marathon:archive [2020/05/02 11:12] letsko |
marathon:archive [2021/03/29 07:54] (текущий) letsko |
| |
---- | ---- |
===== ММ245 ===== | |
| |
**Конкурсная задача ММ245** (5 баллов) | ===== ММ260 ===== |
| **Конкурсная задача ММ260** (12 баллов) |
| |
В остроугольном треугольнике ABC провели высоту BH. | __Задача ММ260 обобщает и развивает ММ231__ |
Найти отношение площадей треугольников ABH и CBH, если первый из них подобен треугольнику из своих медиан, а второй – треугольнику из своих высот. | |
| |
**Решение** | Пусть ABC - некоторый треугольник, точки K, L, M лежат соответственно на прямых AB, BC и AC, а s - некоторое действительное число, отличное от 0 и 1. Треугольник KLM будем называть подобно-вписанным в ?ABC, если\\ |
| AK=sAB, BL=sBC, CM=sCA;\\ |
| треугольник KLM подобен треугольнику ABC.\\ |
| Сколько подобно вписанных треугольников может быть у произвольного треугольника? |
| |
Привожу решения {{:marathon:kazmerchuk_mm_245.docx|Анатолия Казмерчука}}, {{:marathon:ariadna_mm245.pdf|Валентины Колыбасовой}} (оба, как обычно, подробные, с чертежами) и {{:marathon:fiviol_мм25.docx|Виктора Филимоненкова}} (как обычно, краткое, хотя и не самое краткое). | [[problem 260|Решение задачи ММ260]] |
| |
**Обсуждение** | ---- |
| |
ММ245 не вызвала больших затруднений у участников. Изъятые баллы - следствие, скорее, недостаточной аккуратности. | |
Хотя у меня были сомнения, стоит ли вообще изымать баллы. Ведь в условии сказано просто "найти отношение площадей", а не "найти отношение площади первого к площади второго". | |
| |
Дополнительный балл добавлен за переформулировку задачи таким образом, чтобы ответ стал единственным. | ===== ММ259 ===== |
У меня тоже возникало желание добиться единственности ответа. Но я не стал делать этого, решив отловить тех, кто потеряет один ответ. Капкан не сработал. | |
| |
**Награды** | **Конкурсная задача ММ259** (8 баллов) |
| |
За решение задачи ММ245 участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\ | Может ли треугольник с вершинами в центроиде и центрах вписанной и описанной окружностей некоторого треугольника быть\\ |
Александр Домашенко - 6;\\ | a) равновелик;\\ |
Анатолий Казмерчук - 5;\\ | б) подобен;\\ |
Константин Шамсутдинов - 5;\\ | в) равен \\ |
Мераб Левиашвили - 5;\\ | исходному? |
Виктор Филимоненков - 5;\\ | |
Анна Букина - 5;\\ | [[problem 259|Решение задачи ММ259]] |
Валентина Колыбасова - 5;\\ | |
Владимир Дорофеев - 5;\\ | |
Владислав Франк - 4;\\ | |
Валентин Пивоваров - 4. | |
| |
**Эстетическая оценка задачи - 4.3 балла** | |
---- | ---- |
| |
===== ММ244 ===== | |
| |
**Конкурсная задача ММ244** (6 баллов) | ===== ММ258 ===== |
| **Конкурсная задача ММ258** (7 баллов) |
| |
Галя предложила Ане, Боре и Васе такую загадку:\\ | Сколько элементов содержит множество сумм квадратов цифр квадратов чисел, в десятичной записи которых присутствуют по одному разу ровно три ненулевых цифры: 1, 4, 9? (Нулей может быть сколько угодно). |
- Я задумала три попарно различных ненулевых цифры. Сейчас я по секрету сообщу Ане сумму квадратов, Боре произведение, а Варе сумму задуманных цифр. Попробуйте отгадать эти цифры. | |
Узнав сумму квадратов произведение и сумму, Аня, Боря и Вася сначала задумались, а затем разговорились: \\ | |
А: Я не могу определить, что это за цифры.\\ | |
Б: И я не могу.\\ | |
В: И я тоже.\\ | |
A: Тогда я их знаю!\\ | |
Б: После этой реплики и я их знаю.\\ | |
Что это за тройка цифр? \\ | |
Примечание: У Ани, Бори и Васи все хорошо с арифметикой и логикой. | |
| |
**Решение** | [[problem 258|Решение задачи ММ258]] |
| |
Привожу решения {{:marathon:kazmerchuk_mm_244.docx|Анатолия Казмерчука}} и {{:marathon:shamsutdinov_mm244.docx|Константина Шамсутдинова}}. | ---- |
| |
**Обсуждение** | |
| |
ММ244 оказалась первой задачей юбилейного конкурса, вызвавшей серьезные затруднения у участников. В отличие от большинства трудных задач из предыдущих конкурсов, затруднения не остановили конкурсантов и они прислали решения. | ===== ММ257 ===== |
Тем самым, трудности возникли уже у ведущего:\\ | **Конкурсная задача ММ257** (9 баллов) |
найти ошибку в длинном правдоподобном решении;\\ | |
разобраться в программе, написанной на неизвестном языке, и присланной вместо решения;\\ | |
как оценивать логическую ошибку при верной арифметике;\\ | |
как оценивать арифметическую ошибку при верной логике, не повлиявшую на ответ;\\ | |
как оценивать арифметическую ошибку при верной логике, повлиявшую на ответ;\\ | |
наконец, как оценить верный ответ при отсутствии решения. | |
| |
Отмечу, что перечисленные ситуации (наряду с тему, которые не вызвали вопросов) встречаются в присланных решениях. | __Задача ММ257 сюжетно связана с ММ237__ |
| |
Наиболее коварный момент в задаче - второе заявление Бори. | Студент математического факультета Вася Пупкин пропустил (по уважительной причине) занятие по дискретной математике. Однокурсники рассказали, что на занятии рассматривался некий граф. Но ни один из них не зафиксировал этот граф ни с помощью гаджетов, ни на бумагу. Впрочем, Васины однокурсники, утверждают, что это не страшно, поскольку они и так помнят этот граф. В подтверждение своих слов они наперебой кинулись вспоминать характеристики графа:\\ |
Сразу несколько конкурсантов проигнорировали начало этого заявления... и получили лишние решения. Меня удивило, что это их не удивило (иначе они бы перепроверили свои рассуждения). | Аня: В графе было ровно 3 связных компоненты.\\ |
| Ваня: Причем во всех связных компонентах графа имелись циклы.\\ |
| Даня: А еще среди связных компонент не было изоморфных.\\ |
| Маня: Число ребер в одной из компонент было равно половине общего числа ребер.\\ |
| Саня: При этом число ребер было равно сумме количеств вершин и связных компонент.\\ |
| Таня: В графе была всего одна вершина степени 3.\\ |
| Зина: А всего в графе было не более 13 вершин.\\ |
| Лина: И при этом не было висячих вершин. \\ |
| Нина: А степень одной из вершин не менее чем на 2 превосходила степень каждой из остальных вершин.\\ |
| Фаина: Зина, Лина и Нина правы.\\ |
| Услышавший эти реплики преподаватель сказал, что память подвела ровно одного человека.\\ |
| Сможет ли Вася (умница и отличник) однозначно восстановить граф?\\ |
| |
Представленные ниже призовые баллы - плод моих мучительных раздумий и рандомных порывов. Так что, не судите строго (как старался делать и я). | [[problem 257|Решение задачи ММ257]] |
| |
На [[https://www.facebook.com/groups/mathpuz/1378859588956546/?comment_id=1378879308954574&reply_comment_id=1379017442274094¬if_id=1569669688346425¬if_t=group_comment_mention|FB]] можно найти несколько разновидностей ММ244, предложенных Константином Кнопом. Там же есть решение Олега Полубасова (ушедшего в марафонское подполье). | ---- |
| |
**Награды** | |
| |
За решение задачи ММ244 участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\ | ===== ММ256 ===== |
Анатолий Казмерчук - 7;\\ | **Конкурсная задача ММ256** (8 баллов) |
Константин Шамсутдинов - 6;\\ | |
Мераб Левиашвили - 6;\\ | При каком наименьшем натуральном n уравнение n{x}<sup>2</sup> +{x}=[x] имеет не менее 1000000 решений в рациональных числах? |
Владислав Франк - 6;\\ | |
Виктор Филимоненков - 5;\\ | __Примечание: {x} – дробная часть числа x, [x] – целая часть (пол) числа x.__ |
Анна Букина - 4;\\ | |
Валентин Пивоваров - 4;\\ | [[problem 256|Решение задачи ММ256]] |
Валентина Колыбасова - 3;\\ | |
Антон Никонов - 3;\\ | |
Александр Домашенко - 3;\\ | |
Лев Песин - 3. | |
| |
**Эстетическая оценка задачи - 4.4 балла** | |
---- | ---- |
| |
| |
===== ММ243 ===== | ===== ММ255 ===== |
| |
**Конкурсная задача ММ243** (5 баллов)⊥ | **Конкурсная задача ММ255** (7 баллов) |
| |
| Найти наименьшее натуральное число, имеющее ровно 7 представлений в виде произведения наибольшего возможного количества попарно различных натуральных сомножителей. |
| |
В треугольнике ABC a<b<c и a⋅l<sub>a</sub>=c⋅l<sub>c</sub> Найти угол β. | [[problem 255|Решение задачи ММ255]] |
| |
**Решение** | ---- |
| |
Привожу решения {{:marathon:kazmerchuk_mm_243.docx|Анатолия Казмерчука}}, {{:marathon:ariadna_mm243.pdf|Валентины Колыбасовой}} и {{:marathon:bukina_mm243.pdf|Анны Букиной}} (только они не поленились сделать чертежи). | |
| |
Еще одно решение ({{:marathon:fiviol_мм243.docx|Виктора Филимоненкова}}) - пример одного из наиболее кратких решений | ===== ММ254 ===== |
| |
**Обсуждение** | **Конкурсная задача ММ254** (6 баллов) |
| |
Задача не вызвала затруднений у конкурсантов. | Вася вписал круг в треугольник со сторонами 3, 4, 5. И вписывает новые круги так, что каждый последующий касается двух сторон треугольника и одного из предыдущих кругов. Может ли суммарная площадь кругов превысить 80% от площади треугольника и на каком шаге (круге) может случиться это событие? |
Зато присланные решения довольно разннобразны. \\ | |
Тем самым, они оправдали ожидания ведущего, получившего данный результат в качестве побочного продукта при решении более сложной задачи. | |
Соответственно, и решение ММ243 получилось весьма громоздким. Искать более простые решения ведущий не стал (хотя подозревал, что они есть), доверив это участникам Марафона. | |
| |
**Награды** | [[problem 254|Решение задачи ММ254]] |
| |
За решение задачи ММ243 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ | ---- |
Анатолий Казмерчук - 6;\\ | |
Александр Домашенко - 5;\\ | ===== ММ253 ===== |
Константин Шамсутдинов - 5;\\ | |
Мераб Левиашвили - 5;\\ | **Конкурсная задача ММ253** (5 баллов) |
Владислав Франк - 5;\\ | |
Валентина Колыбасова - 5;\\ | Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C<sub>1</sub> равна 2. Сечение призмы, проходящее через середину отрезка AB<sub>1</sub> перпендикулярно ему имеет площадь 28sqrt(39)/81. Найти объем призмы? |
Анна Букина - 5;\\ | |
Валентин Пивоваров - 5;\\ | [[problem 253|Решение задачи ММ253]] |
Виктор Филимоненков - 5;\\ | |
Антон Никонов - 3. | |
| |
**Эстетическая оценка задачи - 4.4 балла** | |
---- | ---- |
| ===== ММ252 ===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ252** (3 балла) |
| |
| Для числа 90 существуют две пары представлений в виде произведения трех сомножителей таких, что суммы сомножителей внутри каждой пары одинаковы: |
| 90=1⋅9⋅10=2⋅3⋅15, 1+9+10=2+3+15;\\ |
| 90=2⋅5⋅9=3⋅3⋅10, 2+5+9=3+3+10.\\ |
| Доказать, что существует бесконечно много натуральных чисел вида p<sup>k</sup>q (p, q – простые, k – натуральное), обладающих таким свойством. |
| |
===== ММ242 ===== | [[problem 252|Решение задачи ММ252]] |
| |
**Конкурсная задача ММ242** (5 баллов) | ---- |
| |
На сайте проводится опрос, кого из m номинированных футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует один раз за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста - доля голосов, отданных за него, в процентах, округленных до целого числа. После того, как проголосовали n посетителей, суммарный рейтинг номинантов составил 95%.\\ | |
a) При каком наименьшем m такое возможно?\\ | |
b) При каком наименьшем n такое возможно?\\ | |
c) При каком наименьшем m+n такое возможно? | |
| |
**Решение** | ===== ММ251 ===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ251** (3 балла) |
| |
Привожу решения {{:marathon:kazmerchuk_mm_242.docx|Анатолия Казмерчука}} и {{:marathon:ariadna_mm242.pdf|Валентины Колыбасовой}}. | Из книги вырвано несколько страниц. Сумма номеров оставшихся страниц 5001. Пусть n – наименьшее возможное число страниц, которое могло быть в этой книге изначально. Найдите наибольший возможный номер отсутствующей страницы, при условии, что в книге было n страниц. |
| |
**Обсуждение** | [[problem 251|Решение задачи ММ251]] |
| |
Судьбу задачи ММ242 решал ответ на 3-й вопрос. Придумав условие, я сразу для себя решил, что если в наименьшем m+n не будут участвовать ни наименьшее m, ни наименьшее n, то задача будет достаточно интересна, а в противном случае - скучна. О том, что можно будет заменить в условии число 95 (взятое от фонаря) я в тот момент почему-то не думал. | ---- |
| |
Я был уверен, что наиболее сложен пункт c, и ожидал ошибок именно там. К чести конкурсантов с этим пунктом справились все. Но одному из участников неожиданно не покорился пункт b. Еще более неожиданной для меня были две попытки дать неверный ответ к пункту a, в связи с альтернативной трактовкой термина "округление". Мудрые составители ЕГЭ-шной задачи (коей навеяна ММ242) дали полное определение правил округления прямо в условии, а я был уверен, что у конкурсантов с этим проблем не будет... | |
| |
Любопытны примеры, приведенные участниками в подтверждение ответа 11 к пункту a. В них встретились следующие значения n:\\ | ===== ММ250 ===== |
29 - 3 раза;\\ | |
31 - 2 раза;\\ | **Конкурсная задача ММ250** (14 баллов) |
67 - 1 раз;\\ | |
73 - 1 раз;\\ | |
201 - 2 раза;\\ | |
10000 - 2 рвза. | |
| |
Я не стал штрафовать участников ни за неверное утверждение, что минимальное n, при котором достигается m = 11, равно 31 (ведь в задаче про это не спрашивалось), ни за краткость в обоснованиях, полагая, что ссылка на перебор, с правильным указанием границ перебора является (при наличии верного ответа) достаточным обоснованием. | Найти наименьшее возможное количество ребер выпуклого многогранника, у которого сумма длин ребер равна сумме длин диагоналей. |
| |
Я ожидал достаточно массового упоминания того факта, что суммарный рейтинг может быть любым целым числом в пределах от 0 (например, каждый из 201 номинантов получил по 1 голосу) до 200 (например, каждый из 200 номинантов получил по 1 голосу). Однако данное утверждение обнаружилось лишь в одной работе и было поощрено дополнительным баллом. | [[problem 250|Решение задачи ММ250]] |
| |
**Награды** | ---- |
| |
| ===== ММ249 ===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ249** (10 баллов) |
| |
| Пусть k – натуральное число и a – некоторая перестановка 2020-элементного множества. Может ли уравнение x<sup>k</sup>=a иметь ровно 2020 решений? |
| |
За решение задачи ММ242 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ | [[problem 249|Решение задачи ММ249]] |
Анатолий Казмерчук - 6;\\ | |
Владимир Дорофеев - 6;\\ | |
Александр Домашенко - 5;\\ | |
Константин Шамсутдинов - 5;\\ | |
Мераб Левиашвили - 5;\\ | |
Владислав Франк - 5;\\ | |
Валентина Колыбасова - 5;\\ | |
Антон Никонов - 5;\\ | |
Анна Букина - 5;\\ | |
Валентин Пивоваров - 5;\\ | |
Виктор Филимоненков - 4. | |
| |
**Эстетическая оценка задачи - 4.5 балла** | |
---- | ---- |
| |
===== ММ241 ===== | ===== ММ248 ===== |
| |
**Конкурсная задача ММ241** (4 балла) | **Конкурсная задача ММ248** (8 баллов) |
| |
При каких натуральных n множество {1, 2, …, n} можно разбить на два подмножества так, что произведение элементов первого подмножества равно сумме элементов второго? | Найти наименьшее натуральное k такое, что во множестве {(τ(kn))/(τ(n))|n ∈ N} ровно 13 целых чисел. |
| |
| [[problem 248|Решение задачи ММ248]] |
| |
[[problem 241|Решение задачи ММ241]] | ---- |
| |
**Решение** | ===== ММ247 ===== |
| |
Привожу решения {{:marathon:domashenko_mm241.docx|Александра Домашенко}} и {{:marathon:ariadna_mm241.pdf|Валентины Колыбасовой}}. | **Конкурсная задача ММ247** (7 баллов) |
| |
**Обсуждение** | |
| |
На первую задачу юбилейного Марафонского конкурса поступило 10 решений. | Пусть k – фиксированное натуральное число. Для натуральных n определим функцию f<sub>k</sub>(n)=lcm(n, n+1,..., n+k-1)/lcm(n+1, n+2,..., n+k)} |
Радует появление сразу троих новых участников. Огорчает исчезновение примерно такого же числа участников предыдущего конкурса. Призываю их подключиться к конкурсу со следующей задачи. | Найти наименьшие значения f<sub>5</sub>(n) и f<sub>9</sub>(n). |
| |
Задача ММ241 не вызвала затруднений у большинства конкурсантов. | [[problem 247|Решение задачи ММ247]] |
Но был один момент, вызвавший разногласия участников. Он касается разрешимости задачи для значений n=1 и n=3. | |
Участники разделись на 3 категории:\\ | ---- |
первые (Константин Шамсутдинов и Владислав Франк) считают, что задача разрешима для каждого из этих n;\\ | |
вторые (их большинство) полагают, что задача разрешима для n=3, но не для n=1;\\ | |
наконец Александр Домашенко придерживается мнения, что задача не разрешима для обоих упомянутых n. | |
| |
Александр не проаргументировал свое мнение, что постановка задачи имеет смысл, начиная с n=4. Полагаю, он отталкивался от бинарности операций сложения и умножения. | ===== ММ246 ===== |
Аргументы Владислава и Константина - произведение элементов пустого множества равно 1, поэтому для n=1 можно поместить 1 в первое подмножество, а во второе не помещать ничего. | |
Я согласен с аргументом про произведение элементов пустого множества, но... В формулировке идет речь о разбиении. А в разбиении по определению участвуют только непустые подмножества. | |
Поэтому (а вовсе не из конформизма) я склонен присоединиться к большинству. Но при этом не снижал баллы тем, кто придерживается альтернативных мнений. | |
| |
Дополнительные баллы начислены за успешный поиск разбиений, не попадающих под общее описание (упоминание наличия таких разбиений и приведение единичного примера не учитывались). | **Конкурсная задача ММ246** (7 баллов) |
Мераб Левиашвили предложил несколько простых вариаций на тему задачи. Уточняю для него и других новичков Марафона, что дополнительными баллами такие предложения оцениваются при условии, что они содержат какие-то продвижения в указанных направлениях (ну, или если покажутся ведущему неожиданными и очень красивыми). | |
| |
Напоминаю как новичкам, так и некоторым забывчивым старожилам, что я жду от вас эстетических оценок предлагаемых задач. | |
| |
**Награды** | Сколько (с точностью до подобия) существует разносторонних треугольников, разрезаемых на два равнобедренных более чем одним способом? |
| |
За решение задачи ММ241 участники Марафона получают следующие призовые баллы:\\ | [[problem 246|Решение задачи ММ246]] |
Александр Домашенко - 6;\\ | |
Константин Шамсутдинов - 5;\\ | |
Анатолий Казмерчук - 4;\\ | |
Мераб Левиашвили - 4;\\ | |
Виктор Филимоненков - 4;\\ | |
Владислав Франк - 4;\\ | |
Валентина Колыбасова - 4;\\ | |
Антон Никонов - 4;\\ | |
Владимир Дорофеев - 4;\\ | |
Анна Букина - 2. | |
| |
**Эстетическая оценка задачи - 4.5 балла** | |
---- | ---- |
| |
| ===== ММ245 ===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ245** (5 баллов) |
| |
| В остроугольном треугольнике ABC провели высоту BH. |
| Найти отношение площадей треугольников ABH и CBH, если первый из них подобен треугольнику из своих медиан, а второй – треугольнику из своих высот. |
| |
| [[problem 245|Решение задачи ММ245]] |
| ---- |
| |
| ===== ММ244 ===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ244** (6 баллов) |
| |
| Галя предложила Ане, Боре и Васе такую загадку:\\ |
| - Я задумала три попарно различных ненулевых цифры. Сейчас я по секрету сообщу Ане сумму квадратов, Боре произведение, а Варе сумму задуманных цифр. Попробуйте отгадать эти цифры. |
| Узнав сумму квадратов произведение и сумму, Аня, Боря и Вася сначала задумались, а затем разговорились: \\ |
| А: Я не могу определить, что это за цифры.\\ |
| Б: И я не могу.\\ |
| В: И я тоже.\\ |
| A: Тогда я их знаю!\\ |
| Б: После этой реплики и я их знаю.\\ |
| Что это за тройка цифр? \\ |
| Примечание: У Ани, Бори и Васи все хорошо с арифметикой и логикой. |
| |
| |
| [[problem 244|Решение задачи ММ244]] |
| ---- |
| |
| ===== ММ243 ===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ243** (5 баллов)⊥ |
| |
| |
| В треугольнике ABC a<b<c и a⋅l<sub>a</sub>=c⋅l<sub>c</sub> Найти угол β. |
| |
| [[problem 243|Решение задачи ММ243]] |
| |
| ---- |
| |
| ===== ММ242 ===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ242** (5 баллов) |
| |
| На сайте проводится опрос, кого из m номинированных футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует один раз за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста - доля голосов, отданных за него, в процентах, округленных до целого числа. После того, как проголосовали n посетителей, суммарный рейтинг номинантов составил 95%.\\ |
| a) При каком наименьшем m такое возможно?\\ |
| b) При каком наименьшем n такое возможно?\\ |
| c) При каком наименьшем m+n такое возможно? |
| |
| [[problem 242|Решение задачи ММ242]] |
| ---- |
| |
| ===== ММ241 ===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ241** (4 балла) |
| |
| При каких натуральных n множество {1, 2, …, n} можно разбить на два подмножества так, что произведение элементов первого подмножества равно сумме элементов второго? |
| |
| |
| [[problem 241|Решение задачи ММ241]] |
| ---- |
| |
| |
===== ММ240 ===== | ===== ММ240 ===== |
**Конкурсная задача ММ2409** (13 баллов) | **Конкурсная задача ММ240** (13 баллов) |
| |
Проективную плоскость разбили несколькими прямыми общего положения. При этом образовалось ровно 17 треугольников. Сколько пятиугольников могло при этом получиться? | Проективную плоскость разбили несколькими прямыми общего положения. При этом образовалось ровно 17 треугольников. Сколько пятиугольников могло при этом получиться? |
===== ММ239 ===== | ===== ММ239 ===== |
**Конкурсная задача ММ239** (10 баллов) | **Конкурсная задача ММ239** (10 баллов) |
| |
Решения принимаются до __17.11.2018__ | |
| |
Существует ли выпуклый многогранник, у которого:\\ | Существует ли выпуклый многогранник, у которого:\\ |
| |
**Конкурсная задача ММ233** (6 баллов)\\ | **Конкурсная задача ММ233** (6 баллов)\\ |
| |
Очередной отголосок ЕГЭ в Марафоне | Очередной отголосок ЕГЭ в Марафоне |
| |