|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Это старая версия документа. СодержаниеММ183Легкая задача с очевидным неочевидным обобщением Конкурсная задача ММ183 (3 балла) Про пять чисел a,b,c,d,e известно, что a<b<c<d<e. Попарные суммы этих чисел выписали в порядке неубывания. Найти число вариантов расположения сумм в этом списке в зависимости от конкретных значений исходных чисел. Решение
Привожу решения: Обсуждение
Остановимся на обобщении ММ183 и ее близких аналогов.
Хотя Олег Полубасов и утверждает, что ему неизвестно, какие обобщения имел в виду ведущий. полагаю он немного лукавит, поскольку под номером 1 в его списке стоит «правильная» версия.
Тем более, что остальные «обобщения» Олега - это не обобщения а вариации на тему (что, разумеется, тоже приветствуется). В общем, создается впечатление, что общая задача решена. Остается указать биекцию между числовыми треугольниками и возможными упорядочиваниями сумм и добавить в OEIS еще одно описание A003121. И такая биекция находится! Проиллюстрирую ее на примере следующего треугольника
Выпышем попарные суммы элементов a<b<c<d<e в следующем порядке: на i-е место поставим сумму индексов столбца и строки, на пересечении которых стоит число i. Для нашего треугольника получим a+b, a+c, a+d, b+c, a+e, b+d, b+e, c+d, c+e, d+e. Легко убедиться, что при n⇐5 указанное соответствие задает биекцию, между всеми треугольниками и всеми вариантами упорядочивания сумм.
К моменту, когда мне прислали первое решение с выходом на A003121, я уже давно имел ответ о числе упорядочиваний сумм для n=6 и не сомневался в нем.
Этот ответ был 168. А шестой член A003121 равен 286. Поэтому я решил, что совпадение начальных членов A003121 и ответов к ММ183 для малых n - случайность. И успокоился. Но ненадолго. В тот же день пришло еще одно решение с ответом 286 для n=6.
Уверенность в правильности моего ответа пошатнулась и я кинулся перепроверять свое решение. И, как мне показалось, разгадал загадку.
Итак, все ясно! Добавляем в OEIS новую последовательность, в описание A003121 добавляем новую интерпретацию и ссылку на новую последовательность.
Описанный выше способ ставит ему в соответствие такое «упорядочивание» множества сумм: Что ж? Тем лучше. Добавим в OEIS две новых последовательности! А общая формула?.. Будем думать. В прилагаемом файле приведены 286 расположений сумм, соответствующих 286 способам заполнения треугольника числами 1,2,…, 15. Они разбиты на три группы: 168 расположений соответствующих упорядочиваниям попарно различных сумм; 76 реализуемых только при наличии равных сумм; 42 нереализуемых. И еще об одной сложной задаче. Эту задачу задал мне своей версией решения Анатолий Казмерчук. Задача - во сколько баллов оценить его решение? Готов убедительно обосновать любое количество баллов от 0 до 7 включительно! Не верите?! Тогда обосную крайние случаи: 0. Исходная задача вообще не решена, решавшаяся вместо нее решена неверно - итого 0 баллов. … 7. Исходная задача правильно решена в первом же пункте измененной задачи, гораздо более сложной, чем исходная. Измененная задача решена практически верно: правильно выбраны случаи; верно найдены ответы для каждого случая; верно найдены пересечения всех случаев. И лишь собирая все верно найденное воедино Анатолий допустил оплошность, за которую можно и не снижать баллы. Итак, можно считать, что решена и исходная и более сложная задача (в точности та, за которую начислены дополнительные баллы Олегу Полубасову). Значит, и оценка должна быть такой же! В итоге я остановился на 5 баллах. А сколько поставили бы вы? Награды За правильное решение и обобщение ММ183 Олег Полубасов получает 7 призовых баллов, Сергей Половинкин - 5 призовых баллов, Антон Никонов - 4 призоых балла. За правильное решение задачи ММ183 Андрей Халявин, Виктор Филимоненков, и Дмитрий Пашуткин получают по 3 призовых балла. За верные наблюдения (не приведшие, однако, к правильному решению) Николай Дерюгин получает один призовой балл. За практически правильное решение гораздо более сложного аналога ММ183 Анатолий Казмерчук получает 5 призовых баллов. Эстетическая оценка задачи 4.6 балла
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|