|
||||||||||||||||||
|
СодержаниеММ210Конкурсная задача ММ210 (13 баллов)
1. Пусть М = {ha, hb, hc, ba, bb, bc, ma, mb, mc} - множество, состоящее из величин высот, биссектрис, и медиан некоторого треугольника. Сколько элементов может быть в M?
Примечание. Решение Количество решений, присланных после продления срока их приема, оказалось меньше количества просьб об этом продлении. Поэтому привожу все решения, которые у меня есть: Олега Полубасова, Анатолия Казмерчука и авторское. Обсуждение Малое количество присланных решений вполне компенсируется их размером. И это только «видимая часть айсберга». Так, кроме выложенного мной на всеобщее обозрение 30-страничного трактата, Анатолий Казмерчук прислал еще несколько файлов с «кухней». У меня тоже имеется солидная «подводная часть» решения (преимущественно она относится к обоснованию отсутствия неучтенных точек пересечения рассматриваемых кривых в интересующей нас области). Полагаю, что и Олег Полубасов при получении тех результатов, которые приведены в его решении без сопровождающих подробностей, опирался не только на «метод божественного озарения» Расхождение в общем количестве числа упорядочиваний классов одинаковых величин в случае, допускающем вырожденные треугольники, (по 63 у меня и Олега, 62 у Анатолия) объясняется просто. Анатолий не включил в рассмотрение «треугольник» ABC, у которого вершины B и C совпадают, и аргументировал это. Олег привел те же аргументы в пользу неопределенности высоты из вершины A, но включил этот случай. Я же полагал, что высота из вершины A в таком «треугольнике» равна его медиане и биссектирисе из той же вершины, поскольку равнобедренность этого «треугольника» не вызывает сомнений (в отличие от его треугольности ) Полагаю, это вопрос договоренности. Понятно, что рассматриваемые вопросы зависят только от формы, но не от размеров треугольника. Поэтому задача является двухпараметрической. Но сами параметры можно выбирать по-разному. Подход, который еще со времен задачи ММ80 предпочитаю я, нравится мне своей наглядностью - на рисунке представлены сами изучаемые треугольники, а не их характеристики. Удивительно, что я ни разу не встречал такой параметризации в литературе (она встречалась в решении задачи ММ80, присланном Виктором Филимоненковым, но в этом туре Виктор сошел с дистанции посреди этапа :( ).
Любопытно, что среди тупоугольных треугольников представлены целых 51 из 56 возможных классов невырожденных треугольников. Если допустить к рассмотрению вырожденные треугольники, то среди тупоугольных будут представлены 57 классов. Отпадет еще описанный выше класс «треугольников» с двумя совпадающими вершинами (у таких «треугольников», на мой взгляд, один острый угол и пара прямых, но я не настаиваю на таком толковании ). Награды За решение задачи ММ210 Анатолий Казмерчук и Олег Полубасов получают 13 призовых баллов. Эстетическая оценка задачи - 5 баллов
|
|||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|