Конкурсная задача ММ254 (6 баллов)

Вася вписал круг в треугольник со сторонами 3, 4, 5. И вписывает новые круги так, что каждый последующий касается двух сторон треугольника и одного из предыдущих кругов. Может ли суммарная площадь кругов превысить 80% от площади треугольника и на каком шаге (круге) может случиться это событие?

Решение

Привожу решения Виктора Филимоненкова, Олега Полубасова и Анатолия Казмерчука.

Обсуждение

В отличие от прошлой задачи, при решении ММ254 избежали технических ошибок (хотя ошибиться было где). Но неожиданно вернулись проблемы с пониманием условия и вопроса задачи. И если для ММ251 такие проблемы были вполне ожидаемы (я уже объяснял, почему сознательно не стал доскональнее прописывать условие той задачи), то ММ254 представлялась мне сформулированной ясно и однозначно. Единственный нюанс - учитывать ли первый круг. Для придания однозначности я продублировал слово «шагов», словом «кругов», поясняя, что первый круг тоже следует считать. Тем не менее, сосчитали его не все. Но я заранее решил, что не буду считать это за ошибку. Я не снижал баллы и за отсутствие явного указания на то, что Вася может и не добраться до 80% даже при бесконечном числе шагов (ведь в задаче спрашивалось «может ли площадь кругов превысить 80%», а не «превысит ли»). Теперь о замечаниях, за которые баллы снимались. Валентин Пивоваров почему-то решил, что за один шаг обязательно вписывается сразу по 3 круга (в каждый из углов треугольника). Перечитав условие я убедился, что в нем нет намеков на такое толкование. Тем не менее, я счел возможным поставить Валентину достаточно высокий балл, поскольку параметры трех геометрических прогрессий были определены верно, то есть, было сделано практически все, что нужно для решения. Еще два участника почему-то ограничились нахождением наименьшего количества кругов, покрывающих более 80% площади треугольника. Проанализировав условие, я пришел к выводу, что вина за такую трактовку лежит исключительно на этих участниках Наконец, в одном из решений превышение 80% на любом круге, начиная с 6-го, отмечается, но отдельно не обосновывается. Хотя легко подобрать начальные данные так, что правильным ответом будет, например, такой «требуемый процент будет превышен на 3-м, 4-м или 5-м шаге».

Анатолий Казмерчук нашел диапазон, в котором может изменяться отношение площади треугольника к предельной сумме площадей кругов в зависимости от формы треугольника. Олег Полубасов показал, как приближаться к границам этого диапазона, но не обосновал непреодолимость этих границ. Владислав Франк получил нижнюю границу.

Отдельно отмечу замечательное наблюдение Олега Полубасова - поразительную близость отношения площади египетского треугольника к сумме площадей вписанного круга и трех кругов, вписанных в углы треугольника, к π/2.

Участники поставили передо мной непростую задачу: зачастую те решения, которые содержали обобщения задачи, одновременно имели перечисленные выше недостатки. Во что вылилось добавление дополнительных баллов при одновременном вычитании основных см. ниже.

Награды

За решение задачи ММ254 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Анатолий Казмерчук - 7
Владислав Франк - 7
Олег Полубасов - 7
Константин Шамсутдинов - 6
Виктор Филимоненков - 6
Денис Овчинников - 5
Валентин Пивоваров - 4.

Эстетическая оценка задачи - 4.4 балла