Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Содержание

ММ207

Конкурсная задача ММ207 (13 баллов)

Задача ММ207 является прямым продолжением задач ММ77 и ММ206

Обозначим через A(a,d) максимально возможное количество последовательных натуральных чисел таких, что первое из имеет ровно a натуральных делителей, второе - a+d, третье - a+2d и т.д. (иными словами, количества делителей последовательных чисел образуют арифметическую прогрессию с первым членом a и разностью d).
1) найти наибольшее возможное значение A(n,1);
2) найти наибольшее возможное значение A(n,3);
3) найти A(2,2);
4) найти A(4,2);
5) доказать, что при подходящем n A(n,2) ≥ 8.

Решение

Привожу решения Анатолия Казмерчука, Василия Дзюбенко и Олега Полубасова.

Обсуждение

Как я и ожидал после реакции участников на ММ206 близко родственная ММ207 не вызвала бурного потока откликов.
Но некоторый прогресс, все же наблюдается. А в процентном отношении рост очень даже неплохой! :-)

Анатолий Казмерчук прислал мне табличку содержащую точные значения (для одних случаев) и оценки (для других) A(a,d) для всех a и d, не превосходящих 8. По мнению самого Анатолия эта таблица пока весьма «сырая». Поэтому по его же просьбе я не привожу эту таблицу. По этой же причине («сырости» таблицы, а не просьбе автора) дополнительные призовые баллы за решение Анатолия достаточно скромны. Я планирую после аккуратной проверки опубликовать эту таблицу и надеюсь, что это «после» когда-нибудь настанет.

Некоторые повторы в решении Василия Дзюбенко вызваны тем, что я механически объединил два файла, присланных мне Василием.

Олег Полубасов не присылал решение ММ206 и, очевидно, по этой причине не слишком внимательно читал ее разбор. Этот вывод я сделал на основании слов Олега «Наверняка, соответствующая теорема о свойствах систем линейных диофантовых уравнений давно кем-нибудь доказана.» Повторюсь, насколько я в курсе (а я предпринимал попытки быть в курсе), гипотеза Диксона и несколько ее обобщений, гарантирующие существование последовательностей требуемой длины, пока остаются в стадии гипотез. Впрочем, учитывая недавние продвижения в близких областях (теорема Семереди, теорема Грина-Тао, проблема простых близнецов), можно надеяться на скорое доказательство этих гипотез.

В заключение приведу пример, показывающий, что A(4,4) ≥ 10. Десять последовательных чисел, начиная с n=41295713132636191453967523681640615 имеют соответственно 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36 и 40 делителей.

Награды

За решение задачи ММ207 Олег Полубасов и Анатолий Казмерчук получают по 15 призовых баллов, а Василий Дзюбенко - 13 призовых баллов.

Эстетическая оценка задачи - 4.5 баллов


 

 


Страница: [[marathon:problem_207]]

marathon/problem_207.txt · Последние изменения: 2016/05/31 13:13 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006