Конкурсная задача ММ197 (5 баллов)

Будем говорить, что n-угольник относится к классу k, если его можно разрезать на k треугольников одной прямой и нельзя разрезать одной прямой на большее число треугольников. Найти все возможные значения k для [math]$n = 2014$[/math].

Примечания:
1. Никаких других фигур при разрезании возникать не должно.
2. Если вышеописанный разрез осуществить нельзя, многоугольник относится к классу 0.

Решение

Привожу только решение Олега Полубасова, поскольку остальные правильные решения идентичны приведенному.

Обсуждение

К моему удивлению, эта задача, представлявшаяся мне достаточно простой, вызвала затруднения даже у некоторых «зубров» Марафона. Не все участники догадались, что линия разреза может целиком содержать некоторые стороны многоугольника. Другие не заметили, что крайние точки разреза могут быть как вершинами, как и внутренними точками сторон. За еще одну потерю (случай k=0) я оценку не снижал, поскольку в первоначальном варианте условия (не приводившем к классификации n-угольников) этот случай не возникал, а часть решений поступила еще до уточнения условия.

Дополнительный балл начислен Олегу Полубасову за некое обобщение задачи. Аналогичное обобщение есть в решении Владимира Дорофеева, но его дополнительный балл «сократился» с баллом изъятым за погрешности в изложении решения.

Награды

За решение задачи ММ197 участникам начислены следующие призовые баллы: Олег Полубасов получает - 6; Константин Хадаев, Виктор Филимоненков, Владимир Дорофеев, Сергей Половинкин и Дмитрий Пашуткин - по 5; Ариадна - 4; Анатолий Казмерчук - 2; Антон Никонов - 1;,

Эстетическая оценка задачи - 4.9 балла