Конкурсная задача ММ253 (5 баллов)

Сторона основания правильной треугольной призмы ABCA₁B₁C₁ равна 2. Сечение призмы, проходящее через середину отрезка AB₁ перпендикулярно ему имеет площадь 28sqrt(39)/81. Найти объем призмы?

Решение

Привожу решения Константина Шамсутдинова (замечательное своей краткостью), Василия Дзюбенко (замечательное своей основательностью), и Анатолия Казмерчука (как всегда, замечательное во всех отношениях).

Обсуждение

Предлагая эту задачу, я изначально был уверен, что участники не попадутся в небольшую ловушку - наличие двух случаев. Но некоторые ответы на ММ251 эту уверенность поколебали. Как выяснилось, зря. Все присланные решения содержат по два ответа. Правда, в некоторых из решений по одному (разному) ответу оказались неверны из-за вычислительных ошибок.

Составляя задачу, я долго бился над тем, чтобы оба ответа были «приличными». Если под приличностью понимать отсутствие многоэтажных радикалов, то задуманное осуществить удалось. Но сделать оба ответа совсем компактными я так и не смог. Остановился на варианте, когда более сложный случай пятиугольного сечения приводит к более простому ответу.

Анатолий Казмерчук исследовал вопрос о количестве решений задачи в зависимости от соотношения между стороной основания призмы и площадью сечения.

Награды

За решение задачи ММ253 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Анатолий Казмерчук - 6
Денис Овчинников - 5
Василий Дзюбенко - 5
Владислав Франк - 5
Константин Шамсутдинов - 5
Валентин Пивоваров - 5
Олег Полубасов - 4
Виктор Филимоненков - 4.

Эстетическая оценка задачи - 4.1 балла