Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Содержание

ММ189

Псевдогеометрия

Конкурсная задача ММ189 (6 баллов)

Для каких натуральных m существует треугольник с целочисленными сторонами и медианой m?
Для каждого подходящего m найти наибольшую возможную сторону.

Решение

Привожу решения Анатолия Казмерчука и Олега Полубасова.

Обсуждение

ММ188 неожиданно для меня (и, полагаю, еще более неожиданно для Константина Кнопа, посчитавшего цену задачи завышенной) оказалась трудным орешком для участников. На нее поступило наименьшее в туре количество решений (да и те не все безупречны). Объяснение, что задача просто не вызвала интереса, не проходит: ММ188 оказалась одной из редких задач оцененных участниками максимальным баллом (правда, после округления оценки до десятых).

Обобщение про чевиану представляется мне не слишком интересным, поскольку не особо интересна одна отдельно взятая чевиана: свобода ее выбора слишком велика.

Я ожидал модификации задачи в несколько ином направлении. Более того, сам я пришел к ММ189 рассматривая треугольники с тремя целочисленными медианами. Потратив много усилий и найдя бесконечную серию (разумеется, не подобных между собой) таких треугольников, я уже довольно потирал руки, полагая, что у меня есть забойная задача тура. И только потом удосужился погуглить.
Удивительнее всего, что первая же ссылка привела меня не куда-нибудь, а dxdy (одну из главных марафонских площадок). Не знаю, как я ухитрился пропустить эту тему, когда она обсуждалась на форуме. Дальше события развивались по известному сценарию. В течение трех месяцев, прошедших с момента «усекновения» задачи про треугольники с целочисленными сторонами и медианами до ММ188, я натыкался на первоначальную формулировку чуть ли не каждый день:
Смотрю книжку Ричарда Гая «Нерешенные проблемы теории чисел» - там фигурирует проблема существования треугольника с целочисленными сторонами, медианами и площадью. При этом, разумеется, констатируется, что без требования целочисленности площади, бесконечность множества подходящих треугольников доказана.
Читаю в вики статью «Открытые проблемы математики» - там приведена та же задача.
Попадается на глаза статья про Морделла - там указано, что Морделл интересовался этой задачей и именно он доказал, существование бесконечного множества треугольников с целочисленными сторонами и медианами (вот тут-то без эллиптических кривых наверняка не обошлось).
Читаю (далеко не первую) заметку о проблеме существования эйлерова кирпича - там проводится параллель между «кирпичом и треугольником».
И т.д.

У меня имеется еще одно интересное обобщение ММ188 (наверное, все же, не обобщение я родственная задача). Уже хотел поделиться, но передумал, приберегу для следующего тура :-)

Награды

За решение и обобщение задачи ММ188 участникам начислены следующие призовые баллы: Олег Полубасов - 9; Анатолий Казмерчук - 7; Виктор Филимоненков и Антон Никонов - по 6; Дмитрий Пашуткин; Сергей Половинкин - 3.

Эстетическая оценка задачи 5 баллов


 

 


Страница: [[marathon:problem_189]]

marathon/problem_189.txt · Последние изменения: 2014/10/11 11:00 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006