|
||||||||||||||||||
|
СодержаниеММ207Конкурсная задача ММ207 (13 баллов) Задача ММ207 является прямым продолжением задач ММ77 и ММ206
Обозначим через A(a,d) максимально возможное количество последовательных натуральных чисел таких, что первое из имеет ровно a натуральных делителей, второе - a+d, третье - a+2d и т.д. (иными словами, количества делителей последовательных чисел образуют арифметическую прогрессию с первым членом a и разностью d). Решение Привожу решения Анатолия Казмерчука, Василия Дзюбенко и Олега Полубасова. Обсуждение
Как я и ожидал после реакции участников на ММ206 близко родственная ММ207 не вызвала бурного потока откликов. Анатолий Казмерчук прислал мне табличку содержащую точные значения (для одних случаев) и оценки (для других) A(a,d) для всех a и d, не превосходящих 8. По мнению самого Анатолия эта таблица пока весьма «сырая». Поэтому по его же просьбе я не привожу эту таблицу. По этой же причине («сырости» таблицы, а не просьбе автора) дополнительные призовые баллы за решение Анатолия достаточно скромны. Я планирую после аккуратной проверки опубликовать эту таблицу и надеюсь, что это «после» когда-нибудь настанет. Некоторые повторы в решении Василия Дзюбенко вызваны тем, что я механически объединил два файла, присланных мне Василием. Олег Полубасов не присылал решение ММ206 и, очевидно, по этой причине не слишком внимательно читал ее разбор. Этот вывод я сделал на основании слов Олега «Наверняка, соответствующая теорема о свойствах систем линейных диофантовых уравнений давно кем-нибудь доказана.» Повторюсь, насколько я в курсе (а я предпринимал попытки быть в курсе), гипотеза Диксона и несколько ее обобщений, гарантирующие существование последовательностей требуемой длины, пока остаются в стадии гипотез. Впрочем, учитывая недавние продвижения в близких областях (теорема Семереди, теорема Грина-Тао, проблема простых близнецов), можно надеяться на скорое доказательство этих гипотез. В заключение приведу пример, показывающий, что A(4,4) ≥ 10. Десять последовательных чисел, начиная с n=41295713132636191453967523681640615 имеют соответственно 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36 и 40 делителей. Награды За решение задачи ММ207 Олег Полубасов и Анатолий Казмерчук получают по 15 призовых баллов, а Василий Дзюбенко - 13 призовых баллов. Эстетическая оценка задачи - 4.5 баллов
|
|||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|