Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Содержание

ММ188

Когда трехмерный случай сложнее четырехмерного

Конкурсная задача ММ188 (9 баллов)

1. a,b,c,d - векторы трехмерного евклидова пространства (не обязательно различные). M = {{a,b,c}, {a,b,d}, {a,c,d}, {b,c,d}}. Подмножество множества M назовем хорошим, если при подходящем выборе векторов все тройки из данного подмножества образуют базис, а остальные не образуют. Сколько хороших подмножеств у M? 2. Тот же вопрос для пяти векторов в четырехмерном пространстве. 3. Тот же вопрос для пяти векторов в трехмерном пространстве.

Решение

Привожу два решения: четкое, обоснованное, без «излишеств» - Виктора Филимоненкова; с введением терминологии и исследованием более общего случая - Олега Полубасова.

Обсуждение

Предлагая эту задачу, я полагал, что основные трудности решения связаны, с пунктом 3, и именно с комбинаторной частью задачи: корректно разбить подмножества множества M на классы эквивалентных подмножеств (не перебирать же все 1024 случая отдельно) и найти мощность каждого класса.
Но, вопреки моим ожиданиям, оказалось, что главный источник преткновений - линейная алгебра. В частности, не подтвердился эпиграф «трехмерный случай сложнее четырехмерного»: есть решение, где трехмерный случай посчитан правильно, а четырехмерный - с ошибками. Обратных же примеров - нет.

Не подтвердилась и вторая моя гипотеза. Я полагал, что задача получит низкую оценку из-за «муторности» решения. Однако, задача участникам Марафона, в целом, понравилась.

Совершенно очевидно (по крайней мере, «с моей колокольни») обобщение 1-го и 2-го пунктов задачи на случай n-мерного пространства.
Если M состоит из всех сочетаний (n+1)-элементного множества по n элементов, то все 2n+1 подмножеств будут хорошими.

На другие очевидные по постановке, но не по методам и результатам результатам, обобщения отважились всего двое марафонцев. Их успехи на этом пути оценены дополнительными призовыми баллами.
Интересные вопросы, оставшиеся без ответов, приведены в дополнении к решению Олега Полубасова.

Награды

За правильное решение и обобщение задачи ММ188 Олег Полубасов получает 14, а Анатолий Казмерчук - 11 призовых баллов. За правильное решение задачи (или ее отдельных частей) Сергей Половинкин и Виктор Филимоненков получают по 9 баллов, Дмитрий Пашуткин - 7 баллов, Антон Никонов и Николай Дерюгин - по 2 призовых балла.

Эстетическая оценка задачи 4.8 балла


 

 


Страница: [[marathon:problem_188]]

marathon/problem_188.txt · Последние изменения: 2014/09/13 12:03 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006