Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Содержание

ММ240

Конкурсная задача ММ2409 (13 баллов)

Проективную плоскость разбили несколькими прямыми общего положения. При этом образовалось ровно 17 треугольников. Сколько пятиугольников могло при этом получиться?

Решение

Привожу решения Виктора Филимоненкова, Константина Шамсутдинова и Анатолия Казмерчука.

Обсуждение

Задача ММ240 - побочный продукт попытки найти решение другой задачи.
Я пытался понять, верно ли, что любом n>4 можно найти такое расположение n прямых общего положения на проективной плоскости, что в разбиении будут возникать только треугольники, четырехугольники и пятиугольники. Мы с ученицей (которой я предложил эту задачу) довольно быстро продвинулись в деле отыскания все больших n, но на общий принцип (а есть ли он?) так и не вышли. Надо будет внимательнее присмотреться к подходам, предложенным конкурсантами. Возможно, они помогут решить и задачу-предшественник.

В условии фиксировалось количество треугольников, но не прямых. Любопытно, что, доказывая реализуемость возможных значений пятиугольников приводили конфигурации с различными количествами прямых:
Виктор Филимонеков использовал от 9 до 11 и от 15 до 17 прямых:
Анатолий Казмерчук от 12 до 17 прямых;
в авторском решении участвуют от 9 до 17 прямых, исключая 15.
Наиболее красиво в этом плане решение Константина Шамсутдинова, в котором все конфигурации построены по единой схеме с использованием только 17 прямых (мне до сих пор не верится, что такое возможно).

За сим заканчиваю обзор завершающей задачи XXIV Марафонского конкурса и приступаю к: подведению итогов; поиску ошибок в решении Константина; размышлению над тем, почему никто не догадался использовать 18 прямых :-)

Награды

За решение задачи ММ240 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Константин Шамсутдинов - 16;
Анатолий Казмерчук - 15;
Виктор Филимоненков - 13;
Владимир Чубанов - 7.

Эстетическая оценка задачи - 4.7 балла


 

 


Страница: [[marathon:problem_240]]

marathon/problem_240.txt · Последние изменения: 2019/10/19 06:47 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006