Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

marathon:problem_232 [2018/09/23 18:08] (текущий)
letsko создано
Строка 1: Строка 1:
 +===== ММ232 =====
 + 
 +**Конкурсная задача ММ232** ​ (6 баллов)
 +
 +Сколько решений в натуральных числах, ​ имеет уравнение **x<​sup>​3</​sup>​ + y<​sup>​3</​sup>​ = z<​sup>​3</​sup>​ - i** для каждого ​ **i ∈ {1, 2, 4}** ?
 +
 +Я нашел воистину замечательные ответы на эти вопросы,​ но поля...
 +Надеюсь,​ у конкурсантов с полями все хорошо.
 +
 +**Решение**
 +
 +Привожу решения {{:​marathon:​guzhavine_mm232.pdf|Евгения Гужавина}},​ {{:​marathon:​dziubenko_mm232.pdf|Василия Дзюбенко}} и {{:​marathon:​ariadna_мм232.pdf|Валентины Колыбасовой}}.
 +
 +**Обсуждение** ​
 +
 +При поиске бесконечных серий конкурсанты разделились на две команды. Одна исповедовала подход:​ "​Будем искать решение в виде..."​. Другая:​ "​Найдем перебором несколько решений и поищем закономерность"​. Правда,​ была еще и третья группа:​ "​Очевидно,​ что имеется бесконечно много решений вида..."​. Но я подозреваю,​ что представители этой группы,​ на самом деле, латентные участники одной из двух первых. ​
 +А вот при доказательстве отсутствия решений для i=4 все были единодушны.
 +
 +Для меня было неожиданным,​ что сразу несколько конкурсантов неправильно истолковали комментарий,​ приведенный после условия.
 +Я полагал,​ что это более чем прозрачный намек на историю,​ когда Пьеру де Ферма не хватило полей "​Арифметики"​ Диофанта,​ чтобы изложить доказательство (впрочем,​ конечно же, "​доказательство"​) Великой теоремы своего имени.
 +Но, то ли участники не вспомнили про эту историю,​ то ли стали искать двойное дно и намек на теорию полей, которого не было.
 +
 +Некоторые конкурсанты для доказательства бесконечности множества решений придумали не серии, представленные в приведенных решениях,​ а их подсерии. Например,​ вместо ​ тройки (9n<​sup>​3</​sup>​-1,​ 9n<​sup>​4</​sup>​-3n,​ 9n<​sup>​4</​sup>​\right) приводилась тройка (3<​sup>​3k-1</​sup>,​ 3<​sup>​4k-2</​sup>​-3<​sup>​k</​sup>,​ 3<​sup>​4k-2</​sup>​).\\  ​
 +Несколько иначе обстоит дело с серией,​ приведенной Владиславом Франком для случая i-2. Убедившись,​ что равенство (6t<​sup>​3</​sup>​ + 36t<​sup>​2</​sup>​ + 72t + 49)<​sup>​3</​sup>​ - 2 = (6t<​sup>​3</​sup>​ + 36t<​sup>​2</​sup>​ + 72t + 47)<​sup>​3</​sup>​ + (6t<​sup>​2</​sup>​ + 6t + 24)<​sup>​3</​sup>​ не является верным,​ я уже кровожадно потирал руки и думал, скольких баллов лишить Владислава. Но в этот момент заметил,​ при замене последнего слагаемого на (6t<​sup>​2</​sup>​ + 24t + 24)<​sup>​3</​sup>​ получается та же серия, что и у остальных конкурсантов. Надо только вместо t подставить t-2.
 +В итоге ведущему не удалось оттяпать баллы ни у кого из участников.
 +Но и добавлять баллы я тоже не стал. Поскольку обобщения и аналоги задачи для случаев i=-1, i=a<​sup>​3</​sup>,​ i=2a<​sup>​3</​sup>,​ i=4+9k тривиальны,​ а более интересные вопросы:​\\
 +разрешимо ли уравнение при i=3?\\
 +исчерпываются ли все решения для i=2 тройками (6n<​sup>​2</​sup>,​ 6n<​sup>​3</​sup>​-1,​ 6n<​sup>​3</​sup>​+1) (с возможной перестановкой первых двух чисел)?​\\ ​
 +входят ли решения для i=1, не описываемые серией (9n<​sup>​3</​sup>​-1,​ 9n<​sup>​4</​sup>​-3n,​ 9n<​sup>​4</​sup>​),​ в какие-то другие серии или являются спорадическими?​\\
 +остались без ответов.
 +
 +**Награды**
 +
 +За решение задачи ММ232 участники Марафона получают следующие призовые баллы: ​
 +Евгений Гужавин - 6;
 +Анатолий Казмерчук - 6; 
 +Юрий Варламов - 6;
 +Владимир Чубанов - 6;
 +Валентина Колыбасова - 6;
 +Виктор Филимоненков - 6;
 +Василий Дзюбенко - 6;
 +Владислав Франк - 6.
 +
 +**Эстетическая оценка задачи - 4.6 балла**
 +----
  
 

 


Страница: [[marathon:problem_232]]

marathon/problem_232.txt · Последние изменения: 2018/09/23 18:08 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006