Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Содержание

ММ228

Конкурсная задача ММ228 (4 балла)

Какое наименьшее число элементарных четырехугольников может быть в конфигурации из семи прямых общего положения?

Решение

Привожу решения Анатолия Казмерчука (часть I, часть II, часть III) и Олега Полубасова.

Обсуждение

Уже который год подряд в Марафоне наблюдается одна и та же тенденция: к концу конкурса значительная часть выдыхается и сходит с дистанции. В нынешнем конкурсе дистанция в 7 задач была пройдена достаточно дружно. Но в ММ228 обозначенная тенденция проявилась в полный рост - получено лишь 4 ответа.
И это при том, что эта задачка была запланирована в качестве легкого «разогрева» (или, если хотите пропедевтики) перед ММ229 и ММ230.

Большинство подобных задач решаются методом «пример+оценка». А для ММ228 достаточно лишь примера. Поэтому весьма сложная в целом задача о возможных количествах тех или иных многоугольников, возникающих при разбиении плоскости прямыми (многоугольника диагоналями и т.п.) в данном конкретном случае тривиализируется.

Направления для обобщений и аналогий ММ228 довольно очевидны. А вот ответы на возникающие при этом вопросы в основном совсем не очевидны.
Анатолий Казмерчук ограничился исследованием конфигураций из меньшего числа прямых и предъявлением всех возможных количеств четырехугольников для 7 прямых.
Олег Полубасов получил точное значение для наибольшего возможного числа четырехугольников в общем случае, опираясь на известный факт о наименьшем возможном количестве треугольников.

Однако никто из марафонцев не замахнулся (или замахнулся, но не ударил) на поиск наименьшего числа четырехугольников для более чем 7-и прямых. Попробую хотя бы частично этот пробел.
Если я не ошибся при достаточно тупом переборном обосновании, для 8-и прямых наименьшее число четырехугольников - 1.
Похоже, для 9-и прямых ответ тот же. Но в этом случае я даже не замахивался на перебор.

8 красных прямых на картинке образуют конфигурацию с вектором граней (14,1,3,3,0,0). Добавление 9-й (синей) прямой приводит к конфигурации (18,1,6,3,0,0,0). (Два треугольника не полностью попали на картинку)

Награды

За решение задачи ММ228 участники Марафона получают следующие призовые баллы: Олег Полубасов и Анатолий Казмерчук - по 6; Виктор Филимоненков и Валентина Колыбасова - по 4;

Эстетическая оценка задачи - 4.4 балла


 

 


Страница: [[marathon:problem_228]]

marathon/problem_228.txt · Последние изменения: 2017/11/12 14:28 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006