Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

marathon:archive [2020/05/02 11:22]
letsko [ММ243]
marathon:archive [2021/03/29 07:54] (текущий)
letsko
Строка 6: Строка 6:
  
 ---- ----
 +
 +===== ММ260 =====
 + ​**Конкурсная задача ММ260** (12 баллов)
 +
 +__Задача ММ260 обобщает и развивает ММ231__
 +
 +Пусть ABC - некоторый треугольник,​ точки K, L, M лежат соответственно на прямых AB, BC и AC, а s - некоторое действительное число, отличное от 0 и 1. Треугольник KLM будем называть подобно-вписанным в ?ABC, если\\
 +AK=sAB, BL=sBC, CM=sCA;\\
 +треугольник KLM подобен треугольнику ABC.\\
 +Сколько подобно вписанных треугольников может быть у произвольного треугольника?​
 +
 +[[problem 260|Решение задачи ММ260]]
 +
 +----
 +
 +
 +===== ММ259 =====
 +
 +**Конкурсная задача ММ259** (8 баллов)
 +
 +Может ли треугольник с вершинами в центроиде и центрах вписанной и описанной окружностей некоторого треугольника быть\\ ​
 +a) равновелик;​\\
 +б) подобен;​\\
 +в) равен \\
 +исходному?​
 +
 +[[problem 259|Решение задачи ММ259]]
 +
 +----
 +
 +
 +===== ММ258 =====
 + ​**Конкурсная задача ММ258** (7 баллов)
 +
 +Сколько элементов содержит множество сумм квадратов цифр квадратов чисел, в десятичной записи которых присутствуют по одному разу ровно три ненулевых цифры: 1, 4, 9? (Нулей может быть сколько угодно).
 +
 +[[problem 258|Решение задачи ММ258]]
 +
 +----
 +
 +
 +===== ММ257 =====
 + ​**Конкурсная задача ММ257** (9 баллов)
 +
 +__Задача ММ257 сюжетно связана с ММ237__
 +
 +Студент математического факультета Вася Пупкин пропустил (по уважительной причине) занятие по дискретной математике. Однокурсники рассказали,​ что на занятии рассматривался некий граф. Но ни один из них не зафиксировал этот граф ни с помощью гаджетов,​ ни на бумагу. Впрочем,​ Васины однокурсники,​ утверждают,​ что это не страшно,​ поскольку они и так помнят этот граф. В подтверждение своих слов они наперебой кинулись вспоминать характеристики графа:​\\
 +Аня: В графе было ровно 3 связных компоненты.\\
 +Ваня: Причем во всех связных компонентах графа имелись циклы.\\
 +Даня: А еще среди связных ​ компонент не было изоморфных.\\
 +Маня: Число ребер в одной из компонент было равно половине общего числа ребер.\\
 +Саня: При этом число ребер было равно сумме количеств вершин и связных компонент.\\
 +Таня: В графе была всего одна вершина степени 3.\\
 +Зина: А всего в графе было не более 13 вершин.\\
 +Лина: И при этом не было висячих вершин. \\
 +Нина: А степень одной из вершин не менее чем на 2 превосходила степень каждой из остальных вершин.\\
 +Фаина: Зина, Лина и Нина правы.\\
 +Услышавший эти реплики преподаватель сказал,​ что память подвела ровно одного человека.\\ ​
 +Сможет ли Вася (умница и отличник) однозначно восстановить граф?\\
 +
 +[[problem 257|Решение задачи ММ257]]
 +
 +----
 +
 +
 +===== ММ256 =====
 +**Конкурсная задача ММ256** (8 баллов)
 +
 +При каком наименьшем натуральном n уравнение n{x}<​sup>​2</​sup>​ +{x}=[x] имеет не менее 1000000 решений в рациональных числах?​
 +
 +__Примечание:​ {x} – дробная часть числа x, [x]  – целая часть (пол) числа x.__
 +
 +[[problem 256|Решение задачи ММ256]]
 +
 +----
 +
 +
 +===== ММ255 =====
 +
 +**Конкурсная задача ММ255** (7 баллов)
 +
 +Найти наименьшее натуральное число, имеющее ровно 7 представлений в виде произведения наибольшего возможного количества попарно различных натуральных сомножителей. ​
 +
 +[[problem 255|Решение задачи ММ255]]
 +
 +----
 +
 +
 +===== ММ254 =====
 +
 +**Конкурсная задача ММ254** (6 баллов)
 +
 +Вася вписал круг в треугольник со сторонами 3, 4, 5. И вписывает новые круги так, что каждый последующий касается двух сторон треугольника и одного из предыдущих кругов. Может ли суммарная площадь кругов превысить 80% от площади треугольника и на каком шаге (круге) может случиться это событие?​
 +
 +[[problem 254|Решение задачи ММ254]]
 +
 +----
 +
 +===== ММ253 =====
 +
 +**Конкурсная задача ММ253** (5 баллов)
 +
 +Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA<​sub>​1</​sub>​B<​sub>​1</​sub>​C<​sub>​1</​sub>​ равна 2. Сечение призмы,​ проходящее через середину отрезка AB<​sub>​1</​sub>​ перпендикулярно ему имеет площадь 28sqrt(39)/​81. Найти объем призмы?​
 +
 +[[problem 253|Решение задачи ММ253]]
 +
 +----
 +===== ММ252 =====
 + 
 +**Конкурсная задача ММ252** (3 балла)
 +
 +Для числа 90 существуют две пары представлений в виде произведения трех сомножителей таких, что суммы сомножителей внутри каждой пары одинаковы: ​
 +90=1⋅9⋅10=2⋅3⋅15, ​ 1+9+10=2+3+15;​\\
 +90=2⋅5⋅9=3⋅3⋅10, ​ 2+5+9=3+3+10.\\
 +Доказать,​ что существует бесконечно много натуральных чисел вида p<​sup>​k</​sup>​q (p, q – простые,​ k – натуральное),​ обладающих таким свойством.
 +
 +[[problem 252|Решение задачи ММ252]]
 +
 +----
 +
 +
 +===== ММ251 =====
 + 
 +**Конкурсная задача ММ251** (3 балла)
 +
 +Из книги вырвано несколько страниц. Сумма номеров оставшихся страниц 5001. Пусть n – наименьшее возможное число страниц,​ которое могло быть в этой книге изначально. Найдите наибольший возможный номер отсутствующей страницы,​ при условии,​ что в книге было n страниц.
 +
 +[[problem 251|Решение задачи ММ251]]
 +
 +----
 +
 +
 +===== ММ250 =====
 + 
 +**Конкурсная задача ММ250** (14 баллов)
 +
 +Найти наименьшее возможное количество ребер выпуклого многогранника,​ у которого сумма длин ребер равна сумме длин диагоналей.
 +
 +[[problem 250|Решение задачи ММ250]]
 +
 +----
 +
 +===== ММ249 =====
 +
 +**Конкурсная задача ММ249** (10 баллов)
 +
 +Пусть k – натуральное число и a – некоторая перестановка 2020-элементного множества. Может ли уравнение x<​sup>​k</​sup>​=a иметь ровно 2020 решений?​
 +
 +[[problem 249|Решение задачи ММ249]]
 +
 +----
 +
 +===== ММ248 =====
 +
 +**Конкурсная задача ММ248** (8 баллов)
 +
 +Найти наименьшее натуральное k такое, что во множестве {(τ(kn))/​(τ(n))|n ∈ N} ровно 13 целых чисел. ​
 +
 +[[problem 248|Решение задачи ММ248]]
 +
 +----
 +
 +===== ММ247 =====
 +
 +**Конкурсная задача ММ247** (7 баллов)
 +
 +
 +Пусть k – фиксированное натуральное число. Для натуральных n определим функцию f<​sub>​k</​sub>​(n)=lcm(n,​ n+1,..., n+k-1)/​lcm(n+1,​ n+2,..., n+k)}
 +Найти наименьшие значения f<​sub>​5</​sub>​(n) и f<​sub>​9</​sub>​(n).
 +
 +[[problem 247|Решение задачи ММ247]]
 +
 +----
 +
 +===== ММ246 =====
 +
 +**Конкурсная задача ММ246** (7 баллов)
 +
 +
 +Сколько (с точностью до подобия) существует разносторонних треугольников,​ разрезаемых на два равнобедренных более чем одним способом?​
 +
 +[[problem 246|Решение задачи ММ246]]
 +
 +----
 +
 ===== ММ245 ===== ===== ММ245 =====
  
Строка 45: Строка 230:
  
 ---- ----
- 
  
 ===== ММ242 ===== ===== ММ242 =====
Строка 68: Строка 252:
 [[problem 241|Решение задачи ММ241]] [[problem 241|Решение задачи ММ241]]
 ---- ----
- 
  
  
 ===== ММ240 ===== ===== ММ240 =====
-**Конкурсная задача ММ2409** (13 баллов)+**Конкурсная задача ММ240** (13 баллов)
  
 Проективную плоскость разбили несколькими прямыми общего положения. При этом образовалось ровно 17 треугольников. Сколько пятиугольников могло при этом получиться?​ Проективную плоскость разбили несколькими прямыми общего положения. При этом образовалось ровно 17 треугольников. Сколько пятиугольников могло при этом получиться?​
Строка 83: Строка 266:
 ===== ММ239 ===== ===== ММ239 =====
 **Конкурсная задача ММ239** (10 баллов) **Конкурсная задача ММ239** (10 баллов)
- 
-Решения принимаются до __17.11.2018__ 
  
 Существует ли выпуклый многогранник,​ у которого:​\\ Существует ли выпуклый многогранник,​ у которого:​\\
Строка 171: Строка 352:
    
 **Конкурсная задача ММ233** ​ (6 баллов)\\ **Конкурсная задача ММ233** ​ (6 баллов)\\
 +
 Очередной отголосок ЕГЭ в Марафоне Очередной отголосок ЕГЭ в Марафоне
  
 

 


Страница: [[marathon:archive]]

marathon/archive.1588407772.txt · Последние изменения: 2020/05/02 11:22 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006