОльшим числом способов. 
- 
-Примечания:​\\ 
-1. Корректность позиции обосновывается указанием ходов к ней приводящих.\\ ​ 
-2. 8 баллов - это условная цена задачи. ​ Их можеть быть и меньше,​ и больше,​ в зависимости от достигнутого результата. ​ 
-Дополнительные призовые баллы могут быть начислены за обоснование неулучшаемости предложенного решения (однако их будет не больше,​ чем за решение,​ которое окажется лучше неулучшаемого) :)  
- 
-[[problem_119|Решение задачи 119]] 
- 
----- 
- 
-===== ММ118 ===== 
- 
-Задача о задаче (нестареющая классика на новый лад). ​ 
- 
-** Конкурсная задача ММ118 ** (7 баллов) 
- 
-Ведущий Математического марафона придумал задачу. Но, прежде чем помещать ее в Марафон,​ он решил протестировать задачу и рассказал ее своему коллеге:​ 
- 
-- Бывшие одноклассники Петр и Николай встретились на мероприятии,​ посвященном 40-ю выпуска из школы, и разговорились.\\ 
-П: Да-а... разбросала нас жизнь, 40 лет тебя не видел и ничего о тебе не слышал. А ведь раньше не разлей вода были, за одной партой сидели. Ну и как ты? Семьей обзавелся?​\\ 
-Н: А как же! У меня три красавца сына!\\ 
-П: Ну ты даешь! И сколько же им лет?\\ 
-Н: Надеюсь,​ ты по-прежнему любишь головоломки?​ Тогда догадайся сам. Сумма их возрастов равна номеру квартиры,​ в которой ты жил в школьные годы, а произведение возрастов равно... 
- 
-... И ведущий Марафона для удобства коллеги написал нужное число на бумажке и продолжил:​ 
- 
-- Петр достал ручку и на несколько минут погрузился в вычисления...\\ 
-П: Ты знаешь,​ этих данных мне мало.\\ 
-Н: Ах, да! Забыл добавить,​ что среднего я назвал в твою честь.\\ 
-П: Спасибо! Теперь информации достаточно.\\ 
-Сколько лет сыновьям Николая?​ 
- 
-Коллега ведущего погрузился в вычисления (более продолжительные,​ чем Петр из задачи). Но его комментарий,​ не отличался от комментария Петра:​\\ 
-- Ты знаешь,​ этих данных мне мало - сказал он ведущему Марафона. 
-- Ах, да! - осознал ошибку ведущий - Тогда пусть Петром зовут не среднего,​ а старшего сына Николая. 
-- К сожалению,​ это не спасет задачу. А вот если Николай назовет Петром своего младшего сына, тогда задача будет иметь единственное решение! 
- 
-Что за число написал ведущий?​ 
- 
-[[problem_118|Решение задачи 118]] 
- 
----- 
- 
-===== ММ117 ===== 
- 
-Задача ММ117 утратила статус конкурсной и может свободно обсуждаться. 
- 
-Призовые баллы за решение ММ117 учитываются дважды:​ в тематическом конкурсе и в основном Марафоне. ​ 
-А сама задача ММ117 является прямым продолжением задачи ММ115 и так же как ММ115 предложена Сергеем Половинкиным. 
- 
-** Конкурсная задача ММ117 (Ш-4) ** (7 баллов) 
- 
-На шахматной доске расставлено 64 белых коня. Какое минимальное количество коней нужно заменить черными,​ так чтобы в полученной позиции,​ действуя по правилам задачи ММ115, было бы невозможно получить хотя бы один одноцветный квадрат 5Х5?  
-Каково количество таких позиций?​ 
- 
-[[problem_117|Решение задачи 117]] 
----- 
- 
-===== ММ116 ===== 
- 
-Задача ММ116 навеяна обсуждением одной из последовательностей в OEIS. 
- 
-** Конкурсная задача ММ116 ** (10 баллов) 
- 
-Сколько существует связных графов,​ таких что произведение степеней вершин равно: 
-а) сумме степеней вершин;​\\ 
-б) сумме квадратов степеней вершин?​\\ 
- 
-[[problem_116|Решение задачи 116]] 
----- 
- 
- 
-===== ММ115 ===== 
- 
-Задача ММ15 составлена специально для Математического марафона **Сергеем Половинкиным**. 
- 
-Призовые баллы за решение ММ115 учитываются дважды:​ в тематическом конкурсе и в основном Марафоне. ​ 
- 
-**Конкурсная задача ММ115** (Ш-3) (10 баллов) 
- 
-На шахматной доске расставлены кони. 
- 
-{{:​marathon:​407024bebd3e_1_.jpg|:​pic_115}} 
- 
-Разрешается менять цвет фигур ​ одновременно в клетках на одной вертикали,​ горизонтали ​ или диагонали (в частности,​ в одной угловой клетке - считается,​ что она сама - диагональ). Можно ли получить одноцветный квадрат 5X5 в каком-либо месте доски? 
- 
-[[problem_115|Решение задачи 115]] 
----- 
- 
-===== ММ114 ===== 
- 
-**Конкурсная задача ММ114** (7 баллов) 
- 
-Спорный участок имеет форму правильного треугольника периметром 100 м.\\ 
-Х, отстаивающий свое право собственности,​ решил для надежности обнести участок забором и приобрел 100 м сетки-рабицы. ​ 
-Но к тому моменту,​ когда X закупил сетку, состоялся суд, присудивший разделить спорный участок между X и Y.  
-Линия раздела прошла по прямой через центр участка. А Y тут же оградил свою часть. Когда X оградил свою, у него ​ 
-осталось 47 метров неиспользованной сетки.\\ 
-Найти площади участков,​ доставшихся X и Y.  ​ 
- 
-[[problem_114|Решение задачи 114]] 
----- 
- 
- 
-===== ММ113 ===== 
- 
-Результат Задачи ММ113 учитывается дважды:​ в тематическом конкурсе и в основном Марафоне. ​ 
- 
-**Конкурсная задача ММ113 (Ш-3)[/​color]** (10 баллов) 
- 
-На множестве полей шахматной доски определим структуру графа G<​sub>​N</​sub>​ следующим образом:​ 
-две вершины (два поля) будем считать смежными,​ если конь может за один ход переместиться из одной вершины в другую. 
-Аналогично определим граф слона G<​sub>​B</​sub>,​ граф ладьи G<​sub>​R</​sub>,​ граф ферзя G<​sub>​Q</​sub>​ и граф короля G<​sub>​K</​sub>​. 
-Для каждого из этих графов:​\\ 
-1. Найти\\ 
-а) количество ребер;​\\ 
-б) количество компонент связности;​\\ 
-в) радиус и диаметр каждой компоненты;​\\ 
-г) наибольшую клику.\\ 
-2. Выяснить является ли граф:\\ 
-а) двудольным;​\\ 
-б) эйлеровым;​\\ 
-в) гамильтоновым;​\\ 
-г) планарным?​ 
- 
-[[problem_113|Решение задачи 113]] 
----- 
- 
-===== ММ112 ===== 
-Светлой памяти C5 ЕГЭ посвящается. 
- 
-** Конкурсная задача ММ112 ** (6 баллов) 
- 
-Решить уравнение при всех возможных наборах значений параметров a и b:\\ 
-11x+a<​sup>​2</​sup>​-2a+b<​sup>​2</​sup>​+4b+|2x+a<​sup>​2</​sup>​-2a+4b+b<​sup>​2</​sup>​|+|-3x+2+a<​sup>​2</​sup>​-2a-4b-b<​sup>​2</​sup>​|+|-x-4b-b<​sup>​2</​sup>​+a<​sup>​2</​sup>​-2a|+18|x-2|=20 
- 
-[[problem_112|Решение задачи 112]] 
----- 
- 
-===== ММ111 ===== 
- 
-Результат Задачи ММ111 учитывается дважды:​ в тематическом конкурсе и в основном Марафоне. ​ 
- 
-**Конкурсная задача ММ111 (Ш-1)** (3 балла) 
- 
-Найти количество способов,​ которыми за наименьшее возможное число ходов ​ из начальной позиции может быть получена позиция на диаграмме.\\ 
-{{:​marathon:​pic_111.jpg|:​marathon:​pic_111.jpg}} 
- 
-Примечание:​\\ 
-Ходы должны делаться по всем правилам шахматной игры. 
- 
-[[problem_111|Решение задачи 111]] 
- 
----- 
- 
- 
-===== ММ110 ===== 
- 
-** Конкурсная задача ММ110 (КГ-5) ** (6 баллов) 
- 
-Квадрат со стороной n (n - натуральное,​ большее 1) разрезали на 4 прямоугольника с целочисленными сторонами. Сколько различных значений может принимать сумма 
-периметров полученных прямоугольников при всех таких разрезаниях?​ 
- 
-[[problem_110|Решение задачи 110]] 
- 
----- 
- 
- 
-===== ММ109 ===== 
- 
-** Конкурсная задача ММ109 ** (6 баллов) 
- 
-Тремя семействами параллельных линий плоскость разрезана на равные треугольники. 
-Можно ли в каждый труегольник вписать одно из чисел 1, 2, 3 так, чтобы:​\\ 
-1) хотя бы в один треугольник была вписана тройка;​\\ 
-2) число в каждом треугольнике указывало,​ сколько различных чисел написано в  
-трех треугольниках,​ имеющих общую сторону с данным?​ 
- 
-[[problem_109|Решение задачи 109]] 
- 
----- 
- 
- 
- 
-===== ММ108 ===== 
- 
-Задачка с антресолей. 
- 
-** Конкурсная задача ММ108 ** (4 балла) 
- 
-Однородную пирамиду разрезали на слои равной толщины плоскостями,​ параллельными 
-основанию. При каком наименьшем количестве частей их можно будет разложить на 
-разные чаши равноплечных весов без гирь так, чтобы весы уравновесились?​ 
- 
-[[problem_108|Решение задачи 108]] 
- 
----- 
- 
- 
- 
-===== ММ107 ===== 
- 
-Наталия Макарова предложила посвятить целый тур Марафона любимым ею  
-магическим и латинским квадратам. К столь радикальным шагам я пока не готов, 
-но, в порядке эксперимента,​ предлагаю участникам "​квадратную"​ задачку, ​ 
-навеянную предлагаемыми задачами,​ но значительно более простую. 
- 
-** Конкурсная задача ММ107 ** (4 балла) 
- 
-Существует ли магический квадрат 3х3, составленный и попарно различных простых 
-чисел, магическая сумма которого,​ тоже простое число? 
- 
-Примечание:​\\ 
-Магический квадрат - это квадратная матрица,​ у которой сумма элементов каждой ​ 
-строки (столбца,​ большой диагонали) равна одному и тому же числу (магической ​ 
-сумме). ​ 
- 
-[[problem_107|Решение задачи 107]] 
- 
----- 
- 
- 
- 
-===== ММ106 ===== 
- 
-Некоторые из марафонских задач привели к появлению новых последовательностей ​ 
-в OEIS. Макс Алексеев предложил использовать обратный механизм. ​ 
- 
-** Конкурсная задача №106 ** (от 3 баллов) 
- 
-Последовательность A116983 из OEIS определяется так:\\ 
-a(n) есть порядковый номер n! при лексико-графическом упорядочении наборов 
-цифр числа n! (система счисления десятичная). Последнее число, представленное ​ 
-в OEIS, - a(14). ​ Требуется найти еще несколько членов A116983. 
- 
-Примечание:​\\ 
-Три балла будут присуждаются за нахождение a(15). За нахождение большего числа 
-членов последовательности можно заработать больше баллов (но шкала, конечно, ​ 
-не линейная). 
- 
-[[problem_106|Решение задачи 106]] 
- 
----- 
- 
- 
- 
-===== ММ105 ===== 
- 
-** Конкурсная задача ММ105 ** (6 баллов) 
- 
-Математик C загадал некий граф и сообщил математику A степени всех вершин,​ 
-а математику B - количество вершин и число связных компонент этого графа. 
-Дальше,​ как водится,​ состоялся обмен мнениями.\\ 
-A: Знание степеней всех вершин графа не позволяет мне одозначно определить, ​ 
-какой граф был загадан.\\ 
-B: Зато я теперь в состоянии сделать это. 
- 
-Сколько ребер было в загаданном графе? ​   
- 
-Примечание:​\\ 
-Рассматриваются классические графы (неориентированные,​ без петель и кратных 
-ребер). 
- 
-[[problem_105|Решение задачи 105]] 
- 
----- 
- 
- 
- 
- 
-===== ММ104 ===== 
-Баллы, полученные за решение данной задачи учитываются дважды:​ 
-в основном Марафоне и в тематическом конкурсе. 
-А сама задача является прямым продолжением задач ММ57, ММ101, ММ102 и ММ103. 
- 
-** Конкурсная задача ММ104 (КГ-4) ** (9 баллов) 
- 
-Два выпуклых n-угольника назовем изоморфными,​ если изоморфны их  
-сопровождающие графы. ​ 
- 
-Два выпуклых n-угольника назовем однотипными,​ если в разбиениях этих ​ 
-многоугольников на элементарные присутствует поровну треугольников, ​ 
-поровну четырехугольников и т.д. 
- 
-1. Имеется ли логическая зависимость между однотипностью и изоморфностью 
-выпуклых многоугольников?​\\ 
-2. На сколько классов однотипных семиугольников разбиваются ординарные ​ 
-семиугольники?​\\ 
-3. На сколько классов изоморфных семиугольников разбиваются ординарные ​ 
-семиугольники?​ 
- 
-[[problem_104|Решение задачи 104]] 
- 
----- 
- 
- 
- 
-===== ММ103 ===== 
-Баллы, полученные за решение данной задачи учитываются дважды:​ 
-в основном Марафоне и в тематическом конкурсе. 
-А сама задача является прямым продолжением задач ММ57, ММ101 и ММ102. 
- 
-** Конкурсная задача ММ103 (КГ-3) ** (3 балла) 
- 
-Сопоставим каждому выпуклому многоугольнику (сопровождающий) граф по следующему 
-правилу:​\\ ​ 
-вершинами графа будут элементарные многоугольники;​\\ 
-две вершины смежны,​ если соответствующие многоугольники имеют общую сторону. 
- 
-1. Доказать,​ что сопровождающий граф любого выпуклого многоугольника 
-является планарным и двудольным.\\ 
-2. Сформулировать условие ординарности многоугольника в терминах ​ 
-сопровождающего графа. 
- 
-[[problem_103|Решение задачи 103]] 
- 
----- 
- 
- 
-===== ММ102 ===== 
-Баллы, полученные за решение данной задачи учитываются дважды:​ 
-в основном Марафоне и в тематическом конкурсе.\\ 
-А сама задача является прямым продолжением задач ММ57 и ММ101. 
- 
-** Конкурсная задача ММ102 (КГ-2) **  (9 баллов) 
- 
-На какое наименьшее число частей может разбиваться диагоналями выпуклый n-угольник ​ 
-при:\\ 
-a) n = 6;\\ 
-b) n = 7;\\ 
-c) n = 8;\\ 
-d) n = 9? 
- 
-**Примечание**:​\\ 
-Цена задачи указана весьма условно.\\ 
-Я не умею строго обосновывать минимальность известных мне разбиений не для всех указанных n. 
-Соответственно и сами известные мне ответы могут оказаться неверными. 
-9 призовых баллов будет присуждаться за решения аналогичые моему (имеющие тот же  
-ответ и ту же степень строгости его обоснования). 
-За улучшение известных мне ответов,​ получение более строгих обоснований,​ получение 
-(хотя бы частично) обоснованных ответов для бОльших n будут начисляться дополнительные 
-призовые баллы. ​   
- 
-[[problem_102|Решение задачи 102]] 
- 
----- 
- 
- 
- 
-===== ММ101 ===== 
- 
-Баллы, полученные за решение данной задачи учитываются дважды:​ 
-в основном Марафоне и в тематическом конкурсе. 
-А сама задача является прямым продолжением задачи ММ57. 
- 
-** Конкурсная задача ММ101 (КГ-1) **  (8 баллов) 
- 
-Назовем многоугольник ординарным (термин "​регулярный",​ использованный в задаче №57, 
-явно неудачен),​ если он выпуклый и никакие 3 его диагонали не пересекаются в  
-одной точке внутри многоугольника. Пусть n - число сторон ординарного многоугольника. 
-Ординарный многоугольник разбивается своими диагоналями на многоугольники, ​ 
-которые мы будем называть элементарными. 
-Начиная с какого n, число элементарных четырехугольников может превысить число 
-элементарных треугольников?​ 
- 
-[[problem_101|Решение задачи 101]] 
- 
----- 
- 
- 
-====== Конкурс вне Конкурса ====== 
----- 
- 
-В каждой задаче тематического конкурса требовалось указать правило, ​ 
-по которому строится данная последовательность натуральных чисел. 
- 
-Цена задания определялась в зависимости от количества участников,​ 
-справившихся с ним. 
- 
-1)  6, 15, 35, 77, 91, 143, 187, 209,... 
-Цена задачи - 5 баллов 
- 
-2)  1, 1, 1, 2, 1, 3, 3, 2, 4, 4, 2, 7, 5, 4, 6, 6, 2, 12, 7, 6, 8, 8, 4, 15,  
-9, 6, 13,... 
-Цена задачи - 6 баллов 
- 
-3)  71, 431, 719, 1511,... 
-Цена задачи - 6 баллов 
- 
-4)  136, 244, 2178, 6514, 58618, 76438,... 
-Цена задачи - 5 баллов (с учетом наличия в OEIS) 
- 
-5)  2, 5, 11, 19, 30, 44, 62, 85, 115, 155, 210, 288,... 
-Цена задачи - 6 баллов 
- 
-6)  1, 3, 13, 61, 321,... 
-Цена задачи - 6 баллов 
- 
-7)  1, 2, 21, 224, 2521, 31446, 345621, 3845668, 43046721,​... ​ 
-Цена задачи - 7 баллов 
- 
-8)  2, 65, 72, 128, 250, 370, 468, 520, 637, 730,... 
-Цена задачи - 7 баллов 
- 
-9)  5, 13, 271, 7159,... 
-Цена задачи - 7 баллов 
- 
-10) 7, 13, 15, 21, 26, 31, 40, 42, 43, 57, 62, 63, 73, 80, 85, 86, 91, 93, 111, 114, 121,​... ​ 
-Цена задачи - 7 баллов 
- 
-[[problem_100.5|Конкурс вне Конкурса. Решение]] ​ 
- 
----- 
- 
-  * [[ММ61-100|Задачи ММ61-100]] 
- 
-  * [[http://​www-old.fizmat.vspu.ru/​konkurs/​archive.htm| Задачи 1-60]] 
- 
-  * [[addition_56|Приложение к ММ56]] ​ 
- 
----- 
 

 


Страница: [[marathon:archive]]

marathon/archive.1447396664.txt · Последние изменения: 2015/11/13 09:37 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006