Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Содержание

ММ206

Конкурсная задача ММ206 (11 баллов)

Задача ММ206 является прямым продолжением задачи ММ77

Каждое из n натуральных чисел, идущих подряд, имеет ровно k натуральных делителей. Какое наибольшее значение может принимать n, если
1) k = 18;
2) k = 20;
3) k = 22;
4) k = 202.

Замечание: Относительно скромное количество призовых баллов за эту задачу обусловлено тем, что при ее решении можно воспользоваться не только решением ММ77, но и результатами статьи, на которую есть ссылка в обсуждении.

Решение задачи 206

Решение

Привожу решения Анатолия Казмерчука, Василия Дзюбенко и мое.

Обсуждение

В середине 21-го тура он оказался в глубоком кризисе :-(
Но ли я перестарался, то ли участники недостарались… Так или иначе, я получил всего два решения задачи ММ206.
Не исключаю, что кому-то просто не хватило времени. Конечно, времени было достаточно: задача была опубликована еще в мае, да и от разбора ММ205 ее отделяют 2 недели (а не традиционная неделя). Но, полагаю, многие участники по студенческой привычке приступают к решению исключительно в последний день. Впрочем, обращений с просьбой отсрочить deadline не поступало.

Следующая задача (ММ207) является естественным продолжением ММ206. Само собой, этот факт наводит на мысль, не постигнет ее участь разбираемой задачи. Надеюсь, разбор ММ206 поможет участникам справиться с ММ207.

Теперь по сути задачи.
Обозначим через M(k) наибольшее возможное количество последовательных натуральных чисел, имеющих в точности k делителей. Ясно, что для каждого конкретного k M(k) имеет конечное значение. В то же время, согласно гипотезе Эрдёша, для каждого натурального числа m, найдется k такое, что M(k) ≥ m.

Очевидно, что M(k) = 1 для нечетных k.

Мне удалось найти точные значения M(k) для 111 конкретных четных значений k (ранее M(k) было известно только для k ∈ {2,4,6,8,10,14,16}). Конкретные k и числа, с которых начинаются соответствующие последовательности, см. Приложение

Я практически уверен, что, если k - удвоенное простое, большее 3, то M(k)=3 (пункты 3 и 4 - частные случаи этого утверждения).
Еще одна правдоподобная гипотеза: если k кратно 4, но не кратно 3 (пункт 2), то M(k)=7.
Высказанные предположения стали бы теоремами, если бы была доказана гипотеза Бейтмана-Хорна или какой-либо из ее более слабых вариантов, например, гипотеза Шинцеля H или гипотеза Диксона.

Сложнее обстоит дело четными k, не кратными 4.

Если при этом k кратно 3, то можно получить оценку M(k) ≤ 7. Однако, точное значение M(k) известно только для двух конкретных значений k. Причем для этих k наибольшее возможное количество последовательных чисел, имеющих по k делителей, равно не 7, а 5 (пункт 1 и пункт 4 задачи ММ77).

Если k = 2m, где m - составное, не кратное 3, то справедлива оценка M(k) ≤ 5. Однако я не знаю ни одного примера, для которого эта граница достигается. Более того, я не уверен в существовании таких примеров.

Мне удалось найти 13, а затем и 14 последовательных чисел, имеющих по 24 делителя. Некоторые подробности этого поиска можно найти в авторском решении MM206. Уже после публикации данного разбора мной и Василием Дзюбенко был получен еще ряд результатов, связанных с задачами ММ77, ММ206 и ММ207.

Награды

За решение задачи ММ206 Анатолий Казмерчук получает 12 призовых баллов, а Василий Дзюбенко - 7 призовых баллов.

Эстетическая оценка задачи - 5 баллов

(То есть, оценившему ее Анатолию Казмерчуку задача понравилась :-))


 

 


Страница: [[marathon:problem_206]]

marathon/problem_206.txt · Последние изменения: 2016/05/31 22:01 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006