Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

--- marathon:archive [2017/11/12 13:29]
letsko
+++ marathon:archive [2021/03/29 07:54] (текущий)
letsko
@@ Строка 6: / Строка 6: @@
 ----
+===== ММ260 =====
+ **Конкурсная задача ММ260** (12 баллов)
+__Задача ММ260 обобщает и развивает ММ231__
+Пусть ABC - некоторый треугольник, точки K, L, M лежат соответственно на прямых AB, BC и AC, а s - некоторое действительное число, отличное от 0 и 1. Треугольник KLM будем называть подобно-вписанным в ?ABC, если\\
+AK=sAB, BL=sBC, CM=sCA;\\
+треугольник KLM подобен треугольнику ABC.\\
+Сколько подобно вписанных треугольников может быть у произвольного треугольника?
+[[problem 260|Решение задачи ММ260]]
+----
+===== ММ259 =====
+**Конкурсная задача ММ259** (8 баллов)
+Может ли треугольник с вершинами в центроиде и центрах вписанной и описанной окружностей некоторого треугольника быть\\
+a) равновелик;\\
+б) подобен;\\
+в) равен \\
+исходному?
+[[problem 259|Решение задачи ММ259]]
+----
+===== ММ258 =====
+ **Конкурсная задача ММ258** (7 баллов)
+Сколько элементов содержит множество сумм квадратов цифр квадратов чисел, в десятичной записи которых присутствуют по одному разу ровно три ненулевых цифры: 1, 4, 9? (Нулей может быть сколько угодно).
+[[problem 258|Решение задачи ММ258]]
+----
+===== ММ257 =====
+ **Конкурсная задача ММ257** (9 баллов)
+__Задача ММ257 сюжетно связана с ММ237__
+Студент математического факультета Вася Пупкин пропустил (по уважительной причине) занятие по дискретной математике. Однокурсники рассказали, что на занятии рассматривался некий граф. Но ни один из них не зафиксировал этот граф ни с помощью гаджетов, ни на бумагу. Впрочем, Васины однокурсники, утверждают, что это не страшно, поскольку они и так помнят этот граф. В подтверждение своих слов они наперебой кинулись вспоминать характеристики графа:\\
+Аня: В графе было ровно 3 связных компоненты.\\
+Ваня: Причем во всех связных компонентах графа имелись циклы.\\
+Даня: А еще среди связных  компонент не было изоморфных.\\
+Маня: Число ребер в одной из компонент было равно половине общего числа ребер.\\
+Саня: При этом число ребер было равно сумме количеств вершин и связных компонент.\\
+Таня: В графе была всего одна вершина степени 3.\\
+Зина: А всего в графе было не более 13 вершин.\\
+Лина: И при этом не было висячих вершин. \\
+Нина: А степень одной из вершин не менее чем на 2 превосходила степень каждой из остальных вершин.\\
+Фаина: Зина, Лина и Нина правы.\\
+Услышавший эти реплики преподаватель сказал, что память подвела ровно одного человека.\\
+Сможет ли Вася (умница и отличник) однозначно восстановить граф?\\
+[[problem 257|Решение задачи ММ257]]
+----
+===== ММ256 =====
+**Конкурсная задача ММ256** (8 баллов)
+При каком наименьшем натуральном n уравнение n{x}<sup>2</sup> +{x}=[x] имеет не менее 1000000 решений в рациональных числах?
+__Примечание: {x} – дробная часть числа x, [x]  – целая часть (пол) числа x.__
+[[problem 256|Решение задачи ММ256]]
+----
+===== ММ255 =====
+**Конкурсная задача ММ255** (7 баллов)
+Найти наименьшее натуральное число, имеющее ровно 7 представлений в виде произведения наибольшего возможного количества попарно различных натуральных сомножителей.
+[[problem 255|Решение задачи ММ255]]
+----
+===== ММ254 =====
+**Конкурсная задача ММ254** (6 баллов)
+Вася вписал круг в треугольник со сторонами 3, 4, 5. И вписывает новые круги так, что каждый последующий касается двух сторон треугольника и одного из предыдущих кругов. Может ли суммарная площадь кругов превысить 80% от площади треугольника и на каком шаге (круге) может случиться это событие?
+[[problem 254|Решение задачи ММ254]]
+----
+===== ММ253 =====
+**Конкурсная задача ММ253** (5 баллов)
+Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C<sub>1</sub> равна 2. Сечение призмы, проходящее через середину отрезка AB<sub>1</sub> перпендикулярно ему имеет площадь 28sqrt(39)/81. Найти объем призмы?
+[[problem 253|Решение задачи ММ253]]
+----
+===== ММ252 =====
+**Конкурсная задача ММ252** (3 балла)
+Для числа 90 существуют две пары представлений в виде произведения трех сомножителей таких, что суммы сомножителей внутри каждой пары одинаковы:
+=1⋅9⋅10=2⋅3⋅15,  1+9+10=2+3+15;\\
+=2⋅5⋅9=3⋅3⋅10,  2+5+9=3+3+10.\\
+Доказать, что существует бесконечно много натуральных чисел вида p<sup>k</sup>q (p, q – простые, k – натуральное), обладающих таким свойством.
+[[problem 252|Решение задачи ММ252]]
+----
+===== ММ251 =====
+**Конкурсная задача ММ251** (3 балла)
+Из книги вырвано несколько страниц. Сумма номеров оставшихся страниц 5001. Пусть n – наименьшее возможное число страниц, которое могло быть в этой книге изначально. Найдите наибольший возможный номер отсутствующей страницы, при условии, что в книге было n страниц.
+[[problem 251|Решение задачи ММ251]]
+----
+===== ММ250 =====
+**Конкурсная задача ММ250** (14 баллов)
+Найти наименьшее возможное количество ребер выпуклого многогранника, у которого сумма длин ребер равна сумме длин диагоналей.
+[[problem 250|Решение задачи ММ250]]
+----
+===== ММ249 =====
+**Конкурсная задача ММ249** (10 баллов)
+Пусть k – натуральное число и a – некоторая перестановка 2020-элементного множества. Может ли уравнение x<sup>k</sup>=a иметь ровно 2020 решений?
+[[problem 249|Решение задачи ММ249]]
+----
+===== ММ248 =====
+**Конкурсная задача ММ248** (8 баллов)
+Найти наименьшее натуральное k такое, что во множестве {(τ(kn))/(τ(n))|n ∈ N} ровно 13 целых чисел.
+[[problem 248|Решение задачи ММ248]]
+----
+===== ММ247 =====
+**Конкурсная задача ММ247** (7 баллов)
+Пусть k – фиксированное натуральное число. Для натуральных n определим функцию f<sub>k</sub>(n)=lcm(n, n+1,..., n+k-1)/lcm(n+1, n+2,..., n+k)}
+Найти наименьшие значения f<sub>5</sub>(n) и f<sub>9</sub>(n).
+[[problem 247|Решение задачи ММ247]]
+----
+===== ММ246 =====
+**Конкурсная задача ММ246** (7 баллов)
+Сколько (с точностью до подобия) существует разносторонних треугольников, разрезаемых на два равнобедренных более чем одним способом?
+[[problem 246|Решение задачи ММ246]]
+----
+===== ММ245 =====
+**Конкурсная задача ММ245** (5 баллов)
+В остроугольном треугольнике ABC провели высоту BH.
+Найти отношение площадей треугольников ABH и CBH, если первый из них подобен треугольнику из своих медиан, а второй – треугольнику из своих высот.
+[[problem 245|Решение задачи ММ245]]
+----
+===== ММ244 =====
+**Конкурсная задача ММ244** (6 баллов)
+Галя предложила Ане, Боре и Васе такую загадку:\\
+- Я задумала три попарно различных ненулевых цифры. Сейчас я по секрету сообщу Ане сумму квадратов, Боре произведение, а Варе сумму задуманных цифр. Попробуйте отгадать эти цифры.
+Узнав сумму квадратов произведение и сумму, Аня, Боря и Вася сначала задумались, а затем разговорились: \\
+А: Я не могу определить, что это за цифры.\\
+Б: И я не могу.\\
+В: И я тоже.\\
+A: Тогда я их знаю!\\
+Б: После этой реплики и я их знаю.\\
+Что это за тройка цифр? \\
+Примечание: У Ани, Бори и Васи все хорошо с арифметикой и логикой.
+[[problem 244|Решение задачи ММ244]]
+----
+===== ММ243 =====
+**Конкурсная задача ММ243** (5 баллов)⊥
+В треугольнике ABC a<b<c и a⋅l<sub>a</sub>=c⋅l<sub>c</sub> Найти угол β.
+[[problem 243|Решение задачи ММ243]]
+----
+===== ММ242 =====
+**Конкурсная задача ММ242** (5 баллов)
+На сайте проводится опрос, кого из m номинированных футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует один раз за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста - доля голосов, отданных за него, в процентах, округленных до целого числа. После того, как проголосовали n посетителей, суммарный рейтинг номинантов составил 95%.\\
+a) При каком наименьшем m такое возможно?\\
+b) При каком наименьшем n такое возможно?\\
+c) При каком наименьшем m+n такое возможно?
+[[problem 242|Решение задачи ММ242]]
+----
+===== ММ241 =====
+**Конкурсная задача ММ241** (4 балла)
+При каких натуральных n множество {1, 2, …, n} можно разбить на два подмножества так, что произведение элементов первого подмножества равно сумме элементов второго?
+[[problem 241|Решение задачи ММ241]]
+----
+===== ММ240 =====
+**Конкурсная задача ММ240** (13 баллов)
+Проективную плоскость разбили несколькими прямыми общего положения. При этом образовалось ровно 17 треугольников. Сколько пятиугольников могло при этом получиться?
+[[problem 240|Решение задачи ММ240]]
+----
+===== ММ239 =====
+**Конкурсная задача ММ239** (10 баллов)
+Существует ли выпуклый многогранник, у которого:\\
+a) не менее половины граней - семиугольники;\\
+b) более половины граней - семиугольники; \\
+с) не менее половины граней - восьмиугольники;\\
+d) более половины граней - восьмиугольники;\\
+e) не менее половины граней  - девятиугольники?
+//Примечание: Если у вас получается, что ответ на пункт «а» отрицательный, а на пункт «b» - положительный, подумайте еще.//
+[[problem 239|Решение задачи ММ239]]
+----
+===== ММ238 =====
+**Конкурсная задача ММ238** (7 баллов)
+Вася написал на доске k последовательных натуральных чисел и нашел их НОК - V.\\
+Петя написал k последовательных натуральных чисел, больших Васиных, и тоже нашел их НОК - P. \\
+Оказалось, что  2018 < V/P < 2019. \\
+При каком наименьшем k такое возможно?
+----
+[[problem 238|Решение задачи ММ238]]
+----
+===== ММ237 =====
+**Конкурсная задача ММ237** (7 баллов)
+Студент математического факультета Вася Пупкин написал на доске некоторую перестановку A из S<sub>10</sub>  в виде произведения независимых циклов (запись каждого цикла начинается с наименьшего элемента; опускались ли в записи циклы длины 1  - неизвестно).  Васины однокурсники прокомментировали эту запись.
+Аня: A<sup>6</sup>  – тождественная перестановка.\\
+Ваня: Длины всех циклов A – числа Фибоначчи.\\
+Даня: В S<sub>10</sub> существует ровно 3 перестановки, квадрат которых равен A.\\
+Маня: Хм, уравнение X<sup>2</sup> =B не может иметь в S<sub>10</sub> ровно 3 решения ни при каком B.\\
+Саня: Более того, количество решений уравнения X<sup>2</sup> =B в S<sub>10</sub> не может быть нечетным  ни при каком B.\\
+Таня: Квадрат наибольшего элемента в самом длинном цикле меньше порядка A.\\
+Зина: A<sup>5</sup>  имеет столько же циклов, сколько и A.\\
+Лина: Внутри всех циклов элементы строго возрастают.\\
+Нина: Произведение всех элементов одного из циклов кратно произведению всех элементов более длинного цикла и сумме всех элементов более короткого.\\
+Фаина: Зина, Лина и Нина правы.
+Вася (умница и отличник) заметил, что количество верных утверждений его однокурсников равно наибольшей длине цикла в A.\\
+Найдите A.
+[[problem 237|Решение задачи ММ237]]
+----
+===== ММ236 =====
+**Конкурсная задача ММ236** (7 баллов)
+Натуральные числа от 1 до 4n разбили на четыре группы по n чисел в каждой. Оказалось, что произведение всех чисел из первой группы равно произведениям всех чисел из второй и третьей групп. Найти наименьшую возможную сумму чисел четвертой группы.
+[[problem 236|Решение задачи ММ236]]
+----
+===== ММ235 =====
+**Конкурсная задача ММ235** (7 баллов)
+Существует ли выпуклый многогранник, у которого равны: количество ребер; количество диагоналей; суммарное количество диагоналей граней?
+[[problem 235|Решение задачи ММ235]]
+----
+===== ММ234 =====
+**Конкурсная задача ММ234** (5 баллов)
+Функция g(n) натурального аргумента n задается так:\\
+Пусть n натуральное число. Определим  f(n) как число, полученное удалением последней цифры из десятичной записи n, увеличенное на квадрат этой цифры.\\
+Например, f(576) = 57 + 36 = 93.\\
+Тогда g(n)  = |{n, f(n), f(f(n)), f(f(f(n))), …}|.\\
+Пусть a и b  –  2018-значные числа. Может ли оказаться, что g(a) = g(b) + 26?
+[[problem 234|Решение задачи ММ234]]
+----
+===== ММ233 =====
+**Конкурсная задача ММ233**  (6 баллов)\\
+Очередной отголосок ЕГЭ в Марафоне
+При каких значениях параметра a множество точек плоскости, задаваемых системой \\
+ (x - a + 1)<sup>2</sup> + (y - 3)<sup>2</sup> ≤ 80, \\
+(x - 3)<sup>2</sup> + (y - 4a + 1)<sup>2</sup> ≤ 20a<sup>2</sup>, \\
+-  2a = |4x + 3y + 115 - a| + |4x + 3y - 115 + a| \\
+является кругом?
+[[problem 233|Решение задачи ММ233]]
+----
+===== ММ232 =====
+**Конкурсная задача ММ232**  (6 баллов)
+Сколько решений в натуральных числах,  имеет уравнение **x<sup>3</sup> + y<sup>3</sup> = z<sup>3</sup> - i** для каждого  **i ∈ {1, 2, 4}** ?
+Я нашел воистину замечательные ответы на эти вопросы, но поля...
+Надеюсь, у конкурсантов с полями все хорошо.
+[[problem 232|Решение задачи ММ232]]
+----
+===== ММ231 =====
+**Конкурсная задача ММ231**  (4 балла)
+На сторонах AB, BC и AC египетского треугольника ABC выбрали точки C<sub>1</sub>, A<sub>1</sub> и B<sub>1</sub> соответственно. Оказалось, что треугольники AB<sub>1</sub>C<sub>1</sub>, BC<sub>1</sub>A<sub>1</sub> и CA<sub>1</sub>B<sub>1</sub> равновелики. Какую часть площади ABC составляет площадь треугольника A<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C<sub>1</sub> при условии, что последний - прямоугольный?
+[[problem 231|Решение задачи ММ231]]
+----
+=====Терминология ММ228-230=====
+Несколько (не менее трех) прямых на плоскости называются **прямыми общего положения**, если любые 3 их них высекают треугольник. На рисунке 1 представлены 7 прямых общего положения.
+{{ :marathon:mm228-230.png |}}
+**Внешним контуром** конфигурации n прямых общего положения назовем многоугольник, высекаемый данными прямыми. На рисунке 1 это красный девятиугольник ABCDEFGHJ.\\
+**Внешним циклом** конфигурации назовем список количеств вершин внешних областей конфигурации, перечисленных в порядке обхода этих областей (направление и начало обхода не важны). Внешний цикл конфигурации, представленной на рисунке 1: (1, 2, 3, 3, 1, 3, 1, 5, 1, 2, 2, 2, 2, 2). \\
+**Выпуклыми вершинами** внешнего контура назовем вершины, в которых углы меньше развернутого.  На рисунке 1 выпуклыми вершинами являются A, C, E, J.\\
+**Обратными вершинами** назовем вершины внешнего контура, углы при которых больше развернутого. На рисунке 1 это вершины B, D, F, G, H.\\
+**Элементарными отрезками** назовем отрезки, концы которых являются соседним точками пересечения одной из прямых конфигурации с другими прямыми. Отрезок CD на рисунке 1 элементарен, а отрезок BC – нет.\\
+**Элементарными многоугольниками** назовем многоугольники, стороны которых являются элементарными отрезками (одна сторона – один отрезок). Например, треугольник DEF на рисунке 1 элементарен, а треугольник BCD – нет.\\
+**Впадиной** назовем участок внешнего контура между двумя соседними выпуклыми вершинами, содержащий хотя бы одну обратную вершину. Конфигурация, изображенная на рисунке 1 имеет 3 впадины ABC, CDE и EFGHJ.\\
+**Вектором граней** конфигурации назовем упорядоченный набор из n-2 чисел (где n – количество прямых), первое из которых равно количеству элементарных треугольников, второе – количеству элементарных четырехугольников и т. д. Вектор граней конфигурации, представленной на рисунке 1 – [6, 8, 1, 0, 0].
+----
+===== ММ230 =====
+**Конкурсная зхадача ММ230** (15 баллов)
+Может ли вектор граней конфигурации нескольких прямых общего положения начинаться с чисел 157, 5250, 52?
+[[problem 230|Решение задачи ММ230]]
+----
+===== ММ229 =====
+**Конкурсная задача ММ229** (7 баллов)
+Петя нарисовал на доске несколько прямых общего положения так, что все попарные точки пересечения прямых попали на чертеж.\\
+Вася выписал себе в тетрадь внешний цикл возникшей конфигурации: (1, 4, 3, 1, 4, 1, 2, 2, 3, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2, 4, 2, 1, 3). \\
+После этого Петя стер рисунок. Сможет ли Вася восстановить:\\
+) количество прямых;\\
+) количество элементарных многоугольников:\\
+) количество выпуклых вершин;\\
+) количество элементарных отрезков, ограничивающих внешний контур;\\
+) количество сторон выпуклой оболочки внешнего контура;\\
+) суммарное число сторон элементарных многоугольников;\\
+) количество обратных вершин;\\
+) количество впадин;\\
+) количество сторон внешнего контура?
+Примечание: Вася – умный.
+[[problem 229|Решение задачи ММ229]]
+----
+===== ММ228 =====
+**Конкурсная задача ММ228** (4 балла)
+Какое наименьшее число элементарных четырехугольников может быть в конфигурации из семи прямых общего положения?
+[[problem 228|Решение задачи ММ228]]
+----
+===== ММ227 =====
+**Конкурсная зхадача ММ227** (7 баллов)
+Пусть <m>n = {p_1}^{a_1}{p_2}^{a_2}...{p_s}^{a_s}</m> - каноническое разложение n. Обозначим через sopf(n) число <m>p_1+p_2+...p_s</m>.\\
+Назовем натуральное число k слабым, если уравнение x = k*sopf(x) неразрешимо в натуральных числах, и сильным в противном случае.\\
+Доказать, что сильных чисел бесконечно много.\\
+Найти наименьшее слабое число.\\
+Доказать, что слабых чисел бесконечно много.
+[[problem 227|Решение задачи ММ227]]
+----
+===== ММ226 =====
+**Конкурсная зхадача ММ226** (5 баллов)
+Назовем натуральное число n счастливым, если оно является точной седьмой степенью, а седьмой (при упорядочении по возрастанию) натуральный делитель n равен количеству натуральных делителей n.
+А есть ли, вообще, счастье в жизни? В смысле, существуют ли счастливые числа?
+[[problem 226|Решение задачи ММ226]]
+----
+=====ММ225=====
+**Конкурсная задача ММ225** (6 баллов)
+Найти все значения параметра a, при которых уравнение (2a+3)x<sup>2</sup> + xa + 3a - 1 = 0 имеет два целых корня.
+[[problem 225|Решение задачи ММ225]]
+----
+=====ММ224=====
+**Конкурсная задача ММ224** (6 баллов)
+В задаче, которую задали на дом Пете и Васе, требовалось найти площади треугольников, на которые разбивается исходный треугольник ABC трисектрисами, проведенными из вершины C. При сверке ответов у Пети и Васи совпали значения двух площадей: 2 и 4. Третья площадь у Пети оказалась равной 10, а у Васи  -  20. Найти угол С, если известно, что один из учеников получил за домашнее задание пятерку.
+[[problem 224|Решение задачи ММ224]]
+----
+=====ММ223=====
+**Конкурсная задача ММ223** (6 баллов)
+Рассмотрим две задачки.
+. Вася получил за четверть 5 оценок по географии. Ему удалось незаметно исправить в журнале первую из них с тройки на пятерку.  Выставляя итоговую оценку, учительница находит среднюю оценку и округляет ее до целой. Какова вероятность, что Васина оценка за четверть повысится при условии, что учительница не выявит подлога, а все допустимые упорядоченные наборы оценок равновероятны?
+. Вася получил за четверть 5 оценок по географии. Ему удалось незаметно исправить в журнале первую попавшуюся из них с тройки на пятерку.  Выставляя итоговую оценку, учительница находит среднюю оценку и округляет ее до целой. Какова вероятность, что Васина оценка за четверть повысится при условии, что учительница не выявит подлога, а все допустимые упорядоченные наборы оценок равновероятны?
+Какое из условий выгоднее для жуликоватого Васи?
+Примечание: Был ли журнал электронным – не важно.  Но важно, что колы не ставим: разрешается использовать  только оценки 2, 3, 4, 5
+[[problem 223|Решение задачи ММ223]]
+----
+=====ММ222=====
+**Конкурсная задача ММ222** (6 баллов)
+На доске написано 10 попарно различных натуральных чисел. После того как 5 из этих чисел разделили на 5, а другие 5 умножили на 5 возникли 10 попарно различных натуральных чисел, отличных от исходных. При этом сумма новых чисел оказалась в 3 раза больше суммы исходных.
+Пусть n - наименьшее возможное значение наибольшего из исходных чисел, для которых возможна описанная ситуация.
+Сколько существует различных наборов исходных чисел с наибольшим числом n+1?
+[[problem 222|Решение задачи ММ222]]
+----
+=====ММ221=====
+**Конкурсная задача ММ221** (4 балла)
+Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение 3x<sup>4</sup> + 2y<sup>3</sup> = 37<sup>z</sup> ?
+[[problem 221|Решение задачи ММ221]]
+----
 =====ММ220=====