— |
marathon:problem_228 [2017/11/12 13:28] (текущий) letsko создано |
| ===== ММ228 ===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ228** (4 балла) |
| |
| Какое наименьшее число элементарных четырехугольников может быть в конфигурации из семи прямых общего положения? |
| |
| **Решение** |
| |
| Привожу решения Анатолия Казмерчука ({{:marathon:kazmerchuk_pr_228_1.pdf|часть I}}, {{:marathon:kazmerchuk_pr_228_0.pdf|часть II}}, {{:marathon:kazmerchuk_pr_228_2.pdf|часть III}}) и {{:marathon:mm228_polubasoff.pdf|Олега Полубасова}}. |
| |
| **Обсуждение** |
| |
| Уже который год подряд в Марафоне наблюдается одна и та же тенденция: к концу конкурса значительная часть выдыхается и сходит с дистанции. В нынешнем конкурсе дистанция в 7 задач была пройдена достаточно дружно. Но в ММ228 обозначенная тенденция проявилась в полный рост - получено лишь 4 ответа.\\ |
| И это при том, что эта задачка была запланирована в качестве легкого "разогрева" (или, если хотите пропедевтики) перед ММ229 и ММ230. |
| |
| Большинство подобных задач решаются методом "пример+оценка". А для ММ228 достаточно лишь примера. Поэтому весьма сложная в целом задача о возможных количествах тех или иных многоугольников, возникающих при разбиении плоскости прямыми (многоугольника диагоналями и т.п.) в данном конкретном случае тривиализируется. |
| |
| Направления для обобщений и аналогий ММ228 довольно очевидны. А вот ответы на возникающие при этом вопросы в основном совсем не очевидны.\\ |
| Анатолий Казмерчук ограничился исследованием конфигураций из меньшего числа прямых и предъявлением всех возможных количеств четырехугольников для 7 прямых.\\ |
| Олег Полубасов получил точное значение для наибольшего возможного числа четырехугольников в общем случае, опираясь на известный факт о наименьшем возможном количестве треугольников. |
| |
| Однако никто из марафонцев не замахнулся (или замахнулся, но не ударил) на поиск наименьшего числа четырехугольников для более чем 7-и прямых. |
| Попробую хотя бы частично этот пробел.\\ |
| Если я не ошибся при достаточно тупом переборном обосновании, для 8-и прямых наименьшее число четырехугольников - 1.\\ |
| Похоже, для 9-и прямых ответ тот же. Но в этом случае я даже не замахивался на перебор.\\ |
| |
| 8 красных прямых на картинке образуют конфигурацию с вектором граней (14,1,3,3,0,0). |
| Добавление 9-й (синей) прямой приводит к конфигурации (18,1,6,3,0,0,0). (Два треугольника не полностью попали на картинку) |
| |
| {{:marathon:mm228_pic.png?200|}} |
| |
| **Награды** |
| |
| За решение задачи ММ228 участники Марафона получают следующие призовые баллы: |
| Олег Полубасов и Анатолий Казмерчук - по 6; |
| Виктор Филимоненков и Валентина Колыбасова - по 4; |
| |
| **Эстетическая оценка задачи - 4.4 балла** |
| ---- |
| |