|
||||||||||||||||||
|
Это старая версия документа. СодержаниеАрхив МарафонаММ245Конкурсная задача ММ245 (5 баллов) В остроугольном треугольнике ABC провели высоту BH. Найти отношение площадей треугольников ABH и CBH, если первый из них подобен треугольнику из своих медиан, а второй – треугольнику из своих высот. Решение Привожу решения Анатолия Казмерчука, Валентины Колыбасовой (оба, как обычно, подробные, с чертежами) и Виктора Филимоненкова (как обычно, краткое, хотя и не самое краткое). Обсуждение ММ245 не вызвала больших затруднений у участников. Изъятые баллы - следствие, скорее, недостаточной аккуратности. Хотя у меня были сомнения, стоит ли вообще изымать баллы. Ведь в условии сказано просто «найти отношение площадей», а не «найти отношение площади первого к площади второго». Дополнительный балл добавлен за переформулировку задачи таким образом, чтобы ответ стал единственным. У меня тоже возникало желание добиться единственности ответа. Но я не стал делать этого, решив отловить тех, кто потеряет один ответ. Капкан не сработал. Награды
За решение задачи ММ245 участники Марафона получают следующие призовые баллы: Эстетическая оценка задачи - 4.3 балла ММ244Конкурсная задача ММ244 (6 баллов)
Галя предложила Ане, Боре и Васе такую загадку: Решение Привожу решения Анатолия Казмерчука и Константина Шамсутдинова. Обсуждение
ММ244 оказалась первой задачей юбилейного конкурса, вызвавшей серьезные затруднения у участников. В отличие от большинства трудных задач из предыдущих конкурсов, затруднения не остановили конкурсантов и они прислали решения.
Тем самым, трудности возникли уже у ведущего: Отмечу, что перечисленные ситуации (наряду с тему, которые не вызвали вопросов) встречаются в присланных решениях. Наиболее коварный момент в задаче - второе заявление Бори. Сразу несколько конкурсантов проигнорировали начало этого заявления… и получили лишние решения. Меня удивило, что это их не удивило (иначе они бы перепроверили свои рассуждения). Представленные ниже призовые баллы - плод моих мучительных раздумий и рандомных порывов. Так что, не судите строго (как старался делать и я). На FB можно найти несколько разновидностей ММ244, предложенных Константином Кнопом. Там же есть решение Олега Полубасова (ушедшего в марафонское подполье). Награды
За решение задачи ММ244 участники Марафона получают следующие призовые баллы: Эстетическая оценка задачи - 4.4 балла ММ243Конкурсная задача ММ243 (5 баллов)⊥ В треугольнике ABC a<b<c и a⋅la=c⋅lc Найти угол β. Решение Привожу решения Анатолия Казмерчука, Валентины Колыбасовой и Анны Букиной (только они не поленились сделать чертежи). Еще одно решение (Виктора Филимоненкова) - пример одного из наиболее кратких решений Обсуждение
Задача не вызвала затруднений у конкурсантов.
Зато присланные решения довольно разннобразны. Награды
За решение задачи ММ243 участники Марафона получают следующие призовые баллы: Эстетическая оценка задачи - 4.4 балла ММ242Конкурсная задача ММ242 (5 баллов)
На сайте проводится опрос, кого из m номинированных футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует один раз за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста - доля голосов, отданных за него, в процентах, округленных до целого числа. После того, как проголосовали n посетителей, суммарный рейтинг номинантов составил 95%. Решение Привожу решения Анатолия Казмерчука и Валентины Колыбасовой. Обсуждение Судьбу задачи ММ242 решал ответ на 3-й вопрос. Придумав условие, я сразу для себя решил, что если в наименьшем m+n не будут участвовать ни наименьшее m, ни наименьшее n, то задача будет достаточно интересна, а в противном случае - скучна. О том, что можно будет заменить в условии число 95 (взятое от фонаря) я в тот момент почему-то не думал. Я был уверен, что наиболее сложен пункт c, и ожидал ошибок именно там. К чести конкурсантов с этим пунктом справились все. Но одному из участников неожиданно не покорился пункт b. Еще более неожиданной для меня были две попытки дать неверный ответ к пункту a, в связи с альтернативной трактовкой термина «округление». Мудрые составители ЕГЭ-шной задачи (коей навеяна ММ242) дали полное определение правил округления прямо в условии, а я был уверен, что у конкурсантов с этим проблем не будет…
Любопытны примеры, приведенные участниками в подтверждение ответа 11 к пункту a. В них встретились следующие значения n: Я не стал штрафовать участников ни за неверное утверждение, что минимальное n, при котором достигается m = 11, равно 31 (ведь в задаче про это не спрашивалось), ни за краткость в обоснованиях, полагая, что ссылка на перебор, с правильным указанием границ перебора является (при наличии верного ответа) достаточным обоснованием. Я ожидал достаточно массового упоминания того факта, что суммарный рейтинг может быть любым целым числом в пределах от 0 (например, каждый из 201 номинантов получил по 1 голосу) до 200 (например, каждый из 200 номинантов получил по 1 голосу). Однако данное утверждение обнаружилось лишь в одной работе и было поощрено дополнительным баллом. Награды
За решение задачи ММ242 участники Марафона получают следующие призовые баллы: Эстетическая оценка задачи - 4.5 балла ММ241Конкурсная задача ММ241 (4 балла) При каких натуральных n множество {1, 2, …, n} можно разбить на два подмножества так, что произведение элементов первого подмножества равно сумме элементов второго? Решение Привожу решения Александра Домашенко и Валентины Колыбасовой. Обсуждение На первую задачу юбилейного Марафонского конкурса поступило 10 решений. Радует появление сразу троих новых участников. Огорчает исчезновение примерно такого же числа участников предыдущего конкурса. Призываю их подключиться к конкурсу со следующей задачи.
Задача ММ241 не вызвала затруднений у большинства конкурсантов.
Но был один момент, вызвавший разногласия участников. Он касается разрешимости задачи для значений n=1 и n=3.
Участники разделись на 3 категории: Александр не проаргументировал свое мнение, что постановка задачи имеет смысл, начиная с n=4. Полагаю, он отталкивался от бинарности операций сложения и умножения. Аргументы Владислава и Константина - произведение элементов пустого множества равно 1, поэтому для n=1 можно поместить 1 в первое подмножество, а во второе не помещать ничего. Я согласен с аргументом про произведение элементов пустого множества, но… В формулировке идет речь о разбиении. А в разбиении по определению участвуют только непустые подмножества. Поэтому (а вовсе не из конформизма) я склонен присоединиться к большинству. Но при этом не снижал баллы тем, кто придерживается альтернативных мнений. Дополнительные баллы начислены за успешный поиск разбиений, не попадающих под общее описание (упоминание наличия таких разбиений и приведение единичного примера не учитывались). Мераб Левиашвили предложил несколько простых вариаций на тему задачи. Уточняю для него и других новичков Марафона, что дополнительными баллами такие предложения оцениваются при условии, что они содержат какие-то продвижения в указанных направлениях (ну, или если покажутся ведущему неожиданными и очень красивыми). Напоминаю как новичкам, так и некоторым забывчивым старожилам, что я жду от вас эстетических оценок предлагаемых задач. Награды
За решение задачи ММ241 участники Марафона получают следующие призовые баллы: Эстетическая оценка задачи - 4.5 балла ММ240Конкурсная задача ММ2409 (13 баллов) Проективную плоскость разбили несколькими прямыми общего положения. При этом образовалось ровно 17 треугольников. Сколько пятиугольников могло при этом получиться? ММ239Конкурсная задача ММ239 (10 баллов) Решения принимаются до 17.11.2018
Существует ли выпуклый многогранник, у которого: Примечание: Если у вас получается, что ответ на пункт «а» отрицательный, а на пункт «b» - положительный, подумайте еще. ММ238Конкурсная задача ММ238 (7 баллов)
Вася написал на доске k последовательных натуральных чисел и нашел их НОК - V. ММ237Конкурсная задача ММ237 (7 баллов) Студент математического факультета Вася Пупкин написал на доске некоторую перестановку A из S10 в виде произведения независимых циклов (запись каждого цикла начинается с наименьшего элемента; опускались ли в записи циклы длины 1 - неизвестно). Васины однокурсники прокомментировали эту запись.
Аня: A6 – тождественная перестановка.
Вася (умница и отличник) заметил, что количество верных утверждений его однокурсников равно наибольшей длине цикла в A. ММ236Конкурсная задача ММ236 (7 баллов) Натуральные числа от 1 до 4n разбили на четыре группы по n чисел в каждой. Оказалось, что произведение всех чисел из первой группы равно произведениям всех чисел из второй и третьей групп. Найти наименьшую возможную сумму чисел четвертой группы. ММ235Конкурсная задача ММ235 (7 баллов) Существует ли выпуклый многогранник, у которого равны: количество ребер; количество диагоналей; суммарное количество диагоналей граней? ММ234Конкурсная задача ММ234 (5 баллов)
Функция g(n) натурального аргумента n задается так: ММ233
Конкурсная задача ММ233 (6 баллов)
При каких значениях параметра a множество точек плоскости, задаваемых системой ММ232Конкурсная задача ММ232 (6 баллов) Сколько решений в натуральных числах, имеет уравнение x3 + y3 = z3 - i для каждого i ∈ {1, 2, 4} ? Я нашел воистину замечательные ответы на эти вопросы, но поля… Надеюсь, у конкурсантов с полями все хорошо. ММ231Конкурсная задача ММ231 (4 балла) На сторонах AB, BC и AC египетского треугольника ABC выбрали точки C1, A1 и B1 соответственно. Оказалось, что треугольники AB1C1, BC1A1 и CA1B1 равновелики. Какую часть площади ABC составляет площадь треугольника A1B1C1 при условии, что последний - прямоугольный? Терминология ММ228-230Несколько (не менее трех) прямых на плоскости называются прямыми общего положения, если любые 3 их них высекают треугольник. На рисунке 1 представлены 7 прямых общего положения.
Внешним контуром конфигурации n прямых общего положения назовем многоугольник, высекаемый данными прямыми. На рисунке 1 это красный девятиугольник ABCDEFGHJ. ММ230Конкурсная зхадача ММ230 (15 баллов) Может ли вектор граней конфигурации нескольких прямых общего положения начинаться с чисел 157, 5250, 52? ММ229Конкурсная задача ММ229 (7 баллов)
Петя нарисовал на доске несколько прямых общего положения так, что все попарные точки пересечения прямых попали на чертеж. Примечание: Вася – умный. ММ228Конкурсная задача ММ228 (4 балла) Какое наименьшее число элементарных четырехугольников может быть в конфигурации из семи прямых общего положения? ММ227Конкурсная зхадача ММ227 (7 баллов)
Пусть - каноническое разложение n. Обозначим через sopf(n) число . ММ226Конкурсная зхадача ММ226 (5 баллов) Назовем натуральное число n счастливым, если оно является точной седьмой степенью, а седьмой (при упорядочении по возрастанию) натуральный делитель n равен количеству натуральных делителей n. А есть ли, вообще, счастье в жизни? В смысле, существуют ли счастливые числа? ММ225Конкурсная задача ММ225 (6 баллов) Найти все значения параметра a, при которых уравнение (2a+3)x2 + xa + 3a - 1 = 0 имеет два целых корня. ММ224Конкурсная задача ММ224 (6 баллов) В задаче, которую задали на дом Пете и Васе, требовалось найти площади треугольников, на которые разбивается исходный треугольник ABC трисектрисами, проведенными из вершины C. При сверке ответов у Пети и Васи совпали значения двух площадей: 2 и 4. Третья площадь у Пети оказалась равной 10, а у Васи - 20. Найти угол С, если известно, что один из учеников получил за домашнее задание пятерку. ММ223Конкурсная задача ММ223 (6 баллов) Рассмотрим две задачки. 1. Вася получил за четверть 5 оценок по географии. Ему удалось незаметно исправить в журнале первую из них с тройки на пятерку. Выставляя итоговую оценку, учительница находит среднюю оценку и округляет ее до целой. Какова вероятность, что Васина оценка за четверть повысится при условии, что учительница не выявит подлога, а все допустимые упорядоченные наборы оценок равновероятны? 2. Вася получил за четверть 5 оценок по географии. Ему удалось незаметно исправить в журнале первую попавшуюся из них с тройки на пятерку. Выставляя итоговую оценку, учительница находит среднюю оценку и округляет ее до целой. Какова вероятность, что Васина оценка за четверть повысится при условии, что учительница не выявит подлога, а все допустимые упорядоченные наборы оценок равновероятны? Какое из условий выгоднее для жуликоватого Васи? Примечание: Был ли журнал электронным – не важно. Но важно, что колы не ставим: разрешается использовать только оценки 2, 3, 4, 5 ММ222Конкурсная задача ММ222 (6 баллов) На доске написано 10 попарно различных натуральных чисел. После того как 5 из этих чисел разделили на 5, а другие 5 умножили на 5 возникли 10 попарно различных натуральных чисел, отличных от исходных. При этом сумма новых чисел оказалась в 3 раза больше суммы исходных. Пусть n - наименьшее возможное значение наибольшего из исходных чисел, для которых возможна описанная ситуация. Сколько существует различных наборов исходных чисел с наибольшим числом n+1? ММ221Конкурсная задача ММ221 (4 балла) Сколько решений в натуральных числах имеет уравнение 3x4 + 2y3 = 37z ? ММ220Конкурсная задача ММ220 (15 баллов) Найти наименьшее v такое, что существует многогранник, имеющий v вершин и 2016 диагоналей, а многогранника, имеющего v+1 вершину и 2016 диагоналей, не существует. ММ219Конкурсная задача ММ219 (8 баллов) Какое наибольшее количество диагоналей может иметь одиннадцатигранник? ММ218Конкурсная задача ММ218 (5 баллов) Найти наименьшее возможное количество диагоналей многогранника, имеющего 2017 ребер. ММ217Конкурсная задача ММ217 (6 баллов) Диагонали AC1 и BD1 шестигранника ABCDA1B1C1D1, все грани которого четырехугольны, пересекаются в точке O. Могут ли остальные пары диагоналей скрещиваться? ММ216Конкурсная задача ММ216 (10 баллов)
Назовем натуральное число n красивым, если наименьшее натуральное число, имеющее ровно n натуральных делителей, кратно n. ММ215Конкурсная задача ММ215 (4 балла) На какое наименьшее количество тетраэдров можно разрезать шестиугольную призму? ММ214Конкурсная задача ММ214 (4 балла)
1. Все грани многогранника - n-угольники. При каких n это возможно? ММ213Конкурсная задача ММ213 (4 балла)
1. Пусть H = {h1, h_2,…, hf} , где f - количество граней, а hi - число сторон i -й грани. Какое наименьшее значение может принимать f-|H| ? ММ212Конкурсная задача ММ212 (4 балла) Доказать, что любой многогранник, имеющий 2016 вершин, может быть разрезан на 4030 тетраэдров. Решение ММ211Конкурсная задача ММ211 (3 балла) Доказать, что при любом четном f > 4 существует многогранник, имеющий f граней, все грани которого четырехугольники. ММ210Конкурсная задача ММ210 (13 баллов)
1. Пусть М = {ha, hb, hc, ba, bb, bc, ma, mb, mc} - множество, состоящее из величин высот, биссектрис, и медиан некоторого треугольника. Сколько элементов может быть в M?
Примечание. ММ209Конкурсная задача ММ209 (9 баллов) Эта задача прямое продолжение задач ММ29 и ММ39 Назовем натуральное число a третькубом, по основанию g, если дважды приписав в g-ичной системе a к себе получим полный куб. Доказать, что существует бесконечно много оснований g, для которых есть третькубы. ММ208Конкурсная задача ММ208 (7 баллов) От двух до пяти. Найти наименьшее натуральное число, представимое в виде суммы пяти натуральных слагаемых не менее чем четырьмя способами, таким образом, что любые три слагаемых взаимно просты, а любые два не взаимно просты,. ММ207Конкурсная задача ММ207 (13 баллов) Задача ММ207 является прямым продолжением задач ММ77 и ММ206
Обозначим через A(a,d) максимально возможное количество последовательных натуральных чисел таких, что первое из имеет ровно a натуральных делителей, второе - a+d, третье - a+2d и т.д. (иными словами, количества делителей последовательных чисел образуют арифметическую прогрессию с первым членом a и разностью d). ММ206Конкурсная задача ММ206 (11 баллов) Задача ММ206 является прямым продолжением задачи ММ77
Каждое из n натуральных чисел, идущих подряд, имеет ровно k натуральных делителей. Какое наибольшее значение может принимать n, если Замечание: Относительно скромное количество призовых баллов за эту задачу обусловлено тем, что при ее решении можно воспользоваться не только решением ММ77, но и результатами статьи, на которую есть ссылка в обсуждении. ММ205Конкурсная задача ММ205 (7 баллов) Вася выписывает в порядке возрастания натуральные числа, имеющие по 2016 натуральных делителей. На каком шаге он впервые выпишет число, не кратное 2016? ММ204Конкурсная задача ММ204 (5 баллов) Найти натуральное число, которое в трех различных системах счисления записывается 102, 201 и 20001 соответственно. ММ203Конкурсная задача ММ203 (5 баллов) Единичный квадрат разрезали на 5 равновеликих фигур отрезками, параллельными диагоналям. Найти наименьшую возможную суммарную длину этих отрезков. ММ202Конкурсная задача ММ202 (5 баллов) При каких значениях параметра a разрешимо уравнение x2 - a = [x]{x}? ММ201Конкурсная задача ММ201 (3 балла) Для каждого натурального k найти все возможные n, при которых множество {1, 2, …, n} можно разбить на классы так, что наибольший элемент в каждом классе ровно в k раз больше количества элементов класса.
|
|||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|