|
||||||||||||||||||
|
Это старая версия документа. СодержаниеАрхив МарафонаММ220Конкурсная задача ММ220 (15 баллов) Найти наименьшее v такое, что существует многогранник, имеющий v вершин и 2016 диагоналей, а многогранника, имеющего v+1 вершину и 2016 диагоналей, не существует. ММ219Конкурсная задача ММ219 (8 баллов) Какое наибольшее количество диагоналей может иметь одиннадцатигранник? ММ218Конкурсная задача ММ218 (5 баллов) Найти наименьшее возможное количество диагоналей многогранника, имеющего 2017 ребер. ММ217Конкурсная задача ММ217 (6 баллов) Диагонали AC1 и BD1 шестигранника ABCDA1B1C1D1, все грани которого четырехугольны, пересекаются в точке O. Могут ли остальные пары диагоналей скрещиваться? ММ216Конкурсная задача ММ216 (10 баллов)
Назовем натуральное число n красивым, если наименьшее натуральное число, имеющее ровно n натуральных делителей, кратно n. ММ215Конкурсная задача ММ215 (4 балла) На какое наименьшее количество тетраэдров можно разрезать шестиугольную призму? ММ214Конкурсная задача ММ214 (4 балла)
1. Все грани многогранника - n-угольники. При каких n это возможно? ММ213Конкурсная задача ММ213 (4 балла)
1. Пусть H = {h1, h_2,…, hf} , где f - количество граней, а hi - число сторон i -й грани. Какое наименьшее значение может принимать f-|H| ? ММ212Конкурсная задача ММ212 (4 балла) Доказать, что любой многогранник, имеющий 2016 вершин, может быть разрезан на 4030 тетраэдров. Решение ММ211Конкурсная задача ММ211 (3 балла) Доказать, что при любом четном f > 4 существует многогранник, имеющий f граней, все грани которого четырехугольники. ММ210Конкурсная задача ММ210 (13 баллов)
1. Пусть М = {ha, hb, hc, ba, bb, bc, ma, mb, mc} - множество, состоящее из величин высот, биссектрис, и медиан некоторого треугольника. Сколько элементов может быть в M?
Примечание. ММ209Конкурсная задача ММ209 (9 баллов) Эта задача прямое продолжение задач ММ29 и ММ39 Назовем натуральное число a третькубом, по основанию g, если дважды приписав в g-ичной системе a к себе получим полный куб. Доказать, что существует бесконечно много оснований g, для которых есть третькубы. ММ208Конкурсная задача ММ208 (7 баллов) От двух до пяти. Найти наименьшее натуральное число, представимое в виде суммы пяти натуральных слагаемых не менее чем четырьмя способами, таким образом, что любые три слагаемых взаимно просты, а любые два не взаимно просты,. ММ207Конкурсная задача ММ207 (13 баллов) Задача ММ207 является прямым продолжением задач ММ77 и ММ206
Обозначим через A(a,d) максимально возможное количество последовательных натуральных чисел таких, что первое из имеет ровно a натуральных делителей, второе - a+d, третье - a+2d и т.д. (иными словами, количества делителей последовательных чисел образуют арифметическую прогрессию с первым членом a и разностью d). ММ206Конкурсная задача ММ206 (11 баллов) Задача ММ206 является прямым продолжением задачи ММ77
Каждое из n натуральных чисел, идущих подряд, имеет ровно k натуральных делителей. Какое наибольшее значение может принимать n, если Замечание: Относительно скромное количество призовых баллов за эту задачу обусловлено тем, что при ее решении можно воспользоваться не только решением ММ77, но и результатами статьи, на которую есть ссылка в обсуждении. ММ205Конкурсная задача ММ205 (7 баллов) Вася выписывает в порядке возрастания натуральные числа, имеющие по 2016 натуральных делителей. На каком шаге он впервые выпишет число, не кратное 2016? ММ204Конкурсная задача ММ204 (5 баллов) Найти натуральное число, которое в трех различных системах счисления записывается 102, 201 и 20001 соответственно. ММ203Конкурсная задача ММ203 (5 баллов) Единичный квадрат разрезали на 5 равновеликих фигур отрезками, параллельными диагоналям. Найти наименьшую возможную суммарную длину этих отрезков. ММ202Конкурсная задача ММ202 (5 баллов) При каких значениях параметра a разрешимо уравнение x2 - a = [x]{x}? ММ201Конкурсная задача ММ201 (3 балла) Для каждого натурального k найти все возможные n, при которых множество {1, 2, …, n} можно разбить на классы так, что наибольший элемент в каждом классе ровно в k раз больше количества элементов класса.
|
|||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|