|
||||||||||||||||||
|
СодержаниеММ206Конкурсная задача ММ206 (11 баллов) Задача ММ206 является прямым продолжением задачи ММ77
Каждое из n натуральных чисел, идущих подряд, имеет ровно k натуральных делителей. Какое наибольшее значение может принимать n, если Замечание: Относительно скромное количество призовых баллов за эту задачу обусловлено тем, что при ее решении можно воспользоваться не только решением ММ77, но и результатами статьи, на которую есть ссылка в обсуждении. Решение Привожу решения Анатолия Казмерчука, Василия Дзюбенко и мое. Обсуждение
В середине 21-го тура он оказался в глубоком кризисе Следующая задача (ММ207) является естественным продолжением ММ206. Само собой, этот факт наводит на мысль, не постигнет ее участь разбираемой задачи. Надеюсь, разбор ММ206 поможет участникам справиться с ММ207.
Теперь по сути задачи. Очевидно, что M(k) = 1 для нечетных k. Мне удалось найти точные значения M(k) для 111 конкретных четных значений k (ранее M(k) было известно только для k ∈ {2,4,6,8,10,14,16}). Конкретные k и числа, с которых начинаются соответствующие последовательности, см. Приложение
Я практически уверен, что, если k - удвоенное простое, большее 3, то M(k)=3 (пункты 3 и 4 - частные случаи этого утверждения). Сложнее обстоит дело четными k, не кратными 4. Если при этом k кратно 3, то можно получить оценку M(k) ≤ 7. Однако, точное значение M(k) известно только для двух конкретных значений k. Причем для этих k наибольшее возможное количество последовательных чисел, имеющих по k делителей, равно не 7, а 5 (пункт 1 и пункт 4 задачи ММ77). Если k = 2m, где m - составное, не кратное 3, то справедлива оценка M(k) ≤ 5. Однако я не знаю ни одного примера, для которого эта граница достигается. Более того, я не уверен в существовании таких примеров. Мне удалось найти 13, а затем и 14 последовательных чисел, имеющих по 24 делителя. Некоторые подробности этого поиска можно найти в авторском решении MM206. Уже после публикации данного разбора мной и Василием Дзюбенко был получен еще ряд результатов, связанных с задачами ММ77, ММ206 и ММ207. Награды За решение задачи ММ206 Анатолий Казмерчук получает 12 призовых баллов, а Василий Дзюбенко - 7 призовых баллов. Эстетическая оценка задачи - 5 баллов (То есть, оценившему ее Анатолию Казмерчуку задача понравилась )
|
|||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|