Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

marathon:problem_180 [2013/11/09 20:12]
127.0.0.1 внешнее изменение
marathon:problem_180 [2019/08/09 07:56] (текущий)
letsko
Строка 13: Строка 13:
 Эта задачка - побочный продукт другой,​ сформулированной в обсуждении ММ141. В попытке отыскать натуральные n>1, для которых 2σ(σ(σ(n)))<​3n и возникли "​трижды нечетные числа"​. Эта задачка - побочный продукт другой,​ сформулированной в обсуждении ММ141. В попытке отыскать натуральные n>1, для которых 2σ(σ(σ(n)))<​3n и возникли "​трижды нечетные числа"​.
 Трудность задачи отыскания чисел, нарушающих "​правило трех сигм"​ :-) вызвана следующими обстоятельствами:​ Трудность задачи отыскания чисел, нарушающих "​правило трех сигм"​ :-) вызвана следующими обстоятельствами:​
-Пусть искомое n кратно 3. Тогда n = 9m (для нечетности σ(n) число n должно быть кратно 9) и σ(n)≥13σ(m). Тогда уже σ(σ(n))>​14σ(m)>​1.5n\\ ​+Пусть искомое n кратно 3. Тогда n = 9m (для нечетности σ(n) число n должно быть кратно 9). Если (m,3) = 1, то σ(n)≥13σ(m). Тогда уже σ(σ(n))>​14σ(m)>​1.5n. Аналогичная оценка проходит и для случая,​ когда n кратно большей четной степени 3.\\ 
 Значит,​ искомое n не должно быть кратно 3.\\ Значит,​ искомое n не должно быть кратно 3.\\
-Аналогично σ(n) не должно быть кратно 3.\\ +Точно ​так же σ(n) не должно быть кратно 3.\\ 
 Но как это обеспечить?​ Как известно,​ искомое n должно быть произведением четных степеней простых чисел. Однако,​ если среди сомножителей будет хотя бы один вида p<​sup>​2</​sup>,​ где p≡1(mod3),​ σ(n) станет кратным трем. ​ Но как это обеспечить?​ Как известно,​ искомое n должно быть произведением четных степеней простых чисел. Однако,​ если среди сомножителей будет хотя бы один вида p<​sup>​2</​sup>,​ где p≡1(mod3),​ σ(n) станет кратным трем. ​
  
Строка 29: Строка 29:
  
 Приведу несколько рекордных трижды нечетных чисел, кратных 821:  Приведу несколько рекордных трижды нечетных чисел, кратных 821: 
-Самое большое - +Самое большое - \\
 2153829155085255043614891212240804954296290781551228459130025646030373396031813892179848131295024231966337511684848286216390330422 798784638792856220500360869569340697854169364206477035521273548548065039909123747445604084225. В этом монстре 223 десятичных знака. 2153829155085255043614891212240804954296290781551228459130025646030373396031813892179848131295024231966337511684848286216390330422 798784638792856220500360869569340697854169364206477035521273548548065039909123747445604084225. В этом монстре 223 десятичных знака.
-Самым маленьким (не в смысле величины,​ а в смысле количества простых сомножителей в n) из найденных является число 6888943998606321712473704540351139273889<​sup>​2</​sup> ​= 821<​sup>​2</​sup>​·2458867<​sup>​2</​sup>​·2706167<​sup>​2</​sup>​·15193<​sup>​2</​sup>​.+Самым маленьким (не в смысле величины,​ а в смысле количества простых сомножителей в n) из найденных является число 6888943998606321712473704540351139273889 = 821<​sup>​2</​sup>​·2458867<​sup>​2</​sup>​·2706167<​sup>​2</​sup>​·15193<​sup>​2</​sup>​.
  
 Как и ряд участников,​ я тоже попытался найти трижды нечетные числа, кратные 821, в каноническом разложении которых присутствуют лишь два сомножителя,​ т.е найти решение диофантова уравнения p<​sup>​2</​sup>​+p+1=(821<​sup>​2</​sup>​+821+1)z<​sup>​2</​sup>,​ где p - простое,​ а z>1. Как и ряд участников,​ я тоже попытался найти трижды нечетные числа, кратные 821, в каноническом разложении которых присутствуют лишь два сомножителя,​ т.е найти решение диофантова уравнения p<​sup>​2</​sup>​+p+1=(821<​sup>​2</​sup>​+821+1)z<​sup>​2</​sup>,​ где p - простое,​ а z>1.
Строка 48: Строка 48:
 Под занавес обсуждения выделю вопросы,​ связанные с ММ141 и ММ180, ответы на которые пока не удалось найти: Под занавес обсуждения выделю вопросы,​ связанные с ММ141 и ММ180, ответы на которые пока не удалось найти:
  
-1. Является ли равенство σ(3<​sup>​4</​sup>​)=11<​sup>​2</​sup>​ единственным нетривиальным примером соотношения σ(p<​sup>​k</​sup>​)=q<​sup>​s</​sup>?​ +1. Является ли равенство σ(3<​sup>​4</​sup>​)=11<​sup>​2</​sup>​ единственным нетривиальным примером соотношения σ(p<​sup>​k</​sup>​)=q<​sup>​s</​sup>?​\\ 
-2. Существуют ли n>1, для которых 2σ(σ(σ(n)))<​3n?​ +(Кое-что,​ относящееся к этому вопросу [[https://​oeis.org/​A231484|есть в OEIS]]). 
-3. Существуют ли "​четырежды нечетные"​ числа?  ​+2. Существуют ли n>1, для которых 2σ(σ(σ(n)))<​3n?​\\ 
 +3. Существуют ли "​четырежды нечетные"​ числа?\\  
  
 **Награды** **Награды**
 

 


Страница: [[marathon:problem_180]]

marathon/problem_180.1384013527.txt · Последние изменения: 2014/02/06 10:48 (внешнее изменение)
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006