|
||||||||||||||||||
|
Это старая версия документа. СодержаниеMM180Конкурсная задача ММ180 (13 баллов) Назовем натуральное число «трижды нечетным», если само число, сумма его делителей и сумма делителей суммы его делителей нечетны. Может ли «трижды нечетное» число быть кратно 821? Решение Приведу решение Олега Полубасова. Обсуждение
Эта задачка - побочный продукт другой, сформулированной в обсуждении ММ141. В попытке отыскать натуральные n>1, для которых 2σ(σ(σ(n)))<3n и возникли «трижды нечетные числа».
Трудность задачи отыскания чисел, нарушающих «правило трех сигм» вызвана следующими обстоятельствами:
Пусть искомое n кратно 3. Тогда n = 9m (для нечетности σ(n) число n должно быть кратно 9) и σ(n)≥13σ(m). Тогда уже σ(σ(n))>14σ(m)>1.5n Один способ справиться с указанной бедой - допускать в n исключительно сомножители вида p2, где p≡2(mod3). Но для p, сравнимых с 2 по модулю 3, σ(p2) будет сравнимо с 1. Подобрав другие сомножители так, чтобы σ(p2) вошло в разложение σ(n) во второй степени мы инициируем появление множителя 3 у σ(σ(n)), что не оставляет практических шансов на выполнение искомого неравенства. Я пытался найти такие n, что все простые множители входят в разложение σ(n) в степенях, не сравнимых 2 по модулю 3, но тщетно. Другой способ - изначально рассматривать такие n, в разложение которых простые множители входят не во вторых, а в бОльших четных степенях. Но тогда простые множители σ(n) очень быстро растут и к ним очень тяжело подбирать пары, чтобы сделать σ(n) квадратом. Кроме того, это никак не гарантирует от появления множителя 3 у σ(σ(n)). Некоторые участники высказали мнение, что цена ММ180 завышена. Вполне допускаю, что так оно и есть: я подсознательно спроецировал на нее усилия и потуги, кратко описанные выше , но имеющие к ММ180 лишь косвенное отношение. Однако, вернемся к ММ180. Откуда взялось число 821? Дело в том, что трижды нечетные числа представлены в OEIS. Это нечетные члены эверестовской последовательности A008848. 821 - наименьший простой множитель, отсутствующий в A008848 и входящий в трижды нечетные из моей коллекции. Приведу несколько рекордных трижды нечетных чисел, кратных 821: Самое большое - 2153829155085255043614891212240804954296290781551228459130025646030373396031813892179848131295024231966337511684848286216390330422 798784638792856220500360869569340697854169364206477035521273548548065039909123747445604084225. В этом монстре 223 десятичных знака. Самым маленьким (не в смысле величины, а в смысле количества простых сомножителей в n) из найденных является число 68889439986063217124737045403511392738892 = 8212·24588672·27061672·151932. Как и ряд участников, я тоже попытался найти трижды нечетные числа, кратные 821, в каноническом разложении которых присутствуют лишь два сомножителя, т.е найти решение диофантова уравнения p2+p+1=(8212+821+1)z2, где p - простое, а z>1. Это уравнение легко (домножением на 4 и заменой y=2z, x=2p+1 сводится к обобщенному уравнению Пелля x2-674863y2=-3 (1). В отличие от обычного уравнения Пелля, обобщенное разрешимо не всегда. Но это замечание не относится к уравнениям вида x2-σ(q2)y2=-3. Ведь у них всегда есть тривиальное решение x=q, y=1, а значит и бесконечное множество решений.
В частности, для уравнения (1) имеется целых две бесконечных серии решений: Решая аналогичные уравнения, но не для числа 821, а, например, для чисел 7, 13, 31, 37 (для 37 удалось найти сразу 4 подходящих решения) можно получить трижды нечетные числа, являющиеся произведением квадратов двух простых чисел. Например, 103840047102169317666339040296372132 или 21107814372372. Все простые числа, для которых нашлось решение, имеют вид 6k+1. У меня уже было сложилось впечатление, что это вовсе не случайно, а специально для того чтобы затруднить поиск чисел, для которых 2σ(σ(σ(n)))<3n Но в этот момент я нашел нетривиальное решение уравнения x2=σ(592)y2 с простым (x-1)/2. Найти точное значение σ(σ(σ(n)))/n для 2433-значного n я не смог, но оценка ≈1.64 - рекорд для трижды нечетных n. Под занавес обсуждения выделю вопросы, связанные с ММ141 и ММ180, ответы на которые пока не удалось найти:
1. Является ли равенство σ(34)=112 единственным нетривиальным примером соотношения σ(pk)=qs? Награды За ММ180 Олег Полубасов получает 15 призовых баллов, Виктор Филимоненков, Анатолий Казмерчук, Алексей Волошин, Николай Дерюгин, Евгений Гужавин и Сергей Половинкин - по 13 призовых баллов. Эстетическая оценка задачи 4.9 балла
|
|||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|