 |
|
 |
 |
 | Карта сайта |
 | Недавние изменения |
 | Поиск |
 | Вы посетили |
 | История страницы |
 | Вход |
Различия
Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.
|
marathon:problem_20 [2015/10/07 12:44] letsko создано |
marathon:problem_20 [2020/06/02 04:24] (текущий) letsko |
||
|---|---|---|---|
| Строка 16: | Строка 16: | ||
| Для того, чтобы сделать площадь сечения наибольшей, точку M, очевидно, надо совместить c С<sub>1</sub>. Однако зависимость площади от положения точки E, не столь прозрачна (с одной стороны, устремляя ее к A, мы 'удлиняем' сечение, а с другой - сужаем его нижнюю часть). | Для того, чтобы сделать площадь сечения наибольшей, точку M, очевидно, надо совместить c С<sub>1</sub>. Однако зависимость площади от положения точки E, не столь прозрачна (с одной стороны, устремляя ее к A, мы 'удлиняем' сечение, а с другой - сужаем его нижнюю часть). | ||
| - | Обозначим, AE = x и найдем площадь как функцию от x (при этом временно положим a=1, чтоб не путалось под ногами). Обозначим <m>sqrt{6-4x+x^2} = t</m>. Тогда площадь треугольника LMN будет равна t/(4-2x), а площадь трапеции EKLN - t(1-x<sup>2</sup>)/(4-2x). Суммируя эти выражения находим площадь сечения Sq(x) = t(2-x<sup>2</sup>)/(4-2x).\\ | + | Обозначим, AE = x и найдем площадь как функцию от x (при этом временно положим a=1, чтоб не путалось под ногами). Обозначим <m>sqrt{6-4x+x^2} = t</m>. Тогда площадь треугольника LMN будет равна <m>{t}/{4-2x}</m>, а площадь трапеции EKLN - <m>{t(1-x^2)}/{4-2x}.</m> Суммируя эти выражения находим площадь сечения: |
| - | Sq'(x) = (x<sup>4</sup>-6x<sup>3</sup>+13x<sup>2</sup>-12x+2)/ (t(x<sup>2</sup>-2)).\\ | + | |
| + | <m>Sq(x) = {t(2-x^2)}/{4-2x}.</m> | ||
| + | |||
| + | Производная функции Sq(x) будет равна <m>{x^4-6x^3+13x^2-12x+2}/ {t(x^2-2)}.</m> | ||
| Знаменатель не обращается в 0 на интересующем нас промежутке (0; 1), а числитель раскладывается на два множителя <m>x^2-3x+2+sqrt{2}</m> и <m>x^2-3x+2-sqrt{2}</m>. Корни первого комплексны, а второй имеет два вещественных корня, из которых один, | Знаменатель не обращается в 0 на интересующем нас промежутке (0; 1), а числитель раскладывается на два множителя <m>x^2-3x+2+sqrt{2}</m> и <m>x^2-3x+2-sqrt{2}</m>. Корни первого комплексны, а второй имеет два вещественных корня, из которых один, | ||
| - | <m>x_1 = {3}/{2} -{sqrt{1+4sqrt{2}}}/{2}</m>, принадлежит (0, 1). Легко убедиться, что при x = x<sub>1</sub> Sq(x) имеет максимум. Вспоминая про a, находим что максимум площади сечения a<sup>2</sup>Sq(x<sub>1</sub>) будет превышать 100, начиная с a=9. | + | <m>x_1 = {3}/{2} -{sqrt{1+4sqrt{2}}}/{2}</m>, принадлежит (0, 1).\\ |
| + | Легко убедиться, что при x = x<sub>1</sub> Sq(x) имеет максимум. Вспоминая про a, находим что максимум площади сечения a<sup>2</sup>Sq(x<sub>1</sub>) будет превышать 100, начиная с a=9. | ||
| Соотнеся последний вывод с (1) окончательно получаем a = 9 и V = 729. | Соотнеся последний вывод с (1) окончательно получаем a = 9 и V = 729. | ||