marathon:problem_180 [2013/11/09 20:12] 127.0.0.1 внешнее изменение |
marathon:problem_180 [2019/08/09 07:56] (текущий) letsko |
Эта задачка - побочный продукт другой, сформулированной в обсуждении ММ141. В попытке отыскать натуральные n>1, для которых 2σ(σ(σ(n)))<3n и возникли "трижды нечетные числа". | Эта задачка - побочный продукт другой, сформулированной в обсуждении ММ141. В попытке отыскать натуральные n>1, для которых 2σ(σ(σ(n)))<3n и возникли "трижды нечетные числа". |
Трудность задачи отыскания чисел, нарушающих "правило трех сигм" :-) вызвана следующими обстоятельствами: | Трудность задачи отыскания чисел, нарушающих "правило трех сигм" :-) вызвана следующими обстоятельствами: |
Пусть искомое n кратно 3. Тогда n = 9m (для нечетности σ(n) число n должно быть кратно 9) и σ(n)≥13σ(m). Тогда уже σ(σ(n))>14σ(m)>1.5n\\ | Пусть искомое n кратно 3. Тогда n = 9m (для нечетности σ(n) число n должно быть кратно 9). Если (m,3) = 1, то σ(n)≥13σ(m). Тогда уже σ(σ(n))>14σ(m)>1.5n. Аналогичная оценка проходит и для случая, когда n кратно большей четной степени 3.\\ |
Значит, искомое n не должно быть кратно 3.\\ | Значит, искомое n не должно быть кратно 3.\\ |
Аналогично σ(n) не должно быть кратно 3.\\ | Точно так же σ(n) не должно быть кратно 3.\\ |
Но как это обеспечить? Как известно, искомое n должно быть произведением четных степеней простых чисел. Однако, если среди сомножителей будет хотя бы один вида p<sup>2</sup>, где p≡1(mod3), σ(n) станет кратным трем. | Но как это обеспечить? Как известно, искомое n должно быть произведением четных степеней простых чисел. Однако, если среди сомножителей будет хотя бы один вида p<sup>2</sup>, где p≡1(mod3), σ(n) станет кратным трем. |
| |
| |
Приведу несколько рекордных трижды нечетных чисел, кратных 821: | Приведу несколько рекордных трижды нечетных чисел, кратных 821: |
Самое большое - | Самое большое - \\ |
2153829155085255043614891212240804954296290781551228459130025646030373396031813892179848131295024231966337511684848286216390330422 798784638792856220500360869569340697854169364206477035521273548548065039909123747445604084225. В этом монстре 223 десятичных знака. | 2153829155085255043614891212240804954296290781551228459130025646030373396031813892179848131295024231966337511684848286216390330422 798784638792856220500360869569340697854169364206477035521273548548065039909123747445604084225. В этом монстре 223 десятичных знака. |
Самым маленьким (не в смысле величины, а в смысле количества простых сомножителей в n) из найденных является число 6888943998606321712473704540351139273889<sup>2</sup> = 821<sup>2</sup>·2458867<sup>2</sup>·2706167<sup>2</sup>·15193<sup>2</sup>. | Самым маленьким (не в смысле величины, а в смысле количества простых сомножителей в n) из найденных является число 6888943998606321712473704540351139273889 = 821<sup>2</sup>·2458867<sup>2</sup>·2706167<sup>2</sup>·15193<sup>2</sup>. |
| |
Как и ряд участников, я тоже попытался найти трижды нечетные числа, кратные 821, в каноническом разложении которых присутствуют лишь два сомножителя, т.е найти решение диофантова уравнения p<sup>2</sup>+p+1=(821<sup>2</sup>+821+1)z<sup>2</sup>, где p - простое, а z>1. | Как и ряд участников, я тоже попытался найти трижды нечетные числа, кратные 821, в каноническом разложении которых присутствуют лишь два сомножителя, т.е найти решение диофантова уравнения p<sup>2</sup>+p+1=(821<sup>2</sup>+821+1)z<sup>2</sup>, где p - простое, а z>1. |
Под занавес обсуждения выделю вопросы, связанные с ММ141 и ММ180, ответы на которые пока не удалось найти: | Под занавес обсуждения выделю вопросы, связанные с ММ141 и ММ180, ответы на которые пока не удалось найти: |
| |
1. Является ли равенство σ(3<sup>4</sup>)=11<sup>2</sup> единственным нетривиальным примером соотношения σ(p<sup>k</sup>)=q<sup>s</sup>? | 1. Является ли равенство σ(3<sup>4</sup>)=11<sup>2</sup> единственным нетривиальным примером соотношения σ(p<sup>k</sup>)=q<sup>s</sup>?\\ |
2. Существуют ли n>1, для которых 2σ(σ(σ(n)))<3n? | (Кое-что, относящееся к этому вопросу [[https://oeis.org/A231484|есть в OEIS]]). |
3. Существуют ли "четырежды нечетные" числа? | 2. Существуют ли n>1, для которых 2σ(σ(σ(n)))<3n?\\ |
| 3. Существуют ли "четырежды нечетные" числа?\\ |
| |
**Награды** | **Награды** |