Конкурсная задача ММ138 (6 баллов)

Доказать, что для любого натурального k найдутся натуральные a, n и g, такие что для всех i из {0,1,… ,k-1} в системе счисления с оcнованием g+i, число a является n-i-значным.

Решение

Обсуждение

Приведу пример для k=5: Пусть a=3486784400 (в десятичной системе). Ниже приводится (обратная) запись a для систем с основаниями от 5 до 9:
5, [0, 0, 1, 0, 0, 1, 4, 0, 1, 0, 2, 1, 4, 2], 14
6, [2, 1, 2, 0, 2, 5, 3, 5, 5, 3, 3, 3, 1], 13
7, [1, 2, 1, 5, 1, 1, 6, 5, 2, 2, 5, 1], 12
8, [0, 2, 6, 5, 1, 0, 5, 6, 7, 1, 3], 11
9, [8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8], 10

Для больших значений k потребуются огромные g. Например, для k=16 Сергей Половинкин нашел a порядка 10^{274}. Похожие оценки получил и Алексей Волошин.

Награды

За правильное (более аккуратное, чем у ведущего) решение задачи ММ138 Дмитрий Пашуткин, Анатолий Казмерчук и Владислав Франк получают по 7 призовых баллов. Александр Ларин получает 6 призовых баллов, Алексей Волошин и Сергей Половинкин - по 4 призовых балла, Николай Дерюгин - 3 призовых балла.

Эстетическая оценка задачи 4.9 балла

Разбор задачи ММ138 подготовил Владимир Лецко