— |
marathon:problem_232 [2018/09/23 18:08] (текущий) letsko создано |
| ===== ММ232 ===== |
| |
| **Конкурсная задача ММ232** (6 баллов) |
| |
| Сколько решений в натуральных числах, имеет уравнение **x<sup>3</sup> + y<sup>3</sup> = z<sup>3</sup> - i** для каждого **i ∈ {1, 2, 4}** ? |
| |
| Я нашел воистину замечательные ответы на эти вопросы, но поля... |
| Надеюсь, у конкурсантов с полями все хорошо. |
| |
| **Решение** |
| |
| Привожу решения {{:marathon:guzhavine_mm232.pdf|Евгения Гужавина}}, {{:marathon:dziubenko_mm232.pdf|Василия Дзюбенко}} и {{:marathon:ariadna_мм232.pdf|Валентины Колыбасовой}}. |
| |
| **Обсуждение** |
| |
| При поиске бесконечных серий конкурсанты разделились на две команды. Одна исповедовала подход: "Будем искать решение в виде...". Другая: "Найдем перебором несколько решений и поищем закономерность". Правда, была еще и третья группа: "Очевидно, что имеется бесконечно много решений вида...". Но я подозреваю, что представители этой группы, на самом деле, латентные участники одной из двух первых. |
| А вот при доказательстве отсутствия решений для i=4 все были единодушны. |
| |
| Для меня было неожиданным, что сразу несколько конкурсантов неправильно истолковали комментарий, приведенный после условия. |
| Я полагал, что это более чем прозрачный намек на историю, когда Пьеру де Ферма не хватило полей "Арифметики" Диофанта, чтобы изложить доказательство (впрочем, конечно же, "доказательство") Великой теоремы своего имени. |
| Но, то ли участники не вспомнили про эту историю, то ли стали искать двойное дно и намек на теорию полей, которого не было. |
| |
| Некоторые конкурсанты для доказательства бесконечности множества решений придумали не серии, представленные в приведенных решениях, а их подсерии. Например, вместо тройки (9n<sup>3</sup>-1, 9n<sup>4</sup>-3n, 9n<sup>4</sup>\right) приводилась тройка (3<sup>3k-1</sup>, 3<sup>4k-2</sup>-3<sup>k</sup>, 3<sup>4k-2</sup>).\\ |
| Несколько иначе обстоит дело с серией, приведенной Владиславом Франком для случая i-2. Убедившись, что равенство (6t<sup>3</sup> + 36t<sup>2</sup> + 72t + 49)<sup>3</sup> - 2 = (6t<sup>3</sup> + 36t<sup>2</sup> + 72t + 47)<sup>3</sup> + (6t<sup>2</sup> + 6t + 24)<sup>3</sup> не является верным, я уже кровожадно потирал руки и думал, скольких баллов лишить Владислава. Но в этот момент заметил, при замене последнего слагаемого на (6t<sup>2</sup> + 24t + 24)<sup>3</sup> получается та же серия, что и у остальных конкурсантов. Надо только вместо t подставить t-2. |
| В итоге ведущему не удалось оттяпать баллы ни у кого из участников. |
| Но и добавлять баллы я тоже не стал. Поскольку обобщения и аналоги задачи для случаев i=-1, i=a<sup>3</sup>, i=2a<sup>3</sup>, i=4+9k тривиальны, а более интересные вопросы:\\ |
| разрешимо ли уравнение при i=3?\\ |
| исчерпываются ли все решения для i=2 тройками (6n<sup>2</sup>, 6n<sup>3</sup>-1, 6n<sup>3</sup>+1) (с возможной перестановкой первых двух чисел)?\\ |
| входят ли решения для i=1, не описываемые серией (9n<sup>3</sup>-1, 9n<sup>4</sup>-3n, 9n<sup>4</sup>), в какие-то другие серии или являются спорадическими?\\ |
| остались без ответов. |
| |
| **Награды** |
| |
| За решение задачи ММ232 участники Марафона получают следующие призовые баллы: |
| Евгений Гужавин - 6; |
| Анатолий Казмерчук - 6; |
| Юрий Варламов - 6; |
| Владимир Чубанов - 6; |
| Валентина Колыбасова - 6; |
| Виктор Филимоненков - 6; |
| Василий Дзюбенко - 6; |
| Владислав Франк - 6. |
| |
| **Эстетическая оценка задачи - 4.6 балла** |
| ---- |
| |