|
||||||||||||||||||
|
Это старая версия документа. Архив МарафонаММ210Конкурсная задача ММ210 (13 баллов)
1. Пусть М = {ha, hb, hc, ba, bb, bc, ma, mb, mc} - множество, состоящее из величин высот, биссектрис, и медиан некоторого треугольника. Сколько элементов может быть в M?
Примечание. ММ209Конкурсная задача ММ209 (9 баллов) Эта задача прямое продолжение задач ММ29 и ММ39 Назовем натуральное число a третькубом, по основанию g, если дважды приписав в g-ичной системе a к себе получим полный куб. Доказать, что существует бесконечно много оснований g, для которых есть третькубы. ММ208Конкурсная задача ММ208 (7 баллов) От двух до пяти. Найти наименьшее натуральное число, представимое в виде суммы пяти натуральных слагаемых не менее чем четырьмя способами, таким образом, что любые три слагаемых взаимно просты, а любые два не взаимно просты,. ММ207Конкурсная задача ММ207 (13 баллов) Задача ММ207 является прямым продолжением задач ММ77 и ММ206
Обозначим через A(a,d) максимально возможное количество последовательных натуральных чисел таких, что первое из имеет ровно a натуральных делителей, второе - a+d, третье - a+2d и т.д. (иными словами, количества делителей последовательных чисел образуют арифметическую прогрессию с первым членом a и разностью d). ММ206Конкурсная задача ММ206 (11 баллов) Задача ММ206 является прямым продолжением задачи ММ77
Каждое из n натуральных чисел, идущих подряд, имеет ровно k натуральных делителей. Какое наибольшее значение может принимать n, если Замечание: Относительно скромное количество призовых баллов за эту задачу обусловлено тем, что при ее решении можно воспользоваться не только решением ММ77, но и результатами статьи, на которую есть ссылка в обсуждении. ММ205Конкурсная задача ММ205 (7 баллов) Вася выписывает в порядке возрастания натуральные числа, имеющие по 2016 натуральных делителей. На каком шаге он впервые выпишет число, не кратное 2016? ММ204Конкурсная задача ММ204 (5 баллов) Найти натуральное число, которое в трех различных системах счисления записывается 102, 201 и 20001 соответственно. ММ203Конкурсная задача ММ203 (5 баллов) Единичный квадрат разрезали на 5 равновеликих фигур отрезками, параллельными диагоналям. Найти наименьшую возможную суммарную длину этих отрезков. ММ202Конкурсная задача ММ202 (5 баллов) При каких значениях параметра a разрешимо уравнение x2 - a = [x]{x}? ММ201Конкурсная задача ММ201 (3 балла) Для каждого натурального k найти все возможные n, при которых множество {1, 2, …, n} можно разбить на классы так, что наибольший элемент в каждом классе ровно в k раз больше количества элементов класса. —-
|
|||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|