|
||||||||||||||||||
|
Это старая версия документа. СодержаниеММ20Конкурсная задача ММ20 (6 баллов) Куб ABCDA1B1C1D1 склеен из единичных кубиков. Сечения EKLMN и OPRST, параллельные BD, имеют площади 50 и 100 соответственно. Найти объем куба. Решение
Обозначим ребро куба a. Ясно, что рассматриваемые сечения вполне определяются положением точек E и M, и площадь их будет тем меньше, чем ближе точка M к С, а точка E к B. При этом площадь ограничена снизу площадью треугольника BCD равной a2/2. Отсюда a<10. (1) Для того, чтобы сделать площадь сечения наибольшей, точку M, очевидно, надо совместить c С1. Однако зависимость площади от положения точки E, не столь прозрачна (с одной стороны, устремляя ее к A, мы 'удлиняем' сечение, а с другой - сужаем его нижнюю часть).
Обозначим, AE = x и найдем площадь как функцию от x (при этом временно положим a=1, чтоб не путалось под ногами). Обозначим . Тогда площадь треугольника LMN будет равна t/(4-2x), а площадь трапеции EKLN - t(1-x2)/(4-2x). Суммируя эти выражения находим площадь сечения Sq(x) = t(2-x2)/(4-2x). Награды За правильное решение этой задачи Владимир Трушков получает 6 призовых баллов. За правильно, но неполное решение Дмитрий Максимов получает 4 призовых балла.
|
|||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|