|
||||||||||||||||||
|
Это старая версия документа. СодержаниеММ25Конкурсная задача ММ25 (4 баллов) Единичный квадрат перегнули по прямой, проходящей через его центр. Какова наибольшая возможная площадь получившейся фигуры? Решение Пусть ABCD - исходный квадрат, а прямая MN (M лежит на AB ближе к A, N - на CD) проходит через центр квадрата, точку O. Пусть, далее, B1 и C1 - точки, симметричные соответственно точкам B и C относительно прямой MN, P - точка пересечения прямых AD и MB1, Q - точка пересечения прямых AD и B1C1 и R - точка пересечения прямых CD и B1C1.
Очевидно, что площадь фигуры, полученной перегибанием квадрата по MN, равна сумме половины площади квадрата и площадей треугольников PQB1 и RNC1. MB1 = MB = 1-a. Но PB1 = PA. Поэтому MA+AP+MP = 1. Из всех прямоугольных треугольников с периметром 1 наибольшую площадь будет иметь тот, у которого будет наибольшим радиус вписанной окружности - r (площадь равна r/2). Ясно, что наибольшим r будет обладать равнобедренный треугольник. Значит, Отсюда , а искомая площадь равна . Обсуждение Предлагая данную задачу, я не заметил изопериметричности возникающих треугольников. Поэтому мне не удавалось найти элементарного обоснования того интуитивно ясного факта, что максимум площади достигается, когда треугольники будут равнобедренными. Мое решение было таким:
Обозначим угол ABB1 через a. Тогда интересующая нас площадь будет выражаться формулой Награды За правильное (более изящное, чем авторское) решение задачи Андрей Бежан получает 5 призовых баллов.
|
|||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|