Конкурсная задача ММ247 (7 баллов)

Пусть k – фиксированное натуральное число. Для натуральных n определим функцию f_k(n)=lcm(n, n+1,…, n+k-1)/lcm(n+1, n+2,…, n+k)} Найти наименьшие значения f₅(n) и f₉(n).

Решение

Привожу решения Анатолия Казмерчука и Анны Букиной.

Обсуждение

ММ247 - обещанное продолжение ММ238. Большинство конкурсантов (ряды коих к финишу традиционно начали потихоньку редеть) справились с задачей. Некоторые изъятия баллов связаны с недостаточной обоснованностью ответа, ошибкой в арифметике и загадочное утверждение о простоте числа 289 (я специально подбирал, чтобы второй ответ был квадратом первого и, надо же - простое?!) Поощрения сделаны за некоторые обобщения.
Хотя я рассчитывал (и намекал на это при обсуждении ММ238), что участники не ограничатся заменой чисел 5 и 9 на произвольное k. Ограничились
Тогда сам сформулирую интересные (на мой взгляд вопросы):
Сколько целых значений принимает f_k(n) и какие целые числа могут быть этими значениями? (Целые значения f₅(n) - 1,5,7,11. Но напрашивающаяся гипотеза о ф(sup(f_k(n))) целых значениях f_k(n) не подтвердилась)
Ясно, что каждое свое значение f_k(n) принимает конечное число раз. Можно ли, зная k без прямого перебора указать какое(какие) это будет значение и сколько раз оно достигается?

Награды

За решение задачи ММ247 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Анатолий Казмерчук - 9;
Владислав Франк - 9;
Константин Шамсутдинов - 9;
Владимир Дорофеев - 8;
Анна Букина - 7;
Мераб Левиашвили - 7;
Валентин Пивоваров - 6;
Александр Домашенко - 6;
waxter - 6;
Виктор Филимоненков - 5.

Эстетическая оценка задачи - 4.6 балла