Конкурсная задача ММ259 (8 баллов)

Может ли треугольник с вершинами в центроиде и центрах вписанной и описанной окружностей некоторого треугольника быть
a) равновелик;
б) подобен;
в) равен
исходному?

Решение

Привожу решения Дениса Овчинникова и Владислава Франка. С рншением Анатолия Казмерчука можно ознакомиться тут.

Обсуждение

Как обычно, к концу соревнования (или очередного этапа, кому как нравится) марафонцы начали потихоньку уставать и сходить с дистанции. Зато оставшиеся участники порадовали разнообразием подходов. Например, Влад Франк прибегнул к комплексной параметризации. Аналогичный прием, примененный при решении ММ157 (см. разбор), привел к короткому изящному решению. Удалось ли добиться такого же эффекта для ММ259, судите сами.

Некоторое расхождение в оценках связано со строгостью обоснования последнего пункта. За одним исключением. У Виктора Филимоненкова все обосновано строго. Но он почему-то рассмотрел треугольник с вершинами в центрах вписанной и описанной окружностей и в ортоцентре (а не центориде, как было в условии). Такой треугольник не может быть не только равен, но и подобен исходному.

Для полноты картины замечу, что треугольник с вершинами в центроиде, инцентре и ортоцентре, так же как и треугольник из условия, может быть равновелик и подобен, но не равен исходному. В параметризации A(-1;0), B(1;0), C(x;y), где 0≤x<1, (x+1)²+y² ≤4, единственному треугольнику с вершинами в центроиде, инцентре и ортоцентре, подобному исходному соответствует С(0.6367873395…; 0.5201582408…). Наконец, треугольника с вершинами в центроиде, ортоцентре и центре описанной окружности не существует, поскольку эти точки лежат на прямой Эйлера.

Любопытно, что, если в указанной параметризации взять C(0.3246129395…, 0.4677703801…), треугольник с вершинами в ортоцентре и двух точках Аполлония (изодинамических центрах) подобен исходному с коэффициентов подобия довольно близким к 1.

Я полагаю, что никакой треугольник не может быть равен треугольнику с вершинами в каких-то трех своих замечательных точках. Но пока проверил не все сочетания замечательных точек из ETC (а там порядка 40000 центров) по три

Награды

За решение задачи ММ259 участники Марафона получают следующие призовые баллы:
Анатолий Казмерчук - 9
Владислав Франк - 8
Денис Овчинников - 8
Константин Шамсутдинов - 7
Виктор Филимоненков - 5

Эстетическая оценка задачи - 4.8 балла

---