Математический факультетИнформация для студентовЭлектронная библиотека
Карта сайтаКарта сайта
Недавние измененияНедавние изменения
ПоискПоиск
  
Вы посетилиВы посетили
История страницыИстория страницы
  
Вход/выходВход


Различия

Здесь показаны различия между двумя версиями данной страницы.

Ссылка на это сравнение

marathon:problem_25 [2019/09/30 18:34]
letsko
marathon:problem_25 [2020/06/03 21:59] (текущий)
letsko
Строка 14: Строка 14:
 Докажем,​ что четыре прямоугольных треугольника PMA, PQB<​sub>​1</​sub>,​ RQD и RNC<​sub>​1</​sub>​ равны. Во-первых,​ очевидно подобие этих треугольников. Для доказательства их равенства докажем равенство соответствующих катетов. Пусть AM = a. Ясно, что C<​sub>​1</​sub>​N = CN = a. Пусть X - точка на BC такая, что BX = a. Тогда Q - образ X одновременно при центральной симметрии относительно O и осевой симметрии относительно MN. Поэтому DQ = B<​sub>​1</​sub>​Q = BX = a и равенство треугольников доказано. Докажем,​ что четыре прямоугольных треугольника PMA, PQB<​sub>​1</​sub>,​ RQD и RNC<​sub>​1</​sub>​ равны. Во-первых,​ очевидно подобие этих треугольников. Для доказательства их равенства докажем равенство соответствующих катетов. Пусть AM = a. Ясно, что C<​sub>​1</​sub>​N = CN = a. Пусть X - точка на BC такая, что BX = a. Тогда Q - образ X одновременно при центральной симметрии относительно O и осевой симметрии относительно MN. Поэтому DQ = B<​sub>​1</​sub>​Q = BX = a и равенство треугольников доказано.
  
-MB<​sub>​1</​sub>​ = MB = 1-a. Но PB<​sub>​1</​sub>​ = PA. Поэтому MA+AP+MP = 1. Из всех прямоугольных треугольников с периметром 1 наибольшую площадь будет иметь тот, у которого будет наибольшим радиус вписанной окружности - r (площадь равна r/2). Ясно, что наибольшим r будет обладать равнобедренный треугольник. Значит,​ <​m>​(2+sqrt{2})a = 1.</​m>​ Отсюда <m>a = 1-sqrt{2}/​2</​m>,​ а искомая площадь равна <​m>​1/​2 + (1-sqrt{2}/​2)^2 = 7/2 - 2sqrt{2}</​m>​.+MB<​sub>​1</​sub>​ = MB = 1-a. Но PB<​sub>​1</​sub>​ = PA. Поэтому MA+AP+MP = 1. Из всех прямоугольных треугольников с периметром 1 наибольшую площадь будет иметь тот, у которого будет наибольшим радиус вписанной окружности - r (площадь равна r/2). Ясно, что наибольшим r будет обладать равнобедренный треугольник. Значит,​ <​m>​(2+sqrt{2})a = 1.</​m>​ Отсюда <m>a = 1-sqrt{2}/​2</​m>,​ а искомая площадь равна <​m>​1/​2 + (1-sqrt{2}/​2)^2 = 2 - sqrt{2}</​m>​.
  
 **Обсуждение** **Обсуждение**
 

 


Страница: [[marathon:problem_25]]

marathon/problem_25.txt · Последние изменения: 2020/06/03 21:59 — letsko
Powered by DokuWiki  ·  УКЦ ВГПУ 2006