Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

marathon:archive [2020/05/02 11:12]
letsko
marathon:archive [2021/03/29 07:54] (текущий)
letsko
Строка 6: Строка 6:
  
 ---- ----
-===== ММ245 ===== 
  
-**Конкурсная задача ММ245** (баллов)+===== ММ260 ===== 
 + **Конкурсная задача ММ260** (12 баллов)
  
-В остроугольном треугольнике ABC провели высоту BH.  +__Задача ММ260 ​обобщает и развивает ​ММ231__
-Найти ​отношение площадей треугольников ABH и CBH, если первый из них подобен треугольнику из своих медиан, а второй – треугольнику из своих высот.+
  
-**Решение**+Пусть ABC - некоторый треугольник, точки K, L, M лежат соответственно на прямых AB, BC и AC, а s - некоторое действительное число, отличное от 0 и 1. Треугольник KLM будем называть подобно-вписанным в ?ABC, если\\ 
 +AK=sAB, BL=sBC, CM=sCA;\\ 
 +треугольник KLM подобен треугольнику ABC.\\ 
 +Сколько подобно вписанных треугольников может быть у произвольного треугольника?​
  
-Привожу решения {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_245.docx|Анатолия Казмерчука}}, {{:​marathon:​ariadna_mm245.pdf|Валентины Колыбасовой}} (оба, как обычно,​ подробные,​ с чертежами) и {{:​marathon:​fiviol_мм25.docx|Виктора Филимоненкова}} (как обычно, краткое,​ хотя ​и не самое краткое). ​+[[problem 260|Решение задачи ​ММ260]]
  
-**Обсуждение** ​+----
  
-ММ245 не вызвала больших затруднений у участников. Изъятые баллы - следствие,​ скорее,​ недостаточной аккуратности. 
-Хотя у меня были сомнения,​ стоит ли вообще изымать баллы. Ведь в условии сказано просто "​найти отношение площадей",​ а не "​найти отношение площади первого к площади второго"​. ​ 
  
-Дополнительный балл добавлен за переформулировку задачи таким образом,​ чтобы ответ стал единственным. +===== ММ259 =====
-У меня тоже возникало желание добиться единственности ответа. Но я не стал делать этого, решив отловить тех, кто потеряет один ответ. Капкан не сработал.+
  
-**Награды**+**Конкурсная задача ММ259** (8 баллов)
  
-За решение задачи ММ245 ​участники ​Марафона получают следующие призовые баллы:​\\  +Может ли треугольник ​с вершинами в центроиде и центрах вписанной и описанной окружностей некоторого треугольника быть\\  
-Александр Домашенко ​- 6;\\ +a) равновелик;\\ 
-Анатолий Казмерчук - 5;\\ +б) подобен;\\ 
-Константин Шамсутдинов - 5;\\ +в) равен \\ 
-Мераб Левиашвили - 5;\\ +исходному? 
-Виктор Филимоненков - 5;\\ + 
-Анна Букина - 5;\\ +[[problem 259|Решение задачи ММ259]]
-Валентина Колыбасова - 5;\\ +
-Владимир Дорофеев - 5;\\ +
-Владислав Франк - 4;\\ +
-Валентин Пивоваров - 4.+
  
-**Эстетическая оценка задачи - 4.3 балла** 
 ---- ----
  
-===== ММ244 ===== 
  
-**Конкурсная задача ММ244** (баллов)+===== ММ258 ===== 
 + **Конкурсная задача ММ258** (баллов)
  
-Галя предложила Ане, Боре и Васе такую загадку:​\\ +Сколько элементов содержит множество ​сумм квадратов цифр квадратов ​чисел, ​в десятичной записи которых присутствуют по одному разу ровно три ненулевых цифры14, 9? (Нулей может быть сколько угодно).
-- Я задумала три попарно различных ненулевых цифры. Сейчас я по секрету сообщу Ане сумму квадратов, Боре произведение,​ а Варе сумму задуманных ​цифр. Попробуйте отгадать эти цифры. ​  +
-Узнав сумму ​квадратов ​произведение и сумму, Аня, Боря и Вася сначала ​задумались, а затем разговорились: \\ +
-А: Я не могу определить, что это за цифры.\\ +
-Б: И я не могу.\\ +
-В: И я тоже.\\ +
-A: Тогда я их знаю!\\ +
-Б: После этой реплики и я их знаю.\\ +
-Что это за тройка ​цифр? \\ +
-ПримечаниеУ АниБори и Васи все хорошо с арифметикой и логикой.+
  
-**Решение**+[[problem 258|Решение ​задачи ММ258]]
  
-Привожу решения {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_244.docx|Анатолия Казмерчука}} и {{:​marathon:​shamsutdinov_mm244.docx|Константина Шамсутдинова}}. ​+----
  
-**Обсуждение** ​ 
  
-ММ244 оказалась первой задачей юбилейного конкурса, вызвавшей серьезные затруднения у участников. В отличие от большинства трудных ​задач ​из предыдущих конкурсов,​ затруднения не остановили конкурсантов и они прислали решения.  +===== ММ257 ===== 
-Тем самым, трудности возникли уже у ведущего:​\\  + **Конкурсная задача ​ММ257** (9 баллов)
-найти ошибку в длинном правдоподобном решении;​\\ +
-разобраться в программе,​ написанной на неизвестном языке, и присланной вместо решения;​\\ +
-как оценивать ​логическую ошибку при ​верной арифметике;​\\ +
-как оценивать арифметическую ошибку при верной логике,​ не повлиявшую на ответ;​\\ +
-как оценивать арифметическую ошибку при верной логике,​ повлиявшую на ответ;​\\ +
-наконец,​ как оценить верный ответ при отсутствии решения. ​+
  
-Отмечу, что перечисленные ситуации (наряду ​с тему, которые ​не вызвали вопросов) встречаются в присланных решениях. ​+__Задача ММ257 ​сюжетно связана с ММ237__
  
-Наиболее коварный момент ​в задаче - второе ​заявление ​Бори. ​ +Студент математического факультета Вася Пупкин пропустил (по уважительной причине) занятие по дискретной математике. Однокурсники рассказали, ​что ​на занятии рассматривался некий граф. Но ни один из них не зафиксировал этот граф ни с помощью гаджетов,​ ни на бумагуВпрочем, Васины однокурсники, утверждают,​ что это не страшно,​ поскольку они и так помнят этот граф. В подтверждение своих слов они наперебой кинулись вспоминать характеристики графа:​\\ 
-Сразу несколько конкурсантов проигнорировали начало ​этого заявления... и получили ​лишние ​решения. Меня ​удивило, что это ​их не удивило (иначе они ​бы перепроверили свои рассуждения).+Аня: В графе было ​ровно 3 связных компоненты.\\ 
 +Ваня: Причем во всех связных компонентах графа имелись циклы.\\ 
 +Даня: А еще среди связных ​ компонент не было изоморфных.\\ 
 +Маня: Число ребер в одной из компонент было равно половине общего ​числа ребер.\\ 
 +Саня: При этом число ребер было равно сумме количеств вершин и связных компонент.\\ 
 +Таня: В графе была всего одна вершина степени 3.\\ 
 +Зина: А всего в графе было не более 13 вершин.\\ 
 +Лина: И при ​этом не было висячих ​вершин. \\ 
 +Нина: А степень ​одной из вершин не менее чем на 2 превосходила степень каждой из остальных ​вершин.\\ 
 +Фаина: Зина, Лина и Нина правы.\\ 
 +Услышавший эти реплики преподаватель ​сказал, что память подвела ровно одного человека.\\  
 +Сможет ли Вася (умница и отличникоднозначно восстановить граф?\\
  
-Представленные ниже призовые баллы - плод моих мучительных раздумий и рандомных порывов. Так ​что, не судите строго (как старался делать ​и я).+[[problem 257|Решение задачи ​ММ257]]
  
-На [[https://​www.facebook.com/​groups/​mathpuz/​1378859588956546/?​comment_id=1378879308954574&​reply_comment_id=1379017442274094&​notif_id=1569669688346425&​notif_t=group_comment_mention|FB]] можно найти несколько разновидностей ММ244, предложенных Константином Кнопом. Там же есть решение Олега Полубасова (ушедшего в марафонское подполье). ​+----
  
-**Награды** 
  
-За решение задачи ММ244 участники Марафона ​получают следующие призовые баллы:\\  +===== ММ256 ===== 
-Анатолий Казмерчук - 7;\\ +**Конкурсная задача ММ256** (8 баллов) 
-Константин Шамсутдинов - 6;\\ + 
-Мераб Левиашвили - 6;\\ +При каком наименьшем натуральном ​n уравнение n{x}<​sup>​2</​sup>​ +{x}=[x] имеет не менее 1000000 ​решений ​в рациональных числах? 
-Владислав Франк - 6;\\ + 
-Виктор Филимоненков - 5;\\ +__Примечание: {x} – дробная часть числа x, [x]  – целая часть (пол) числа x.__ 
-Анна Букина - 4;\\ + 
-Валентин Пивоваров - 4;\\ +[[problem 256|Решение ​задачи ММ256]]
-Валентина Колыбасова - 3;\\ +
-Антон Никонов - 3;\\ +
-Александр Домашенко - 3;\\ +
-Лев Песин - 3.+
  
-**Эстетическая оценка задачи - 4.4 балла** 
 ---- ----
  
  
-===== ММ243 =====+===== ММ255 =====
  
-**Конкурсная задача ММ243** (баллов)+**Конкурсная задача ММ255** (баллов)
  
 +Найти наименьшее натуральное число, имеющее ровно 7 представлений в виде произведения наибольшего возможного количества попарно различных натуральных сомножителей. ​
  
-В треугольнике ABC a<b<c и a⋅l<​sub>​a</​sub>​=c⋅l<​sub>​c</​sub>​ Найти угол β. +[[problem 255|Решение ​задачи ММ255]]
  
-**Решение**+----
  
-Привожу решения {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_243.docx|Анатолия Казмерчука}},​ {{:​marathon:​ariadna_mm243.pdf|Валентины Колыбасовой}} и {{:​marathon:​bukina_mm243.pdf|Анны Букиной}} (только они не поленились сделать чертежи). 
  
-Еще одно решение ({{:​marathon:​fiviol_мм243.docx|Виктора Филимоненкова}}) - пример одного из наиболее кратких решений+===== ММ254 =====
  
-**Обсуждение** +**Конкурсная задача ММ254** (6 баллов)
  
-Задача не вызвала затруднений ​у конкурсантов.  +Вася вписал круг в треугольник со сторонами 3, 4, 5. И вписывает новые ​круги такчто каждый последующий касается двух сторон треугольника и одного ​из предыдущих ​кругов. Может ​ли суммарная площадь кругов превысить ​80% от площади ​треугольника и на каком шаге ​(круге) может случиться это событие?
-Зато присланные решения довольно разннобразны. \\ +
-Тем самым, они оправдали ​ожидания ведущего, получившего данный ​результат в качестве побочного продукта при решении более сложной задачи. +
-Соответственно,​ и решение ММ243 ​получилось весьма громоздким. Искать более простые решения ведущий не стал (хотя подозревалчто они есть), доверив ​это ​участникам Марафона. ​+
  
-**Награды**+[[problem 254|Решение задачи ММ254]]
  
-За решение задачи ММ243 участники Марафона получают следующие ​призовые баллы: \\ +---- 
-Анатолий Казмерчук - 6;\\ + 
-Александр Домашенко - 5;\\ +===== ММ253 ===== 
-Константин Шамсутдинов - 5;\\ + 
-Мераб Левиашвили - 5;\\ +**Конкурсная задача ММ253** (5 баллов) 
-Владислав Франк - 5;\\ + 
-Валентина Колыбасова - 5;\\ +Сторона основания ​правильной треугольной ​призмы ABCA<​sub>​1</​sub>​B<​sub>​1</​sub>​C<​sub>​1</​sub>​ равна 2. Сечение призмы, проходящее ​через ​середину отрезка AB<​sub>​1</​sub>​ перпендикулярно ему имеет площадь 28sqrt(39)/​81. Найти объем призмы? 
-Анна Букина - 5;\\ + 
-Валентин Пивоваров - 5;\\ +[[problem 253|Решение задачи ММ253]]
-Виктор Филимоненков - 5;\\ +
-Антон Никонов - 3.+
  
-**Эстетическая оценка задачи - 4.4 балла** 
 ---- ----
 +===== ММ252 =====
 + 
 +**Конкурсная задача ММ252** (3 балла)
  
 +Для числа 90 существуют две пары представлений в виде произведения трех сомножителей таких, что суммы сомножителей внутри каждой пары одинаковы: ​
 +90=1⋅9⋅10=2⋅3⋅15, ​ 1+9+10=2+3+15;​\\
 +90=2⋅5⋅9=3⋅3⋅10, ​ 2+5+9=3+3+10.\\
 +Доказать,​ что существует бесконечно много натуральных чисел вида p<​sup>​k</​sup>​q (p, q – простые,​ k – натуральное),​ обладающих таким свойством.
  
-===== ММ242 =====+[[problem 252|Решение задачи ​ММ252]]
  
-**Конкурсная задача ММ242** (5 баллов)+----
  
-На сайте проводится опрос, кого из m номинированных футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует один раз за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста - доля голосов,​ отданных за него, в процентах,​ округленных до целого числа. После того, как проголосовали n посетителей,​ суммарный рейтинг номинантов составил 95%.\\ 
-a) При каком наименьшем m такое возможно?​\\ 
-b) При каком наименьшем n такое возможно?​\\ ​ 
-c) При каком наименьшем m+n такое возможно?​ 
  
-**Решение**+===== ММ251 ===== 
 +  
 +**Конкурсная задача ММ251** (3 балла)
  
-Привожу ​решения {{:​marathon:​kazmerchuk_mm_242.docx|Анатолия Казмерчука}} ​и {{:​marathon:​ariadna_mm242.pdf|Валентины Колыбасовой}}.+Из книги вырвано несколько страницСумма номеров оставшихся страниц 5001. Пусть n – наименьшее возможное число страниц, которое могло быть в этой книге изначально. Найдите наибольший возможный номер отсутствующей страницы, при условии, что в книге было n страниц.
  
-**Обсуждение** +[[problem 251|Решение ​задачи ММ251]]
  
-Судьбу задачи ММ242 решал ответ на 3-й вопрос. Придумав условие,​ я сразу для себя решил, что если в наименьшем m+n не будут участвовать ни наименьшее m, ни наименьшее n, то задача будет достаточно интересна,​ а в противном случае ​скучна. О том, что можно будет заменить в условии число 95 (взятое от фонаря) я в тот момент почему-то не думал.+----
  
-Я был уверен,​ что наиболее сложен пункт c, и ожидал ошибок именно там. К чести конкурсантов с этим пунктом справились все. Но одному из участников неожиданно не покорился пункт b. Еще более неожиданной для меня были две попытки дать неверный ответ к пункту a, в связи с альтернативной трактовкой термина "​округление"​. Мудрые составители ЕГЭ-шной задачи (коей навеяна ММ242) дали полное определение правил округления прямо в условии,​ а я был уверен,​ что у конкурсантов с этим проблем не будет... 
  
-Любопытны примеры,​ приведенные участниками в подтверждение ответа 11 к пункту a. В них встретились следующие значения n:\\ +===== ММ250 ===== 
-29 - 3 раза;\\ +  
-31 - 2 раза;\\ +**Конкурсная задача ММ250** (14 баллов)
-67 - 1 раз;\\ +
-73 - 1 раз;\\ +
-201 - 2 раза;​\\ +
-10000 - 2 рвза.+
  
-Я не стал штрафовать участников ​ни за неверное утверждение,​ что минимальное ​n, при ​котором достигается m = 11, равно 31 (ведь в задаче ​про это не спрашивалось), ​ни за краткость в обоснованиях,​ полагая, что ссылка на перебор, с правильным указанием границ перебора является (при наличии верного ответа) достаточным обоснованием.+Найти наименьшее возможное количество ​ребер ​выпуклого многогранника, у которого сумма длин ребер равна сумме длин ​диагоналей.
  
-Я ожидал достаточно массового упоминания того факта, что суммарный рейтинг может быть любым целым числом в пределах от 0 (например, каждый из 201 номинантов получил по 1 голосу) ​до 200 (например,​ каждый из 200 номинантов получил по 1 голосу). Однако данное утверждение обнаружилось лишь в одной работе и было поощрено дополнительным баллом.+[[problem 250|Решение задачи ​ММ250]]
  
-**Награды**+---- 
 + 
 +===== ММ249 ===== 
 + 
 +**Конкурсная задача ММ249** (10 баллов) 
 + 
 +Пусть k – натуральное число и a – некоторая перестановка 2020-элементного множества. Может ли уравнение x<​sup>​k</​sup>​=a иметь ровно 2020 решений?​
  
-За решение задачи ММ242 участники Марафона получают следующие призовые баллы: \\ +[[problem 249|Решение задачи ММ249]]
-Анатолий Казмерчук - 6;\\ +
-Владимир Дорофеев - 6;\\ +
-Александр Домашенко - 5;\\ +
-Константин Шамсутдинов - 5;\\ +
-Мераб Левиашвили - 5;\\ +
-Владислав Франк - 5;\\ +
-Валентина Колыбасова - 5;\\ +
-Антон Никонов - 5;\\ +
-Анна Букина - 5;\\ +
-Валентин Пивоваров - 5;\\ +
-Виктор Филимоненков - 4.+
  
-**Эстетическая оценка задачи - 4.5 балла** 
 ---- ----
  
-===== ММ241 =====+===== ММ248 =====
  
-**Конкурсная задача ММ241** (балла)+**Конкурсная задача ММ248** (баллов)
  
-При каких натуральных n множество {1, 2, …, n} можно разбить на два подмножества так, что ​произведение элементов первого подмножества равно сумме элементов второго?​+Найти наименьшее ​натуральное ​такое, что во множестве {(τ(kn))/​(τ(n))|n ∈ N} ровно ​13 целых чисел
  
 +[[problem 248|Решение задачи ММ248]]
  
-[[problem 241|Решение задачи ММ241]]+----
  
-**Решение**+===== ММ247 =====
  
-Привожу решения {{:​marathon:​domashenko_mm241.docx|Александра Домашенко}} и {{:​marathon:​ariadna_mm241.pdf|Валентины Колыбасовой}}.+**Конкурсная задача ММ247** (7 баллов)
  
-**Обсуждение** 
  
-На первую задачу юбилейного Марафонского конкурса поступило 10 решений. +Пусть k – фиксированное натуральное число. ​Для натуральных ​определим функцию f<​sub>​k</​sub>​(n)=lcm(n,​ n+1,..., n+k-1)/​lcm(n+1,​ n+2,..., n+k)} 
-Радует появление сразу троих ​новых участников. Огорчает исчезновение примерно такого же числа участников предыдущего конкурса. Призываю их подключиться к конкурсу со следующей задачи.+Найти наименьшие значения f<​sub>​5</​sub>​(n) ​и f<​sub>​9</​sub>​(n).
  
-Задача ММ241 не вызвала затруднений у большинства конкурсантов.  +[[problem 247|Решение задачи ​ММ247]] 
-Но был один момент, вызвавший разногласия участников. Он касается разрешимости ​задачи ​для значений n=1 и n=3. + 
-Участники разделись на 3 категории:​\\ ​ +----
-первые (Константин Шамсутдинов и Владислав Франк) считают,​ что задача разрешима для каждого из этих n;\\ +
-вторые (их большинство) полагают,​ что задача разрешима для n=3, но не для n=1;\\ +
-наконец Александр Домашенко придерживается мнения,​ что задача не разрешима для обоих упомянутых n.+
  
-Александр не проаргументировал свое мнение,​ что постановка задачи имеет смысл, начиная с n=4. Полагаю,​ он отталкивался от бинарности операций сложения и умножения. +===== ММ246 =====
-Аргументы Владислава и Константина - произведение элементов пустого множества равно 1, поэтому для n=1 можно поместить 1 в первое подмножество,​ а во второе не помещать ничего. +
-Я согласен с аргументом про произведение элементов пустого множества,​ но... В формулировке идет речь о разбиении. А в разбиении по определению участвуют только непустые подмножества. +
-Поэтому (а вовсе не из конформизма) я склонен присоединиться к большинству. Но при этом не снижал баллы тем, кто придерживается альтернативных мнений.+
  
-Дополнительные баллы начислены за успешный поиск ​разбиений,​ не попадающих под общее описание (упоминание наличия таких разбиений и приведение единичного примера не учитывались). +**Конкурсная ​задача ММ246** (7 баллов)
-Мераб Левиашвили предложил несколько простых вариаций на тему задачи. Уточняю для него и других новичков ​Марафона,​ что дополнительными ​баллами такие предложения оцениваются при условии,​ что они содержат какие-то продвижения в указанных направлениях (ну, или если покажутся ведущему неожиданными и очень красивыми)+
  
-Напоминаю как новичкам,​ так и некоторым забывчивым старожилам,​ что я жду от вас эстетических оценок предлагаемых задач. 
  
-**Награды**+Сколько (с точностью до подобия) существует разносторонних треугольников, ​разрезаемых на два равнобедренных более чем одним способом?​
  
-За решение задачи ММ241 участники Марафона получают следующие призовые баллы:​\\  +[[problem 246|Решение задачи ММ246]]
-Александр Домашенко - 6;\\ +
-Константин Шамсутдинов - 5;\\ +
-Анатолий Казмерчук - 4;\\ +
-Мераб Левиашвили - 4;\\ +
-Виктор Филимоненков - 4;\\ +
-Владислав Франк - 4;\\ +
-Валентина Колыбасова - 4;\\ +
-Антон Никонов - 4;\\ +
-Владимир Дорофеев - 4;\\ +
-Анна Букина - 2.+
  
-**Эстетическая оценка задачи - 4.5 балла** 
 ---- ----
  
 +===== ММ245 =====
 +
 +**Конкурсная задача ММ245** (5 баллов)
 +
 +В остроугольном треугольнике ABC провели высоту BH. 
 +Найти отношение площадей треугольников ABH и CBH, если первый из них подобен треугольнику из своих медиан,​ а второй – треугольнику из своих высот.
 +
 +[[problem 245|Решение задачи ММ245]]
 +----
 +
 +===== ММ244 =====
 +
 +**Конкурсная задача ММ244** (6 баллов)
 +
 +Галя предложила Ане, Боре и Васе такую загадку:​\\
 +- Я задумала три попарно различных ненулевых цифры. Сейчас я по секрету сообщу Ане сумму квадратов,​ Боре произведение,​ а Варе сумму задуманных цифр. Попробуйте отгадать эти цифры.  ​
 +Узнав сумму квадратов произведение и сумму, Аня, Боря и Вася сначала задумались,​ а затем разговорились:​ \\
 +А: Я не могу определить,​ что это за цифры.\\
 +Б: И я не могу.\\
 +В: И я тоже.\\
 +A: Тогда я их знаю!\\
 +Б: После этой реплики и я их знаю.\\
 +Что это за тройка цифр? \\
 +Примечание:​ У Ани, Бори и Васи все хорошо с арифметикой и логикой.
 +
 +
 +[[problem 244|Решение задачи ММ244]]
 +----
 +
 +===== ММ243 =====
 +
 +**Конкурсная задача ММ243** (5 баллов)⊥
 +
 +
 +В треугольнике ABC a<b<c и a⋅l<​sub>​a</​sub>​=c⋅l<​sub>​c</​sub>​ Найти угол β. 
 +
 +[[problem 243|Решение задачи ММ243]]
 +
 +----
 +
 +===== ММ242 =====
 +
 +**Конкурсная задача ММ242** (5 баллов)
 +
 +На сайте проводится опрос, кого из m номинированных футболистов посетители сайта считают лучшим по итогам сезона. Каждый посетитель голосует один раз за одного футболиста. На сайте отображается рейтинг каждого футболиста - доля голосов,​ отданных за него, в процентах,​ округленных до целого числа. После того, как проголосовали n посетителей,​ суммарный рейтинг номинантов составил 95%.\\
 +a) При каком наименьшем m такое возможно?​\\
 +b) При каком наименьшем n такое возможно?​\\ ​
 +c) При каком наименьшем m+n такое возможно?​
 +
 +[[problem 242|Решение задачи ММ242]]
 +----
 +
 +===== ММ241 =====
 +
 +**Конкурсная задача ММ241** (4 балла)
 +
 +При каких натуральных n множество {1, 2, …, n} можно разбить на два подмножества так, что произведение элементов первого подмножества равно сумме элементов второго?​
 +
 +
 +[[problem 241|Решение задачи ММ241]]
 +----
  
  
 ===== ММ240 ===== ===== ММ240 =====
-**Конкурсная задача ММ2409** (13 баллов)+**Конкурсная задача ММ240** (13 баллов)
  
 Проективную плоскость разбили несколькими прямыми общего положения. При этом образовалось ровно 17 треугольников. Сколько пятиугольников могло при этом получиться?​ Проективную плоскость разбили несколькими прямыми общего положения. При этом образовалось ровно 17 треугольников. Сколько пятиугольников могло при этом получиться?​
Строка 253: Строка 266:
 ===== ММ239 ===== ===== ММ239 =====
 **Конкурсная задача ММ239** (10 баллов) **Конкурсная задача ММ239** (10 баллов)
- 
-Решения принимаются до __17.11.2018__ 
  
 Существует ли выпуклый многогранник,​ у которого:​\\ Существует ли выпуклый многогранник,​ у которого:​\\
Строка 341: Строка 352:
    
 **Конкурсная задача ММ233** ​ (6 баллов)\\ **Конкурсная задача ММ233** ​ (6 баллов)\\
 +
 Очередной отголосок ЕГЭ в Марафоне Очередной отголосок ЕГЭ в Марафоне
  
 

 


Страница: [[marathon:archive]]

marathon/archive.1588407135.txt · Последние изменения: 2020/05/02 11:12 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006