Конкурсная задача ММ251 (3 балла)

Из книги вырвано несколько страниц. Сумма номеров оставшихся страниц 5001. Пусть n – наименьшее возможное число страниц, которое могло быть в этой книге изначально. Найдите наибольший возможный номер отсутствующей страницы, при условии, что в книге было n страниц.

Решение

Привожу решения Анатолия Казмерчука и Елены Фоминой (новичка Марафона).

Обсуждение

Совершенно неожиданно задача ММ251, которую я считал легкой и поместил в конкурс «для разогрева», вызвала затруднения у значительного числа конкурсантов, в том числе у признанных асов. Кроме неверных решений я получил также некоторые упреки за неоднозначность формулировки:
Из книги нельзя вырвать страницы - только листы;
Не уточнено, подходит ли одна страница под формулировку «несколько страниц»;
Не указано, на какой стороне разворота книги находится первая страница;
не указано, является ли печать (и соответственно нумерация) двусторонней…

Я исходил из того, что на каждом листе расположены две страницы, причем меньший из номеров нечетен. Я ни разу не встречал книги, где на правом развороте были бы страницы с четными номерами (и сомневаюсь в существовании таких диковин). Переплетенные документы с односторонней печатью, я, конечно, встречал, но это были отчеты, дипломные работы, диссертации… и ни разу не книги. (Правда, мне указали, что самиздатовская книга может иметь одностороннюю печать.)
Что касается толкования слова «несколько», на мой взгляд, одна страница вполне подошла бы под это понятие. Но, поскольку я имел в виду обычную книгу с двусторонней печатью, этот момент не важен. Каждый вырванный лист - это пара вырванных страниц.
Я не оговорил эти моменты вполне сознательно, полагая, что без этих нюансов задача станет совсем уж тривиальной. Впрочем, я был уверен, что и эти моменты не вызовут затруднений для подавляющего большинства участников. Но ошибся. Наверное, часть конкурсантов расслабились за лето и еще не вошли в форму.
Каждый из перечисленных моментов, стал для кого-то камнем преткновения. Еще двое конкурсантов споткнулись о домысленное условие, что страницы вырывались подряд.

Даже некоторые из тех, кто пришел к верному ответу, рассуждали, на мой взгляд, не вполне строго. Например, вывод, что в книге было 100 страниц, сделанный на основании того, что 5050 наименьшее треугольное число, превышающее 5001. Ведь 5050 превышает и, скажем, 5037. Но, если бы сумма оставшихся страниц была 5037, в книге изначально должно было быть больше 100 страниц. Другим неаккуратным шагом стало отбрасывание варианта с одной страницей не на основании того, что на одном листе находятся две страницы, а из-за того, что «один» - это не «несколько». Я не стал придираться к этим моментам.

Самым предусмотрительным оказался Виктор Филимоненков, рассмотревший как классические книжки, так и их альтернативные разновидности.
А единственным конкурсантам, рассмотревшим обобщение задачи стал Анатолий Казмерчук. Он выяснил, какие числа могут быть суммами номеров вырванных страниц.

Награды

За решение задачи ММ251 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Анатолий Казмерчук - 4
Виктор Филимоненков - 3
Олег Полубасов - 3
Елена Фомина - 3
Владимир Дорофеев - 3
Владислав Франк - 3
Константин Шамсутдинов - 3
Константин Кноп - 1
Александр Домашенко - 1
Валентин Пивоваров - 1
Анна Букина - 1
cubaca - 1.

Эстетическая оценка задачи - 4 балла